ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax² + bx + c = 0 con 𝒂 ≠ 𝟎,        𝒃 ≠ 𝟎,      𝒄 ≠ 𝟎.

Resolución de ecuaciones de segundo grado Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

𝒙 = −𝒃 ± 𝒃

− 𝟒 ⋅ 𝒂 ⋅ 𝒄

𝟐 ⋅ 𝒂 =

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

SEGUNDO GRADO

Resolver las ecuaciones de segundo grado

1 2 3 4 5 6 7

8 x² + (7 − x)² = 25 9 7x² + 21x − 28 = 0 10 −x² + 4x − 7 = 0 11

12 6x² −5x +1 = 0 13

14 15

16

SOLUCIÓN

1

2

3

4

5

6

7

8

x² + (7 − x)² = 25

x² + 49 − 14x + x² = 25 2x² − 14x + 24 = 0 x² − 7x + 12 = 0

9

7x² + 21x − 28 = 0 x² +3x − 4 = 0

10

−x² + 4x − 7 = 0 x² − 4x + 7 = 0

11

12

6x² −5x +1 = 0

14

15

16

ECUACIONES  DE  SEGUNDO  GRADO  

a)   ^{!!! !}

! − ^{!∙ !!!} _! ^! = ^! _!            

          m.c.m(4,6,6)=2

.3=12    

𝑥 − 1 ^! = 𝑥 ^! − 2𝑥 + 1  

𝑥 − 2 ^! = 𝑥 ^! − 4𝑥 + 4  

!!! ^!

! − ^{!∙ !!!} _! ^! = ^! _!                    

12:4=3                  12:6=2                12:6=2                      

3 ∙ 𝑥 − 1 ^! − 10 𝑥 − 2 ^! = 2                                          

3 ∙ 𝑥 ^! − 2𝑥 + 1 − 10 ∙ 𝑥 ^! − 4𝑥 + 4 = 2  

3𝑥 ^! − 6𝑥 + 3 − 10𝑥 ^! + 40𝑥 − 40 = 2  

3𝑥 ^! − 6𝑥 + 3 − 10𝑥 ^! + 40𝑥 − 40 − 2 = 0  

−7𝑥 ^! + 34𝑥 − 39 = 0                  

   a=-­‐7;            b=34;              c=-­‐39    

La  solución  de  la  ecuación  anterior  es:  

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏

− 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 2 ⋅ 𝑎

= − 34 ± 34

− 4 ⋅ −7 ⋅ −39

2 ⋅ −7 =  

  𝑥 = −34 ± 1.156 − 1.092

−14 = −34 ± 64

−14 = −34 ± 8

=   −14

                                   𝑥 _! = ^!!"!! _!!" = ^!!" _!!" = ^!" _!  

𝑥 = ^!!"±!

!!" =  

              ^𝑥 ! = ^!!"!! _!!" = ^!!" _!!" = 3    

b)                      𝑥 ⋅ 𝑥 − 1 + 1 = ^! _! + ^{!⋅ !!!!} _!              

      ^!

^!!!! _! = ^! _! + ^!!

_! ^!!                      m.c.m(6,3)=6  

    6:1=6                  6:6=1                6:3=2  

6 ⋅ 𝑥 ^! − 𝑥 + 1 = 5 + 2 ⋅ 2𝑥 ^! − 𝑥  

6𝑥 ^! − 6𝑥 + 6 = 5 + 4𝑥 ^! − 2𝑥  

6𝑥 ^! − 6𝑥 + 6 − 5 − 4𝑥 ^! + 2𝑥 = 0  

2𝑥 ^! − 4𝑥 + 1 = 0  

a=2;              b=-­‐4;            c=1  

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏

− 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐

2 ⋅ 𝑎 = − −4 ± −4

− 4 ⋅ 2 ⋅ 1

2 ⋅ 2 =  

                  𝑥

=

𝑥 =

!

=

!

=

!

=

!

=

𝑥

=

𝑥 − 1 ^! = 𝑥 ^! − 2𝑥 + 1  

2𝑥 − 3 ^! = 4𝑥 ^! − 12𝑥 + 9  

11 ∙ 𝑥 ^! − 2𝑥 + 1 = 4𝑥 ^! − 12𝑥 + 4𝑥 ^! + 1  

11𝑥 ^! − 22𝑥 + 11 = 8𝑥 ^! − 12𝑥 + 11  

11𝑥 ^! − 8𝑥 ^! − 22𝑥 + 12𝑥 + 11 − 10 = 0  

3𝑥 ^! − 10𝑥 + 1 = 0  

a=3;        b=-­‐10;        c=1  

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏

− 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐

2 ⋅ 𝑎 = − −10 ± −10

− 4 ⋅ 3 ⋅ 1

2 ⋅ 3  

𝑥 _! = ^{!"! !!} _!  

𝑥 = !"± !""!!"

! = ^{!"± !!} _! =  

   𝑥 _! = ^{!"! !!} _!  

d )                   ^!!!

!!!! = ^!!!!

!!!!  

𝑥 − 3 ∙ 6𝑥 + 1 = 2𝑥 − 5 ∙ 3𝑥 + 1   6𝑥

− 17𝑥 − 3 = 6𝑥

− 13𝑥 − 5   6𝑥

− 17𝑥 − 3 − 6𝑥

+ 13𝑥 + 5 = 0  

−4𝑥 + 2 = 0  

𝑥 = −2

−4 = 1

2    

e)                                           _!!! = _!!!  

𝑥 ∙ 𝑥 + 1 = −2 ∙ 𝑥 − 2  

𝑥 ^! + 𝑥 = −2𝑥 + 4  

𝑥 ^! + 𝑥 + 2𝑥 − 4 = 0  

𝑥 ^! + 3𝑥 − 4 = 0  

𝑎 = 1;      𝑏 = 3;      𝑐 = −4  

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏

− 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐

2 ⋅ 𝑎 = −3 ± 3

− 4 ⋅ 1 ⋅ −4

2 ⋅ 1 =  

𝑥 = −3 ± 9 + 16

2 = −3 ± 25

2 =    

                                          𝑥

=

=

 = 1  

= ^!!±!

! =  

 𝑥

=

=

= −4  

ECUACIONES DE 2º GRADO INCOMPLETAS

• Caso 1:  𝒃 = 𝟎;      𝒂 ≠ 𝟎;        𝒄 ≠ 𝟎 𝒂𝒙

− 𝒄 = 𝟎

Solución:

𝒙

= +

𝒂

𝒙

= −

𝒂

• Caso2: 𝒄 = 𝟎;      𝒂 ≠ 𝟎;      𝒃 ≠ 𝟎   𝒂𝒙

+ 𝒃𝒙 = 𝟎

Sacar factor común la x.

𝒙 ∙ 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎

Solución:

𝒙

= 𝟎;      𝒙

=

Ejercicios de ecuaciones de 2º gado incompletas.

1 2 3 4

5

6 12x² − 3x = 0 7

8 9

1

2

3

4

5

6

12x² − 3x = 0

4x² − x = 0

x · (4x −1) = 0 x = 0

4x − 1 = 0 x = 1/4

7

8

9