Funciones punto medio en continuos

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD

AUTÓNOMA DE PUEBLA

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas

Posgrado en Ciencias Matemáticas

Funciones punto medio

en continuos

T E S I S

que para obtener el título de

Maestro en Ciencias Matemáticas

P R E S E N T A

Iván Serapio Ramos

Directoras de Tesis Dra. María de Jesús López Toriz Dra. Patricia Pellicer Covarrubias

Agradecimientos

Mis más sinceros agradecimientos a la Dra. Patricia Pellicer Covarrubias y la Dra. María de Jesús López Toriz, por dedicar su tiempo y esfuerzo en guiarme durante el largo camino que llevó a la concepción de esta tesis. Siempre me encontraré en deuda.

De igual manera, le doy las gracias al jurado, el Dr. David Herrera Carrasco, el Dr. Raul Escobedo Conde, el Dr. Adrián Ulises Soto Bañuelos y el Dr. Jorge Marcos Martínez Montejano, por haber aceptado leer mi manuscrito y aportar sus valiosas observaciones.

También, agradezco a mis padres, Javier Serapio Carrasco y Ma. del Rosario Ramos García, y a mi mejor mitad, Jesús Torres Hernández, por estar siempre a mi lado cuando más lo necesitaba.

Por último, quiero agradecer a la Vicerrectoría de Investigación y Estudios de Posgrado (VIEP) por su apoyo al proyecto deTópicos de Hiperespacios de Continuosdel cual se desprende este trabajo, así como al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por haber depositado su confianza en mí al concederme una beca para realizar mis estudios de maestría.

Iván Serapio Ramos Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Puebla, Pue. Junio, 2016.

Índice general

Introducción XI

1. Preliminares 1

1.1. Continuos . . . 1

1.2. Clases de funciones . . . 3

1.3. Hiperespacios . . . 7

2. Estructuras del arco 17 2.1. Puntos extremos . . . 17

2.2. Descomposiciones de arcos . . . 27

2.3. Dendroides . . . 30

2.4. Curvas cerradas simples . . . 38

2.5. Puntos medios . . . 45

3. Funciones punto medio continuas 61 3.1. Continuos libres de arcos . . . 61

3.2. Continuos regulares . . . 65

3.3. Continuos hereditariamente localmente conexos . . . 74

3.4. Dendritas . . . 81

4. Funciones punto medio en relación a clases especiales de funciones 89 4.1. Funciones punto medio cerradas . . . 89

4.2. Funciones punto medio abiertas . . . 93

4.3. Funciones punto medio en otras clases de funciones . . . 100

Conclusiones 111

Bibliografía 112

Tabla de Símbolos

⊆

f(A)

f−1_(A)

clX(A)

frX(A) C R N

Inclusión Inclusión propia

Imagen directa deAbajof. Imagen inversa deAbajof. Cerradura deAenX. Frontera deAenX.

Conjunto de los números complejos Conjunto de los números reales.

Conjunto de los números enteros positivos.

Introducción

El tema de la presente tesis pertenece al área de la Topología conocida como Teoría de Continuos y sus Hiperespacios. A grandes rasgos, haremos uso de las funciones de Whitney para introducir una clase de funciones a las cuales se les nombrafunciones punto medio. Obtendremos algunos resultados que relacionan el comportamiento de estas funciones con la estructura de un continuo y sus hiperespacios.

Dado un continuo X, denotaremos por2X _{y C(X) al hiperespacio de los}

conjuntos no vacíos y cerrados enXy al hiperespacio de los subcontinuos deX, respectivamente. Aunque una gran parte de la investigación en la teoría de los hiperespacios de continuos se ha desarrollado para2X

yC(X), Nadler sugiere en [9, p. 601] que la investigación de otros hiperespacios podría ser relevante. Específicamente, propone estudiar propiedades delhiperespacio de arcosde un continuoXel cual se define como

A(X) ={A∈C(X) :Aes un arco enX}.

Años más tarde, A. Soto retoma en [13] la sugerencia de Nadler y define el hiperespacio de arcos y singulares, el cual está dado por

M(X) =A(X)∪ {{x}:x∈X}.

Ahí mismo, Soto obtiene algunas propiedades deM(X)cuando el continuoXes un dendroide, comparando éste hiperespacio con el segundo producto simétrico F2(X)mediante homeomorfismos de la formah:F2(X)→M(X). Basándose

en estos resultados, en [4], A. Illanes caracteriza a las dendritas como los únicos abanicos cuyo hiperespacio de arcos y singulares es homeomorfo a su segundo producto simétrico.

En la presente tesis, introducimos el concepto de funciones punto medio respecto a una función de Whitney y función de puntos extremos. Para esto,

primero consideremos un continuoXy una función de WhitneyµparaC(X). DadosM∈M(X)yp∈X, diremos quepes punto medio deMrespecto deµ si existen dos subcontinuosK,L⊆Xtales que

M=K∪L, K∩L={p} y µ(K) =µ(L).

LaObservación 2.69y elTeorema 2.70aseguran que siXes un continuo yµ es una función de Whitney definida enC(X)entonces todo elemento deM(X)

admite un único punto medio respecto deµ. Por lo tanto, podemos considerar la funciónPµ : M(X)→ Xque a cada elemento deM(X)le asigna su único

punto medio respecto deµ. A ésta función le nombramosfunción punto medio deXrespecto deµ.

En el Capítulo 1, conjuntamos todos los preliminares sobre continuos e hi-perespacios necesarios para desarrollar y entender el trabajo.

En el Capítulo 2 estudiamos propiedades de los arcos y de varias estructuras derivadas de ellos usando una caracterización en términos de los puntos que no son de corte. El resultado principal de este capítulo es la equivalencia entre la continuidad de las funciones punto medio y la continuidad de la función de puntos extremos (Teorema 2.75). Éste es un resultado original y se encuentra publicado en [8].

En el Capítulo 3 se obtienen resultados referentes a la continuidad de las funciones punto medio de un continuo. En la primera sección se muestran dos caracterizaciones de los continuos libres de arcos en términos de la función punto medio (Teoremas 3.4y3.7).

En la segunda sección, demostramos que los continuos regulares tienen fun-ciones punto medio continuas (Teorema 3.21). Además damos un ejemplo de un continuo hereditariamente arco conexo que no es regular pero tiene funciones punto medio continuas (Ejemplo 3.22).

En la tercera sección presentamos un continuo hereditariamente localmente conexo cuya función de puntos medios no es continua (Ejemplo 3.27).

En el Capítulo 4 consideramos varias clases de funciones especiales. En la primera sección probamos la equivalencia entre tener funciones punto medio cerradas y tener función de puntos extremos cerrada, lo cual se relaciona con la continuidad de estas funciones y la compacidad del hiperespacio de arcos y singulares (Teorema 4.2). Obtenemos como consecuencia que las dendritas son los únicos continuos arco conexos que tienen funciones punto medio cerradas (Corolario 4.3). Así mismo, damos una segunda caracterización de las dendritas en términos de la función de puntos extremos: un continuo es una dendrita si y sólo si su función de puntos extremos es cerrada y suprayectiva (Teorema 4.4). En la segunda sección demostramos que si todos los arcos de un continuo son arcos libres entonces todas sus funciones punto medio deben ser abiertas (Teorema 4.7). Como consecuencia tenemos que los arcos (Corolario 4.8), las curvas cerradas simples (Corolario 4.9) y las compactaciones del rayo que ten-gan por residuo un continuo libre de arcos (Corolario 4.10) tienen funciones punto medio abiertas. Por otra parte, probamos que los arcos son las únicas dendritas que admiten funciones punto medio abiertas (Teorema 4.14). Damos una equivalencia entre la conexidad local y tener función de puntos extremos abierta (Teorema 4.17), con lo cual obtenemos una tercera caracterización de las dendritas: un continuo es una dendrita si y sólo si su función de puntos extremos es abierta e inyectiva (Teorema 4.18).

Capítulo 1

Preliminares

§1 Continuos

Iniciaremos el estudio de los preliminares presentando algunos resultados generales dentro de la teoría de los continuos.

1.1 Definición. Uncontinuoes un espacio topológico no degenerado, conexo, compacto y metrizable. A los subconjuntos cerrados, conexos y no vacíos de un continuo les llamaremossubcontinuos.

1.2 TEOREMA(de Golpes en la Frontera). SeanXun continuo cualquiera y Eun subconjunto propio y no vacío deX. SiKes una componente deEentonces clX(K)∩frX(E)̸=∅.

Demostración. Véase [10, Teorema 5.6].

1.3 Corolario. SeaXun continuo cualquiera. SiBes un subcontinuo deXyU es un conjunto abierto enXque contiene propiamente aBentonces existe un subcontinuoKenXde manera queB K⊆U.

Demostración. Véase [10, Corolario 5.5].

1.4 Definición. SeaXun espacio topológico cualquiera.

(a) X es conexo por trayectorias si para cualesquierax,y ∈ X existe una función continuaα: [0,1]→Xtal queα(0) =xyα(1) =y.

(b) Xesarco conexosi dados dos puntos distintosx,y∈Xexiste un encaje α: [0,1],→Xtal queα(0) =xyα(1) =y.

Claramente, la arco conexidad siempre implica conexidad por trayectorias. Sin embargo, basta considerar cualquier espacio numerable y no degenerado con la topología indiscreta para notar que la implicación recíproca no se satisface.

1.5 TEOREMA. En la clase de los espacios Hausdorff, la arco conexidad y la conexidad por trayectorias son equivalentes.

Demostración. Véase [14, Corolario 31.6]

En lo sucesivo, dado un espacio topológicoX, un subconjuntoA⊆Xy un puntop∈X, diremos quepes unpunto interiordeA(enX), o bien, queAes una vecindaddep(enX), si existe un conjunto abiertoU⊆Xtal quep∈U⊆A. Cabe notar que una vecindad no es necesariamente un conjunto abierto.

1.6 Definición. Consideremos un espacio topológicoXy un puntox∈X.

(a) Xesconexo en pequeño(abreviado comocik) en el puntop, o bien,pes un punto deconexidad en pequeñodeX, si toda vecindad depcontiene una vecindad conexa dep. Si todos los puntos deXson puntos de conexidad en pequeño, entonces diremos simplemente queXesconexo en pequeño.

(b) Xeslocalmente conexoen el puntop, o bien,pes un punto deconexidad localdeX, si toda vecindad depcontiene una vecindad abierta y conexa dep. Análogamente, si todos los puntos deXson puntos de conexidad local, entonces diremos queXeslocalmente conexo.

Observemos que, aunque la conexidad local y la conexidad en pequeño son conceptos muy similares, existen ejemplos que muestran que puntualmente no son definiciones equivalentes (véase [14, Ejemplo 27.15]). No obstante, cuando se consideran estas dos propiedades de manera global se obtiene una serie de equivalencias las cuales aparecen enlistadas en el siguiente teorema.

1.7 TEOREMA. Para cualquier espacio topológicoXlas siguientes proposi-ciones son equivalentes entre sí:

(2) Xes conexo en pequeño,

(3) Xadmite una base formada por conjuntos abiertos y conexos,

(4) toda componente de un conjunto abierto en Xes también un conjunto abierto.

Demostración. La equivalencia(1)⇔(3)se sigue inmediatamente de la defi-nición. Para la prueba de(1)⇔(2)véase [14, Teorema 27.16] y para(1)⇔(4)

véase [14, Teorema 27.9].

Concluimos esta sección con dos resultados referentes a la arco conexidad que serán de gran utilidad a lo largo del presente trabajo.

1.8 TEOREMA(de Arco Conexidad). Cualquier subconjunto abierto y conexo de un continuo localmente conexo es arco conexo.

Demostración. Véase [10, Teorema 8.26].

1.9 Corolario. Todo continuo localmente conexo es arco conexo.

Demostración. Se sigue inmediatamente delTeorema 1.8.

§2 Clases de funciones

En esta sección presentaremos las clases de funciones que serán estudiadas posteriormente, así como algunas caracterizaciones útiles de estas clases.

1.10 Proposición. Una funciónf : X → Yentre dos espacios metrizables es continua en un puntox∈Xsi y sólo si para cada sucesión(xn)n∈Ncontenida enXse tiene quexn→ximplicaf(xn)→f(x).

Demostración. Véase [1, Teorema 1. F. 9].

1.11 Proposición. Sif : X → Yes una función entre espacios metrizables y Yes un espacio compacto, entoncesfes continua en el puntox∈ Xsi y sólo si, dada cualquier sucesión(xn)n_∈Ncontenida enXcuya sucesión de imágenes

(f(xn))n∈Nes convergente enYse tiene quexn →ximplicaf(xn)→f(x).

Demostración. La necesidad se sigue inmediatamente de laProposición 1.10. Probaremos la suficiencia por contrarrecíproca.

Supongamos que la funciónf : X →Yno es continua en el puntox. Esto implica que existe una sucesión(xn)n_∈NenX, tal quexn→xperof(xn)9f(x).

Por lo tanto, podemos hallar un conjuntoUabierto enYde manera quef(x)∈U, y para cadan∈N, existem∈Nconm>n, tal quef(xm)∈/U. Esta propiedad

nos permite construir una sucesión(x′n)n∈Nque sea subsucesión de(xn)n∈N, y que además cumpla quef(x′_n)∈/Upara todon∈N.

Dado queY es un espacio compacto, (f(x′n))n∈N admite una subsucesión convergente, es decir, existe una sucesión(x′′_n)n_∈N, subsucesión de(x′n)n_∈N, tal

quef(x′′n)→y, para algúny∈Y. Notemos queUes abierto enYyf(x′′n)∈/ U,

para cadan∈N. De esto se sigue quey∈/ Uy consecuentementey̸=f(x). Así,

(x′′n)n∈Nes una sucesión enXcuya sucesión de imágenes bajofconverge enY, la cual cumple quex′′n →xperof(x′′n)9f(x). Esto concluye la demostración.

Una función entre espacios topológicosf:X→Yescerradasi la imagen bajofde cualquier conjunto cerrado enXes un conjunto cerrado enY.

1.12 Proposición. SiXes un espacio compacto yYes un espacio Hausdorff, entonces toda función continuaf:X→Yes cerrada.

Demostración. Véase [2, Teorema 2.1, p. 226]. Por otro lado, una función entre espacios topológicosf:X→Yesabierta si la imagen bajofde cualquier conjunto abierto enXes un conjunto abierto enY. Claramente, las funciones abiertas mandan vecindades de un punto en vecindades de su imagen, lo cual sugiere la siguiente definición puntual.

1.13 Definición. Una funciónf:X→Yentre espacios topológicos esabierta en un puntox∈Xsi la imagen de cualquier vecindad dexenXes una vecindad def(x)enY.

1.14 Proposición. Una función entre espacios metrizablesf:X→Yes abierta en un puntox∈Xsi y sólo si para cada sucesión(yn)n∈Nque converja af(x)en Yexiste una sucesión(xn)n_∈NenXde manera quexn →xyf(xn) =yn, salvo

un número finito de términos.

Demostración. Primeramente, supongamos que la función f es abierta en el puntox, y consideremos una sucesión(yn)n∈NenYque converja af(x). Lue-go, elegimos una colección{Vm}m_∈Nque sea una base local anidada deXen el

puntox. Aplicando la hipótesis tenemos que{f(Vm)}m∈Nes una familia anidada de vecindades def(x)enY. Ahora, comoyn→f(x), para cadam∈Npodemos

hallarσ(m)∈Nde tal manera que sin∈Nyn≥σ(m)entoncesyn∈f(Vm).

Más aún, como {f(Um)}m∈N es una familia anidada, podemos suponer que

σ(m)< σ(m+1)para todom∈N, y consecuentemente,σ(m)→ ∞.

A continuación se construye la sucesión(xn)n∈N. Sin ∈ Ny n < σ(1)

tomamos cualquier puntoxn ∈X. Por otra parte, sin ≥σ(1), podemos hallar

un únicok ∈ Ntal queσ(k) ≤ n < σ(k+1), y por tanto,yn ∈ f(Uk). Así,

podemos elegir un puntoxn∈Uktal queyn=f(xn). De esta forma, la sucesión

(xn)n∈Ncumple quef(xn) = yn, salvo un número finito de términos. También

nótese que para cadam∈Nse tiene que sin∈Nyn≥σ(m)entonces existe k∈Nconk≥m, tal queσ(k)≤n< σ(k+1)_{. Esto implica que}xn∈Vk⊆Vm,

para cadan≥σ(m). Dado que{Vm}m_∈Nes una base local deXen el puntox,

concluimos quexn→x.

Por último, probaremos la suficiencia por contrarrecíproca. Si la funciónf no es abierta en el puntox, entonces existe una vecindad dexenX, digamosV, de manera quef(V)no es una vecindad def(x)enY. En consecuencia, podemos hallar una sucesión(yn)n∈NenYtal queyn →f(x)yyn∈/f(V), para cadan∈N.

De esta manera, si la sucesión(xn)n_∈Ncumple quef(xn) =yn, salvo un número

finito de términos, entoncesVsólo puede contener un número finito de términos de(xn)n_∈N. Por lo tanto,xn9x, que es lo que se quería probar.

1.15 Observación. En laProposición 1.14podemos cambiar «salvo un número finito de términos» por «para cadan ∈N» siempre que la funciónf :X→Y sea suprayectiva.

1.16 Proposición. Seaf:X→Yuna función abierta, continua y suprayectiva entre espacios metrizables. Dados un puntox∈Xy una sucesión(yn)n∈NenY, se cumple queyn →f(x)si y sólo si existe una sucesión(xn)n_∈NenXtal que

xn→xyyn=f(xn), para cadan∈N.

Para la clase de los homeomorfismos se tiene un resultado muy similar a la Proposición 1.12.

1.17 Proposición. SiXes un espacio compacto yYes un espacio Hausdorff, entonces toda función biyectiva y continuaf:X→Yes un homeomorfismo. Demostración. Véase [2, Teorema 2.1, p. 226].

Ahora enlistaremos algunos tipos de funciones comúnnmente estudiados dentro de la Teoría de Continuos.

1.18 Definición. Consideremos una función continua y suprayectivaf:X→Y entre espacios metrizables.

(a) fesatómicasi para cada subcontinuoK⊆Xtal quef(K)_{es un conjunto}

no degenerado, se cumple quef−1_{(f(K)) =K.}

(b) fesmonótonasi para caday∈Y, la fibraf−1_{({y})es un conjunto conexo.}

(c) fesligerasi para caday∈Y, la fibraf−1_({y})

es un conjunto totalmente disconexo, es decir, sus componentes son singulares.

(d) fesconfluentesi para todo subcontinuoQ⊆Yy toda componenteCde f−1_{(Q)se cumple quef(C) =Q.}

(e) fesdébilmente confluentesi dado cualquier subcontinuoQ ⊆ Yexiste una componenteCdef−1_(Q)

tal quef(C) =Q.

(f) fesatriódicasi para todo subcontinuoQ⊆Yexisten dos componentes C1yC2def−1(Q)tales quef(C1)∪f(C2) =Q. Además, para cualquier

otra componenteCdef−1_(Q)

se tiene quef(C)⊆f(C1)of(C)⊆f(C2).

1.19 Proposición. Toda función confluente es débilmente confluente.

1.20 Proposición. Toda función débilmente confluente es atriódica.

Demostración. Sif : X → Yes una función débilmente confluente entre dos espacios metrizables, entonces para cada subcontinuoQ ⊆Ypodemos hallar una componente def−1_{(Q), llámeseC}

Esto demuestra que la funciónfes atriódica.

§3 Hiperespacios

Para terminar el capítulo de preliminares, presentaremos algunas nociones elementales de la teoría de los hiperespacios de continuos. La mayor parte del material de esta sección se puede consultar en [6].

1.21 Definición. Dado un continuoXse define el conjunto:

2X={B⊆X:Bes no vacío y cerrado enX}. SeanHun subconjunto de2X

y

C

={C1, . . . ,Cn}una colección finita de

subconjuntos deX. Se define elvietórico determinado por

C

enH, denotado por⟨C1, . . . ,Cn⟩H, como el conjunto:

SiXes un continuo, la familia de todos los vietóricos en2X_{determinados por}

colecciones finitas de conjuntos abiertos enXes una base para una topología sobre2X_{(véase [6, Teorema 1.2]) a la cual se le nombratopología de Vietoris.}

Con esta topología2X

es conocido como elhiperespacio de cerradosdeX. De la definición anterior se observa que siAes un subconjunto no vacío de un continuoX, entonces para todoH⊆2X_{se tiene que}

⟨A⟩H={B∈H : B⊆A} y ⟨X,A⟩H={B∈H : B∩A̸=∅}.

La importancia de este tipo de vietóricos se ilustra en el siguiente teorema.

1.22 TEOREMA. SiXes un continuo cualquiera, la colección de todos los vietóricos de la forma⟨U⟩2Xy⟨X,U⟩₂X, dondeUes un conjunto abierto enX,

es una subbase para el hiperespacio2X

Demostración. Véase [6, Teorema 1.2]

1.23 Proposición. Seaf:X →Yuna función continua entre continuos. Si se define

2f(B) =f(B), _{para cada}B∈2X,

entonces2f _{: 2}X _{→ 2}Y _{es una función continua a la cual le nombraremos la}

función inducidaporfa los hiperespacios de cerrados.

Demostración. Primeramente, notemos que debido a laProposición 1.12, la función2f_:2X_→2Y_{se encuentra bien definida, pues para cadaB∈2}X_{se tiene}

quef(B)∈2Y

. Luego, siUes un conjunto abierto enYentonces:

(2f)−1(⟨U⟩2Y) =⟨f−1(U)⟩₂X y (2f)−1(⟨Y,U⟩₂Y) =⟨X,f−1(U)⟩₂X.

Como consecuencia delTeorema 1.22,2f_{es una función continua.}

1.24 Proposición. Considérese un continuoX. Si se define φ(A,B) =A∪B, para cualesquieraA,B∈2X, entoncesφ:2X_×2X_→2X_{es una función continua.}

Demostración. Dado cualquier conjuntoUabierto enXse tiene que: φ−1(⟨U⟩2X) =⟨U⟩₂X× ⟨U⟩₂X,

φ−1(⟨X,U⟩2X) =

(

⟨X,U⟩2X×2X

)

∪(2X× ⟨X,U⟩2X

) .

