El campo electrostático en el vacío

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 0

El campo electrostático en el vacío

Con este tema comenzamos a estudiar los efectos que produce, y cómo medirlos, la otra propiedad de la materia: la carga eléctrica. Con él iniciamos la parte de la Física dedicada a estudiar una de las fuerzas fundamentales de la Naturaleza: la interacción electromagnética. Lo iniciamos en la situación más sencilla: las cargas están estáticas, no se mueven; de ahí el nombre de “electrostático”.

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Introducción

Sabemos que la materia está constituida por átomos y estos por cargas. Si no fuese por el hecho de que se encuentra generalmente en estado neutro, todos los fenómenos macroscópicos observables estarían dominados por las fuerzas electromagnéticas, que son mucho más intensas que las fuerzas gravitatorias a las que estamos familiarizados.

El conocimiento de que la materia poseía “algo” diferente que no tenía que ver con la gravedad ya fue conocido en la época de los griegos: al frotar un trozo de ámbar, o de vidrio, con lana, éste atraía

pequeños trocitos de papel. A esta propiedad se llamó “electricidad”, que proviene de la palabra

griega “elektron” que significa “ámbar”. Posteriormente, Franklin, en 1750, introdujo el convenio de

llamar “carga negativa” a la propiedad que presentaba el ámbar y “carga positiva” a la que

presentaba el vidrio.

Hoy ya sabemos dar respuesta a eso: en el frotamiento de ambos cuerpos, ámbar-lana o

vidrio-lana, inicialmente descargados ambos, tiene lugar una transferencia de carga  ambos cuerpos se

cargan de tal manera que la suma de sus cargas después del frotamiento es la misma que la suma de sus cargas antes de frotarlos. Además, quedan cargados con la misma cantidad de carga pero de distinto

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signo; lo que ha pasado es simplemente que uno se ha quedado con exceso de carga, la misma que el otro cuerpo se ha quedado con defecto.

Q_{neta antes del frotamiento}= Q_{lana antes del frotamiento}+ Q_{vidrio (ámbar) antes del frotamiento}= 0 + 0 = = Qneta después del frotamiento = Qlana después del frotamiento(0) + Qvidrio (ámbar) después del frotamiento(0)

¿Qué tipo de carga se ha transferido? Sabemos que los átomos que componen la materia están constituidos por: electrones (con propiedades análogas a las del ámbar cuando se frota), protones (propiedades análogas a las del vidrio cuando se frota) y neutrones (no presentan comportamiento eléctrico). En general, el átomo está en estado neutro (igualdad del número de protones y electrones) por lo que, a escala macroscópica, también la materia, compuesta por átomos, se encuentra en estado neutro. Por ello, a escala macroscópica, la materia no presenta efectos eléctricos salvo cuando se actúa externamente sobre ella. Cuando se frotan los dos cuerpos se está interviniendo externamente; la carga susceptible de ser transferida son los electrones que son los más externos y los que menos energía necesitan para ser “arrancados” de su átomo (protones y neutrones están en el núcleo ligados por la fuerza nuclear fuerte y es necesaria muchísima más energía para separarlos del núcleo). Por eso, cuando

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se dice que un cuerpo está cargado positivamente significa que tiene un defecto de electrones, y negativamente cuando tiene exceso de electrones.

A finales del siglo XVIII se clasificó a los cuerpos en dos grandes categorías:

 Aislantes o dieléctricos (vidrio, ámbar, plástico, etc.)  las cargas no pueden moverse libremente. Si el cuerpo se carga por electrización (frotamiento), las cargas transferidas se quedan

allí donde se las colocó  el fenómeno de electrización es observable.

 Conductores (metales, el cuerpo humano, la Tierra, etc.)  las cargas pueden moverse

libremente (los electrones se mueven formando una “nube electrónica”)  el fenómeno de

electrización es difícil de observar. ¿Por qué?: supongamos que cogemos con la mano un conductor a cargar por frotamiento; como nuestro cuerpo es así mismo conductor, la carga que se transfiere al conductor por el frotamiento pasa, a través de nuestro cuerpo, a tierra; esto hace que se descargue  se pierde la carga que hace que podamos observar el efecto.

En la actualidad habría 4 grupos: se añadirían semiconductores y superconductores.

