1. Ejercicios propuestos

Coordinación de Matemática I (MAT021)

1er Semestre de 2015

Semana 4: Guía de Ejercicios de Complementos, lunes 30 de Marzo  viernes 3 de Abril.

Clase 1: Funciones trigonométricas.

Clase 2: Funciones sinusoidales y ecuaciones trigonométricas.

Contenidos

1. Ejercicios propuestos

1.1. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas a) 3 sec2_{(x) + 4 cos}2_{(x) = 7} b) (tan (x) − 1)(2 sin (x) + 1) = 0 c) 2 sin2_{(x) − sin (x) − 1 = 0} d) 2 sin (x) + csc (x) = 3 e) cos θ − sin θ = _√1 2 f) sec (4x) − sec (2x) = 2

1.2. Dada f(x) =√3 sin(2x) + cos(2x)

a) Determine amplitud, período y ángulo de fase. b) Gracar f en un periodo. 1.3. Resolver: 2 Arcotan 1 − x 1 + x  = Arcosen  x √ 1 + x2 

2. Ejercicios propuestos que incluyen respuesta

2.1. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) cot (α − 2x) + tan (γ − 4x) = 0

b) 2 cos2_{(x) + 7 sin (x) − 5 = 0}

c) 2 sin (x) cos (x) = 1

2.2. El proceso rítmico de respiración consiste en intervalos alternos de inhalación y exhalación. Por lo general, un ciclo completo tiene lugar cada 5 segundos. Si F (t) denota el volumen de circulación de aire en el instante t (en litros por segundo), y si el volumen máximo s 0, 6 litros por segundo, encuentra la fórmula de la forma F (t) = a sin (bt) que se adapte a esta información.

2.3. Encuentre la amplitud, el periodo, el ángulo de fase y represente gracamente f en un periodo si: f (x) = cos (π − 2x) −√3 cos2x +π 2  2.4. Resolver: Arcotan(x) + 2 Arcotan(1) = 3π 4 2.5. Pruebe que para todo x, y ∈ R tales que xy < 1:

Arcotan(x) + Arcotan(y) = Arcotan x + y 1 − xy  2.6. Sea f (x) = Arcosen  ax 1 + |x| 

con a > 0. Determine el dominio de la función f(x) 2.7. Sea f(x) = cos 3x −π

2
+

√

3 cos (3x + π) a) Determine período y ángulo de fase de f

3. Ejercicios resueltos

3.1. Determine el conjunto solución de la ecuación trigonométrica: tan3x + tan2x − 3 tan x − 3 = 0 3.2. Determine el conjunto solución de la ecuación trigonométrica

2 arctan(cos(x)) = arctan(2 csc(x))

Respuestas y desarrollos

2.1 a) x = 45◦_±γ−α 2 ± 90 ◦ n, n ∈ Z b) x1= 30◦± 360◦n, x2= 150◦± 360◦n, n ∈ Z c) x1= 45◦± 360◦n, x2= 135◦± 360◦n, x3= 225◦± 360◦n, x4= 315◦± 360◦n, n ∈ Z d) x = 45◦_{± 180}◦ n, n ∈ Z e) π 3 + kπ, 2π 3 + kπ, 7π 12+ 2kπ; 13π 12 + 2kπ k ∈ Z 2.2 F (t) = 0, 6 sin 2π 5 t
2.3 2, π y −π 12. 2.4 {1} 2.5 2.6 R si a ≤ 1 yh−1 a−1, 1 a−1i si a > 1 2.7 a) 2π 3, − π 9 b) 11π 18, 23 18, 35π 18

3.1 Sea t = tan x, entonces la ecuación se escribe como la siguiente ecuación cúbica: t3+ t2− 3t − 3 = 0.

Al factorizar (por ejemplo, método de Runi) la ecuación cúbica nos da: (t + 1)(t −√3)(t +√3) = 0. De esta expresión obtenemos:

t = −1, ó t =√3, ó t = −√3. Pero t = tan x, entonces

tan x = −1, ó tan x =√3, ó tan x = −√3. Luego, los valores de x en el intervalo (−π

2, π

2)que satisfacen esta igualdad son:

x = −π 4, ó x = π 3, ó x = − π 3. Por tanto, por la periodicidad de la tangente, el conjunto solución es:

CS :=n−π 4 + kπ : k ∈ Z o ∪nπ 3 + kπ : k ∈ Z o ∪n−π 3 + kπ : k ∈ Z o . 3.2 Sean α = arctan(cos(x)) y β = arctan(2 csc(x)), entonces

tan(α) = cos(x) y tan(β) = 2 csc(x).

Como 2α = β, entonces tan(2α) = tan(β). Usando ahora la denición del ángulo doble de la función tangente se obtiene:

2 tan(α)

1 − tan2(α) = tan(β). Pero, tan(α) = cos(x) y tan(β) = 2 1

sen(x), entonces

2 cos(x)

De esta última expresión, se debe de tener en cuenta que sen(x) 6= 0. Por tanto, tan(x) = 1.

Luego, el valor de x en el intervalo (−π 2,

π

2)que satisface esta igualdad es: x = π

4. En consecuencia, por la periodicidad

de la tangente, el conjunto solución es:

CS :=nπ 4 + kπ : k ∈ Z o . 3.3 sin(4x) + sin(2x) = 0 2 sin(2x) cos(2x) + sin(2x) = 0 sin(2x)(2 cos(2x) + 1) = 0, de donde obtenemos las siguientes dos ecuaciones:

sin(2x) = 0 ⇔ 2x = kπ, k ∈ Z es decir x = kπ

2 , k ∈ Z de estas soluciones aquellas que pertenecen al intervalo [0, 2π)son x = 0,π 2, π, 3π 2 2 cos(2x) + 1 = 0 ⇔ cos(2x) = −1 2 ⇔ 2x = 2π 3 + 2nπ o 2x = 4π 3 + 2nπ, con n ∈ Z, es decir x = 2π 3 + nπo x = −4π

3 + nπ, con n ∈ Z. De estas soluciones, aquellas que pertenecen al intervalo [0, 2π) son π 3, 2π 3 , 4π 3 , 5π 3 . Así, las soluciones son x1= 0, x2=

π 2, x3= π, x4= 3π 2 , x5= π 3, x6= 2π 3 , x7= 4π 3 , x8= 5π 3 . 3.4 Como α + β = π 3 ⇒ α = π 3 − b, entonces sin(α) − sin(β) cos(β) − cos(α) = sin π₃ − β
− sin(β) cos(β) − cos π₃ − β
= sin π

3
· cos(β) − sin(β) · cos π

3
− sin(β)

cos(β) − cos π₃
· cos(β) − sin π

3
· sin(β) = √ 3 2 · cos(β) − sin(β) · 1 2− sin(β) cos(β) −1₂· cos(β) − √ 3 2 · sin(β) = 1 2( √ 3 cos(β) − 3 sin(β)) 1 2(cos(β) − √ 3 sin(β)) · cos(β) +√3 sin(β)) cos(β) +√3 sin(β)) = √

3 cos2_{(β) + 3 sin(β) cos(β) − 3 sin(β) cos(β) − 3}√_{3 sin}2_(β)

cos2_{(β) − 3 sin}2 (β) = √ 3(cos2(β) − 3 sin2(β)) cos2_{(β) − 3 sin}2_(β) = √3 3.5

2 sin2x = 4 − 5 cos x ⇔ 2 cos2(x) − 5 cos(x) + 2 ⇔ (2 cos(x) − 1)(cos(x) = 2) = 0 cos(x) = 2no puede ser, luego queda: