2.0 VECTORES. Figura 2.1. Representación de un vector

15

2.0 VECTORES

2.1 CANTIDADES ESCALARES: son aquellos que solo se refiere a una magnitud y su respectiva unidad, tales como la masa, la temperatura, la distancia etc.

2.2 CANTIDADES VECTORIALES: además de la magnitud, posee dirección, tales como:

desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, etc.

2.2,1 Características de un vector: Se representa mediante una flecha dirigida hacia un lugar en el espacio. Se distingue mediante letras mayúsculas en negrilla y cursiva con una flecha encima (figura 2.1).

Figura 2.1. Representación de un vector

La magnitud del vector o módulo del vector es la longitud del vector, se representa mediante dos barras o simplemente la letra en cursiva sin negrilla y sin flecha encima:| A ^r | = A. La cabeza o punta indica en qué dirección se dirige.

2.2.2 Propiedades de los vectores:

2.2.2.1 Vectores paralelos: son aquellos vectores que poseen la misma dirección y pueden tener la misma magnitud o diferente (figura 2.2):

Figura 2.2. Vectores paralelos

2.2.2.2 Vectores antiparalelos: son aquellos vectores que apuntan en direcciones opuestas, pueden tener la misma magnitud o diferente (figura 2.3).

Figura 2.3. Vectores antiparalelos

16

2.2.2.3 Vectores iguales: son vectores paralelos que poseen la misma magnitud (figura 2.4) A r

= B r .

Figura 2.4. Vectores iguales.

2.2.2.4 Vectores Opuestos: son vectores antiparalelos que poseen la misma magnitud.

A r

su opuesto  A r

. A r    A r A

Figura 2.5. Vectores opuestos.

2.2.3 SUMA DE VECTORES

En la suma de vectores se emplea dos métodos:

2.2.3.1 Método del polígono: consiste en unir la cabeza del primer vector con la cola del siguiente vector, y así sucesivamente, el vector suma es entonces la unión de la cola del primer vector con la cabeza del último vector.

Ejemplo 2.1. Hallar la resultante de los siguientes vectores: R r     A B C r r r D r , si:

Figura 2.6. Vectores en el plano.

17

Figura 2.7.Vector resultante (método del polígono)

2.2.3.2 Método del paralelogramo. Se tienen dos vectores unidos con las colas, la resultante se dibuja a partir de la unión de las dos colas hasta donde se interceptan las proyecciones de los dos vectores, formando así un paralelogramo.

Ejemplo 2.2. Hallar la resultante de los siguientes vectores: R r   A r B r , si:

Figura 2.8. Vectores en el plano

Figura 2.9. Vector resultante (diagonal - paralelogramo)

18

2.2.4 RESTA DE VECTORES Para restar dos vectores A r

y B r

, se suma el vector A r

con el opuesto del vector B r

, esto es, ( ) =

A r   B r A B r  r

(figura 2.10)

Ejemplo 2.3: Hallar la resultante de los siguientes vectores(figura 2.10), A r   B r R r , si

Figura 2.10. El opuesto del vector B r

Figura 2.11. Resta de vectores Como se puede observar en la figura 2.11, la diagonal (resultante) se puede trasladar en las puntas de los vectores A r

y B r

(figura 2.12) y se obtiene.

Figura 2.12. Vector resultante en la punta de los vectores A r y B r 2.2.5 ESCALAR POR UN VECTOR. k B r  R r

Donde k representa el número de veces el vector,

19

Ejemplo 2.4: Hallar 3B r , 1

2 B r

(a) (b)

Figura 2.13. (a) Vector dado. (b) las resultantes.

Ejemplo 2.5:

Calcular las siguientes operaciones vectoriales de suma y resta donde A  , B 

y C 

son los vectores que se muestran en la figura 2.14:

a) A  + B 

; b) A  + B 

+ C 

; c) A  - B 

, d) A  + B 

- C  e) A 

+ 3 B  - ¹

2 ( C  - 3 D 

+ A  )

B 

D  A 

C 

Figura 2.14. Vectores dados.