La pertenencia a un grupo u otro no es cerrada, depende también de factores externos como

temperatura, presión, campo E externo, campo B externo, impurezas, etc. Por ejemplo, el aire es aislante pero

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Propiedades de la carga eléctrica

1.- Existencia de dos clases de carga (+ y - )

Carga +  defecto de electrones

Carga -  exceso de electrones

Cargas de igual signo se repelen, y de signo contrario se atraen.

2.- Principio de conservación de la carga en sistemas aislados: la carga no se crea ni se destruye 

Cargar (“crear carga”) o descargar (“destruir carga”)  proceso de transferencia de carga, donde

Q_{antes del contacto} = Q_{después del contacto}

3.- La carga neta de un cuerpo está cuantizada (su valor aumenta o disminuye a “saltos” de e)

Q_neta = Ne / e = unidad fundamental de carga =1.6  10-19 C

La existencia de los quarks, partículas elementales con carga fraccionaria de e, no lo contradice.

4.- La carga es un invariante: vale lo mismo en cualquier sistema de referencia, incluso para velocidades próximas a la de la luz (v c)!

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¿Cómo describir los efectos de las cargas?: con el campo eléctrico

La idea subyacente es:

Carga efectos eléctricos  todo cuerpo cargado perturba la región de alrededor en la que

se encuentra  a todo punto de esa región perturbada se le asigna una magnitud vectorial módulo

dirección  un campo vectorial E

sentido



la carga eléctrica

crea campo

E

¿Cómo se miden los efectos que

E

produce sobre otras cargas que

están en esa región perturbada?

¡midiendo la fuerza que la carga

que crea

E

ejerce sobre esas

cargas que se encuentran en la

región perturbada!

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Definición de campo eléctrico:

0 q 0 0 F(r) E(r) lim q    q  crea E r

 q0  carga “test” positiva que va a “soportar” el efecto eléctrico de q, es decir, va a soportar la fuerza

F(r) ejercida por q sobre ella

 q0  0 para que no modifique el campo a medir

 al E , como campo vectorial que es, se le puede aplicar todo lo estudiado en el Tema 1 sobre campos

vectoriales. Una de las cosas estudiadas era que es representable por líneas de campo, que por

convenio, nacen en cargas + y mueren en cargas -  son líneas de campo abiertas

Los efectos de E sobre cualquier otra carga Q que esté dentro de la región perturbada por q se

medirían a partir de la fuerza que actúa sobre Q: F QE  el campo

E

es el medio de

comunicación!!

interacción carga-campo (Q,

E

)



interacción carga-carga (Q, q) q0

q

Región perturbada por los efectos de q

¿Cuánto valen los efectos de q en este punto? 

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Pero para medir

E

en un punto de la región hay que medir

F

en dicho punto (ver def.) 

¿Cómo lo hacemos?: con la

Ley de Coulomb

q  crea E  0 0 sobre q q 0 0 F E(r) lim q   

Ley de Coulomb (es una ley experimental, como lo es la Ley de Gravitación universal).

Experimentalmente se encuentra que la fuerza que soporta q2 debido a los

efectos que produce q₁ es:

12 1 1 12 1 2 1 de 1 sobre 2 12 2 r 2 3 12 12 12 2 2 2 1 2 q q r q (r r ) F F =K q u = K q K q r r r r r     tal que

si signo (q₁)  signo (q₂)  fuerza atractiva si signo (q1) = signo (q2) fuerza repulsiva  q1  q2 12 2 1 r  r r 2 r 1 r



q  E(r) ? q0

Colocamos la “carga test” positiva en el punto donde queremos medir el campo eléctrico y allí, medimos la fuerza que aparece sobre q0

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 8 donde 2 2 9 12 0 2 2 0 1 Nm C K 9 10 8,85 10 4 C Nm        

 , y 0 = permitividad eléctrica del vacío.

 De igual forma, la fuerza que soporta q1 debida a los efectos que produce q2 será  F₂₁. Puesto

que las cargas están en reposo, se verifica la ley de acción y reacción  F₂₁=F₁₂

Validez de la ley

1.- Para cargas puntuales (o dimensiones << distancia). Caso especial: carga distribuida en esferas. 2.- Cargas en reposo: si existe movimiento  F₂₁F₁₂

3.- La ley del inverso del cuadrado de la distancia funciona a distancias tanto macroscópicas como

submicroscópicas  ¿qué ocurre a distancias d  0? No hay problema: en el átomo, para d < 10-14 m

(tamaño típico del núcleo atómico) predominan las fuerza nucleares en lugar de la electromagnética.

