7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 146

(1)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 146

Los chicos del dibujo deben medir los 35 árboles de una parcela hori- zontal. Para ello, proceden así:

• Clavan en el suelo una estaca vertical que sobresale 160 cm.

• A continuación, corren a señalar los extremos de las sombras de los 35 árboles y de la estaca.

• Una vez señalados, proceden, ya sin prisas, a medirlas y a anotar las medidas. Estos son algunos resultados:

1 Razona que la estaca y su sombra forman un triángulo rectángulo.

¿Ocurre lo mismo con cada árbol y su sombra?

La estaca es vertical y el suelo es horizontal. La sombra se proyecta sobre el suelo. Por tanto, la estaca y su som- bra son los catetos de un triángulo rectángulo.

Lo mismo ocurre con cada árbol y su sombra (los árbo- les hay que idealizarlos para considerarlos como seg- mentos verticales).

2 ¿Por qué se han de dar prisa en señalar los extremos de las sombras?

Razona que todos los triángulos descritos son semejantes.

Hay que señalar las sombras muy deprisa para que no les afecte el movimiento del Sol. Para que los triángulos sean semejantes, hay que medir todas las sombras en el mismo instante.

3 Calcula las alturas del cerezo, el ciprés y el chopo, aproximándolas hasta los decímetros.

En la estaca, 160 : 82 = 1,9512… = t. Este es el número por el que hay que mul- tiplicar la sombra para obtener la longitud de la estaca.

Por ser los triángulos semejantes, si en los demás se multiplica la sombra por ese número, se obtiene la longitud del árbol correspondiente:

CEREZO

8

SOMBRA

· t = 1,23 · t = 2,4 m (altura del cerezo)

CIPRÉS

8

SOMBRA

· t = 2,61 · t = 5,09 m (altura del ciprés)

CHOPO

8

SOMBRA

· t = 4,3 · t = 8,39 m (altura del chopo)

ESTACA

SOMBRA DE LA ESTACA

L A S O M B R A D E E S TA C A C E R E Z O C I P R É S C H O P O

M I D I Ó 82 cm 1,23 m 2,61 m 4,3 m

Pág. 1

(2)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 147

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Es rectángulo porque sus lados verifican el teorema de Pitágoras (3

²

+ 4

²

= 5

²

). Traza la altura sobre la hipotenusa. Demuestra que los dos pequeños triángulos en que se divide el grande son semejantes entre sí.

• es semejante a por com- partir el ángulo A

^{^}

.

• es semejante a por tener en común el ángulo C

^{^}

.

Se concluye, pues, que es semejante a .

2 Observa cómo calcula Leticia la altura de una morera que proyecta una som- bra de 5,7 m a la luz de una farola de altura desconocida:

a) Altura de Leticia = 1,68 m Sombra de Leticia = 1,5 m

d = 2,9 m

Con esto se calcula la altura de la farola.

b)Conociendo la altura de la farola y la sombra de la morera, 5,7 m, y midien- do la distancia de la farola a la morera, 2 m, se calcula la altura de la morera.

Resuelve los apartados a) y b) descritos en la situación anterior.

a) Si h es la altura de la farola, por la semejanza de triángulos:

= 8 = 8 h = 3,248 m mide la farola.

b) h

_m

8 altura de la morera:

= 5,7 + 2 8 h

_m

= 2,40 m mide la morera.

3,248 5,7

h_m

5,7 m 2 m

h = 3,248 m h_m

1,68 1,5

h

2,9 1,68

1,5

h

d

BHC탊

ABH탊

5 cm

4 cm B

C H

A 탊 3 cm

탊 BHC ABC

ABH탊

ABC탊

Pág. 2

(3)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 148

1

Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproxi- madamente, los mismos valores.

sen 34° = = = 0,56 cos 34° = = = 0,82 tg 34° = = = 0,68

PÁGINA 149

2

Utilizando el anterior aparato y un transportador de ángulos, calcula el seno y el coseno de 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° y 80°, y la tangente de aquellos que puedas.

sen 10° = 0,18, cos 10° = 0,98, tg 10° = 0,18 sen 20° = 0,34, cos 20° = 0,94, tg 20° = 0,37 sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,86, tg 30° = 0,58

0,5 U O

0,5 51 mm

35 mm 62 mm

B

A C

35 51 BC AC

51 62 AC AB

35 62 BC AB

Pág. 3

(4)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

sen 40° = 0,64, cos 40° = 0,76, tg 40° = 0,84 sen 50° = 0,76, cos 50° = 0,64

sen 60° = 0,86, cos 60° = 0,5 sen 70° = 0,94, cos 70° = 0,34 sen 80° = 0,98, cos 80° = 0,18

PÁGINA 150

1

sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°.

sen 37° = 0,6

(cos 37°)²+ (0,6)²= 1 8 cos 37° = ± = ±0,8 Solo tomamos el resultado positivo: cos 37° = 0,8 tg 37° = = 0,75

2

tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°.

= 0,53

(sen 28°)²+ (cos 28°)²= 1 sen 28° = 0,53 cos 28°

(0,53 cos 28°)²+ (cos 28°)²= 1 8 0,28 (cos 28°)²+ (cos 28°)²= 1 8 8 1,28(cos 28°)²= 1 8

8 cos 28° = ± 8 cos 28° = ±0,88 Solo tomamos el resultado positivo: cos 28° = 0,88

sen 28° = 0,53 · 0,88 8 sen 28° = 0,46

PÁGINA 151

3

Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45°

mediante las relaciones fundamentales.

= 1; sen 45° = cos 45°

(sen 45°)²+ (cos 45°)²= 1

(cos 45°)²+ (cos 45°)²= 1 8 cos 45° = ± = ±

Solo tomamos el resultado positivo: cos 45° = 8 sen 45° =

√

2 2

√

2 2

√

2 2

√

1² sen 45°

cos 45°

√

^1,281 sen 28°

cos 28°

0,6 0,8

√1 – 0,36

Pág. 4

(5)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

4

Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30°

mediante las relaciones fundamentales.

sen 30° =

(sen 30°)²+ (cos 30°)²= 1 8 + (cos 30°)²= 1 8 cos 30° = ± Tomamos el resultado positivo: cos 30° =

tg 30° = = =

5

Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su ex- presión decimal.

