UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

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Facultad de Ciencias Administrativas Administración Mención Gerencia y Mercadeo

UNIDAD I

FUNDAMENTOS BÁSICOS

Elaborado por: Ing. Ronny Altuve

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Prof. Ronny Altuve Raga | ronnyaltuve.wordpress.com

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ÁLGEBRA

Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

El concepto de la cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética. En aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20.

En álgebra, para la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, “a” representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

NOTACIÓN ALGEBRAICA

Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…

Las cantidadesdesconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: a’, a”, a’’’, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo, a₁, a₂, a₃, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

SIGNOS DEL ÁLGEBRA

Los signos empleados en álgebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

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SIGNOS DE OPERACIÓN

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, que se indican con los signos siguientes:

El signo de la suma es +, que se lee más. El signo de la resta es – , que se lee menos.

El signo de la multiplicación se denota con un punto entre los factores. También se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal el signo de la multiplicación suele omitirse. Así abc equivale a a x b x c; 5xy equivale a 5 x X x y.

El signo de la división es ÷, que se lee dividido entre.

El signo de la elevación a potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad.

El signo de Raíz es √, llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz.

SIGNOS DE RELACIÓN

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:

=, que se lee igual a >, Que se lee mayor que. <, Que se lee menor que.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario, el paréntesis angular o corchete y las llaves. Estos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a + b)c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia de a y b debe multiplicarse por m; {a + b} ÷ {c – d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

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SÍMBOLOS MÁS COMUNES

Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y en general en teoría de conjuntos y álgebra de conjuntos — con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando. Aquí algunos ejemplos:

Simbología de Conjuntos

Símbolo Descripción

{} Conjunto

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.

∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.

∪ Unión de conjuntos

∩ Intersección de conjuntos.

Φ Conjunto Vacío

⊆ Subconjunto de-

⊂ Subconjunto propio de-

⊄ No es subconjunto propio de-

> Mayor que.

< Menor que.

≥ Mayor o igual que.

≤ Menor o igual que.

= Igualdad ≠ No es igual a. … El conjunto continúa ⇔ Si y solo sí. ∧ Y ∨ O CONJUNTOS NUMÉRICOS

a) Los Números Naturales (N): Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Observaciones:

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5 La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.

7 − 1 = 6 є N 3 − 5 = - 2 N

El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2 = 3 є N 2 : 6 N

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.

b) Los números enteros (Z): Losnúmeros enterosson del tipo: Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Observaciones:

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.

El cociente de dos números enteros nosiempre es un número entero, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2 Z 2 : 6 Z

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.

La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.

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c) Los Números Racionales (Q): Se llamanúmero racionala todo número que puede representarse como elcociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Observaciones:

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia,el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

d) Los Números Irracionales (I): Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

π= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

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7 e) Los Números Reales (R): El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Operaciones Básicas con Fracciones Número mixto

Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.

𝑎𝑏 𝑐 =

𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 𝑐

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Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

𝑎 𝑏=

𝑐

𝑑 𝑠𝑖 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 Reducción de fracciones a común denominador

1) Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2) Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

Suma y resta de fracciones

1) Con el mismo denominador: Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. 𝑎 𝑏+ 𝑐 b= 𝑎 + 𝑐 𝑏 ó 𝑎 𝑏− 𝑐 𝑏= 𝑎 − 𝑐 𝑏

2) Con distinto denominador: En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. 𝑎 𝑏+ 𝑐 d= 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 𝑏 ∙ 𝑑 ó 𝑎 𝑏− 𝑐 d= 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐 𝑏 ∙ 𝑑 Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene: a) Por numerador el producto de los numeradores b) Por denominador el producto de los denominadores

𝑎 𝑏∙ 𝑐 d= 𝑎 ∙ 𝑐 𝑏 ∙ 𝑑

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División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene: a) Por numerador el producto de los extremos b) Por denominador el producto de los medios

𝑎 𝑏: 𝑐 d= 𝑎 ∙ 𝑑 𝑏 ∙ 𝑐 POTENCIACIÓN

Potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces.

La primera potencia de una expresión es la misma expresión. Así (2𝑎)1 = 2𝑎.

La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos veces. Así, (2𝑎)2 = 2𝑎 ∙ 2𝑎 = 4𝑎2.

