inducidas por un producto interno

Norma y distancia

inducidas por un producto interno

Objetivos. Definir la norma y la distancia en un espacio vectorial V real o complejo con un producto interno h·, ·i.

Requisitos. Definici´on y ejemplos de espacios con producto interno, desigualdad de Schwarz (llamada tambi´en desigualdad de Cauchy–Schwarz o desigualdad de Cauchy–

Bunyakovski–Schwarz).

En estos apuntes usamos el convenio que el producto interno es homog´eneo con respecto al segundo argumento:

hx, λyi = λ hx, yi.

1. Desigualdad de Schwarz (repaso). Sea V un espacio vectorial complejo o real con un producto interno h·, ·i. Entonces para todos x, y ∈ V

|hx, yi|² ≤ hx, xi hy, yi. (1)

2. Criterio de la igualdad en la desigualdad de Schwarz (repaso). Sean x, y ∈ V . Entonces la igualdad

|hx, yi|² = hx, xi hy, yi

se cumple si y s´olo si los vectores x, y son linealmente dependientes.

Definici´ on general de norma

Empecemos con la definici´on general de norma en un espacio vectorial complejo (el caso real es similar).

3. Definici´on (norma en un espacio vectorial). Sea V un espacio vectorial complejo.

Una funci´on k · k : V → R se llama norma si cumple con las siguientes propiedades (axiomas de norma):

1. Propiedad subaditiva (o desigualdad triangular para la norma):

kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ V.

2. kλxk = |λ| kxk para todo x ∈ V y todo λ ∈ C.

3. kxk > 0 para todo x ∈ V \ {0}.

Si k · k es una norma, entonces se dice que (V, k · k) es un espacio normado.

4. Ejemplos de normas en Cⁿ. En el espacio vectorial Cⁿ hay una infinidad de normas diferentes. Las m´as importantes son:

kak1 :=

n

X

k=1

|ak|, kak2 :=

n

X

k=1

|ak|²

!1/2

, kak∞ := max

1≤k≤n|ak|.

Norma y distancia inducidas por un producto interno, p´agina 1 de 4

Norma inducida por un producto interno

5. Proposici´on (de la norma inducida por un producto interno). Sea V un espacio vectorial complejo con un producto interno h·, ·i. Entonces la funci´on N : V → [0, +∞) definida mediante la siguiente regla es una norma sobre V :

N (x) :=phx, xi (x ∈ V ).

Demostraci´on. 1. Si x 6= 0, entonces hx, xi > 0 y por lo tanto N (x) > 0.

2. hλx, λxi = λλhx, xi = |λ|²hx, xi. Sacamos la ra´ız cuadrada: N (λx) = |λ| N (x).

3. Usando la desigualdad de Schwarz demostremos la propiedad subaditiva de la norma.

Primero notemos que

hx, yi + hy, xi = 2 Rehx, yi ≤ 2|hx, yi|.

Aqu´ı hemos aplicado con α = hx, yi las f´ormulas generales

α + α = 2 Re(α), Re(α) ≤ | Re(α)| ≤ |α|.

Luego notemos que la desigualdad de Schwarz se puede escribir de la siguiente manera:

|hx, yi| ≤ N (x) N (y).

Ahora es f´acil demostrar la propiedad subaditiva:

N (x + y)² = hx + y, x + yi

= hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi

= N (x)²+ 2 Re(hx, yi) + N (y)²

≤ N (x)²+ 2|hx, yi| + N (y)²

≤ N (x)²+ 2N (x)N (y) + N (y)²

= (N (x) + N (y))².

6. Definici´on (norma inducida por un producto interno). Sea V un espacio vec- torial complejo con un producto interno h·, ·i La norma en V inducida por el producto interno, se define mediante la regla

kxk :=phx, xi.

7. Tarea adicional. Determine cu´ando se cumple la igualdad kx + yk = kxk + kyk.

8. Ejercicio. Sea k · k la norma inducida por un producto interno h·, ·i. Demuestre que kx + yk² = kxk²+ kyk²+ 2 Re(hx, yi);

kx − yk² = kxk²+ kyk²− 2 Re(hx, yi).

Norma y distancia inducidas por un producto interno, p´agina 2 de 4

9. Ejercicio (identidad de paralelogramo). Demuestre que la norma inducida por un producto interno satisface la siguiente propiedad (identidad de paralelogramo):

kx + yk²+ kx − yk² = 2(kxk²+ kyk²) ∀x, y ∈ V.

10. Ejercicio (identidades de polarizaci´on en el caso real). Sean V un EV real con un producto interno h·, ·i, y sea k · k la norma inducida por este producto interno.

Demuestre las siguientes igualdades:

hx, yi = 1

4 kx + yk²− kx − yk²
, hx, yi = 1

2 kx + yk² − kxk²− kyk²
.

11. Proposici´on (identidad de polarizaci´on en el caso complejo). Sea V un es- pacio vectorial complejo con un producto interno. Entonces el producto interno se puede expresar a trav´es de la norma inducida por este producto interno mediante la siguiente f´ormula:

hx, yi = 1 4

3

X

k=0

i^kk i^kx + yk²

= 1 4

kx + yk²+ i k i x + yk² − k − x + yk²− i k − i x + yk² . 12. Ejercicio. Demuestre la identidad de polarizaci´on en el caso complejo.

13. Ejemplo. La funci´on kxk₁ := |x1| + |x₂| es una norma en C². Demostremos que esta norma no se puede inducir por ning´un producto interno. Construyamos un contraejemplo para la identidad de paralelogramo:

x = 1 0



, y = 0 1



, kx + yk²₁+ kx − yk²₁ = 8, 2(kxk²₁+ kyk²₁) = 4.

Angulo entre dos vectores en un espacio real con producto interno ´

14. Definici´on (´angulo entre dos vectores en un espacio real con producto interno). Sea V un espacio vectorial real con producto interno y sean u, v vectores no nulos en V . El ´angulo entre u y v, denotado por ∠(x, y), se define como

∠(x, y) = arc cos hx, yi kxk kyk.

La desigualdad de Schwarz garantiza que el cociente _{kxk kyk}^hx,yi toma valores entre −1 y 1, por eso el arc cos de este cociente est´a bien definido.

15. Ejercicio. En el espacio Rⁿ con el producto interno can´onico consideremos dos vec- tores:

u = e₁ =1, 0, . . . , 0^>, v = e₁+ e₂+ . . . + e_n=1, 1, . . . , 1^>.

Notemos que e1 es un lado del cubo unitario y v es la diagonal de este cubo. Calcule

∠(u, v). Calcule el l´ımite de ∠(u, v) cuando n → ∞.

Norma y distancia inducidas por un producto interno, p´agina 3 de 4

Definici´ on general de distancia

Recordemos la definici´on general de distancia.

16. Definici´on (distancia). Sea X un conjunto. Una funci´on d : X × X → R se llama distancia o m´etrica en X si cumple con las siguientes propiedades (axiomas de m´etrica):

1. d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X.

2. Si x, y ∈ X y d(x, y) = 0, entonces x = y.

3. d(x, y) = d(y, x) para todos x, y ∈ X.

4. Desigualdad triangular :

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X.

Si d es una m´etrica en X, entonces se dice que (X, d) es un espacio m´etrico.

Distancia inducida por una norma

17. Proposici´on (de la distancia inducida por una norma). Sea V un espacio vectorial real o complejo y sea k · k una norma en V . Entonces la funci´on d : V × V → R definida mediante la siguiente regla es una distancia en V :

∀x, y ∈ V d(x, y) := kx − yk.

18. Ejercicio. Demuestre la proposici´on.

19. Definici´on (distancia inducida por una norma). Sea V un espacio vectorial con una norma k · k. La distancia (m´etrica) inducida por la norma k · k se define mediante la siguiente f´ormula:

d(x, y) := kx − yk.

20. Resumen. Un espacio vectorial real o complejo con un producto interno h·, ·i se puede considerar como un espacio normado con la norma

kxk :=phx, xi y como un espacio m´etrico con la m´etrica

d(x, y) := kx − yk =phx − y, x − yi.

La norma se puede expresar a trav´es de la m´etrica mediante la f´ormula kxk = d(x, 0), y el producto interno se puede expresar a trav´es de la norma mediante la identidad de polarizaci´on.

Norma y distancia inducidas por un producto interno, p´agina 4 de 4