20

Figura 2.15. Resultante de los vectores 2.2.6. COMPONENTES DE UN VECTOR.

Partimos de un sistema coordenado (plano cartesiano). Se dibuja un vector _c y las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados, dichos vectores se llaman componentes del vector, y se rotulan como A r

y A r

, éstos vectores son paralelos a los ejes coordenados, y la suma vectorial de las componentes corresponde al vector A r

, es decir:

A r  A r

 A r

(1.1)

Figura 2.15. Componentes de un vector

21

El vector A r

apunta hacia el eje positivo de las x , su magnitud corresponde A

, número siempre positivo; si el vector A r

apunta hacia el eje negativo de las x, A

es igual al negativo de dicha magnitud, de igual forma para A r

. Entonces A

y A

son las componentes de A r

.

De acuerdo a la figura 2.15 el ángulo c (letra griega “theta”) describe la dirección del vector medido a partir del eje positivo de las x, en la figura 2.15, el  es positivo, puesto que su rotación va de +x a +y ; si la rotación va de +x al eje –y, entonces  es negativo. De acuerdo al plano cartesiano el eje +y está a 90,0

medio a partir de +x, -x está a 180

y 270

si es –y.

Las magnitudes de las componentes del vector se deben tener en cuenta las definiciones de las funciones trigonométricas, en la figura 2.15 tenemos las siguientes relaciones:

cos   A

A ^, sen A

  A entonces: A

 A cos  y A

 A sen  (1.2)

Estas relaciones se cumplen siempre y cuando el  es medido a partir del eje positivo de las x, de lo contrario las relaciones son distintas.

Ejemplo 2.6:

Hallar las magnitudes de las componentes de A r

, de la siguiente figura.

(a) (b)

Figura 2.16. (a) Signos de la componentes y vector de magnitud 15,0 cm. (b) magnitudes de las componentes del vector A r

Solución: desde el punto analítico, según la figura 2.16 (a) el ángulo medido es a partir del eje positivo de las x hacia el eje positivo de las y, por lo que se encuentra en el primer cuadrante:

 15 0cm cos30 0 

13 0cm

A

 , ,  , y A

  15 0cm sen30 0 ,  ,

 7 50cm ,

22

Ejemplo 2.7:

a) Obtenga las componentes x y y de B r

en la figura 2.17 a, la magnitud del vector es B = 13,0 m y el ángulo es   52 0 ,

. b) Obtenga las componentes de r

C en la figura 2.17 b, la magnitud C es 15,6 m/s y   54 0 ,

(a) (b)

Figura 2.17. (a). Signos de las componentes de B . (b) Signos de las componentes de C Solución:

Para la figura 2.17 a). Tenemos: B

= (-13,0 cm) cos52,0

 -8,00 cm B

= (-13,0 cm) sen52,0

 -10,2 cm El ángulo esta medido a partir del eje negativo de las x.

Para la figura 2.17 b). Hay que tener en cuenta la posición del ángulo, para el cálculo correcto de las funciones trigonométricas, en éste caso el ángulo se encuentra sobre el eje de las y, por tal razón la componente en x le corresponde la función seno y la componente en y, la función coseno, así:

C

= (-15,6 m/s)sen54,0

 -12,6 m/s C

= (15,6 m/s)cos54,0

 9,17 m/s

También se puede calcular, las componentes si tomo el ángulo a partir del eje positivo de las x hasta el vector, dicho ángulo es 90,0

+  = 90,0

+ 54,0

= 144

, entonces los cálculos respectivos de las componentes son:

C

= (15,6 m/s)cos144

 -12,6 m/s

23

C

= (15,6 m/s)sen144

 9,17 m/s Ejemplo 2.8:

Hallar la resultante de las siguientes fuerzas vectoriales (figura 2.18a), utilizando el método del paralelogramo (figura 2.18b): 50,0N a 36,0

y 30,0N a 130

.