En todos los casos solo tomaremos los resultados positivos.

• sen a = 0,94

(cos a)²+ (0,94)²= 1 8 cos a = 0,34 tg a = = 2,76

• cos a = 0,82

(sen a)²+ (0,82)²= 1 8 sen a = 0,57 tg a = = 0,69

• sen a =

2+ (cos a)²= 1 8 (cos a)²= 1 – 8 cos a =

tg a = = 4 3 4/5 3/5

3 5 16

)

25 4

(

5

4 5 0,57 0,82 0,94 0,34

s e n a 0,94 0,57 4/5 0,96 1/2 √— 2/2 c o s a 0,34 0,82 3/5 0,27 √—

3/2 √— 2/2 t g a 2,76 0,69 4/3 3,5 √—

3/3 1

s e n a 0,94 4/5

c o s a 0,82 √—

3/2

t g a 3,5 1

√

3 3 1

√

3 1/2

√

3/2

√

3 2

√

3 2 1

4 1

2

Pág. 5

(6)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

• tg a = 3,5

= 3,5; sen a = 3,5 · cos a (sen a)²+ (cos a)²= 1

(3,5 cos a)²+ (cos a)²= 1 8 13,25(cos a)²= 1 8 cos a = 0,27 sen a = 3,5 · 0,27 8 sen a = 0,96

• cos a =

(sen a)²+

2

= 1 8 (sen a)²= 1 – 8 sen a =

tg a = = =

• tg a = 1

= 1; sen a = cos a (sen a)²+ (cos a)²= 1

(cos a)²+ (cos a)²= 1 8 2(cos a)²= 1 8 cos a = = sen a =

6

Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cu- yos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°.

Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

cos 30° = 8 = 8 L = ≈ 2,3 m

Cada brazo deberá medir, aproximadamente, 2,3 m de longitud.

7

Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,8.

cos a = 0,8

(sen a)²+ (cos a)²= 1 8 (0,8)²+ (sen a)²= 1 8 sen a = ±0,6 Tomamos solo el valor positivo: sen a = 0,6

tg a = = 0,6 0,75 0,8

4

√

3 2

L

√

3 2 2

L

√

2 2

√

2 2 1

√

2 sen a

cos a

√

3 3 1

√

3 1/2

√

3/2

1 2 3

)

4

√

3

(

2

√

3 2 sen a cos a

Pág. 6

(7)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

8

Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7.

tg a = 0,7

= 0,7; sen a = 0,7 · cos a (sen a)²+ (cos a)²= 1

(0,7 cos a)²+ (cos a)²= 1 8 1,49 (cos a)²= 1 8 cos a = ±0,82 Solo tomamos el valor positivo: cos a = 0,82

sen a = 0,7 · 0,82 8 sen a = 0,57

PÁGINA 152

1

Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe en tu cuaderno los re- sultados redondeando a las milésimas.

a) sen 86° b) cos 59° c) tg 22°

d) sen 15° 25' 43'' e) cos 59° 27' f ) tg 86° 52' g) sen 10° 30'' (atención, 10° 0' 30'')

a) sen 86° = 0,998 b) cos 59° = 0,515

c) tg 22° = 0,404 d) sen 15° 25' 43'' = 0,266 e) cos 59° 27' = 0,508 f ) tg 86° 52' = 18,268 g) sen 10° 30'' = 0,174

PÁGINA 153

2

Da el valor del ángulo a en forma sexagesimal, en cada caso:

a) sen a = 0,91 b) tg a = 5,83 c) cos a = 0,42 d) tg a = 0,34 e) sen a = 0,08 f ) cos a = 0,88 a) a = 65° 30' 19'' b) a = 80° 16' 1'' c) a = 65° 9' 55'' d) a = 18° 46' 41'' e) a = 4° 35' 19'' f ) a = 28° 21' 27''

3

Calcula sen a sabiendo que cos a = 0,91 Calcula cos a sabiendo que tg a = 6,41 Calcula tg a sabiendo que cos a = 0,06 Calcula tg a sabiendo que cos a = 0,96 Calcula sen a sabiendo que tg a = 0,1

cos a = 0,91 8 sen a = 0,415 tg a = 6,41 8 cos a = 0,154 cos a = 0,06 8 tg a = 16,637 cos a = 0,96 8 tg a = 0,292 tg a = 0,1 8 sen a = 0,0995

sen a cos a

Pág. 7

(8)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 155

1

Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos.

tg a = = 0,676 8 a = 34° 3' 39,27'' b = 90° – 34° 3' 39,27'' = 55° 86' 51,73''

2

En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa.

sen 37° = 8 a = = 144,56 m tg 37° = 8 c = = 115,45 m

3

Halla el radio de un octógno regular de 20 cm de lado. ¿Cuánto mide su apo- tema?

sen 22,5° = 8 r = ≈ 26,13 cm cos 22,5° = 8 apotema ≈ 24,14 cm

4

Desde un cohete espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 100°.

a) ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra en ese instante?

b) ¿Cuál es el área de la porción de tierra visible desde el cohete?

a) d = – R = – 6 366 = 1 944,2 km (R es el radio de la Tierra)

b) h = R – R cos 40° = 1 489,36 km

Área del casquete = 2πRh = 59 572 592,72 km²

40°

50°

h

R

d

6 366 cos 40°

R cos 40°

20 22,5°

r

apotema r

10 sen 22,5°

10 r

87 m a

c 37°

87 tg 37°

87 c

87 sen 37°

87 a 48 cm

a b

71 cm

48 71

Pág. 8

(9)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

5

¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra hemos de subir para ver un lugar situado a 400 km de distancia?

A un arco de 400 km le corresponde un ángulo de 3,6°.

d = – R = 12,587 km (R es el radio de la Tierra).

PÁGINA 157

1

En un triángulo ABC, calcula BC—

conociendo AB—

= 37 cm, AC—

= 50 cm y BAC^ì= 32°.

cos 32° = 8 x = 31,38 cm sen 32° = 8 h = 19,61 cm y = 50 – x = 50 – 31,38 = 18,62 cm

= = 27,04 cm

2

Para hallar la altura a la que se encuentra un globo, procedemos así:

Rosa se coloca en un punto B, y yo en A, a 5 me- tros de ella, de forma que los puntos A, B y C (observa la figura) quedan alineados.

Si los ángulos a y b miden 40° y 50°, respectiva- mente, ¿a qué altura se encuentra el globo?

h 8 altura a la que se encuentra el globo.

1,19 = 8 h = 1,19x

0,84 = 8 0,84 = 8 0,84x + 4,2 = 1,19x 8 0,35x = 4,2 8 8 x = 12 8 h = 1,19 · 12 = 14,28 m

El globo se encuentra a 14,28 m de altura.

1,19x x + 5 h

x + 5

A B C

h

b x a

h x

° §

§ ¢

§ §

£ tg 50° = —h

x tg 40° = —h

x + 5

° §

§ ¢

§ §

£ tg b = —h

BC— tg a = —h

AC—

A B C

√h²+ y² BC

50 cm 37 cm

32° x y

h A

B

C

h 37

x 37 R

cos 3,6°

Pág. 9

(10)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3

Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura.

Calcula:

a) La altura de la antena.

b) La longitud de los cables.

c) El valor del ángulo ABC^ì.

a) h 8 altura de la antena.

x = 126 – x 8

(

+ 1

)

x = 126 8 x = = 46,12 8 8 h = 126 – 46,12 8 h = 79,88 m

La altura de la antena es de 79,88 m

b) cos 60° = 8 = 8 = 92,24 m

sen 45° = 8 = 8 = 112,97 m

c)ABC^ì= 180° – 60° – 45° = 75°

79,88 BC BC

√

2 2 h

BC

46,12 AB AB 1 2 x

AB

126

√

3 + 1

√3

° §

§ ¢

§ §

£

√— h

3 = — 8 h = √— x 3x

1 = — 8 h = 126 – xh 126 – x

° §

§ ¢

§ §

£ tg 60° = —h

x tg 45° = —h

126 – x

A

B

C x

h

45°

126 m 60°

B

A C

60° 45°

126 m

Pág. 10

(11)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 159

1

Sitúa sobre la circunferencia goniométrica los ángulos:

62°, 154°, 243° y 300°

Representa sus razones trigonométricas y da su valor aproximado.

sen 62° = 0,88 cos 62° = 0,47 tg 62° = 1,88 sen 154° = 0,44 cos 154° = –0,9 tg 154° = –0,49 sen 243° = –0,89 cos 243° = –0,45 tg 243° = 1,96 sen 300° = –0,87 cos 300° = 0,5 tg 300° = –1,73

2

En la página anterior, en la circunferencia goniométrica sobre la que se han re- presentado el seno y el coseno, hay un triángulo coloreado, OA'A.

a) Razonando sobre él y teniendo en cuenta que OA—

= 1, justifica que:

cos a = OA'—

y sen a = A'A—

b) Aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo justifica que:

(sen a)²+ (cos a)²= 1

c) Justifica que (sen b)² + (cos b)² = 1, razonando sobre el correspondiente triángulo.

a) cos a = = =

b) (sen a)²+ (cos a)²= ( )²+ ( )²= ( )²= 1 c) (sen b)²+ (cos b)²= ²= 1

3

Di el valor de sen a y cos a cuando a vale 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.

4

En este círculo se da el signo de sen f según el cuadran- te en el que se halle situado el ángulo f. Comprueba que es correcto y haz algo similar para cos f.

El coseno se corresponde con la longitud en el eje X, por lo que será positivo en el primer y cuarto cuadrante y ne- gativo en el segundo y tercer cuadrante.

– + – +

+ + – –

a 0 ° 9 0 ° 1 8 0 ° 2 7 0 ° 3 6 0 °

s e na 0 1 0 –1 0

c o s a 1 0 –1 0 1

OB

OA OA'

AA' OA' OA'

1 OA'

OA

Pág. 11

(12)

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

5

Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos OA'A y OUT, y que OU—

= 1, demuestra que:

= tg a

Por la semejanza de triángulos:

= 8 = = 8 tg a = =

PÁGINA 160

6

Expresa con valores entre –180° y 180° estos ángulos: 1 837°, 3 358°, 1 381° y 3 805°. Comprueba con la calculadora que, en cada caso, coinciden las razones trigonométricas de uno y otro ángulo.

1 837° = 5 · 360° + 37° 8 37°

3 358° = 9 · 360° + 118° 8 118°

1 381° = 4 · 360° – 59° 8 –59°

3 805° = 11 · 360° – 155° 8 –155°

a 1 8 3 7 ° 3 7 °

3 3 5 8 ° 1 1 8 °

1 3 8 1 ° – 5 9 °

3 8 0 5 ° – 1 5 5 °

s e n a 0,60 0,88 –0,86 –0,42

c o s a 0,80 –0,47 0,52 –0,91

t g a 0,75 –1,88 –1,66 0,47 sen a cos a AA'

OA' AA'

OA' AA' · OU— UT OA'

OU UT OA' AA'

O A' U

A T

tg a sen a

cos a a sen a

cos a

Pág. 12

(13)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 161

R A C T I C A

R a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e u n á n g u l o a g u d o

1

Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos:

a) b) c)

a) sen a = = 0,28; cos a = = = 0,96; tg a = ≈ 0,29

b) sen a = = ≈ 0,724

cos a = ≈ 0,69; tg a = = 1,05

c) sen a = = = ≈ 0,47

cos a = = ≈ 0,88; tg a = = ≈ 0,53

2

Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B^{^} en cada caso:

a) b)

a) sen B^{^}= ≈ 0,82; cos B^{^}= ≈ 0,59; tg B^{^}= = 1,4 b) sen B^{^}= ≈ 0,34; cos B^{^}= ≈ 0,95; tg B^{^}= 1,3 ≈ 0,36