4.- El exponente “2” en la ley 1₂

r , tiene una precisión de 10

-15 !!!  q1  q2 12 F 21 F signo(q1)  signo(q2)  q1  q2 12 F 21 F signo(q1) = signo(q2)

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 9 5.- Es aplicable

el principio de superposición

 la ley sigue siendo válida para conjuntos de cargas puntuales (se llaman también distribuciones discretas) y para distribuciones continuas de carga.

El efecto total en un punto = suma de efectos de todas las cargas en ese punto

A partir de la ley de Coulomb es fácil obtener la expresión del campo eléctrico E que está creando la carga puntual q1 en el punto donde está colocada la carga q2 ya que como

2

de 1 sobre 2 12 creado por q1 2

F  F  q E (r )  ₁ ₂ 1 2 ₃1 1 ₂ _r 2 1 2 1 q (r r ) q E (r ) K K u r r r r     

Generalizando: el campo eléctrico E, que crea una carga puntual

q en un punto cualquiera del espacio r , es:

r 2 3 0 0 1 q q (r r ) E(r) u 4 _r _r 4 _r _r          

Si q está colocada en el origen del sistema de coordenadas (r´ 0 )

r 2 3 0 0 1 q q r E(r) u 4 _r 4 _r     q



 r u _r _r r E(r)? r´

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Campo eléctrico

E(r)

creado por un conjunto de cargas puntuales

Sean q₁, q_2,q3,…. qN cargas puntuales colocadas en

puntos con vectores de posición r , r , r ,...,r₁ ₂ ₃ _N. Para calcular el campo eléctrico creado por todas ellas en un punto arbitrario dado por el vector de posición r , basta colocar la “carga test” positiva

allí, medir la fuerza que ejerce cada qi sobre ella,

y aplicar el principio de superposición.

Cada qi ejerce sobre q0 una fuerza i i 0 3 i

0 _i q q 1 F (r r ) 4 _r _r  

 _ . Por el principio de superposición

0 N i 0 sobre q 3 i i 1 0 _i q q 1 F (r r ) 4  _r _r   



_  N i i 3 i 1 0 _i q 1 E(r) (r r ) 4  _r _r   _ 



q1



 E(r) ? q0



q2



qN r₂ r₁ r_N r₂ r rr₁ rr₂ N rr

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Líneas de campo de dos cargas puntuales de igual carga y distinto signo (un dipolo si su separación es pequeña comparada con la distancia a la que se miden sus efectos).

Distribución de líneas de campo E para algunos ejemplos de cargas puntuales

total E

Líneas de campo de dos cargas puntuales de distinto signo, con doble de carga la positiva que la negativa. Líneas de campo de una carga puntual positiva. Para carga

negativa, bastaría cambiar el sentido de las líneas de campo.

Líneas de campo de dos cargas iguales y de igual signo

total E 2 E 1 E q1 q2

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Campo eléctrico

E(r)

creado por distribuciones continuas de carga

Acercándonos más a la realidad, la carga neta que posee un cuerpo puede estar colocada a lo largo de líneas, o en superficies, o en volúmenes. Para cada situación se define una magnitud macroscópica, la densidad de carga (lineal, superficial, o volúmica, según el caso), que es función del punto, continua y derivable. l 0 q dq li r ) m l d ( l          _dq_{ }_{(r )dl} s 0 q dq li r ) m s d ( s          _dq _{ }_{(r )ds} 0 q dq l ) d r im (          dq  (r )d   _{neta en L} L L Q 



dq  



(r )dl  _{neta en S} S S Q 



dq 



(r )ds  Q_{neta en}_ dq (r )d    



 



 L r l q qq q S r s q   q r

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Para determinar el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga, volúmica, por ejemplo, el planteamiento sería el habitual: colocamos la “carga test” en el punto donde queremos calcular el campo, medimos allí la fuerza que cada dq ejerce sobre esta carga q0 y aplicamos el principio de superposición; en este caso la suma se

convierte en una integral.