Por lo tanto, se sigue delTeorema 1.22que la funciónφes continua.

SeanXun continuo yduna métrica admisible paraX. DadosF∈2X_{yε >0}

definimos lanubede radioε_{alrededor de}Frespecto dedcomo el conjunto Nd(ε,F) ={p∈X : d(p,F)< ε}.

Es claro que

Nd(ε,F) =

∪

q∈F

Bd(q, ε),

dondeBd(p, ε)denota labola abiertade radioεcon centro enprespecto a la

métricad. Ahora, para cualesquieraE,F∈2X_{, se define}

La funciónHdse conoce como lamétrica de Hausdorffpara2Xinducida pord.

Para una prueba de queHdes una métrica consúltese [6, Teorema 2.2]. 1.25 TEOREMA. SiXes un continuo entonces2X _{también es un continuo.}

Más aún, sides una métrica admisible paraXentonces la métrica de Hausdorff para2X_{inducida pordgenera la topología de Vietoris en2}X_.

Demostración. En [6, Teorema 3.1] se prueba que la topología generada por la métrica de Hausdorff coincide con la topología de Vietoris. Para una prueba de que2X

es un continuo consúltense [6, Teorema 3.5] y [5, Teorema 2.4].

1.26 Lema. SeanXun continuo,duna métrica admisible paraXyE,F∈2X_.

Si existe un número realr≥0tal que

(1) para cadap∈E,d(p,F)≤r y,

(2) _{para cada}q∈F,d(q,E)≤r,

entoncesHd(E,F) ≤r. Más aún, si existe un punto deEdonde se cumpla la

igualdad en(1)entoncesHd(E,F) =r.

Demostración. Considéreseε >r≥0. Como consecuencia de(1), para cada p ∈ Ese cumple qued(p,F) < ε, es decir,p ∈ Nd(ε,F). Esto implica que

E ⊆Nd(ε,F). Análogamente, se deduce de(2)queF⊆Nd(ε,E). Aplicando

la definición de métrica de Hausdorff obtenemos que Hd(E,F)≤ε, para cadaε >r.

Por lo tanto, necesariamente ocurre queHd(E,F)≥r.

Ahora, supóngase que existe un puntop0 ∈Ede manera qued(p0,F) =r.

Nótese que siηes un número real yη >Hd(E,F), entonces podemos hallar un

númeroε >0tal queE⊆Nd(ε,F),F⊆Nd(ε,E)yε < η.Así, ya quep0∈E,

se sigue que

r=d(p0,F)< ε < η, para cadaη >Hd(E,F).

1.27 Lema. Consideremos un continuoX. SiBes un conjunto cerrado enXy entoncesp∈/ B, así que podemos hallar un conjuntoUabierto enXde manera quep ∈UyclX(U)∩B =∅. Nótese queB⊆XrclX(U), por lo cual existe

entoncesVes una vecindad abierta depque no intersecta al conjuntoF, es decir, V⊆XrF. Esto demuestra queFes un conjunto cerrado enX.

1.28 Proposición. SiXes un continuo cualquiera, el conjunto

F={(A,B)∈2X×2X : A⊆B},

Por lo tanto, ya que el hiperespacio2X _{es metrizable, el conjuntoFdebe ser}

cerrado en2X

. La última parte de la proposición se deduce inmediatamente, pues(An,Bn)→(A,B)y(An,Bn)∈Fsalvo un número finito de términos.

1.29 Proposición. Considérese un continuo X. SiB ∈ 2X

y (Bn)n∈Nes una sucesión en2X_{tal queB}

n →B, entonces para cadax∈ Bexiste una sucesión

Demostración. Elijamos una métrica admisibledpara el continuoXy seaHd

la métrica de Hausdorff inducida pord. Por definición, para cadan∈Ny cada α >0tales queHd(B,Bn)< α, es posible hallarε >0de manera que

B⊆Nd(ε,Bn), Bn⊆Nd(ε,B) y ε < α.

Así, dadox ∈ Bexiste un punto y ∈ Bn tal qued(x,y) < ε < α. Por lo

tanto, si definimosα= m´ın{d(x,y) :y∈Bn}entonces0 ≤α≤Hd(B,Bn).

Luego, comoBnes un conjunto compacto enX, se puede elegirxn∈Bntal que

d(x,xn) =α. En consecuencia,

0≤d(x,xn)≤Hd(B,Bn), para cadan∈N.

Dado queBn→B, se sigue quexn→x, que es lo que se quería demostrar. 1.30 Definición. SeaXun continuo cualquiera. Para cadan ∈ Nse define el siguiente subespacio de2X

Fn(X) ={F⊆X : 1≤ |F| ≤n}.

Al hiperespacioFn(X)se le conoce como eln-ésimo producto simétricodeX.

En particular, aF1(X)también se le nombrahiperespacio de singularesdeX.

La primera parte de la siguiente proposición aparece en [5, Lema 2.3].

1.31 Proposición. SeaXun continuo. Si para cadan∈Ndefinimos gn((x1, . . . ,xn)) ={x1, . . . ,xn}, para cualesquierax1, . . . ,xn∈X,

entoncesgn :Xn→Fn(X)es una función continua y suprayectiva. Más aún, la

funcióng2:X2→F2(X)es abierta yg1:X→F1(X)es un homeomorfismo.

Demostración. De laDefinición 1.30claramente se sigue quegnes una función

suprayectiva. Luego, para cadak∈ {1, . . . ,n}, denotemos porπk:Xn →Xa la

k-ésima proyección canónica deXn_{. Obsérvese que siUes un conjunto abierto}

enX, entonces

g−1

n (⟨U⟩Fn(X)) =

n

∩

k=1

π_k−1(U) y g−1

n (⟨X,U⟩Fn(X)) =

n

∪

k=1

Ahora, siUyVson conjuntos abiertos enX, fácilmente se verifica que g2(U×V) =⟨U,V⟩F2(X),

es decir, la imagen directa bajog2de todo básico canónico deX2es un conjunto

abierto enF2(X). Esto prueba que la funcióng2es abierta.

Por último, dado queg1es una función continua y biyectiva, se sigue de la

Proposición 1.17queg1es un homeomorfismo.

1.32 Corolario. Todos los productos simétricos de un continuo son continuos. Demostración. Se sigue de la primera parte de laProposición 1.31.

1.33 Proposición. SeanXun continuo,B∈F2(X)y(Bn)n∈Nuna sucesión en F2(X). SiB={p,q}entoncesBn →Bsi y sólo si existen sucesiones(pn)n_∈N

y(qn)n∈NenXtalespn→p,qn→qyBn={pn,qn}, para cadan∈N.

Demostración. Aplíquense lasProposición 1.16y1.31.

1.34 Definición. Dado un continuoX, se define el siguiente subespacio de2X

: C(X) ={K∈2X:Kes conexo}.

A este espacio se le conoce como elhiperespacio de subcontinuosdeX.

1.35 Observación. Para todo continuoXse cumple queF1(X)⊆C(X)⊆2X.

Se sabe que siXes un continuo entonces el hiperespacioC(X)es un continuo arco conexo. La prueba de este resultado se puede consultar en [5, Teorema 4.3, Corolario 6.11]. Parte de la herramienta empleada en dicha demostración es presentada a continuación.

1.36 Definición. Consideremos un continuoX. Unafunción de Whitneypara C(X)es una función continuaµ:C(X)→[0,∞)que cumple lo siguiente:

(1) para cadaB∈F1(X)se tiene queµ(B) =0y

1.37 TEOREMA. Cualquier continuo admite funciones de Whitney para su hiperespacio de subcontinuos.

Demostración. Véase [6, Teorema 13.4].