3,6 3,6

3,8 1,3

3,8

2,8 2 2

3,4 2,8

3,4 A B A

C B

C

8 15 32 60 15

17 60 68

8 17 32 68 32

√

32²+ 60²

8,4 8 8

11,6

8,4 11,6

√

11,6²– 8² 11,6

7 24 24

25

√

25²– 7² 25 7

25

7 m

25 m

8 m

a a

a

11,6 cm

32 m 60 m

P

Pág. 1

(14)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

3

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos (A^{^}= 90°):

a) b = 56 cm; a = 62,3 cm b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm c) c = 16 cm; a = 36 cm

a) sen B^{^}= ≈ 0,90

cos B^{^}= = ≈ 0,438

tg B^{^}= ≈ 2,051

sen C^{^}= ≈ 0,438; cos C^{^}= ≈ 0,90; tg C^{^}= = 0,4875

b) sen B^{^}= = ≈ 0,991

cos B^{^}= ≈ 0,133 tg B^{^}= ≈ 7,467

sen C^{^}= ≈ 0,133; cos C^{^}= ≈ 0,991; tg C^{^}= ≈ 9,955

c) sen B^{^}= ≈ ≈ 0,896

cos B^{^}= = 0,

)

4 tg B^{^}= ≈ 2,016 sen C^{^}= = 0,

)

4; cos C^{^}= ≈ 0,896; tg C^{^}= ≈ 0,496

4

Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos.

Halla en cada uno las razones trigonométricas del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué observas?

El triángulo ABC es rectángulo en A:

24²+ 7²= 625 = (23,04 + 1,96)²= 25²= 625 El triángulo AHB es rectángulo en H:

23,04²+ 6,72²= 576 = 24² H B

C A

1,96 cm

23,04 cm 24 cm 6,72 cm

7 cm

16 32,25 32,25

36 16

36

32,25 16 16 36

32,25 36

√

36²– 16² 36

4,5 33,6 33,6

33,9 4,5

33,9 33,6

4,5

4,5 33,9

33,6 33,9 33,6

√

4,5²+ 33,6² 27,3 56 56

62,3 27,3

62,3

56 27,3

27,3 62,3

√

62,3²– 56² 62,3 56 62,3

Pág. 2

27,3 cm

56 cm 62,3 cm

A B

C

4,5 cm

33,6 cm 33,9 cm

A B

C

32,25 cm 36 cm

16 cm

A B

C

(15)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

5

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A^{^} y C^{^}, ABD^ì y CBD^ì.

= = 9; = = 20

R e l a c i o n e s f u n d a m e n t a l e s

6

Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones funda- mentales (a < 90°).

cos a = = 0,96; tg a = ≈ 0,292

7

Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°).

sen a = = = ; tg a = =

√

5

2

√

5/3 2/3

√

5 3

√

^{1 – —}4⁹

√

^{1 –}

⁽

^—2³

⁾

²

0,28

√1 – 0,28² 0,96

√12²+ 16²

√15²– 12² BC AD

B

16 cm C 15 cm

A D

12 cm

Pág. 3 s e n B^ c o s B^ t g B^

e nA B C — = 0,287 25

— = 0,9624 25

— ≈ 0,2927 24

e nA H B — = 0,286,72 24

23,04

— = 0,96 24

— ≈ 0,2926,72 23,04

A^ C^ ^ABD ^CBD

s e n — = 0,812 15

— = 0,612 20

— = 0,69 15

— = 0,816 20

c o s — = 0,69 15

— = 0,816 20

— = 0,812 15

— = 0,612 20

t g — = 1,12

)

9 3

— = 0,7512 16

— = 0,759 12

— = 1,16

)

12 3

(16)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

8

Si tg a = , calcula sen a y cos a (a < 90°).

sen a = · =

9

Calcula y completa esta tabla con valores aproximados:

En todos los casos solo tomaremos valores positivos.

• sen a = 0,92 8 cos a = = 0,39 tg a = = 2,35

• tg a = 0,75

= 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a

(sen a)²+ (cos a)²= 1 8 (0,75 · cos a)²+ (cos a)²= 1 8 8 (cos a)²= 0,64 8 cos a = 0,8 sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6

• cos a = 0,12 8 sen a = = 0,99 tg a = = 8,27

10

Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonomé- tricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°):

s e na 2/3 √—

7/3 2√— 5/5 c o sa √—

5/3 √—

2/3 √— 5/5 t g a 2√—

5/5 √—

7/2 2

s e n a 2/3

c o s a √—

2/3

t g a 2

0,99 0,12

√

1 – (0,12)² sen a

cos a 0,92 0,39

√

1 – (0,92)²

s e n a 0,92 0,6 0,99 c o s a 0,39 0,8 0,12 t g a 2,35 0,75 8,27 s e n a 0,92

c o s a 0,12

t g a 0,75

√

30 6

√

6

√5 6

s = √— 5c

1 √— (√— 6

5c)²+ c²= 1 8 6c²= 1 8 cos a = — = —

√—

6 6

° §

¢ §

£ sen a

— = √— cos a 5

sen²a + cos²a = 1

√5

Pág. 4

(17)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

Como a < 90° 8

• sen a = 8 cos a = = =

tg a = = =

• cos a = 8 sen a = = =

tg a = =

• tg a = 2 8 = 2 8 sen a = 2 cos a

(sen a)²+ (cos a)²= 1 8 4(cos a)²+ (cos a)²= 1 8 cos a = = sen a =

C a l c u l a d o r a

11

Completa la tabla siguiente, utilizando la calculadora:

12

Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos.

a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a = 2,5 d) sen a = e) cos a = f ) tg a = 3

a) a = 35° 27' 2'' b) a = 41° 24' 35'' c) a = 68° 11' 55'' d) a = 48° 11' 23'' e) a = 54° 44' 8'' f ) a = 76° 44' 14''