(a) (b)

Figura 2.18. (a) Fuerzas Vectoriales. (b) La diagonal representa la resultante F ^r . Solución:

Se calcula las componentes de las fuerzas:

Para F

:

F

=F

cos130

= (30,0 N)(cos130

)  -19,3 N F

=F

sen130

= (30,0 N)(sen130

)  23,0 N Para F

:

F

=F

cos36,0

= (50,0 N)(cos36,0

)  40,5 N F

=F

sen36,0

= (50,0 N)(sen36,0

)  29,4 N Las componentes de la resultante F ^r son:

F

= F

+ F

= -19,3 N + 40,5 N = 21,2 N F

= F

+ F

= 23,0 N + 29,4 N = 52,4 N.

La magnitud de F ^r es: F  F

 F

  ^{21 2 N} ,  

 ^{52 4 N} , 

 ^{56 5 N} ,

24

La dirección del vector resultante: tan

^{52 4} 68 0

21 2

, ,

 

^   , ^    , medido sobre el eje +x 2.2.6.1 Vectores Unitarios:

Los vectores unitarios tienen un único fin, es direccionar, es decir describir una dirección en el espacio, su magnitud es igual 1, carece de unidades. Con la notación de vectores unitarios es una forma cómoda y elegante de representar un vector, se representa por medio de un circunflejo (^) sobre el símbolo de un vector unitario, distinguiéndolo de los vectores ordinarios cuya magnitud puede o no ser igual a 1.

En el sistema coordenado, en forma general, definimos el vector unitario  ˆ que apunte en la dirección +x , el vector unitario ˆj apunte en la dirección +y , y el vector unitario ˆk , apunte en la dirección +z (en el espacio). (figura 2.19)

Figura 2.19. Vectores unitarios direccionando en el espacio.

Entonces los vectores descritos anteriormente (1.1), los podemos expresar:

A  r

A

 ˆ r 

A

A

ä (1.3) Podemos escribir el vector A r

en términos de sus componentes:

25

A r

= A

 ˆ + A

ä (1.4)

Figura 2.20. A r

en términos de sus vectores unitarios, en el plano.

Si expresamos los vectores A r y B r

en términos de sus vectores unitarios (en el plano), la resultante también se expresa en términos de estos vectores:

A r

= A

 ^ˆ + A

ä B r

= B

 ˆ + B

ä La resultante: R r   A r B r R  r

A

 ˆ + A

ä + B

 ˆ + B

ä R  r

( A

+ B

) ˆ  + ( A

+ B

) ä

R  r

R

 ˆ ₊ R

ä (1.5)

La magnitud de R r

: R  R

 R

Si los vectores se encuentra en el espacio, entonces sus componentes:

A r

= A

 ˆ + A

ä + A ˆk

B r

= B

 ˆ + B

ä + B ˆk

(1.6) R  r

( A

+ B

) ˆ  + ( A

+ B

) ä+ ( A

+ B

) ˆk R  r

R

 ˆ ₊ R

ä + R

ˆk (1.7)

Ejemplo 2.9:

26

Un automovilista sale de una estación, avanza 10,0 km a 20,0

al norte del este, luego 12,0 km a 36,0

norte del este, después toma un rumbo a 30,0

al norte del oeste y recorre 8,00 km, luego avanza a 18,0 km al oeste, y finalmente recorre 24,0 km a 26,0

al oeste del sur.

Use el método de componentes para determinar la magnitud y dirección del vector resultante, dibuje el diagrama de la suma vectorial.

Solución:

En este caso se asume que sobre el eje +x es el este, sobre el eje –x es el oeste, sobre el eje +y es el norte, y sobre el eje –y es el sur, que es lo usual en los mapas.

Para A r :

Sea A = 10,0 km (magnitud del vector A 

); sus componentes son:

A

= (10,0 km)(cos20,0

) = 9,40 km, A

= (10,0 km)(sen20,0

) = 3,42 km En función de sus vectores unitarios, el vector A 

se expresa:

r

A =( 9,40 km) _ˆ  +(3,42 km) _ä Para B r

:

Sea B = 12,0 km (magnitud); componentes del vector B 

a 36,0

B

= (12,0 km)(cos36,0

)= 9,71 km; B

= (12,0 km)(sen36,0

) = 7,05 km.

En función de sus vectores unitarios, el vector B r

se expresa:

B r

=( 9,71 km) _ˆ  +(7,05 km) _ä Para C r

:

Sea C = 8 km (magnitud); componentes del vector C 

a 30,0

C

= (-8km)(cos30,0

)= -6,93 km; C

= (8,00 km)(sen30,0

) = 4,00 km.

En función de sus vectores unitarios, el vector C r

se expresa:

C r

= ( 6,93 km)  ˆ +(4,00 km) _ä Para D r

:

Sea D = 18,0 km (magnitud); componentes del vector D  a 180

D

= (18,0 km)(cos180

)= -18,00 km; D

= 0.

En función de sus vectores unitarios, el vector D r

se expresa:

D r

= ( -18,0 km)  ^ˆ +(0,00 km) _ä Para E r

:

Sea E = 24,0 km (magnitud); componentes del vector E r

a 26,0

al oeste del sur:

E

= (–24,0 km)(sen26,0

)= –10,5 km; E

= (–24,0 km)(cos26,0

) = –21,6 km.

27

En función de sus vectores unitarios, el vector E r

se expresa:

E r

= ( –10,5 km)  ˆ +(–21,6 km) _ä Entonces las componentes de la resultante: R

R

= 9,40 km + 9,71 km – 6,93 km – 18,00 km – 10,5 km = – 16,3 km.

R

= 3,42 km + 7,05 km + 4,00 km + 0,00 -21,6 km = – 7,13 km.

En función de sus vectores unitarios, la resultante se expresa:

R r = ( – 16,3 km)  ˆ +(–7,13 km) _ä o R ^r = 16,3 km (–  ˆ ) +7,13 km(– ä )

La magnitud del vector resultante es:

2 2

16 3 km 7 13 km 17 8 km

( , ) ( , ) ,

R     

y la dirección: tan (

^7,13 ) 23, 6

16, 3





 

  al sur del oeste, ó 203

medido sobre el eje +x.

Figura 2.21. Ejemplo 2.9

Ejemplo 2.10:

28

Si r

A = 6,00 ˆ  -8,00 ä unidades, r

B = (-8,00 ˆ  +3,00 ä) unidades y r

C = (26,0 ˆ  +19,0 ä) unidades, determine los valores de a y b de forma tal que a r

A +b r B + r

C = 0.

Solución:

A r = 6,00 ˆ  -8,00 ä;

B r = (-8,00 ˆ  +3,00 ä); r

C = (26,0 ˆ  +19,0 ä) a r

A +b r B + r

C = 0

ˆ ˆ ˆ

(6, 00 a 8, 00 a ) ( 8, 00 b 3, 00 b ) (26, 0 19, 0 ) 0

   ä     ä    ä 

ˆ ˆ

(6, 00 a  8, 00 b  26, 0)    ( 8, 00 a  3, 00 b  19, 0) ä  (0   0 ) ä

6, 00 8, 00 26, 0 0 8, 00 3, 00 19, 0 0

a b

a b

  

     6, 00 8, 00 26, 0

8, 00 3, 00 19, 0

a b

a b

  

   

 26, 0 8, 00 6, 00 a    b

26, 0 8, 00 104 32, 0 9, 00

8, 00 3, 00 19, 0 19, 0

6, 00 3, 00 3, 00 3, 00

b b b

  b

 

          

 

23, 0 57, 0 104 161 7, 00

23, 0

b b b

        

26, 0 8, 00 7, 00

5, 00 6, 00

a    a

    Entonces: 5, 00 A r  7, 00 B C r   r 0

2.2.7. PRODUCTO DE VECTORES

La multiplicación de vectores no se realiza común y corriente, como el producto de dos números, para ello hay dos tipos de productos, un producto escalar o producto punto, cuyo resultado es un escalar y el producto vectorial o producto cruz dando como resultado otro vector.

2.2.7.1 Producto Escalar o producto punto:

Se tiene dos vectores A ^r y B r

, la cual se denota como A B r r

g , se define como la magnitud de r A multiplicada por la magnitud B r

por el coseno del ángulo  comprendido entre ellos.

29

Se dibuja uniendo la cola de ambos vectores, y entre ellos se forman un  , que varía entre 0

y 180

. La componente del vector A ^r (A cos  ) es la proyección sobre la dirección del vector

B r

figura (figura 2.22 b).

(a) (b) (c)

Figura 2.22 a). Vectores unidos por un punto en común, definición de producto escalar. b) Proyección de la componente de A ^r sobre B r

. c) proyección de la componente de B r

sobre A r .

De acuerdo a la figura 2.22 c, la componente del vector B r

(Bcos) es la proyección sobre la dirección del vector A ^r

Se tiene entonces A B r r

g = ABcos (1.8) Para dos vectores cualesquiera A ^r y B r

se tiene ABcos = BAcos (1.9), es decir que A B r r g

= B A r r

g dicho producto punto obedece a ley conmutativa de la multiplicación.

Si  = 0, entonces A B r r

g = AB , A ^r es paralelo a B r . Si  = 90,0

, entonces A B r r

g = 0, el producto punto de dos vectores perpendiculares es siempre cero.

Si 90,0

< < 180

, entonces r r  0 g

A B (negativo), y el producto A B ^r g ^r es positivo si 0

< <

90,0

.

Con el uso de los vectores unitarios y la ecuación 1.8, podemos definir los siguientes productos escalares, si dichos vectores son mutuamente perpendiculares, entonces:

 ˆ g ä   ˆ g k ˆ  ä g k ˆ  (1)(1)cos90,0 =0

(1.20) Si son paralelos tenemos:   ˆ ˆ g  ä ä g  k k ˆ ˆ g  (1)(1)cos0 =1

(1.21) De acuerdo a la ecuación 1.20 y 1.21, podemos escribir el producto punto A B r r

g , en términos de sus componentes, expandimos el producto, y el producto de estos vectores unitarios es:

A B  r r

g  ^A

^{Ð  A}

^{ä  A}

^{k ˆ}   ^{g B}

^{Ð  B}

^{ä  B}

^{k ˆ} 

30

A B  r r

g A B

 A B

 A B

(producto escalar en términos de sus componentes) (1.22)

Ejemplo 2.11:

Sea la siguiente figura 2.23, obtener el producto escalar, si sus magnitudes correspondientes, A = 10,0 y B = 8,00.

Figura 2.23. Vectores en plano Solución:

Este problema se puede resolver por dos métodos:

Método 1: hallando el ángulo  , luego empleando la ecuación 1.8.

Como se puede ver en la figura 2.23, el ángulo  (ángulo entre los vectores) es:

 = 126

- 30,0

= 96,0

, así que:

A B  r r

g ABcos = (10,0)(8,00)cos96,0

 -8,36 , es negativo porque el ángulo esta comprendido entre 90,0

y 180

.

Método 2: por componentes de los dos vectores, se halla dichos valores, luego empleamos la ecuación 1.22, esto es:

Componentes del vector A ^r :

A

= (10,0)cos30,0

 8,66; A

= (10,0)sen30,0

= 5,00; A

= 0 Componentes del vector B ^r :

B

= (8,00)cos126

 -4,702; B

= (8,00)sen126

 6,472; B

= 0 Empleando la ecuación 1.22, tenemos:

A B  r r

g (8, 66)( 4, 702) (5, 00)(6, 472) (0)(0)      8,36

31

2.2.7.2 Producto Vectorial o Producto Cruz de dos Vectores:

El producto vectorial o producto cruz la cual se escribe r  r

A B , y se lee A cruz B, se define como un vector perpendicular a A ^r y B ^r con magnitud ABsenc esto es:

r   r r

A B C cuya magnitud es, C = ABsen (1.23) Donde  es el ángulo comprendido entre A y B.