La carga existente en el elemento de volumen es:

dq (r )d . Dicha carga dq  ejerce una fuerza

dFsobre q0 en ese punto r del espacio

La fuerza total, la que ejercen todos los dq que están en el volumen total  total, será:

0 0 sobre q 3 0 q (r )d F (r r ) 4  _r _r    _   



   0 0 sobre q q 0 3 0 0 1 (r )d E(r) (r r ) 4 F im r l q  _r     _ _     



0 0 0 sobre q 3 3 0 0 dqq (r )d q 1 1 dF (r r ) (r r ) 4 _r _r 4 _r _r                  q r  E( )r ? r q0 rr

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De forma análoga, trabajaríamos para calcular el campo eléctrico creado por un cuerpo cargado cuya carga estuviera repartida de forma continua en una superficie, o repartida en una línea. Las expresiones quedarían:

0 0 sobre q q S 3 0 0 0 1 (r )ds E(r) (r r ) 4 F lim q _r _r    _      



0 0 sobre q q L 3 0 0 0 1 (r )dl E(r) (r r ) 4 F lim q _r _r    _      



El caso más general sería tener de todo: cargas puntuales y distribuciones continuas lineales, superficiales y volúmicas. Por el principio de superposición, el campo eléctrico en un punto r del espacio vendrá dado por:

N i i 3 _L 3 _S 3 3 i 1 0 _i 0 q 1 1 (r )dl (r )ds (r )d E(r) (r r ) (r r ) (r r ) (r r ) 4  _r _r 4 _r _r _r _r  _r _r  _ _ _ _ _ _ _                 __       __ 





Cualquier otra carga q colocada en ese punto r experimentará una fuerza  F_{sobre q}  qE(r) S r s q E( )r ? r rr q0 E( )r ? L r l q q r rr q0

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Propiedades del campo electrostático

 Carácter conservativo del campo electrostático  potencial electrostático

 Ley de Gauss

1) Carácter conservativo del campo electrostático. Potencial electrostático

La fuerza eléctrica es del tipo de fuerzas que son conservativas, es decir, el trabajo que realiza,

2

1 F d l



, no depende de la trayectoria que se siga para llegar desde el punto 1 al punto 2. Esto era equivalente a decir que

CF d l  0



. La consecuencia importante era que esto es así   una función

U(r) (campo escalar) tal que F  U.

Comprobemos que la fuerza eléctrica es conservativa. Supongamos una carga q colocada, por

simplificar, en el origen de coordenadas. Imaginemos una carga q0 que sigue una trayectoria cerrada C.

 q crea E  ₃ 0 q r E 4 r 

 (q centrada en el origen de coordenadas)

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 16 Cuánto vale CF d l



0 0 0 3 C C C 0 A 0 0 0 3 2 C dr C A 0 0 0 0 0 A A C q r q E d l q E d l q d l 4 r q q r dl cos q q dr q q 1 4 r 4 r 4 r q q 1 1 W F d l 0!! 4 r r !!           _ _          _     _   _ 



Por tanto, la fuerza eléctrica es conservativa

 F  U, donde U representa la energía

potencial electrostática que tiene la carga q0 por encontrarse en el campo E creado por q.

 ₀ 0 U F q E U E= q       _{  }  

Se define  el concepto de potencial electrostático en un punto del espacio r como:

q d l d l d l d l E E E E   q0  q0  C 0 q 0 0 y U(r) V(r) lim q E(r) V     

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Volvamos de nuevo al trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga cualquiera q que sigue una trayectoria desde el punto 1

al punto 2. ₁ ₂ 2 2 2 1 1 1 W_ 



F dl 



qE dl  q



E dl Como E(r) V  2 2 1 2 2 1 1 d 2 1 1 V W_  q



V dl  q



dV  q(V  V ) q(V  V )  1 2 2 1 2 1 W V V E d l q    



ó ₂ ₁ 2 1 V  V  



E d l Además, como W₁_₂    U (U₂  U )₁  U₁ U₂  U₁ U₂  q(V₁  V )₂

Al igual que pasaba con la energía potencial gravitatoria, necesidad de definir una referencia de energía potencial nula, con el potencial electrostático pasa lo mismo (lógico, ya que el potencial es

energía potencial por unidad de carga). Así, eligiendo: punto 1r₀( en muchos casos) / V(r )₀  0 y

punto 2r cualquiera  0 r r (ó ) V(r) 0 E d l    



 0 r r (ó ) V(r) E d l   



 1  2 E

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 18 Comentarios a la relación obtenida:

 Allí donde haya campo electrostático, existe un valor del potencial electrostático tal que E en ese

punto es igual al vector (gradiente del potencial) en dicho punto.

 Las líneas del campo electrostático E apuntan

siempre

hacia potenciales decrecientes (el signo

menos delante del gradiente).

 V(r) es una magnitud escalar  más fácil trabajar con el escalar V(r) que con el vector E . Una vez

que se tiene V(r), es fácil calcular E sin más que obtener el gradiente de V(r) ya que E(r) V.

 Puesto que V(r) es un campo escalar  es representable mediante superficies equiescalares, que en

este caso se llaman  equipotenciales.

 Como     cte  E(r) V  V cte 

las líneas de

E

siempre son

perpendiculares a las superficies equipotenciales en todo punto.

 La función V(r) está definida salvo constantes.

De todo lo anterior, el carácter conservativo del campo electrostático se expresa como:

CE d l  0

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 19 Potencial creado por los distintos tipos de distribuciones de carga

 Para una carga puntual

De la expresión del campo creado por una carga puntual r ₂

0 u q E(r) 4 _r _r    

Teniendo en cuenta que 1 u₂r

r r

  _{ }  

  , que en este caso se traduce en: r 2 u 1 r r _r _r   _ _          r 2 0 0 u q E(r) 4 _r _r q 1 V 4 r r         _ _         0 q 1 V(r) 4 r r    

 Para una distribución discreta de cargas

Por el principio de superposición,

N i i 1 0 i q 1 V(r) 4  r r  



 rr r r  q V(r)? r u q1



q2



qN 1 r r_N r₂ r rr₁ rr₂ N rr r₁  V(r) ?

(21)

 Para distribuciones continuas de carga (, , )

0 1 (r )d V(r) 4  r r      



 S 0 1 (r )ds V(r) 4 r r     



 L 0 1 (r )dl V(r) 4 r r     





Antes de pasar a estudiar la otra propiedad del campo electrostático, la ley de Gauss, veamos algunos conceptos que necesitamos:

a) Flujo de un campo vectorial. Divergencia de un campo vectorial; y relación entre ambos a través del teorema de la divergencia b) Rotacional de un campo vectorial; y la relación con la circulación de un campo vectorial a través del teorema de Stokes

S r dq r rr  dq r r rr r r r´ L r dq qq q r

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 21 Flujo de un campo vectorial F(r). Se define flujo elemental, d, del campo vectorial F(r) a través

de una superficie elemental ds (la enmarcada en rojo, según la figura)

a la intensidad del campo F d F ds a la superficie ds a la orientacion de F y ds       _  

 el flujo total del campo F(r) a través de la superficie finita S

SF ds

 



 ó

SF ds

 





(nos da idea del número de líneas de campo que atraviesan a la superficie S (recordar que la intensidad del campo era N/S ))

Criterio para el sentido del vector superficie ds:

 Si S es cerrada  apunta siempre hacia fuera del volumen

 Si S es convexa 

 Si S es plana  es indiferente la elección

F ds ds F r S ds S líneas de campo F ds ds ds

(23)

Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 22 Divergencia de un campo vectorial F(r) en un punto del espacio. Proporciona información acerca de las fuentes o sumideros existentes en ese punto.

 Sea un campo vectorial F(r) y un punto P en esa región

 Sea d un volumen elemental al cual el punto P pertenece

 Ese elemento de volumen d está delimitado por la superficie cerrada S

Se define divergencia del campo vectorial en un punto del espacio como:

elemental S 0 F ds d div F(r) = lim d     



 significado físico: div F es el flujo (el que pasa a través de la superficie cerrada S que delimita

al volumen elemental del entorno del punto) por unidad de volumen

 Si div F> 0   flujo neto saliente de S  existen fuentes en ese punto

 Si div F< 0   flujo neto entrante en S  existen sumideros en ese punto

 Si div F= 0  flujo neto a través de S  no existen fuentes ni sumideros en ese punto  P

F _S

d

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 23 Relación entre flujo y divergencia: a través del Teorema de la divergencia

Como div F d

d  

  el flujo a través de la superficie cerrada que delimita al elemento de volumen que

contiene al punto P será: d  div F d  el flujo total a través de la superficie finita S, que es la

superficie cerrada externa que limita al volumen finito  (ver figura) será la suma de flujos a través de

todas las superficies cerradas elementales con las que vamos reconstruyendo la superficie S finita 

Al hacer la suma de todos los flujos, queda como flujo neto el flujo a través de la superficie cerrada finita S que limita al

volumen finito  ya que en los volúmenes elementales (cubos de

la figura) contiguos, el flujo que es saliente para uno de ellos, es entrante para el contiguo. El único flujo que no se cancela es el que atraviesa a la superficie cerrada exterior, S.