1 √2

√

3

√

5 3

a 1 5 ° 5 5 ° 2 0 ' 7 2 ° 2 5 ' 4 0 ' ' 8 5 , 5 °

s e n a 0,26 0,82 0,95 0,997

c o s a 0,97 0,57 0,30 0,078

t g a 0,27 1,45 3,16 12,71

a 1 5 ° 5 5 ° 2 0 ' 7 2 ° 2 5 ' 4 0 ' ' 8 5 , 5 ° s e n a

c o s a t g a

2

√

5 5

√

5 5 1

√

5 sen a

cos a

√

7²

√

7/3

√

2/3

√

7 3

√

7⁹

√—

√

^{1 –}

⁽

^—³2

⁾

²

√

2 3

2

√

5 5 2

√

5 2/3

√

5/3

√

5 3

√

5⁹

√

^{1 –}

⁽

^—2³

⁾

² 2

3

sen a > 0 cos a > 0

°¢

£

Pág. 5

(18)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

13

Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes:

a) sen a = 0,23 b) cos a = 0,74 c) tg a = 1,75 d) sen a = e) tg a = f ) cos a = a) cos a = 0,97; tg a = 0,24 b) sen a = 0,67; tg a = 0,91 c) sen a = 0,87; cos a = 0,5 d) cos a = 0,71; tg a = 1 e) sen a = 0,87; cos a = 0,5 f ) sen a = 0,5; tg a = 0,58

PÁGINA 162

R e s o l u c i ó n d e t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s

14

Halla la medida de los lados y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (A^{^}= 90°):

a) b = 7 cm c = 18 cm b) a = 25 cm b = 7 cm c) b = 18 cm B^{^}= 40° d) c = 12,7 cm B^{^}= 65°

e) a = 35 cm C^{^}= 36°

a) a = = ≈ 19,31 cm tg B^{^}= = = 0,3

)

8 8 B^{^}≈ 21° 15' 2'' C^{^}= 90° – 21° 15' 2'' = 68° 44' 58''

b) c = = = 24 cm

sen B^{^}= = = 0,28 8 B^{^}≈ 16° 15' 37'' C^{^}= 90° – 16° 15' 37'' = 73° 44' 23'' c) C^{^}= 90° – 40° = 50°

sen B^{^}= 8 sen 40° = 8 a ≈ 28 cm tg B^{^}= 8 tg 40° = 8 c ≈ 21,45 cm d) C^{^}= 90° – 65° = 25°

tg B^{^}= 8 tg 65° = 8 b ≈ 27,23 cm cos B^{^}= 8 cos 65° = 12,7 8 a ≈ 30,05 cm

a c

a

b 12,7 b

c

18 c b

c

18 a b

a 7 25 b a

√25²– 7²

√a²– b² 7 18 b c

√7²+ 18²

√b²+ c²

√

3

√3 2 1

√

2

Pág. 6

(19)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

e) B^{^}= 90° – 36° = 54°

sen C^{^}= 8 sen 36° = 8 c ≈ 20,57 cm cos C^{^}= 8 cos 36° = 8 b ≈ 28,32 cm

15

Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

tg 40° = 8 x = 15,1 m mide el árbol.

16

Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la es- calera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

cos a = = 0,4 8 a = 66° 25' 19''

17

De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura, 10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos?

tg a = = 1,

)

1 8 a = 48° 46'' b = 180° – 2a = 83° 58' 28''

18

Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:

a) b)

a) sen 65° = 8 h ≈ 16,3 cm b) sen 35° = h 8 h ≈ 16,1 cm 28

h 18

B B

D D A

A C C

28 cm

18 cm h h

65° 35°

18 m a

10 ma

b 10

9

1,2 m a 1,2 3 m

3 18 m

40°

x 18 b

35 b

a

c 35 c

a

Pág. 7

(20)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

19

Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos:

a) b)

a)

sen 70° = 8 h ≈ 14,1 cm b)

sen 40° = 8 h ≈ 14,8 cm

20

_Halla:

a) La longitud AC.

b) El área del triángulo ABC.

☞

Ten en cuenta que AC = AD + DC.

a) En ABD, cos 53° = 8 ≈ 13,84 cm

≈ 13,84 + 29 = 42,84 cm En BDC, cos 34° = 8 ≈ 29 cm

b) Hallamos la altura h en el triángulo ABD:

sen 53° = 8 h ≈ 18,37 cm

A_ABC= = 42,84 · 18,37 ≈ 393,49 cm² 2

AC · h 2

h 23

DC DC 35

AC AD AD

23

B

D C

A

35 cm 23 cm

53° 34°

h h

23 h B

A

C 23 cm 40°

h 15

B

C A

15 cm h

70°

B B

C

A

A C

23 cm 15 cm

70° 40°

Pág. 8

° §

§ §

¢ §

§ §

£

(21)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

R a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e á n g u l o s c u a l e s q u i e r a

21

Sitúa en la circunferencia goniométrica los siguientes ángulos e indica el signo de sus razones trigonométricas.

a) 128° b) 198°

c) 87° d) 98°

e) 285° f ) 305°

Compruébalo con la calculadora.

a) b)

c) d)

e) f )

22

Completa esta tabla sin usar la calculadora:

305°

s e n –

c o s +

t g –

305°

285°

s e n –

c o s +

t g –

285°

98°

s e n +

c o s –

t g –

98°

87°

s e n +

c o s +

t g +

87°

198°

s e n –

c o s –

t g +

198°

128°

s e n +

c o s –

t g –

128°

Pág. 9

0 ° 9 0 ° 1 8 0 ° 2 7 0 ° 3 6 0 °

s e n 1

c o s 0

t g No tiene

0 ° 9 0 ° 1 8 0 ° 2 7 0 ° 3 6 0 °

s e n 0 1 0 –1 0

c o s 1 0 –1 0 1

t g 0 No tiene 0 No tiene 0

(22)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

23

En cada uno de estos círculos está indicado el signo de las razones trigo- nométricas de a, según el cuadrante en el que esté a. ¿Cuál corresponde a sen a. ¿Cuál a cos a? ¿Y cuál a tg a?

a) b) c)

a) cos a b) sen a c) tg a

24

Resuelto en el libro de texto.

PÁGINA 163

25

Dibuja dos ángulos cuyo seno sea 2/5 y halla su coseno.

sen a = 8 cos a = ± = ± = ±

cos = ; cos = –

26

Dibuja un ángulo menor que 180° cuyo coseno sea –2/3 y halla su seno y su tangente.