En cierto sentido, las funciones de Whitney miden el «tamaño» de lo sub-continuos de un continuo. Estas funciones jugarán un papel importante en la definición de las funciones punto medio.

1.38 Lema. SeanXun continuo y µuna función de Whitney paraC(X). Si p ∈ X yU es una vecindad abierta dep enX, entonces podemos hallar un número realδ >0de manera que, para cadaC∈C(X)conp∈Cyµ(C)< δ se cumple queC⊆U.

Demostración. DefinamosP=⟨X,{p},XrU⟩C(X).Obsérvese que C(X)rP=⟨Xr{p}⟩C(X)∪ ⟨U⟩C(X),

así quePes un conjunto cerrado enC(X). ComoC(X)es un espacio compacto, podemos hallarK0∈Pde manera queµ(K0) = m´ın{µ(K) :K∈P}. Ahora,

tomemosδ=µ(K0). Dado quep∈K0∩UyK0∩(XrU)̸=∅, el subcontinuo

K0 es no degenerado, lo cual implica queδ > 0. En consecuencia, para cada

C ∈ C(X), sip ∈ Cy µ(C) < δ entoncesC ∈/ P. De aquí se deduce que

C∩(XrU) =∅, es decir,C⊆U.

1.39 Definición. Dado un continuoX, unarco ordenadoenC(X)_{es una función}

continuaα: [0,1]→C(X)tal que para cualesquieras,t ∈[0,1]cons<tse cumple queα(s) α(t)_{. Si}K=α(0)_yL =α(1)_{, diremos que}α_{es un arco} ordenado que vadesdeKhastaL.

1.40 TEOREMA. Sea Xun continuo cualquiera. SiK,L ∈ C(X)y K L entonces existe un arco ordenado enC(X)que va desdeKhastaL.

Demostración. Véase [6, Teorema 14.6].

1.42 Corolario. SeanXun continuo yµuna función de Whitney paraC(X). Si KyLson subcontinuos deXconK Lentonces, para cadaθ∈(µ(K), µ(L)), existe un subcontinuoB⊆Xtal queK B Lyµ(B) =θ.

Demostración. Basta considerar un arco ordenadoαdesdeKhastaLy luego aplicar elTeorema del Valor Intermedioa la función compuestaµ◦α_.

1.43 Definición. Considérese un continuoXy una función de Whitneyµpara C(X). Siα: [a,b]→C(X)es un arco ordenado enC(X)y para cadat∈[a,b]

se cumple que queµ(α(t)) =t, entonces diremos queα_{es un}arco ordenado parametrizadopor µ. Nótese que si el arco ordenadoαva desdeKhastaL, entoncesa=µ(K)_yb=µ(L)_.

1.44 TEOREMA. SeanXun continuo yµuna función de Whitney paraC(X). SiK,L∈C(X)yK Lentonces existe un arco ordenado parametrizado porµ que va desdeKhastaL.

Demostración. Por elTeorema 1.40, existe un arco ordenadoα: [0,1]→C(X)

que va desdeKhastaL. Nótese que para cadat∈[0,1], K⊆α(t)⊆L ⇒ µ(K)≤µ(α(t))≤µ(L),

así que podemos definirg: [0,1]→[µ(K), µ(L)]como g(t) =µ(α(t)), para cadat∈[0,1].

Claramente,ges una función continua. También se observa que sis,t∈[0,1]

ys<tentonces

α(s) α(t) ⇒ g(s) =µ(α(s))< µ(α(t)) =g(t).

Esto implica queges una función estrictamente creciente. Por lo tanto, como g(0) = µ(K)y g(1) = µ(L), la funciónges biyectiva y su función inversa g−1 _{: [µ(K), µ(L)] → [0,1]}

es continua y estrictamente creciente. Ahora, si definimosγ=α◦g−1_{: [µ(K), µ(L)]→C(X), ocurre lo siguiente:}

(i) Para cualesquieras,t∈[µ(K), µ(L)], se cumple que

(ii) Dadot∈[µ(K), µ(L)]se tiene que

µ(γ(t)) =µ(α(g−1_{(t))) =g(g}−1_{(t)) =t.}

(iii) Comog(0) =µ(K)yg(1) =µ(L), se sigue que γ(µ(K)) =α(g−1_{(µ(K))) =α(0) =K}

y γ(µ(L)) =α(g−1_{(µ(L))) =α(1) =L.}

De (i)_— (iii)_{podemos concluir que}γ : [µ(K), µ(L)] → C(X)_{es un arco}

Capítulo 2

Estructuras del arco

El presente capítulo será dedicado al estudio de losarcos, esto es, espacios que son homeomorfos al intervalo real[0,1]. Además, se harán algunas cons-trucciones particulares como el hiperespacios de arcos y singulares, la función de puntos extremos y las funciones punto medio de un continuo.

§1 Puntos extremos

El propósito de esta sección es introducir una caracterización de los arcos en términos de puntos que no son de corte. Esto nos permitirá desarrollar una teoría de los arcos que prescinede del uso de homeomorfismos con el intervalo

[0,1]. Fuera de esta sección, la mayor parte de los resultados aquí obtenidos no serán citados pues se supondrá que el lector ya está familiarizado con ellos y está convencido de su veracidad por ser geométricamente intuitivos.

2.1 Definición. Dados un espacio topológicoXy dos subconjuntosA,B⊆ X diremos que:

(a) AyBdesconectanaX, o bien, queAyBforman unadisconexióndeX, si AyBson conjuntos no vacíos ajenos entre sí y abiertos enXde manera queX=A∪B.

(b) AyBsonmutuamente separadosenXsiclX(A)∩B=∅=A∩clX(B).

2.2 Observación. Dos subconjuntos no vacíosAyBde un espacio topológico Xson mutuamente separados si y sólo siAyBdesconectan aA∪B.

2.3 Proposición. Consideremos un continuoXy un conjunto conexoC⊆X. SiAyBson subconjuntos deXque forman una disconexión deXrC, entonces los conjuntosA∪CyB∪Cson conexos. Además, siCes un subcontinuo deX entoncesA∪CyB∪Ctambién son subcontinuos deX.

Demostración. Bastará probar queA∪Ces un conjunto conexo, pues la prueba paraB∪Ces completamente análoga.

SeaGyHun par de conjuntos mutuamente separados enXcuya unión es A∪C. ComoCes un conjunto conexo contenido enG∪H, se sigue queCestá contenido en alguno de estos dos uniendos. Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad queC⊆G. Lo anterior implica queH⊆A, por lo cual HyBson mutuamente separados. Observemos queHyB∪Gson conjuntos mutuamente separados cuya unión esX. Dado queXes un continuo, el conjunto Hdebe ser vacío. Esto demuestra queA∪Ces un conjunto conexo.

Para probar la segunda parte de la proposición, notemos que si Ces un subcontinuo entonces, por laObservación 2.2, los conjuntosAyBson abiertos enXrC, y consecuentemente abiertos enX. Por lo tanto, ya que

Xr(A∪C) =B y Xr(B∪C) =A,

se deduce queA∪CyB∪Cson subcontinuos deX

2.4 Definición. Dados un continuo Xy un puntop ∈ X se dirá quep es un punto de cortedeXsi el conjuntoXr{p}no es conexo.

Recordemos que si

L

es un conjunto parcialmente ordenado, unacadenaen

L

es un subconjunto tal que cualesquiera dos de sus elementos son comparables respecto al orden parcial de

L

.

2.5 TEOREMA(Principio Maximal de Hausdorff). Si

L

es una colección de conjuntos parcialmente ordenada por la inclusión, entonces toda cadena en

L

está contenida en una cadena

C

que esmaximal, esto es,

C

no está contenida propiamente en ninguna otra cadena.

Emplearemos elPrincipio Maximal de Hausdorffpara probar la existencia de puntos que no son de corte en cualquier continuo. Este resultado aparece en [10, Teorema 6.6].

2.6 TEOREMA. SeanXun continuo ypun punto de corte deX. SiUy V son subconjuntos deXque desconectan aXr{p}, entonces tantoUcomoV contienen al menos un punto que no es punto de corte deX.

Demostración. Sólo se probará la afirmación del teorema para el conjuntoU, pues la prueba paraVes análoga.

SeaNel conjunto de todos los puntos deUque son puntos de corte deX. Para todox∈Nexisten dos conjuntos abiertos enX, digamosUxyVx, que forman

una disconexión deXr{x}. Comox̸=p, podemos suponer quep ∈Vxpara

cadax∈N. De laProposición 2.3se deduce queUx∪ {x}es un subcontinuo

deXel cual está contenido enXr{p}=U∪V. Así, ya quex∈Use sigue que Ux∪ {x} ⊆U.

Afirmación.Six∈Nyy∈Ux∩N, entoncesUy∪ {y} ⊆Ux Ux∪ {x}.

Demostración.Nótese que siy∈UxentoncesVx∪ {x} ⊆Uy∪Vy. Dado que

Vx∪ {x}es un continuo yp∈Vx∩Vyse sigue queVx∪ {x} ⊆Vy. De aquí que

x∈Vyy por tantoUy∪ {y} ⊆Ux∪Vx. Nuevamente, ya queUy∪ {y}es un

continuo yy∈Uxse deduce queUy∪ {y} ⊆Ux.H

Consideremos la colección

L

={Ux∪ {x}:x∈N}. Como consecuencia

delPrincipio Maximal de Hausdorff 2.5podemos tomar una cadena maximal

C

⊆

L

. Observemos que

C

es una colección de conjuntos no vacíos y cerrados enX. Además, cualesquiera dos elementos de

C

son comparables respecto a la inclusión, así que la colección

C

tiene la propiedad de la intersección finita. Por lo tanto, aplicando la compacidad deX, tomamos un puntoq∈∩

C

. Dado que todo elemento de

C

es un subconjunto deU, se sigue queq∈U. Siq∈/ N entonces la prueba termina, ya queqsería un punto deUque no es un punto de corte deX. Veamos ahora el caso en queq∈N.

Obsérvese que, para todo x ∈ N, se tiene queq ∈ Ux∪ {x}. Siq = x,

es claro queUq∪ {q} = Ux∪ {x}, y siq ∈ Ux, laAfirmaciónimplica que

Uq∪ {q} Ux∪ {x}. En consecuencia,Uq ∪ {q} es comparable con todo

elemento de

C

respecto a la relación de inclusión. Aplicando la maximalidad de

C

se obtiene queUq∪ {q} ∈

C

. Más aún,Uq∪ {q}es el elemento mínimo

de

C

así que no existe ningúny∈Ntal queUy∪ {y} Uq∪ {q}, pues de lo

cadena

C

. Por lo tanto, laAfirmaciónimplica queUq∩N=∅. ComoUq⊆U,

se sigue queUcontiene puntos deXque no son de corte, que es lo que se quería

demostrar.

2.7 Corolario. Todo continuo tiene al menos dos puntos que no son de corte. Demostración. SiXes un continuo que no tiene puntos de corte, entoncesX posee una infinidad de puntos que no son de corte, pues el conjuntoXes no numerable. Por otro lado, siXtiene al menos un punto de corte basta aplicar el Teorema 2.6para obtener dos puntos deXque no son de corte.

Obsérvese que el intervalo real[0,1]es un continuo con dos únicos puntos que no son de corte, a saber,0y1. ¿Existe algún otro continuo, topológicamente distinto a[0,1], que también tenga dos únicos puntos que no son de corte? La respuesta a esta pregunta es negativa y se presenta en el siguiente teorema cuya demostración se puede consultar en [10, Corolario 9.29].

2.8 TEOREMA. Un continuo es un arco si y sólo si tiene exactamente dos puntos que no son de corte.

En lo sucesivo tomaremos la caracterización en el Teorema 2.8como la definición dearco.

2.9 Definición. SiXes un arco llamaremospuntos extremosa los únicos dos puntos deXque no son de corte.

Considérese un espacioX. Siα: [0,1],→Xes un encaje entonces la imagen deαes un arco enXcuyos puntos extremos sonα(0)yα(1). Por otra parte, dado un arcoA ⊆ Xexiste un encajeα: [0,1] ,→ Xcuya imagen esA. Más aún, los puntos extremos del arcoAsonα(0)y α(1). Esta correspondencia entre arcos y encajes del intervalo[0,1]nos permite reemplazar la definición de arco conexidad en laDefinición 1.4por un enunciado equivalente. Así, diremos que un espacio topológicoXesarco conexosi cualesquiera dos de sus puntos distintos son los puntos extremos de un arco enX.

2.11 TEOREMA. Todo continuo no degenerado es irreducible alrededor del conjunto de sus puntos que no son de corte. En particular, todos los arcos son irreducibles entre sus dos puntos extremos.

Demostración. SeanXun continuo yNel conjunto de todos los puntos deXque no son de corte. Para demostrar queXes irreducible alrededor deNse probará que siYes un subcontinuo deXque contiene aNentoncesY=X. Dado queY contiene a todos los puntos deXque no son de corte, resta ver queYcontiene a todos los puntos deXque sí son de corte. Así, supongamos quepes un punto de corte deXy elijamos un par de conjuntosUyVque formen una disconexión de Xr{p}. Debido alTeorema 2.6, tantoUcomoVdeben contener puntos deN, lo cual implica queYintersecta aUy aV. ComoYes un continuo se sigue que Y*U∪V, es decir,p∈Y. Esto demuestra queYcontiene a todos los puntos

de corte deXy en consecuenciaY=X.

2.12 Proposición. SeanXun arco yp un punto de corte deX. SiUyVson conjuntos abiertos enXque desconectan aXr{p}ya∈Ues un punto extremo deX, entoncesU∪ {p}es un arco cuyos puntos extremos sonayp.

Demostración. Primero notemos que sibes el otro punto extremo deXentonces se sigue de2.6 que b ∈ V. Por lo tanto, si x ∈ Uy x ̸= a entoncesxes un punto de corte de X. Elíjanse dos conjuntos abiertosU′ y V′ que formen una disconexión deXr{x}. Nuevamente, por2.6, podemos suponer sin perder generalidad quea∈U′yb∈V′. Obsérverse quex∈/ V∪{p}así queV∪{p} ⊆ U′∪V′. Luego, comob∈V∩V′, se sigue queV∪ {p} ⊆V′y particularmente p∈V′. De esta manera,U∪ {p}interesecta tanto aU′ como aV′, por lo cual xes un punto de corte deU∪ {p}. Hemos probado que todo punto deU∪ {p} distinto deay depes un punto de corte. Se sigue delCorolario 2.7queayp son los únicos dos puntos del continuoU∪ {p}que no son de corte, es decir,

U∪ {p}es un arco con extremosayp.

2.13 TEOREMA. Los arcos son continuos arco conexos.

dichos puntos como puntos extremos. Por lo tanto, resta ver el caso en que tanto pcomoqson puntos de corte. Para esto, elíjanse dos conjuntosUyVque formen una disconexión deXr{p}. Podemos suponer, sin perder generalidad alguna, queq∈U. Siaes el punto extremo deXcontenido enU, se sigue de2.12que U∪{p}es un arco cuyos puntos extremos sonayp. Notemos queqes un punto de corte deU∪ {p}así que podemos volver aplicar laProposición 2.12para obtener un arco enU∪ {p}, que también está contenido enX, cuyos extremos sonqyp. De aquí se sigue queXes arco conexo.

2.14 TEOREMA. SiXes un arco yKes un subcontinuo no degenerado de X, entoncesKes un arco. Más aún, siKcontiene algún punto extremo deX entonces dicho punto también es punto extremo deK.

Demostración. Se consideran tres casos distintos, dependiendo del número de puntos extremos deXque contengaK. Para esto, llamemosayba los puntos extremos deX.

Primero, supongamos queK contiene a ambos puntos extremos. En este caso, se sigue delTeorema 2.11queK=X, lo cual claramente implica queK es un arco cuyos puntos extremos sonayb.

Luego, supóngase queKcontiene sólo un punto extremo de X. Podemos asumir, sin pérdida de generalidad, quea ∈ K yb ∈/ K. Ahora, por 2.7,K admite al menos dos puntos que no son de corte, así que podemos elegirp∈K, conp ̸=a, de manera quepno sea un punto de corte deK. Notemos quepsí es un punto de corte deXpor lo cual existen dos conjuntosUyVque forman una disconexión deXr{p}. Más aún, se puede pedir quea∈Uyb∈V. Dado queKr{p}es un conjunto conexo contenido enU∪Vya∈U∩(Kr{p}, se sigue queKr{p} ⊆U, es decir,K⊆U∪ {p}. De laProposición 2.12se sabe queU∪ {p}cuyos puntos extremos sonayp. Por lo tanto, comoa,p ∈K, se deduce delTeorema 2.11queK=U∪ {p}. Esto demuestra queKes un arco y queaes un punto extremo deK.

es un subcontinuo no degenerado del arco U∪ {p}, el cual tiene por puntos extremos aay ap. Dado queKcontiene a uno de los extremos deU∪ {p}, se sigue de la segunda parte de esta prueba queKes un arco. Esto concluye la

demostración.

2.15 Corolario. Si Xes un arco cuyos puntos extremos son a y b entonces Xr{a},Xr{b}yXr{a,b}son conjuntos arco conexos.

Demostración. Sólo demostraremos el resultado paraXr{a}. Los dos casos restantes se prueban de manera similar.

Sipyqson puntos distintos deXr{a}, elTeorema 2.13asegura la existencia de un arcoK⊆Xcuyos puntos extremos sonpyq. Nótese queano es un punto extremo deKasí que se sigue de la segunda parte delTeorema 2.14quea∈/K, o equivalentemente,K⊆Xr{a}. Esto demuestra queXr{a}es un conjunto

arco conexo.

2.16 Proposición. SeaXun arco. SiKy Lson subcontinuos deXya es un punto extremo deXtal quea∈K∩L, entoncesKyLson comparables respecto de la inclusión, esto es,K⊆LoL⊆K.

Demostración. El resultado se sigue de manera inmediata cuandoKy Lson singulares, por lo cual supondremos que al menos uno de estos subcontinuos es no degenerado. En este caso,K∪Les un subcontinuo no degenerado deX, así que como consecuencia delTeorema 2.14tenemos queK∪Les un arco yaes uno de sus puntos extremos. Luego, elegimos un puntop ∈ K∪Lque sea el otro punto extremo deK∪L. Sip ∈KentoncesKes un subcontinuo del arco K∪Lque contiene a sus dos puntos extremos. Aplicando elTeorema 2.11se obtiene queK=K∪L, es decir,L⊆K. De manera similar, sip∈L, podemos probar queK⊆L. En cualquier caso, los subcontinuosKyLson comparables

respecto a la inclusión.

2.17 Definición. Para todo continuoXse definen los siguientes subespacios de C(X):

A(X) ={A∈C(X) : Aes un arco enX} y

M(X) =A(X)∪F1(X).

2.18 Observación. Notemos que como consecuencia delTeorema 2.14, siXes un arco entonces el hiperespacioM(X)coincide conC(X).

La siguiente definición extiende a todo el hiperespacio de arcos y singulares el concepto de punto extremo presentado anteriormente en laDefinición 2.9.

2.19 Definición. Dado un continuoXy L ∈ M(X)se define elconjunto de puntos extremosdeLcomo:

E(L) =

  

{p∈L : pes un punto extremo deL}, siL∈A(X), L, siL∈F1(X).

Luego, considérese la funciónE:M(X)→F2(X)que a cada elemento del

hiperespacio de arcos y singulares le asigna el conjunto de sus puntos extremos. A esta función se le nombraráfunción de puntos extremosdeX.

Siendo una función entre hiperespacios, es natural preguntarse acerca de la continuidad de la función de puntos extremos de un continuo. Esta cuestión se abordará con más detalle en el Capítulo 3. No obstante, el siguiente lema nos muestra un primer acercamiento.

2.20 Lema. SiXes un continuo entonces su función de puntos extremos es continua en cada punto deF1(X).

Demostración. Dado que el hiperspacioF2(X)es compacto, se considera una

sucesión(Ln)n∈NenM(X)_{que converge a un singular}L⊆Xy cuya sucesión de puntos extremos(E(Ln))n_∈Nconverge a algúnP∈F2(X). Nótese que para

cadan∈Nse cumple queE(Ln)⊆Ln. Tomando límites se obtiene queP⊆Ly

consecuentementeP=L=E(L). Por lo tanto, la funciónE:M(X)→F2(X)

es continua en el singularL.

Algunas propiedades de los continuos se pueden caracterizar en términos de la función de puntos extremos, tal y como lo muestra el siguiente resultado cuya prueba es inmediata.

2.22 Definición. Un espacio topológicoXesunívocamente arco conexo, lo cual se abreviará como UAC, si para cada par de puntos distintosp,q∈Xexiste un único arco enXcuyos puntos extremos sonpyq. En tal caso, denotaremos por A[p,q]a dicho arco. Además, se empleará la siguiente notación:

A(p,q] =A[p,q]r{p}, A[p,q) =A(q,p] y A(p,q) =A[p,q]r{p,q}.

De manera similar, a laProposición 2.21, se demuestra el siguiente resul-tado.

2.23 Proposición. Un continuo Xes UAC si y sólo si su función de puntos extremosE:M(X)→F2(X)es biyectiva. Más aún, para cualesquieraa,b∈X

se cumple queA[a,b] =E−1_({a,b})

.

2.24 TEOREMA. Los arcos son continuos UAC.

Demostración. SeanXun arco yp,q∈Xdos puntos distintos. Supóngase que KyLson dos arcos enXque tienen ap y aqcomo puntos extremos. Como K∪Les un subcontinuo no degenerado deX, se sigue de la primera parte del Teorema 2.14queK∪Les un arco. Notemos que sixes un punto extremo de K∪Lentoncesx∈Kox∈L. Aplicando la segunda parte delTeorema 2.14, se tiene quexes un punto extremo deKo un punto extremo deL, es decir,x=p ox=q. Esto implica quepyqson los puntos extremos deK∪L. Así, ya que KyLson subcontinuos del arcoK∪Ly ambos contienen tanto apcomo aq, se sigue queK=K∪L=L. En consecuencia,Xes UAC.