S

d

 



div F d

 

S

F ds



 j

S

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Si se aplica la definición de S elemental

0

F ds div F(r) = lim

 



a un volumen elemental como el de la figura, un cubo

de dimensiones x, y y z, en cuyo centro estaría el punto P, que es donde queremos conocer el valor de la divergencia, habría que calcular el flujo a través de las 6 caras del cubo (el conjunto de las 6 caras hacen la superficie

cerrada que encierra el volumen interior del cubo).

Si se trabaja en cartesianas, se obtiene la expresión siguiente:

Si F(r)F u_x _x F u_y _y F u_z _z y     x y z 0 0 0 y x z ( x ,y z S ) 0 , F ds lim ... F F F div F x y z x y z               



Y esto resulta ser igual, matemáticamente, a:

x y z x x y y y z z x F z F u u u (F u F u F u ) x y z y z F F x          _   _      _   _           !!!



div F

 

F

x y z  X Y Z P(x0,y0,z0)

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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 25 2) Ley de Gauss. La ley de Gauss, además, de ser una de las 4 ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, las llamadas ecs de J.C. Maxwell, va a ser una herramienta muy potente para resolver problemas electrostáticos cuando exista simetría.

Sea una carga puntual q que suponemos, por ejemplo, positiva, y

colocada en el origen de coordenadas. Sea una superficie cerrada S, la

esfera roja de la figura, y la carga colocada en el centro de dicha esfera. La superficie cerrada S de la esfera encierra un volumen, .

Sabemos que la expresión del campo que crea la carga q colocada en el origen de coordenadas es

Calculemos el flujo de E(r) a través de la esfera de superficie S.

2 2 r r r r 2 2 2 S S S 0 0 0 0 0 0 0 0 S u r sen d d u 1 q q 1 q q q u ds u ds sen d d 4 4 r 4 r 4 q E ds !! ! 4 ! r 4 !                     



E S r E E q   E X Y Z 3 3 0 0 1 q 1 q E(r) r r 4 _r 4 r    

(27)

¿El resultado hubiera sido distinto si la carga q no hubiera estado colocada el centro de la esfera? Pensad qué significa el flujo de un campo vectorial a través de una superficie.

¿El resultado hubiera sido distinto si, en lugar de una

esfera, hubiéramos escogido una superficie cerrada S

que tuviera forma totalmente arbitraria? (Pensad en una patata: S sería la piel marrón de la patata y  sería su interior, lo blanco de la patata).

La respuesta a todas las preguntas es ¡NO!

 el flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie

cerrada

es igual a la carga neta

encerrada/0 (¡y no depende de dónde esté colocada!, ¡ni de la forma de la superficie cerrada!)

S r E E ds q    X Z Y S q   E X Y Z

(28)

 ¿Y si la carga q está fuera de la superficie cerrada S?

El flujo neto a través de la superficie cerrada S es cero puesto que a través de ella salen tantas líneas de campo como entran.

 ¿Y si la superficie cerrada S encierra varias cargas puntuales?

Por el principio de superposición:

i 0 N N N i total i _S i i q 1 i / 1 i 1 0 q E ds           

 

_



 neta encerrada por S S 0 Q E ds  



 Si Qneta encerrada = 0  SE ds  0  E 0 !!



 q1  q2  q3  qN S S E E  q  E

(29)

 Si la superficie cerrada S encierra distribución de carga, por ejemplo, volúmica, de densidad 

La clave para resolverlo está en:

1) suponer que el elemento de carga dq es equivalente a la carga puntual de los casos anteriores

2) aplicar el principio de superposición

dq  el cr S eadopor dq 3 0 0 dq r dq dE r d = dE ds 4 r       





Como cada dq contribuye al flujo neto con

0 dq   S carg a n t eta encerrada por la o superfic tal ie S 0 0 dq 1 E ds (r )d             



Si S encierra carga que está repartida en una superficie S’ 

S carg a n t _S' _S' eta encerrada por la superfici ota 0 e S l 0 dq 1 E ds (r )ds       



Si S encierra carga que está repartida en una línea L 

S

carg a neta encerrada por la superficie total 0 0 S L L dq 1 E ds (r )dl       



S dq ´

(30)

Resumen y consecuencias al aplicar la ley de Gauss

 S es una superficie cerrada cualquiera, real o imaginaria.

 Si _{neta enc. por S}

S E 0 punto de S  



E ds  0  Q  0!!  Si _{neta enc} S . por S E ds 0 Q  0 



  E 0 !!

 Aunque el flujo de E a través de S dependa únicamente de la carga encerrada, el campo que

aparece en la expresión del flujo,

SE ds



, es el campo eléctrico total (el debido a la carga

exterior a S y la interior a S).

La ley de Gauss, como vemos, nos permite calcular el flujo a través de una superficie

cerrada. Pero,

además, es útil en

problemas con simetría, pues en esos casos permite

obtener el valor del

módulo del campo eléctrico,

E

(como se irá viendo en clase de

problemas).

neta enc. por S S 0 Q E ds  



(31)

Una vez vistas las dos propiedades del campo electrostático, pero expresadas de forma integral,

 su carácter conservativo:

CE d l 0



 la ley de Gauss: neta enc. por S S 0 Q E ds  



queremos expresarlas de otra forma, en forma diferencial.

Para la primera de ellas, necesitamos otro concepto que no hemos estudiado todavía: el rotacional de un campo vectorial y su relación con la circulación del campo. Veámoslo.

Rotacional de un campo vectorial F(r) en un punto del espacio. Proporciona información de la tendencia de un campo vectorial a introducir rotación alrededor de un punto.

 Sea s un elemento de superficie de una superf S ¡abierta!!

 La superficie s está limitada por el contorno elemental

cerrado l. El sentido de recorrido del contorno l es el que corresponde al ds (giro del sacacorchos).

S F ds ds F r l l C ds l

(32)

Se define rotacional de F(r) en un punto del espacio, como un vector cuya proyección en la

dirección perpendicular a la superficie, dada por el vector unitario n , se define como:

elemental s 0 _s 1 1 rot F n lim F d l F d l ds    





 rot F nds 



F dl  rot F ds 



elementalF dl

lo que significa que: el flujo elemental del campo vectorial rot F a través de la superficie abierta s

(elemental), es decir, rot F ds, es igual a la circulación del campo F(r) a lo largo del contorno cerrado

l (elemental) que rodea a la superficie s (elemental).

Relación entre rotacional de un campo y circulación del campo: a través del teorema de Stokes

Como rot F ds es el flujo elemental que pasa a través de la superficie abierta elemental s y vale

elementalF d l



 el flujo total a través de la superficie finita

abierta

S será la suma de los flujos a

través de todos los s que forman S  S

rot F ds



. Al hacer la suma (la integral) se obtiene:

S

rot F ds



C

F d l

(33)

Si nos fijamos en la expresión anterior, vemos que como circulación total (parte derecha de la ecuación) queda la que se calcula a lo largo del contorno finito exterior, C, es decir, el que limita a la superficie finita abierta S. Esto es así porque, al ir sumando las circulaciones a lo largo de los contornos

elementales l, en los contornos

elementales contiguos cada tramo es recorrido en un sentido para uno y en sentido contrario para el contiguo. La única circulación del campo que no se cancela es la que corresponde a los tramos de contorno exterior, que todos juntos conforman la curva cerrada C, la que limita, o en la que se apoya, la superficie abierta S.

C

S

ds l

S

C

(34)

Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 33 Si se aplica la definición de elemental 1 rot F n F d l ds





a contornos l como los de la figura, se obtendrían, trabajando

en cartesianas, las componentes





x rot F ,





y rot F ,





z rot F del

rot F en el punto genérico P(x0,y0,z0), donde:

 F(r)F u_x _x F u_y _y F u_z _z

 s=zy; s=zx; y s=yx para las componentes x, y, y z, respectivamente.

Nota: en las tres figuras P representa al punto de coordenadas (x0,y0,z0)

Uniendo todos los resultados parciales,





x





y





y y z z x z x x y z x y z F F F F F F rot F u u u y z z x x y

rot F u rot F u rot F u   

   _  _ _   _ _  _

  _   _  

    , y esto resulta ser igual a:

x y z y y y y z x x z z x z x x y z z x y x y z x y z u u u F F F F F F F F F F F F F u u u u u u u u u x y z y z x y z x y z z x x y F F F                             _  _ _  _ _  _          _   _ _   _ _   _ 

rot F

  

F

y z x ds ds u  P(x0,y0,z0) 2 3 4 1 X Y Z 1 4 dsdsuy 2 3  z x P 1 z ds dsu P 2 3 4 y x

(35)

Ya estamos en condiciones de expresar las dos propiedades del campo electrostático

en forma

diferencial:

1) Carácter conservativo:

CE d l  0



.

Por el teorema de Stokes 

CE d l  S( E) ds  0



   E 0 r

2) Ley de Gauss: neta enc. por S

S

0

Q E ds 





 neta enc. por S

S 0 0 ´ Q ₁ E ds d ´       



Por el teorema de la divergencia 

S ´ 0 1 E ds E d d ´         



 0 E d 0          _   



tanto si  > ´como si  < ´, siendo  el volumen encerrado por la superficie gaussiana y ´ el volumen

que ocupa la distribución de carga (cuerpo cargado)

0

E 

 

(36)

Notas importantes:

 Si   F 0 punto  campo conservativo o irrotacional

Consecuencia  líneas de campo abiertas

Ejemplo: el campo electrostático: las líneas nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas

Recordemos lo que poníamos en el Tema 1 acerca de:

Condiciones equivalentes de decir que un campo vectorial es conservativo: 1) la circulación 2

1 F d l



no depende de la trayectoria seguida, sólo de los puntos inicial y final entre los que se calcula.

2)

CF d l 0



C

3) F es conservativo   (r) (campo escalar) / F 

4) F es conservativo    F 0 r (se verá más adelante). Ahora ya lo hemos justificado

Como el campo electrostático lo es, en las expresiones anteriores sólo hay que cambiar la letra del campo vectorial F por la letra E

(37)

 Si  F  0 punto  campo solenoidal

Consecuencia  líneas de campo cerradas Ejemplo: el campo magnético

Otras identidades importantes:

( F) 0

( ) 0

   

   

Otras cosas que saldrán en Fundamentos II:

Operador Laplaciana:  operador Laplaciana     2 

2 2 2 2 2 2 2 x y z           

   en cartesianas, y donde  es un campo escalar

2

F ( F) ( F)

         , donde F(r) es un campo vectorial

Ecuaciones diferenciales para el potencial eléctrico

Como 2 0 0 E  y E V V V                2 0 V      2 0 V      2 V 0 (si 0)    

Ecuación de Poisson Ecuación de Laplace

(38)

Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 37 Aplicación del teorema de Gauss para determinar el E de distribuciones simétricas de carga

Antes habíamos escrito: La ley de Gauss permite calcular el flujo a través de una superficie cerrada. Pero, además, es

útil en problemas con simetría, pues en esos casos permite obtener el valor del módulo del campo eléctrico, E.

¿Qué implica que el problema tiene simetría?: que el campo eléctrico no depende de alguna de las

coordenadas espaciales  eso hace que, a priori, podamos saber cómo son las líneas de campo que crea

el cuerpo cargado, aunque desconozcamos su valor (su módulo). El módulo es el que vamos a poder obtener aplicando la ley de Gauss a ese problema que tiene simetría.

Pasos imprescindibles a dar para aplicarlo correctamente y entender lo que, y por qué, se hace

1.- Imaginar cómo son las líneas de campo E. Pintarlas. 2.- Diferenciar las regiones donde se va a calcular E .

3.- En cada región, elegir una superficie cerrada S (eso implica que la superficie debe encerrar un volumen; paralelepípedos, esferas y cilindros son ejemplos de superficies cerradas). Debe elegirse la adecuada en función de cómo son las líneas de campo que se han dibujado antes.

4.- Calcular el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada elegida en cada región.

5.- Calcular la carga neta que la superficie elegida encierra. Esta carga neta se calculará como: una integral de volumen de la densidad volúmica de carga libre, o como una integral de superficie de la densidad superficial de carga libre, o como una integral de longitud de la densidad lineal de carga libre, o simplemente sumando las posibles cargas puntuales que estén encerradas, dependiendo del problema que tengamos entre manos.

6.- Igualar lo obtenido al trabajar la parte izquierda de la ley con lo obtenido de la parte derecha de la ley. Se añade a la expresión del campo la dirección y sentido que tiene, y las unidades correspondientes.