El ángulo cumple las condiciones.

cos a = – 8 sen a = ± = ± 8 sen =

tg = = –

√

5

2

√

5/3 –2/3 AOPì

√

5 3 AOPì

√

5 3

√

^{1 – —}4⁹ 2

3 AOPì

a

O A

P

√

21 5 AOQì

√

21 5 AOPì

√

21 5

√

21²⁵

√

^{1 – —}²⁵4 2

5

O a A

Q P

b

– + – +

+ + – –

– + + –

Pág. 10

(23)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

27

Sabiendo que tg a = –2 y a < 180°, halla sen a y cos a.

cos a = – = – ; sen a = =

I E N S A Y R E S U E L V E 28

Dos antenas de ra- dio están sujetas al suelo por cables tal como indi- ca la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.

sen 60° = 8 ≈ 115,47 m tg 60° = 8 ≈ 57,74 m sen 30° = 8 = 200 m tg 30° = 8 ≈ 173,21 m cos 45° = 8 ≈ 106,07 m tg 45° = 8 = 75 m

cos 30° = 8 ≈ 86,6 m tg 30° = 8 ≈ 43,3 m

= 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m

29

Una escalera para acceder a un túnel tiene la forma y las dimensiones de la figura.

Calcula la profundidad del punto B.

sen 30° = 8 x = 12,5 m

sen 50° = 8 y ≈ 22,98 m

Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m B

A x

y 30°

25 m

30 m 10 m

50°

y 30

x 25

B A

30°

25 m

30 m 10 m

50°

AE

QE QE DE 75

75 DE

CQ CQ CD 75

75 CD

100 PC BC PC

100 BC

100 AP AB AP

100 AB

B

P C E

D

Q A

75 m

100 m

60° 30°

45°

30°

P

2

√

5 5 2

√

5

√

5 5 1

√

5

s = –2c

1 √—

4c²+ c²= 1 8 5c²= 1 8 c = ±— = ±—5

√—

5 5

° §

¢ §

£ sen a

— = –2 cos a

(sen a)²+ (cos a)²= 1

Pág. 11

(24)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

30

Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?

sen a = = 0,12 8 a = 6° 53' 32''

sen a = 8 x = 0,12 · 7 = 0,84 km = 840 m

31

En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 785 m. Tres ki- lómetros más adelante, la altitud es de 1 265 m. Halla la pendiente media de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.

x = 1 265 – 785 = 480 m

sen a = = 0,16 8 a = 9° 12' 25'' Pendiente = tg a = 0,162 8 16,2%

32

Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°.

¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?

sen 25° = 8 x ≈ 5,07 cm

Radio de la circunferencia ≈ 10,14 cm ^50° ^{12 cm}

x x

12 480 3 000

a

1 265 m

x 785 m

3 km 7 km x

6° 58' 34''

x 7 a 12

100 12

100

Pág. 12

(25)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

33

Calcula el área de cada uno de estos triángulos:

a)

b)

a) Calculamos la altura, h, sobre AC : sen 50° = 8 h ≈ 9,19 m Área = = 105,685 m² b) Calculamos la altura, h, sobre PR :

sen 35° = 8 h ≈ 11,47 m Calculamos la base, :

cos 35° = 8 = 40 · cos 35° ≈ 32,77 m

Área = ≈ 188 m²

34

En el triángulo ABC calcula h y a.

• En el triángulo ABP :

sen 65° = 8 h ≈ 16,31 cm

• cos 65° = 8 ≈ 7,61

= – = 23 – 7,61 = 15,39

a = = √h²+ PC—₂ √16,31²+ 15,39² ≈ 22,42 cm AP

AC PC

P B

A 65° C

h

23

18 cm a

AP AP 18 h 18

32,77 · 11,47 2 PR/2 PR

20

PR h

20 23 · 9,19

2 h 12

20 m 35°

P R

Q

35° B

23 m C 12 m

A 50°

Pág. 13

(26)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

35

En el triángulo ABC halla x, h e y.

• En el triángulo ABP :

cos 50° = 8 x ≈ 10,93 cm

sen 50° = 8 h ≈ 13,02 cm

• En el triángulo BCP :

y = = ≈ 25,91 cm

36

Calcula h, x y b.

☞

En el triángulo PAB, PB = x + 17.

sen 32° = 8 h ≈ 30,74 cm cos 32° = 8 x ≈ 32,19 cm b = ≈ 44,51 cm

37

Conocemos la distancia de nuestra casa a la iglesia, 137 m; la distancia de nuestra casa al depósito de agua, 211 m, y el ángulo, 43°, bajo el cual se ve des- de nuestra casa el segmento cuyos extremos son la iglesia y el depósito.

¿Cuál es la distancia que hay de la iglesia al depósito de agua?

En el triángulo IPC :

cos 43° = 8 ≈ 100,2 m

sen 43° = 8 ≈ 93,43 m

= 211 – 100,2 = 110,8 m Distancia de la iglesia al depósito:

= = √PD—₂+ IP—₂ √110,8²+ 93,43²≈ 144,93 m ID

PD

IP IP 137 CP CP 137

43°

211 m 137 m

P I

C D

√x²+ h²

P C

A

32° B h

17 cm 58 cm

x b x + 17

58 h 58

√29²– 13,02²

√29²– h² h 17

x 17

Pág. 14

P B

A 50° C

17 cm h 29 cm

x y

(27)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 164

38

Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altu- ra de 1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que for- ma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30°.

¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?

tg 30° = 8 d = = 2 009,2 m Utilizando el teorema de Pitágoras:

D = = 2 340,3 m

La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m.

39

Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángu- lo de 32° con la horizontal.

Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre?

25tg 32° + x tg 32° = x tg 50°

25tg 32° = x (tg 50° – tg 32°)

x = = 27,56 m

La altura de la torre es h = 27,56 · tg 50° = 32,84 m.

25tg 32°

tg 50° – tg 32°

° ¢

£ 25tg 32° + x tg 32° = h x · tg 50° = h

° §

§ ¢

§ §

£ tg 32° = —h

25 + x tg 50° = —h

x

32° 50°

25 m

√(1 200)²+ (2 009,2)²

1 160 tg 30°

1 200 – 40 d

d 1200 m D

40 m 30°

Pág. 15

(28)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

40

Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas:

— El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea de horizonte es de 25°.

— Nos alejamos 200 metros y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10°.

tg 25° = 8 h = x tg 25°

tg 10° = 8 h = (x + 200)tg 10°

x tg 25° = (x + 200)tg 10° 8 x (tg 25° – tg 10°) = 200 · tg 10° 8

8 x = = 121,6 m

h = x tg 25° = 121,6 · tg 25° = 56,7 m

41

Para calcular la altura del edificio, PQ—

, hemos medido los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longi- tud es de 250 m. Halla PQ—

.

Calculamos y con el triángulo SQR : cos 30° = 8 = 250 · cos 30° ≈ 216,5 m sen 30° = 8 = 250 · sen 30° = 125 m Calculamos con el triángulo SPR :

tg 40° = 8 = 216,5 · tg 40° ≈ 181,66 m Luego, = – = 181,66 – 125 = 56,66 m La altura del edificio es de 56,66 m.

RQ RP PQ

RP RP SR

RP RQ RQ 250

SR SR 250

RQ SR

P Q

R S

250 m 30°

10°

200 · tg 10°

tg 25° – tg 10°

h x + 200 h x

25° 10°

200 m x

h

Pág. 16

(29)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

42

Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto exterior, P, forman un ángulo de 50°. Halla la distancia PO sabiendo que el ra- dio de la circunferencia es 12,4 cm.

sen 25° = 8

8 = ≈ 29,34 cm

43

Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos for- man con la horizontal ángulos de 35° y 20°.

¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?

tg 20° = tg 35° =

(150 – x) tg 35° = x tg 20° 8 x = = 98,7 m h = 98,7 · tg 20° = 35,92 m

La altura de los dos edificios es de 35,92 m.

44

En dos comisarías de policía, A y C, se escucha la alarma de un banco B.

Con los datos de la figura, calcula la distan- cia del banco a cada una de las comisarías.

(5 – x)tg 35° = x tg 27° 8 5tg 35° = x tg 35° + x tg 27°

x = = 2,89 km 8 h = 1,47 km

2= x²+ h² 8 = = 3,24 km

2= (5 – x)²+ h² 8 BC = √2,11²+ 1,47² = 2,57 km BC

√2,89²+ 1,47² AB

AB

5tg 35°

tg 35° + tg 27°

27°

5 km

35°

h B

C

A x

° ¢

£ h = x tg 27°

h = (5 – x)tg 35°

° §

§ ¢

§ §

£ tg 27° = —h

x tg 35° = —h

5 – x

5 km

27° 35°

A C

B 150 · tg 35°

tg 20° + tg 35°

° ¢

£ h = x tg 20°

h = (150 – x) tg 35°

x

h h

150 m

20° 35°

h 150 – x h x

25° P

O 12,4 cm

12,4 sen 25°

PO 12,4

PO

Pág. 17

(30)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

45

Halla el área de un octógono regular de 12 cm de lado.

= 45°; = 22,5°; apotema: x tg 22,5° = 8 x = 14,49 cm

Área = = 695,52 cm²

46

En un trapecio isósceles de bases AB y DC, conocemos los lados AB—

= 5m y BC—

= 3 m, y los ángulos que forma la base mayor con los lados obli- cuos, que son de 45°.

Halla su área.

sen 45° = 8 h = 3 m

cos 45° = 8 x = 3 m Base mayor: 5 + 3 + 3 = 11 m

Área = = 24 m²

47

El lado de la base de una pirámide cuadrangular re- gular mide 6 m y el ángulo APD^ì= 60°. Halla su volumen.

El triángulo APD es equilátero; l = 6 m

• Altura de la pirámide:

d²= 6²+ 6² 8 d = 6 m

= = 3 m

En el triángulo APO, = = = 3 m Volumen = · 61 ²· 3√2 = 36√2m³

3

√2

√18

√6²– (3√— 2 )² PO

6

√

2 √2 AO 2

√2 C

A ^{6 m}

P

A D P

D l B

60°

O 6 m

l 60° l

C A

P

D B (5 + 11) · 3

2

45° 45°

A B

D C

h 5 m

3√— 2 m

x

x 3

√

2

h 3

√

2

√2 12 cm

22,5° x

(12 · 8) · 14,49 2 6 x

45°

2 360°

8

Pág. 18

d 6 m

(31)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

48

Halla el ángulo que forma la diagonal de un cubo de arista 6 cm con la diagonal de la base.

2= 6²+ 6² 8 = 6 cm

tg a = = 8 a = 35° 15' 52''

49

Desde un faro F se observa un barco A bajo un ángulo de 43° con res- pecto a la línea de la costa; y unbarco B, bajo un ángulo de 21°. El barco A está a 5 km de la costa, y el B, a 3 km. Calcula la distancia entre los barcos.

Calculamos y :

sen 43° = 8 = = 7,33 km sen 21° = 8 = = 8,37 km

Para calcular d utilizamos el triángulo de la derecha:

sen 22° =

h = 7,33 · sen 22° = 2,74 km

cos 22° = 8 x = 7,33 · cos 22° = 6,8 km y = 8,37 – x 8 y = 8,37 – 6,8 = 1,57 km Utilizando el teorema de Pitágoras:

d = = = 3,16 km

La distancia entre A y B es de 3,16 km.

√2,74²+ 1,57²

√h²+ y² x 7,33

5 7,33

d

F

A

B

3 km 43° 5 km

21°

3 sen 21°

3 FB FB

5 sen 43°

5 FA FA

FB FA

1

√

2 6

6

√

2

√2 AC AC

a ^6√^—² A

C B

6 cm

A

6 cm C

6 cm a

Pág. 19

d x

h F y

A

8,37 km B 7,33 km 22°

(32)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 165

E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A

50

Observa el triángulo rectángulo MPN, y en las si- guientes igualdades, sustituye los puntos suspensivos por sen, cos o tg.

a) … M^{^}= b) … N^{^}=

c) … M^{^}= d) … N^{^}=

a) sen M^{^}= b) cos N^{^}= c) tg M^{^}= d) sen N^{^}=

51

¿Existe algún ángulo a tal que sen a = 3/5 y tg a = 1/4?

No, porque si sen a = , cos a = = y tg a = = ? .

52

¿Existe algún ángulo agudo cuyo seno sea mayor que la tangente? Justifica la respuesta.

El seno es siempre menor que la tangente, porque seno = y tangente =

y la hipotenusa es, siempre, mayor que el cateto contiguo.

53

En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide el doble que el otro.

¿Cuánto valen las razones trigonométricas del ángulo menor?

sen a = = ; cos a = = ; tg a =

54

¿Puede existir un ángulo cuyo seno sea igual a 2? ¿Y uno cuyo coseno sea igual a 3/2? Razona las respuestas.

No, porque el cateto opuesto es siempre menor que la hipotenusa y, por ello, el valor del seno de un ángulo agudo es siempre menor que 1.

El coseno es también menor que 1 por la misma razón. No puede ser igual a 3/2.

1 2 2

√

5

5 2

√

5

√

5 5 1

√

5

cateto opuesto cateto continguo cateto opuesto

hipotenusa

1 4 3 4 3/5 4/5 4

5

√

^{1 – —}²⁵9 3

5

n p m

n m

p m

p

n p m

n

P

M

m p n

N m

p m

p

R

Pág. 20

1

2

√— 5

a

(33)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

55

Indica, en cada caso, en qué cuadrante está el ángulo a:

a) sen a > 0, cos a < 0 b) tg a > 0, cos a > 0 c) sen a < 0, cos a > 0 d) sen a < 0, cos a < 0

a) 2.° cuadrante. b) 1.^ercuadrante.

c) 4.° cuadrante. d) 3.^ercuadrante.

56

Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo se llaman comple- mentarios porque su suma es uno recto. Observa la figura, completa la tabla y expresa simbólicamente lo que obtienes:

sen a = cos (90° – a) cos a = sen (90° – a) tg a =

57

Usando las relaciones fundamentales, demuestra que:

a) (sen a + cos a)²+ (sen a – cos a)²= 2

b) = 1

c) = tg a

d) 1 + (tg a)²=

a) (sen a + cos a)²+ (sen a – cos a)²=

= (sen a)²+ (cos a)²+ 2sen a cos a + (sen a)²+ (cos a)²– 2sen a cos a = 1 + 1 = 2

b) = = = 1

c) = = = tg a

d) 1 + (tg a)²= 1 + = = 1

(cos a)² (cos a)²+ (sen a)²

(cos a)² (sen a)²

(cos a)²

sen a cos a sen a[(sen a)²+ (cos a)²]

cos a (sen a)³+ sen a · (cos a)²

cos a

sen a sen a sen a[(sen a)²+ (cos a)²]

sen a (sen a)³+ sen a · (cos a)²

sen a 1 (cos a)² (sen a)³+ sen a · (cos a)²

cos a

(sen a)³+ sen a · (cos a)² sen a

1 tg(90° – a)

A C

a a

90° – a B

c

b

Pág. 21

a 9 0 ° – a s e n

c o s t g

a 9 0 ° – a s e n b/a c/a c o s c/a b/a

t g b/c c/b

(34)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

R O F U N D I Z A

58

Sobre la circunferencia goniométrica señalamos un ángulo a en el pri- mer cuadrante y a partir de él dibujamos los ángulos:

180° – a 180° + a 360° – a Busca la relación que existre entre:

a) sen (180° – a) y sen a cos (180° – a) y cos a tg (180° – a) y tg a b) sen (180° + a) y sen a

cos (180° + a) y cos a tg (180° + a) y tg a c) sen (360° – a) y sen a

cos (360° – a) y cos a tg (360° – a) y tg a

a) sen (180° – a) = sen a b) sen (180° + a) = – sen a cos (180° – a) = – cos a cos (180° + a) = – cos a tg (180° – a) = – tg a tg (180° + a) = tg a c) sen (360° – a) = – sen a

cos (360° – a) = cos a tg (360° – a) = – tg a

59

Sitúa el ángulo dado sobre la circunferencia goniométrica y expresa sus razones trigonométricas utilizando un ángulo agudo como en el ejemplo:

Ejemplo: 215°

sen 215° = –sen 35°

cos 215° = –cos 35°

tg 215° = tg 35°

a) 150° b) 240° c) 300°

d) 225° e) 100° f ) 320°

a) sen 150° = sen 30° b) sen 240° = –sen 60°

cos 150° = –cos 30° cos 240° = –cos 60°

tg 150° = –tg 30° tg 240° = tg 60°

240° 60°

150°

30°

180° – a

360° – a 180° + a a

a

P

Pág. 22

(35)

7 Soluciones a los ejercicios y problemas

c) sen 300° = –sen 60° d) sen 225° = –sen 45°

cos 300° = cos 60° cos 225° = –cos 45°

tg 300° = –tg 60° tg 225° = tg 45°

e) sen 100° = sen 80° f ) sen 320° = –sen 40°

cos 100° = –cos 80° cos 320° = cos 40°

tg 100° = –tg 80° tg 320° = –tg 40°

60

Resuelto en el libro de texto.

61

Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0° Ì x Ì 360°:

a) (sen x)²– sen x = 0 b) 2(cos x)²– cos x = 0 c) 3 tg x + 3 = 0

d) 4(sen x)²– 1 = 0 e) 2(cos x)²– cos x – 1 = 0 a) (sen x)²– sen x = 0

sen x (sen x – 1) = 0

b) 2(cos x)²– cos x = 0

cos x (2 cos x – ) = 0

c) 3 tg x + 3 = 0 8 tg x = –1 x = 135°

x = 315°

x = 90°

x = 270°

x = 30°

x = 330°

cos x = 0 cos x = √—

3/2

√3

x = 0 x = 180°

x = 90°

sen x = 0 sen x = 1 8

√3

320° 40°

100° 80°

225° 45°

300°

60°

Pág. 23