2.25 TEOREMA. La función de puntos extremos de un arco cualquiera es un homeomorfismo.

Demostración. SeaXun arco y nombremosayba sus puntos extremos. Debido a laObservación 2.18y alTeorema 2.24, el hiperespacioM(X)coincide con C(X)y la función de puntos extremosE:C(X)→F2(X)es una biyección. Así,

bastará verificar la continuidad deEpara probar que es un homeomorfismo. Además, por elLema 2.20, será suficiente demostrar queEes continua en todos los puntos deA(X).

Consideremos un arcoA⊆Xy una sucesión(An)n∈Ncontenida enM(X)

tales queAn →A. Debido a laProposición 1.11, podemos suponer que existe

Afirmación A.SiByCson arcos enXyE(B)⊆CentoncesB⊆C.

Demostración.Dado queCes un subcontinuo arco conexo deX, podemos hallar un arcoB′ ⊆Cde manera queE(C) =E(B). Por elTeorema 2.24,Xes UAC, así queB=B′. Por lo tantoB⊆C, que es lo que se quería probar.H

Afirmación B.SeanBun arco enXyxun punto de corte deB(y en conse-cuencia, también deX). SiSyS′son conjuntos abiertos enXque forman una disconexión deXr{x}, entonces

E(B)∩S̸=∅̸=E(B)∩S′.

Demostración.De laProposición 2.12se deduce queS′ ∪ {x}es un arco que tiene axcomo uno de sus puntos extremos. Comoxno es punto extremo de B, se sigue de la segunda parte delTeorema 2.14queB*S′∪ {x}. Haciendo uso de laAfirmación Ase tiene queS′∪ {x} no contieneE(B). Por lo tanto, E(B)∩(Xr(S′ ∪ {x})) = E∩S ̸= ∅. Análogamente se demuestra que E(B)∩S′̸=∅.H

Elijamos cualquier puntoz∈ArE(A). Nótese quezes un punto de corte de X, así que existen dos conjuntos abiertos enX, digamosWyW′, tales quea∈W yb ∈ W′ y además forman una disconexión deXr{z}. Por laAfirmación B tenemos que

E(A)∩W̸=∅̸=E(A)∩W′,

lo cual implica queA∩WyA∩W′ son conjuntos no vacíos y abiertos en el arcoA. Esto nos permite elegir un puntou∈A∩Wy un puntov∈A∩W′de manera queu,v∈/E(A)_{. Obsérvese que tanto}ucomovson puntos de corte del arcoA, por lo cual podemos hallar cuatro conjuntos abiertos enX, digamosU, U′,VyV′, de tal forma queUyU′formen una disconexión deXr{u},VyV′ formen una disconexión deXr{v},a∈U∩Vyb∈U′∩V′. Se demostrará que

clX(U) =U∪ {u} ⊆W⊆V y clX(V′) =V′∪ {v} ⊆W′⊆U′. [1]

Primero, observemos que comoUyV′son conjuntos abiertos enXse tiene queU clX(U) ⊆ U∪ {u}yV′ clX(V′) ⊆ V′∪ {v},lo cual claramente

implica que

Luego, dado queE(U∪{u}) ={a,u} ⊆W⊆W∪{z}, se sigue de laAfirmación AqueU∪ {u} ⊆W∪ {z}. Además, nótese quez∈/E(U∪ {u})así que

U∪ {u} ⊆W. [3]

Ahora bien, ya que z ∈/ U∪ {u}se sigue que z ∈ U′. Como consecuencia tenemos queE(W′∪ {z}) = {z,b} ⊆ U′ ⊆ U′ ∪ {u}. De nueva cuenta se emplea laAfirmación Apara probar que

W′⊆W′∪ {z} ⊆U′. [4] Procediendo de manera análoga a [3] y a [4] se demuestra que

V′∪ {v} ⊆W′ y W⊆W∪ {z} ⊆U. [5] Conjuntando [2] — [5] se verifica [1].

Recordemos queuyvson puntos de corte del arcoA. De laAfirmación B, se sigue queA∩U̸=∅̸=A∩V′. Dado queAn →A, podemos hallarN∈N

tal que para cadan ∈ Nconn ≥ N, se cumple queAn∩U ̸=∅̸= An∩V′.

Por [1],V′⊆U′, así que el arcoAnintersecta tanto aUcomo aU′. Debido a la

conexidad deAn, necesariamente ocurre queu∈An. De igual manera, se tiene

quev∈An. Aplicando nuevamente laAfirmación Btenemos que

E(An)∩U̸=∅̸=E(An)∩V′, para cadan≥N. [6]

Se sigue de [6] quel´ımE(An)∩clX(U)̸=∅̸= l´ımE(An)∩clX(V′), es decir,

P∩clX(U)̸=∅≠ P∩clX(V′). [7]

De [1] se observa queclX(U)yclX(V′)son conjuntos ajenos, así quePno puede

ser un singular. Esto demuestra quePcontiene exactamente dos puntos. Ade-más, de [7] se obtiene que

P⊆clX(U)∪clX(V′)⊆W∪W′ =Xr{z},

esto es,z∈/ P. Dado quezera un punto cualquiera deArE(A)yP⊆A, se sigue queP⊆E(A). Por lo tanto,P=E(A), que es lo que se quería demostrar.

§2 Descomposiciones de arcos

En esta sección introducimos el concepto de descomposición simple de un arco. La idea de esto se basa en las descomposiciones de un intervalo real[a,b]

2.26 Definición. SeaXun arco cualquiera. SiKyLson subcontinuos deXtales queX=K∪L, diremos queKyLforman unadescomposicióndeX. Además, si tantoKcomoLintersectan aE(X)yK∩Lconsta de un solo punto, diremos que la descomposición formada porKyLessimple. En este caso, sip∈Xes el único punto enK∩L, se dirá quepes elpunto basede la descomposición, o bien, que la descomposición estábasadaenp.

2.27 Lema. Considérese un arcoXcon puntos extremosayb. Dados un punto p ∈ Xy KyL subcontinuos deX tales quea ∈ Ky b ∈ L, las siguientes proposiciones son equivalentes:

(1) KyLforman una descomposición simple deXbasada enp,

(2) E(K) ={a,p}yE(L) ={p,b}.

Más aún, si ocurre alguna de las anteriores ypno es un punto extremo deX, entoncesKyLson arcos propios deX.

Demostración. Primeramente se probará la equivalencia cuandopes un punto extremo deX. Para esto bastará considerar el casop=a, ya que el caso restante se demuestra de manera análoga.

Observemos que, siKyLforman una descomposición simple deXbasada ena, entoncesa,b ∈Ly en consecuenciaL =X. Luego,K=K∩L={a}. Esto muestra queE(L) ={a}yE(L) ={a,b}. Recíprocamente, siE(A) ={a}

yE(L) ={a,b}entoncesK={a}yL=X. De aquí se sigue queX=K∪Ly K∩L={a}, es decir,KyLforman una descomposición simple basada ena.

Ahora, sipes un punto de corte deX, elegimos dos conjuntosUyV, con a∈Uyb∈V, que formen una disconexión deXr{p}. Luego, supongamos que KyLforman una descomposición simple deXbasada enp. Dado quea,p∈K se sigue queKes un subcontinuo no degenerado deX, y por lo tantoKes un arco. Aplicando elTeorema 2.13, podemos hallar un arcoA⊆Kque tiene aa y apcomo puntos extremos. Sin embargo, de laProposición 2.12se sabe que U∪ {p}también es un arco enXcuyos puntos extremos sonayp. Así, como Xes UAC, se tiene queU∪ {p} = A⊆ K. De manera similar se prueba que V∪ {p} ⊆L. Por lo tanto,