Si  = 0 es porque r

A es paralelo a B ^r , de igual forma si  =180

, en este caso r

A y B ^r , son antiparalelos.

Si  = 90,0

, el producto cruz A B r  r

es máximo, el vector r

A es perpendicular a B ^r , e igual AB.

Hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, del vector r

A hasta el vector B ^r , como se muestra en la figura 2.23a, dicha dirección

se le conoce como la regla de la mano derecha.

(a) (b)

Figura 2.23. a) Dos vectores en plano, direccionando con la regla de la mano derecha. b) El giro horario muestra que el vector cruz es anticonmutativo.

De igual forma determinamos la dirección B A r  r

girando r

B hacia A ^r , ver figura 2.23 b, como se puede observar el tercer vector es el opuesto a A B r  r

, entonces el producto cruz no obedece a la ley conmutativa, así que:

A B r     r B A r r

(1.24) El producto vectorial, se resuelve con el siguiente determinante:

A B r   r

ˆ ˆ

ˆ ˆ

( ) ( ) ( )

x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

A A A A B A B A B A B A B A B B B B

     



 ä

ä k

k _(1.25)

Como A B r   r C r

, se tiene que C r ˆ ˆ



 C

 C

ä  C k

en términos de sus componentes.

32

Según la ecuación 1.25, el vector C r

, cada componente es:

 

 

 

x y z z y

y z x x z

z x y y x

C A B A B C A B A B C A B A B

(1.26) Si un vector es paralelo o antiparalelo a otro vector, como ya se había mencionado antes es

igual a cero, si aplicamos a los vectores unitarios la ecuación 1.23, entonces:

(1)(1) sin 0

0

  

Ð Ð así que: ä ä k k     ^ˆ ˆ 0

De acuerdo a la ecuación 1.23 y 1.24, y siguiendo la regla de la mano derecha, (figura 2.24) tenemos:

(1.27)

(a) (b) Figura 2.24 Sistema de coordenadas al derecho. a) sentido antihorario b) sentido horario

Ejemplo 2.12:

Dos vectores A  y B 

(figura 2.25) tienen magnitudes A = 3,00 y B = 4,00 , el vector B 

esta sobre el eje z y el vector A 

se encuentran sobre el plano y z , formando un ángulo de 36,0

sobre el eje + z , hallar el producto r  r

A B :

ˆ ˆ

ˆ ˆ

  ˆ   

    

    

Ð Ð

k k

k Ð Ð

k

k Ð

ä ä

ä ä

ä

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

    

    

  



  

Ð k

k k

Ð Ð

Ð k ä k Ð

ä ä

ä ä

33

Figura 2.25. El producto cruz C r   A B r r

, el vector A 

se encuentra en el plano y z.

Solución

Podemos solucionar de dos formas, una de ellas calculando las componentes de cada vector, luego utilizando la ecuación 1.25, encontramos el producto r  r

A B . La segunda forma es aplicar la ecuación 1.23, tenemos las magnitudes y el ángulo, así determinamos el producto

r  r A B .

En la primera forma, hallamos las componentes respectivas de cada vector:

A

= 3,00 sen 36,0

 1,763; A

= 3,00 cos 36,0

2,43 y A

= 0 B

= 4,00; B

= 0 y B

= 0

Aplicando las ecuaciones (1.27):

(1, 763)(4, 00) (3, 00)(0) 7, 05 (2, 43)(0) (0)(4, 00) 0

(0)(0) (1, 763)(0) 0

  

  

  

x y z

C C C

Entonces, solo tiene una sola componente, sobre el eje +x, por lo tanto:

(7, 05) A B r   r

Ð

Por la segunda forma, aplicamos la ecuación 1.23, tenemos:

34

ABsen36,0

= (3,00)(4,00)sen36,0

 7,05, Entonces aplicando la regla de la mano derecha:

(7, 05) A B r   r

Ð