El cubo de una expresión es el resultado de tomarla como factor tres veces. Así, (2𝑎)3 = 2𝑎 ∙ 2𝑎 ∙ 2𝑎 = 8𝑎3

Signo de las Potencias

Cualquier potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva, porque equivale a un producto en que todos los factores son positivos. En cuanto a las potencias de una cantidad

negativa, se debe tomar en cuenta que:

1) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva. 2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

Operaciones con Potencias

Producto de potencias con igual base

El producto de potencias con igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores.

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División de potencias con igual base

El cociente de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y el divisor.

𝑎𝑚_{: 𝑎}𝑛 _{= 𝑎}𝑚−𝑛 Potencia de una Potencia

La potencia de una potencia de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(𝑎𝑚₎𝑛 _{= 𝑎}𝑚∙𝑛 Potencia de un Producto

La potencia de un producto es el producto de las potencias. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 _{= (𝑎)}𝑛_{∙ (𝑏)}𝑛 Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias. (𝑎: 𝑏)𝑛 _{= (𝑎)}𝑛_{: (𝑏)}𝑛

Exponente Cero

Todo número diferente de cero que sea elevado a la cero es igual a 1. (𝑎)0 _{= 1}

Exponente Uno

Todo número que sea elevado a la 1 es igual a sí mismo. (𝑎)1 _{= 𝑎} POLINOMIOS

Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios.

Operaciones Básicas con polinomios Suma de polinomios

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).

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Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2. Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3. Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

Resta de polinomios

Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

Es una operación que tiene por objeto, dadas las cantidades llamadas multiplicando y

multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.

Observaciones:

El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en aritmética, se cumple también en álgebra.

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12 Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el

producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición, se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.

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Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x

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14 Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve

para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 −3x2 +2) : (x −3)

1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

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15 3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiendiente del divisor.

4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6. Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8. El último número obtenido, 56, es el resto.

9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Factores

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. De otro modo, descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles:

1) Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio, consiste en aplicar la propiedad distributiva.

𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) Una raíz del polinomio será siempre x = 0

2) Igualdad notable

a. Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

𝑎2_{− 𝑏}2 _{= (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏)}

b. Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

𝑎2_{± 2𝑎𝑏 + 𝑏}2 _{= (𝑎 ± 𝑏)}2

c. Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las

soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será: 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥}

1) ∙ (𝑥 − 𝑥2)

d. Suma o diferencia de Cubos perfectos:

𝑎3_{− 𝑏}3 _{= (𝑎 − 𝑏)(𝑎}2_{+ 𝑎𝑏 + 𝑏}2₎ 𝑎3_{+ 𝑏}3 _{= (𝑎 + 𝑏)(𝑎}2_{− 𝑎𝑏 + 𝑏}2₎

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Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Se utiliza el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Procedimiento:

 Se define como valor numérico de p(x) para x = a al valor que resulta de sustituir x por el valor a y realizar las operaciones indicadas. Se representa por p(a).

 Cuando p(a) = 0 se dice que el valor a, que se ha sustituido, es una raíz del polinomio.

 Teorema del resto: cuando se divide un polinomio p(x) por (x –a), el resto que se obtiene en dicha división coincide con p(a), valor numérico del polinomio para x = a.

PRODUCTOS NOTABLES

Se le llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cuadrado de una Suma

Elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y se tiene que: (𝑎 + 𝑏)2 _{= 𝑎}2_{+ 2𝑎𝑏 + 𝑏}2

Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. Cuadrado de una Diferencia

Elevar (a – b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma; teniéndose que: (𝑎 − 𝑏)2 _{= 𝑎}2_{− 2𝑎𝑏 + 𝑏}2

Luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Sea el producto:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2_{− 𝑏}2

Luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

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Cubo de un Binomio

Elevando (a + b) al cubo, tendremos:

(𝑎 + 𝑏)3 _{= 𝑎}3_{+ 3𝑎}2_{𝑏 + 3𝑎𝑏}2_{+ 𝑏}3

Lo que nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

Elevando (a – b) al cubo, se tiene:

(𝑎 − 𝑏)3 _{= 𝑎}3_{− 3𝑎}2_{𝑏 + 3𝑎𝑏}2_{− 𝑏}3

Luego, el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda.