Problemas de Fisica Basica

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Docente: Lic.

Docente: Lic. Remberto Portugal Remberto Portugal P. P. Bibliografía: BeBibliografía: Bela I. Sandor la I. Sandor “Dinámica-T.2”, “Dinámica-T.2”, Resnick-Halliday-Krane Resnick-Halliday-Krane “Física”“Física” Auxiliar:

Auxiliar: René René Moreira Moreira C. C. Marion-Jornyak Marion-Jornyak “Física”, “Física”, Hibbeler Hibbeler R. R. C. C. “Dinámica-T.2"“Dinámica-T.2"

11 PROBLEMAS DE FÍSICA BÁSICA I

PROBLEMAS DE FÍSICA BÁSICA I

Seleccionados del curso regular y de

Seleccionados del curso regular y de los textos: Bela I. los textos: Bela I. Sandor “Dinámica-T.2”, Resnick-Halliday-KraneSandor “Dinámica-T.2”, Resnick-Halliday-Krane “Física”, Marion-Jornyak “Física”, Hibbeler R. C.

“Física”, Marion-Jornyak “Física”, Hibbeler R. C. “Dinámica-T.2"“Dinámica-T.2"

ÍNDICE

A. A. MOVIMIENTOS RECTILÍNE

MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS ...

OS ... 2

... 2

A-1. MOVIMIENTOS UNIFORMES ...

A-1. MOVIMIENTOS UNIFORMES ... 2

... 2

A-2. MOV

A-2. MOVIMIENTOS RECTILÍN

IMIENTOS RECTILÍNEOS

EOS CON ACELERACIÓN CONSTANTE ... 4

CON ACELERACIÓN CONSTANTE ... 4

A-3.

A-3. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON

MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACI

ACELERACIONES

ONES VARIABLES

VARIABLES ... 7

... 7

B. MOVIMIENTOS EN EL PLANO ...

B. MOVIMIENTOS EN EL PLANO ... 9

... 9

B-1.

B-1. MOVIMIENTOS EN

MOVIMIENTOS EN COORDENADAS CARTESIANAS

COORDENADAS CARTESIANAS ... 9

... 9

B-2.

B-2. MOVIMIENTO EN COORDENADAS NORMAL -TANGENCIAL

MOVIMIENTO EN COORDENADAS NORMAL -TANGENCIAL ... 1

... 133

B-3.

B-3. MOVIMIENTO EN

MOVIMIENTO EN COORDENADAS POLARES

COORDENADAS POLARES ...

... 16

C. MOVIMIENTO RELATIVO ...

C. MOVIMIENTO RELATIVO ... 18

... 18

D. D

D. DINÁMICA

INÁMICA ...

...

... 22

D-1. DINÁMICA DE

D-1. DINÁMICA DE LOS MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS ... 2

LOS MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS ... 222

D-2. DINÁMICA DE

D-2. DINÁMICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS ... 29

LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS ... 29

E. ENERGÍA

E. ENERGÍA ...

...

... 33

F. F. SISTEMAS DE

SISTEMAS DE PARTÍCUL

PARTÍCULAS

AS ...

... 41

F-1. SISTEMAS

F-1. SISTEMAS DE

DE MASA CONSTANTE

MASA CONSTANTE ...

... 41

F-2.

F-2. MECÁNICA DEL CUERPO RÍGI

MECÁNICA DEL CUERPO RÍGIDO

DO ...

... 4

... 477

G. SISTEMAS DE

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A. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS A. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS A-1. MOVIMIENTOS UNIFORMES

A-1. MOVIMIENTOS UNIFORMES

1.- El límite legal de velocidad en una autopista se cambia de 88.5 km/h a 104.6 Km/h. ¿Cuánto tiempo 1.- El límite legal de velocidad en una autopista se cambia de 88.5 km/h a 104.6 Km/h. ¿Cuánto tiempo ahorrará cualq

ahorrará cualquiera viajanuiera viajando a vdo a velocidad más elocidad más alta desde alta desde la entrada la entrada en Búfalo en Búfalo a a la la salida en salida en la ciudad la ciudad dede Nueva

Nueva York York de de la la autopista autopista estatal estatal de de Nueva Nueva York York en en este este tramo tramo de de carretera de carretera de 700 700 km? km? R. R. 1.22 1.22 hh 2.- Suponga que la posición de l

2.- Suponga que la posición de la partícula esta dada por la ecuación (x en metros y t en a partícula esta dada por la ecuación (x en metros y t en segundos)segundos) x = -3 + 5t

x = -3 + 5t Calcule:

Calcule: a) La a) La posición posición de la de la partícula para partícula para un tiempo, un tiempo, t = t = 0,5 s.0,5 s. b) La posición del objeto para un tiempo, t

b) La posición del objeto para un tiempo, t = 2s= 2s c) El desplazamien

c) El desplazamiento del objeto entre, to del objeto entre, t = 0 t = 0 y t = 0.5 sy t = 0.5 s d) El desplazamiento

d) El desplazamiento del objeto entre, t del objeto entre, t = 0 = 0 y t = 2 sy t = 2 s e) El

e) El desplazamiento desplazamiento del odel objeto ebjeto entre, ntre, t = t = 0,5 0,5 y y t = t = 2 s 2 s R. –0.5 R. –0.5 m, 7 m, 7 m, 2.5 m, 2.5 m , m , 10 m 10 m y y 7.5 m7.5 m 3.- a) Para los datos del p

3.- a) Para los datos del problema 2. Calcule las posiciones a intervalos de 1 s ,desde ,t=0 hasta ,t=10 sroblema 2. Calcule las posiciones a intervalos de 1 s ,desde ,t=0 hasta ,t=10 s b) Grafique x en función de t.

b) Grafique x en función de t. c) Verifique el valor de la velocidad a

c) Verifique el valor de la velocidad a partir de la gráfica partir de la gráfica x en función de t.x en función de t.

4.- La luz de la estrella más cercana tarda 4,3 años en llegar a la tierra .¿Qué distancia existe entre la tierra y 4.- La luz de la estrella más cercana tarda 4,3 años en llegar a la tierra .¿Qué distancia existe entre la tierra y dicha

dicha estrella? estrella? R. R. 4.0799.104.0799.101616 m m

5.- Se oye un trueno 11,8 s después de verse el relámpago, si la velocidad del sonido es de 345 m/s y (a) 5.- Se oye un trueno 11,8 s después de verse el relámpago, si la velocidad del sonido es de 345 m/s y (a) suponiendo que el tiempo

suponiendo que el tiempo empleado por el deempleado por el destello es despreciable, stello es despreciable, ¿a qué distancia se ¿a qué distancia se produjo él produjo él trueno? Ytrueno? Y (b) ¿Cuál seria esa distancia si no se desprecia el tiempo empleado por el destello? Del resultado hasta (b) ¿Cuál seria esa distancia si no se desprecia el tiempo empleado por el destello? Del resultado hasta centésimas

centésimas de de milímetro. milímetro. R. R. 4071 4071 m, m, 4071.00468 4071.00468 mm 6.- Dos móviles

6.- Dos móviles se mueven en se mueven en una misma direcuna misma dirección y ción y sentido, en un sentido, en un instante determinstante determinado están inado están separadosseparados por una distancia de 20 km,

por una distancia de 20 km, estando el móvil A adelante moviéndose con una estando el móvil A adelante moviéndose con una velocidad de 40 km/h y el móvelocidad de 40 km/h y el móvilvil B con una velocidad de 60

B con una velocidad de 60 km/hkm/h

a) Calcular el tiempo en que B

a) Calcular el tiempo en que B alcanza a A.alcanza a A. b) Determinar el punto donde se encuentra. b) Determinar el punto donde se encuentra.

c) Calcular los desplazamientos de los móviles desde el instante en que están separados por 20 Km c) Calcular los desplazamientos de los móviles desde el instante en que están separados por 20 Km

hasta

hasta el el momento momento en en que que B B alcanza alcanza a a A. A. R. R. a) a) 1 1 h, h, b) b) 60 60 km km y y c) c) 60 60 km, km, 40 40 kmkm 7.- Usted viaja en la carretera interestatal 10 de San Antonio a Houston, la mitad del tiempo a 35 mi/h 7.- Usted viaja en la carretera interestatal 10 de San Antonio a Houston, la mitad del tiempo a 35 mi/h (=56.3 km/h ) y la otra mitad a 55 mi/h

(=56.3 km/h ) y la otra mitad a 55 mi/h (=88.5 km/h ). En el viaje de regreso usted (=88.5 km/h ). En el viaje de regreso usted viaja la mitad de laviaja la mitad de la distancia a 35 mi/h y la otra

distancia a 35 mi/h y la otra mitad a 55 mi/h. ¿Cuál es la velocidad promedmitad a 55 mi/h. ¿Cuál es la velocidad promedio (a) de San Antonio a io (a) de San Antonio a Houston,Houston, (b)

(b) de de Houston Houston a a San San Antonio, Antonio, y y (c) (c) para para todo todo el el viaje? viaje? R. R. a) a) 72.4 72.4 km/h, km/h, b) b) 68.8 68.8 km/h km/h y y c) c) 70.6 70.6 km/hkm/h 8.- Pedrito corre por una avenida de modo que la cuarta parte de la distancia lo hace a 5 m/s y las tres 8.- Pedrito corre por una avenida de modo que la cuarta parte de la distancia lo hace a 5 m/s y las tres cuartas partes restantes a 6 m/s .¿Cuál es su rapidez media en

cuartas partes restantes a 6 m/s .¿Cuál es su rapidez media en el tramo total ?.el tramo total ?.

9.- Un móvil va con una velocidad de 50 km/h durante 0.5 h, continua la próxima media hora a razón de 70 9.- Un móvil va con una velocidad de 50 km/h durante 0.5 h, continua la próxima media hora a razón de 70 km/h. Determinar: a) Su velocidad media, b) Su

km/h. Determinar: a) Su velocidad media, b) Su rapidez media.rapidez media.

10.- Un ferrobus de 100 m de longitud demora 20 s para atravesar completamente un puente de 400 m de 10.- Un ferrobus de 100 m de longitud demora 20 s para atravesar completamente un puente de 400 m de largo. Determine la velocidad del

largo. Determine la velocidad del ferrobus suponiendo la constante.ferrobus suponiendo la constante. 11.- Un motociclista hace un viaje de ida y vuelta entre La Paz

11.- Un motociclista hace un viaje de ida y vuelta entre La Paz y Oruro empleando 6 h, sí el viaje de ida loy Oruro empleando 6 h, sí el viaje de ida lo hizo con una rapidez

hizo con una rapidez de 80 km/h y la vde 80 km/h y la vuelta a 60 km/h. Hallar :uelta a 60 km/h. Hallar : a) La distancia entre amb

a) La distancia entre ambas ciudadesas ciudades

b) El tiempo empleado en realizar cada viaje. b) El tiempo empleado en realizar cada viaje.

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12.- Un móvil va del punto A al punto B de tal modo que el primer tercio de la distancia entre dichos 12.- Un móvil va del punto A al punto B de tal modo que el primer tercio de la distancia entre dichos puntos

puntos recorre recorre con con una una velocidad velocidad vv11 ,el ,el segundo segundo tercio tercio de de dicha dicha distancia distancia con con una una rapidez rapidez vv22 y y élél

último tercio

último tercio con una con una rapidez rapidez vv33 .Demuestre que .Demuestre que la rapidez la rapidez media media está dada está dada por :por :

)) /( /( )) (( 33 vv₁₁vv₂₂vv₃₃ vv₂₂vv₃₃ vv₁₁vv₃₃ vv₁₁vv₂₂ vv == ++ ++ 13.- Un móvil

13.- Un móvil va va en línea en línea recta del recta del punto A al punto A al punto B en punto B en un tiempo un tiempo total total t , t , el movimientel movimiento se reao se realiza enliza en cinco

cinco tramos tramos con con velocidades velocidades vv11, , vv22, , vv33, , vv44 y y vv55 , siendo el tiempo de cada tramo el mismo es decir t/5. , siendo el tiempo de cada tramo el mismo es decir t/5.

Demuestre que la rapidez media está dada por : Demuestre que la rapidez media está dada por :

vv == vv11 + + + ++ + + +vv22 vv33 vv44 vv55

55

14.- Un corredor que se

14.- Un corredor que se prepara para las oprepara para las olimpiadas, limpiadas, entrena todos loentrena todos los días corriendo pars días corriendo paralelamente alalelamente al tramo rectilíneo de una vía férrea. El entrenador que le cronometra el tiempo observa que la rapidez del tren tramo rectilíneo de una vía férrea. El entrenador que le cronometra el tiempo observa que la rapidez del tren que corre en el mismo sentido que el co

que corre en el mismo sentido que el corredor es tal que, la cola del rredor es tal que, la cola del tren alcanza al corredor 30 s tren alcanza al corredor 30 s después después dede que la cabeza del tren lo alcanzó. Si la rapidez del corredor es de 5 m/s y la longitud del tren 60 m. ¿Cuál es la que la cabeza del tren lo alcanzó. Si la rapidez del corredor es de 5 m/s y la longitud del tren 60 m. ¿Cuál es la rapidez

rapidez del del tren tren ? ? R. R. 7 7 m/sm/s

15.- Un estudiante de Física usa regularmente un tren de pasajeros para trasladarse desde su domicilio a la 15.- Un estudiante de Física usa regularmente un tren de pasajeros para trasladarse desde su domicilio a la universidad. Él observa que regularmente en su trayecto de ida adelanta a otro tren de carga que corre en una universidad. Él observa que regularmente en su trayecto de ida adelanta a otro tren de carga que corre en una vía paralela a la suya en un tramo rect

vía paralela a la suya en un tramo rectilíneo en el que se supone ambos trenes alcailíneo en el que se supone ambos trenes alcanzan su nzan su máxima velocidadmáxima velocidad (velocidad de crucero). A su retorno y

(velocidad de crucero). A su retorno y aproximadamente en el mismo lugar aproximadamente en el mismo lugar se cruza con el mismo tren dese cruza con el mismo tren de carga .Intrigado por tal r

carga .Intrigado por tal regularidad se propone caegularidad se propone calcular lcular la rapidez de ambos tla rapidez de ambos trenes mientras está enrenes mientras está en movimiento. Con tal propósito mide la longitud de ambos trenes que resultan ser : 60 m para el de pasajeros y movimiento. Con tal propósito mide la longitud de ambos trenes que resultan ser : 60 m para el de pasajeros y 120 para el de carga. Luego ya estando en viaje mide el tiempo que demora su tren en cruzar al otro ; tiempos 120 para el de carga. Luego ya estando en viaje mide el tiempo que demora su tren en cruzar al otro ; tiempos que

que resultan ser resultan ser : 20 s en la ida y 5 s en el retorno. Con estos datos prosiga el cálculo y determine ambas: 20 s en la ida y 5 s en el retorno. Con estos datos prosiga el cálculo y determine ambas velocidades.

velocidades. R. R. 22.5 22.5 m/s, m/s, 13.5 13.5 m/sm/s

16.-

16.- Una construcción articulaUna construcción articulada consta de tres rombos cuyas longitudes de lados están en las proporcioneda consta de tres rombos cuyas longitudes de lados están en las proporcioness 3:2:1. El vértice

3:2:1. El vértice A A33 se desplaza en dirección horizontal con velocidad se desplaza en dirección horizontal con velocidad V V constante. Determinar las constante. Determinar las velocidadesvelocidades

de los vértices

de los vértices A A11,, A A22,, B B22 en el momento que todos los ángulos de la construcción son rectos. en el momento que todos los ángulos de la construcción son rectos.

Prob. 16 Prob. 16

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A-2. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN CONSTANTE A-2. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIÓN CONSTANTE 1.- El maquinis

1.- El maquinista de un ta de un tren tren que se mueve que se mueve con una racon una rapidez pidez vv11, observa a otro , observa a otro tren de carga tren de carga que se encuentraque se encuentra

adelantado

adelantado a una a una distancia distancia d, en la d, en la misma vía misma vía , moviéndose , moviéndose en el en el mismo sentido mismo sentido , pero , pero con con una rapideuna rapidezz menor v

menor v22. Aplica los frenos . Aplica los frenos y el tren ay el tren adquiere una retardacdquiere una retardación ión constante a. Establezcconstante a. Establezca a una relación euna relación entre, a,ntre, a,

d, v

d, v11 y v y v22 para que: a) n para que: a) no haya colio haya colisión sión b) haya colisb) haya colisión entre ión entre ellos.ellos.

2.- Un ascensor de carga se mueve

2.- Un ascensor de carga se mueve hacia arriba con una velochacia arriba con una velocidad constante de 5 m/s y idad constante de 5 m/s y pasa a un ascensor pasa a un ascensor dede pasajeros que está en reposo. T

pasajeros que está en reposo. Tres segundos más tarde parte hacia arres segundos más tarde parte hacia arriba el ascensor de pasajeriba el ascensor de pasajeros ros con unacon una aceleración de 1,5 m/s

aceleración de 1,5 m/s22, cuando éste ultimo alcanza la veloci, cuando éste ultimo alcanza la velocidad de 10 m/s contindad de 10 m/s continua su ua su movimiento conmovimiento con velocidad constante . ¿A qué distancia y en que tiempo

velocidad constante . ¿A qué distancia y en que tiempo alcanzará al ascensor de carga?alcanzará al ascensor de carga?

3.- Se desea medir la aceleración de un automóvil usando el siguiente procedimiento: el móvil parte del punto 3.- Se desea medir la aceleración de un automóvil usando el siguiente procedimiento: el móvil parte del punto O.

O.

O

O A A B B CC

entre A y B

entre A y B la distancia que la distancia que recorre es de recorre es de 100 m en 5 s 100 m en 5 s . Entre B y . Entre B y C 150 m C 150 m en 5 s. Si een 5 s. Si el tiempo total el tiempo total es s dede 15 s, calcule :

15 s, calcule : a)

a) La La aceleración aceleración del del automóvil automóvil b) b) La La velocidad velocidad al al pasar pasar por por CC c)

c) La La distancia distancia OA OA d) d) La La velocidad velocidad en en O.O. 4.- Un cuerpo

4.- Un cuerpo se mueve se mueve en una en una trayectoria retrayectoria rectilínea ctilínea según según la ecuación: la ecuación: x x = 16t-6t= 16t-6t22_..

a)

a) Encontrar la Encontrar la posición, velocidad posición, velocidad y aceleracy aceleración ión para t = 1 para t = 1 s.s. b) ¿Para qué valores de t pasa por el

b) ¿Para qué valores de t pasa por el origen ?origen ? c) ¿Para qué valores de t y x ,est

c) ¿Para qué valores de t y x ,estará el cuerpo estacionario ?ará el cuerpo estacionario ?

d) ¿Entre qué posiciones el movimiento es acelerado y entre que otras es retardado? d) ¿Entre qué posiciones el movimiento es acelerado y entre que otras es retardado? 5.- Un ciclista pasa por el

5.- Un ciclista pasa por el km 0 y llega al km 7 en una hora, después de 2 h recorre 10 km más.km 0 y llega al km 7 en una hora, después de 2 h recorre 10 km más. a) ¿Conque velocidad pasó por el km =0

a) ¿Conque velocidad pasó por el km =0 y cuál fue su aceleración si se la supone constante ?y cuál fue su aceleración si se la supone constante ? b) ¿Cuál es su velocidad al cabo de tres horas ?

b) ¿Cuál es su velocidad al cabo de tres horas ?

6.- La ecuación de movimiento de una partícula está dada por :

6.- La ecuación de movimiento de una partícula está dada por : x x = = tt22 − +−

33

t t +

12

, donde x está en , donde x está en metros ymetros y t en s. D

t en s. Determine:etermine:

a) La posición y

a) La posición y la velocidad iniciala velocidad iniciales, les, la aceleración.la aceleración. b) Escribir la ecuación de la velocidad en función del tiempo b) Escribir la ecuación de la velocidad en función del tiempo c) Determinar el instante y la posición de inversión del movimiento c) Determinar el instante y la posición de inversión del movimiento d) Dibujar un esquema del movimiento de la partícula sobre el eje X. d) Dibujar un esquema del movimiento de la partícula sobre el eje X. e) ¿Qué distancia recorre la partícula en los primeros 4 s de su m

e) ¿Qué distancia recorre la partícula en los primeros 4 s de su movimiento ?ovimiento ? f) Calcule la velocidad media y la rapidez media en el

f) Calcule la velocidad media y la rapidez media en el intervalo de los primeros 4 sintervalo de los primeros 4 s Problemas de caída libre (Use como valor de la acelerac

Problemas de caída libre (Use como valor de la aceleración gravitacional ión gravitacional (g) 9,8 m/s(g) 9,8 m/s22 ) )

7.- Una bola es disparada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Un segundo 7.- Una bola es disparada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Un segundo después, se dispara

después, se dispara una segunda bola una segunda bola hacia arriba hacia arriba sobre la misma vsobre la misma vertical de ertical de la primera y la primera y con una con una velocidadvelocidad de 16 m/s.

de 16 m/s.

a) ¿ En qué tiempo

a) ¿ En qué tiempo y en que posición las bolas chocarán ?y en que posición las bolas chocarán ? b) ¿En el tiempo de la colisión

b) ¿En el tiempo de la colisión la primera bola estará de subida o de bajada ?la primera bola estará de subida o de bajada ? 8.- Se deja caer dos dados desde

8.- Se deja caer dos dados desde un cuarto piso 1 s después del primero cae el un cuarto piso 1 s después del primero cae el segundo dado.segundo dado. a) Escribir la posición en función de

a) Escribir la posición en función del tiempo de caída l tiempo de caída del primer dadodel primer dado

b) Escriba la diferencia de alturas en función del tiempo de caída del primer dado. b) Escriba la diferencia de alturas en función del tiempo de caída del primer dado. c) ¿Cuál es la altura de caída

c) ¿Cuál es la altura de caída si la separación entre ellos, cuando el primero llega al suelo, es desi la separación entre ellos, cuando el primero llega al suelo, es de 15m.

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9.- Se dejan caer dos esferita

9.- Se dejan caer dos esferitas desde una altura de 49 m, la segunda cae s desde una altura de 49 m, la segunda cae dos segundos después de la dos segundos después de la primera.primera. ¿Cuanto tiempo ha caído la segunda esferita

¿Cuanto tiempo ha caído la segunda esferita en el instante en que la separacióen el instante en que la separación entre ellas es de 39,2 m ?n entre ellas es de 39,2 m ? 10.- Un automóvil se mueve a velocidad constante de 144 km/h en una carretera recta en determinado 10.- Un automóvil se mueve a velocidad constante de 144 km/h en una carretera recta en determinado momento un camión qu

momento un camión que está a e está a 80 m delan80 m delante del automóvite del automóvil comienza a l comienza a moverse moverse desde el desde el reposo con reposo con unauna aceleración de 4 m/s

aceleración de 4 m/s22

a) Determine en que tiempos y en que posiciones

a) Determine en que tiempos y en que posiciones los autos se encuentran juntos .los autos se encuentran juntos . b) ¿En que momento la velocidad de los

b) ¿En que momento la velocidad de los autos es la misma y cual es la separación entre ellos, queautos es la misma y cual es la separación entre ellos, que auto va adelante ?

auto va adelante ?

11.- Dos automóviles se mueven en el mismo sentido sobre una carretera recta en subida, en el momento en 11.- Dos automóviles se mueven en el mismo sentido sobre una carretera recta en subida, en el momento en que están separados por una

que están separados por una distancia de 20 m el audistancia de 20 m el auto “A” tiene velocidad constato “A” tiene velocidad constante de 10 m/s nte de 10 m/s y estáy está adelante, en tanto que el auto

adelante, en tanto que el automóvil “B” que se está moviendo con una velocidad de móvil “B” que se está moviendo con una velocidad de 15 m/s 15 m/s se le termina lase le termina la gasolina

gasolina y comienza a pery comienza a perder velocidad a razón der velocidad a razón de 6 m/sde 6 m/s22. Calcule la mínima d. Calcule la mínima distancia istancia entre los auentre los automóviles.tomóviles. 12.- Dos automóviles se mueven e

12.- Dos automóviles se mueven en el mismo sentido sobre cn el mismo sentido sobre carreteras rectas y arreteras rectas y paralelas, en paralelas, en el momento enel momento en que están separados por una distancia de 20 m el auto “A” que va atrás tiene v

que están separados por una distancia de 20 m el auto “A” que va atrás tiene velocidad constante elocidad constante de 30 m/s,de 30 m/s, en tanto que el automóvil “B”

en tanto que el automóvil “B” que se está moviendo con una velocque se está moviendo con una velocidad de 10 m/s comienza a aceleraridad de 10 m/s comienza a acelerar. Si el. Si el auto

auto A logra apenas a alcanzar al auto B, ¿cuál es la aceA logra apenas a alcanzar al auto B, ¿cuál es la aceleración del auto B ?leración del auto B ? 13.- Un objeto que se

13.- Un objeto que se mueve con mueve con velocidad constante Vvelocidad constante VBB = 7 m/s pasa a otro objeto A, en el momento que B = 7 m/s pasa a otro objeto A, en el momento que B

pasa a A, este comienza a moverse acelerando a razón de 2 m/s

pasa a A, este comienza a moverse acelerando a razón de 2 m/s22_{durante 4 s, para luego continuar moviéndose}_{durante 4 s,}_{para luego continuar moviéndose}

con velocidad constante. Cuanto tiempo tran

con velocidad constante. Cuanto tiempo transcurre desde que deja de acelerar scurre desde que deja de acelerar hasta que alcanza a B.hasta que alcanza a B.

14.- Un objeto de masa de 1 Kg es sometido, a partir de t = 0, a una fuerza F en la dirección del eje X 14.- Un objeto de masa de 1 Kg es sometido, a partir de t = 0, a una fuerza F en la dirección del eje X positivo, de tal modo que su

positivo, de tal modo que su aceleración varia uniformemente a razón de 3 m/saceleración varia uniformemente a razón de 3 m/s22_{en cada}_{en cada segundo. Se}_{segundo. Se sabe que}_{sabe que}

la aceleración inicial a

la aceleración inicial aoo=–3 m/s=–3 m/s22; la velocidad inicial v; la velocidad inicial voo =–3 m =–3 m/s y /s y la la posición inposición inicial xicial xoo=0. Calcule: a) El=0. Calcule: a) El

instante en que la velocidad es cero b) La posición en la

instante en que la velocidad es cero b) La posición en la cual la fuerza es cero.cual la fuerza es cero. 15.- Un

15.- Un patrullero ppatrullero persigue ersigue a un a un conductor infconductor infractor, laractor, las velocidades velocidades del s del patrullero patrullero y y del del infractor infractor son:son: V

VPP=110 =110 Km/h Km/h y y VVii = 100 Km/h. Cuando la separación en = 100 Km/h. Cuando la separación entre ambos es de 0,15 Km, un desperfecttre ambos es de 0,15 Km, un desperfecto mecánicoo mecánico

en el auto del patrullero hace que su velocidad disminuya a razón de 400 Km/h

en el auto del patrullero hace que su velocidad disminuya a razón de 400 Km/h22_{. ¿Cuál es el máximo}_{. ¿Cuál es el máximo}

acercamiento entre ambos automóviles?. acercamiento entre ambos automóviles?.

16.- Dos automóviles A y B suben por una carretera de pendiente constante, las velocidades de los 16.- Dos automóviles A y B suben por una carretera de pendiente constante, las velocidades de los automóviles son v

automóviles son vAA = 20 m/s y v = 20 m/s y vBB = 15 m/s, en el momento en que la separación entre ambos automóviles es = 15 m/s, en el momento en que la separación entre ambos automóviles es

de 40 m, al auto A que va por detrás, se le termina la gasolina. Sí A apenas alcanza a B. ¿Cual es la de 40 m, al auto A que va por detrás, se le termina la gasolina. Sí A apenas alcanza a B. ¿Cual es la aceleración

aceleración de de frenado frenado del del auto auto A? A? No No olvide olvide que que la la velocidad velocidad de de B B permanece permanece constante. constante. R. R. 0.313 0.313 m/sm/s22 17.- La posición de un proyectil disparado verticalmente hacia arriba, desde una nave que baja verticalmente, 17.- La posición de un proyectil disparado verticalmente hacia arriba, desde una nave que baja verticalmente, está dada por la ecuación:

está dada por la ecuación:

y = 10 - 20 t y = 10 - 20 t + 2 t+ 2 t22 Si el consumo de combustible del pr

Si el consumo de combustible del proyectil es de 2 litros oyectil es de 2 litros por metro. ¿Cuanto combustible gasta epor metro. ¿Cuanto combustible gasta en losn los primeros quince

primeros quince segundos de segundos de funcionamiento?funcionamiento?

18.- Una partícula se mueve a la derecha sobre una línea recta

18.- Una partícula se mueve a la derecha sobre una línea recta con una velocidad v=[5/(4+x)] m/s. con una velocidad v=[5/(4+x)] m/s. DetermineDetermine su

su posición posición cuando cuando t=6 t=6 s s si si x=5 x=5 m m cuando cuando t=0. t=0. R. R. 8.37 8.37 m/sm/s 19.- Una piedra A se suelta desde el reposo hacia un pozo, y un segundo después se suelta otra piedra B desde 19.- Una piedra A se suelta desde el reposo hacia un pozo, y un segundo después se suelta otra piedra B desde el reposo. Determine el intervalo de tiempo entre el instante en que A llega al agua y el que B lo hace. el reposo. Determine el intervalo de tiempo entre el instante en que A llega al agua y el que B lo hace. Además,

(6)

20.-

20.- Cuando t=0, una partícula A es dCuando t=0, una partícula A es disparada en forma verisparada en forma vertical con una velocidad tical con una velocidad inicial (en la boca dinicial (en la boca delel arma) de 450 m/s. Cuando t=3 s, una bala B es disparada hacia arriba con una velocidad de 600 m/s. arma) de 450 m/s. Cuando t=3 s, una bala B es disparada hacia arriba con una velocidad de 600 m/s. Determine el tiempo t, después del disparo de A, cuando B rebasa a A. ¿A qué altitud ocurre esto? Y Determine el tiempo t, después del disparo de A, cuando B rebasa a A. ¿A qué altitud ocurre esto? Y determine

determine si si A A esta esta de de bajada bajada o o de de subida subida en en ese ese instante. instante. R. R. 10.3 10.3 s, s, 4.11 4.11 kmkm 21.- Cuando dos automóviles A y B se aproximan entre sí, se mueven en la misma dirección y sentido con 21.- Cuando dos automóviles A y B se aproximan entre sí, se mueven en la misma dirección y sentido con rapidez v

rapidez vAA y v y vBB, respectivamente. Si B mantiene una rapidez constante, mientras A comienza a desacelerar en, respectivamente. Si B mantiene una rapidez constante, mientras A comienza a desacelerar en

aaAA, determine la distancia d entre los dos automóviles en el instante en qu, determine la distancia d entre los dos automóviles en el instante en que A se detiene.e A se detiene.

22.-

22.- Cuando una partícula cae en el aire, su aceleración inicial a=g disminuyCuando una partícula cae en el aire, su aceleración inicial a=g disminuye hasta llegar a cero, y desde esee hasta llegar a cero, y desde ese momento en adelante cae a una velocidad terminal constante v

momento en adelante cae a una velocidad terminal constante vf f . Es posible expresar esta variación de la. Es posible expresar esta variación de la

aceleración como a=(g/v

aceleración como a=(g/vf f 22)(v)(vf f 22-v-v22), determine el tiempo necesario para que la velocidad se mantenga en v<v), determine el tiempo necesario para que la velocidad se mantenga en v<vf f ..

Inicialmente,

Inicialmente, la la partícula partícula cae cae desde desde el el reposo. reposo. R. R. vv /(2g) ln [(v /(2g) ln [(vf f f f +v)/(v+v)/(vf f -v)]-v)]

23.-

23.- Un avión aterriza en una pista recUn avión aterriza en una pista recta, viajando originalmente a 11ta, viajando originalmente a 110 pies/s cuando x=0. Si está suje0 pies/s cuando x=0. Si está sujeto a lasto a las desaceleraciones que se ilustra, determine el tiempo t’ necesario para detener el avión y construya la gráfica desaceleraciones que se ilustra, determine el tiempo t’ necesario para detener el avión y construya la gráfica x-t

x-t para para dicho dicho movimiento. movimiento. R. R. 33.33 33.33 ss

Prob.

Prob. 23 23 Prob. Prob. 2424

24.-

24.- Con base de datos experCon base de datos experimentales, el movimiento de imentales, el movimiento de un avión jet mientras un avión jet mientras recorre una pista rrecorre una pista recta seecta se define por la gráfica v-t que se

define por la gráfica v-t que se muestra. Determine la aceleración y posición del muestra. Determine la aceleración y posición del avión cuando t=10 s y t=25 avión cuando t=10 s y t=25 s.s. El

El avión avión inicia inicia desde desde el el reposo. reposo. R. R. 0 0 m/sm/s22_{, 150 m; 4 m/s}_{, 150 m; 4 m/s}22_{, 500 m}_{, 500 m}

- 8 - 8 - 3 - 3 t[s]t[s] a[pies/s a[pies/s22_]] 5 15 20 5 15 20 t’t’ 00 20 20 60 60 t[s] t[s] v[m/s] v[m/s] 5 20 5 20 3030 00

(7)

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77

A-3. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIONES VARIABLES A-3. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIONES VARIABLES 1.- Una partícula se mueve según la

1.- Una partícula se mueve según la ecuación :ecuación : x

x = = tt33 −−t t 22 (m) (m) Calcule

Calcule la la rapidez rapidez media media desarrollada desarrollada entre entre t=0 t=0 y y t=2 t=2 s. s. R. R. 2.15 2.15 m/sm/s

2.- Una partícula se mueve según la

2.- Una partícula se mueve según la ecuación :ecuación : x x = = tt44 − − −tt33 −t t 22 Determinar : Determinar : a) Los tiempos y posiciones de inversión del movimiento.

a) Los tiempos y posiciones de inversión del movimiento. b) Los puntos de inflexión de la curva posición - tiempo. b) Los puntos de inflexión de la curva posición - tiempo.

c) Haga la gráfica cualitativa posición - tiempo e indique en ella los intervalos para los cuales el c) Haga la gráfica cualitativa posición - tiempo e indique en ella los intervalos para los cuales el

movimiento es propiamente acelerado y los intervalos en los que es desacelerado. movimiento es propiamente acelerado y los intervalos en los que es desacelerado. d)

d) Calcule Calcule la la distancia distancia recorrida recorrida desde, desde, t=0 t=0 hasta hasta t=4 t=4 s. s. R. R. a) a) 1.18 1.18 s, s, b) b) 0.73 0.73 ss 3.- Una partícula se mueve según la

3.- Una partícula se mueve según la ecuación :ecuación : x x = = tt33 − − tt22 −−t t Determinar : Determinar : a) Los tiempos y posiciones de inversión del movimiento.

a) Los tiempos y posiciones de inversión del movimiento. b) Los puntos de inflexión de la curva posición - tiempo. b) Los puntos de inflexión de la curva posición - tiempo.

c) Haga la gráfica cualitativa posición - tiempo e indique en ella los intervalos para los cuales el c) Haga la gráfica cualitativa posición - tiempo e indique en ella los intervalos para los cuales el

movimiento es propiamente acelerado y los intervalos en los que es desacelerado. movimiento es propiamente acelerado y los intervalos en los que es desacelerado. d) Calcule la

d) Calcule la distancia recorrida desde, t=0 hasdistancia recorrida desde, t=0 hasta t= 1,5 s y de t= 0 a t= 2 s.ta t= 1,5 s y de t= 0 a t= 2 s. e) Calcule la velocidad media para el intervalo de 0 a 1,5

e) Calcule la velocidad media para el intervalo de 0 a 1,5 s y de 0 a 2 s y de 0 a 2 s.s. f) Calcule la rapidez media para el intervalo 0 a 1,5 s

f) Calcule la rapidez media para el intervalo 0 a 1,5 s y 0 a 2 s.y 0 a 2 s. 4.- Una par

4.- Una partícula tícula se mueve se mueve con una con una aceleración aceleración a= 2ta= 2t22 m/s m/s22. Determine la velocidad y la posición en función. Determine la velocidad y la posición en función del tiempo sí para t=0 x=2 m y

del tiempo sí para t=0 x=2 m y v= -4 m/s.v= -4 m/s.

5.- La posición z de una partícula esta dada por la expresión : z= t

5.- La posición z de una partícula esta dada por la expresión : z= t33-2t donde z está en metros y t en segundos.-2t donde z está en metros y t en segundos. Calcule

Calcule la la posición posición y y la la aceleración aceleración cuando cuando la la velocidad velocidad es es cero. cero. R. R. –1.089 –1.089 m, m, 4.9 4.9 m/sm/s 6.- La aceleración de una par

6.- La aceleración de una partícula esta definida tícula esta definida por la relación por la relación a= kx, donde k es una coa= kx, donde k es una constante y x esta nstante y x esta enen m. para

m. para x=0 x=0 v=0 y v=0 y para x=para x=2 2 m , m , v =10 v =10 m/s calcum/s calcule la le la velocidad velocidad para x=5 para x=5 m.m. 7.- La posición x de una partícula está definida por la expresión : x= t

7.- La posición x de una partícula está definida por la expresión : x= t33_-4t_-4t22_{+5, donde x está en metros y t en}_{+5, donde x está en metros y t en}

segundos. Calcule: a) La velocidad y la acelerac

segundos. Calcule: a) La velocidad y la aceleración ión b) La máxima velocidad de la partículab) La máxima velocidad de la partícula R. a) –4 m/s, 4 m/s

R. a) –4 m/s, 4 m/s22 b) –5.33 m/s b) –5.33 m/s 8.- La velocidad de una partícula está definida por la expresión v = ky

8.- La velocidad de una partícula está definida por la expresión v = ky22_{, donde v está en ft/s y en pies y k es}_{, donde v está en ft/s y en pies y k es}

una constante en ft

una constante en ft-1-1*s*s-1-1. Calcule la acelerac. Calcule la aceleración para ión para y = 100 ft sy = 100 ft sí inicialmente ví inicialmente v00= 2 ft/s para y= 2 ft/s para yoo=5 ft.=5 ft.

R.12.8K pies/s R.12.8K pies/s 9.- La aceleración de una partícula

9.- La aceleración de una partícula está definida por la expresiestá definida por la expresión : a = 10 - xón : a = 10 - x22_{, donde a está en m/s}_{, donde a está en m/s}22_y_{y x}_{x en}_{en m.}_m.

Para x

Para xoo=0 , v=0 , voo=0. Calcule la posición x donde la velocidad es máxima.=0. Calcule la posición x donde la velocidad es máxima.

10.- La aceleración de una partícula esta dada por la rela

10.- La aceleración de una partícula esta dada por la relación : ción : a=-v , donde a está en m/sa=-v , donde a está en m/s22 y y v v está en está en m/sm/s para

para t=0, t=0, vvoo = 500 m/s y x= 500 m/s y xoo=0. Calcule la distancia recorrida por la partíc=0. Calcule la distancia recorrida por la partícula desde está velocidaula desde está velocidad d inicialinicial

hasta

hasta que que detenga detenga su su movimiento. movimiento. R. R. 500 500 mm 11.- La aceleración

11.- La aceleración de una partícula de una partícula está dada por está dada por : : a= v, a= v, donde v es la donde v es la velocidad de la velocidad de la partícula. Sí partícula. Sí en t=0en t=0 parte del origen con una velocidad es 1 m/s

parte del origen con una velocidad es 1 m/s determine la posición y la velocidad en funcidetermine la posición y la velocidad en función del tiempo.ón del tiempo. 12.- La aceleración de una partícula que a través de la atmósfera o de un liquido esta definida por la expresión 12.- La aceleración de una partícula que a través de la atmósfera o de un liquido esta definida por la expresión a = g (1 - k

a = g (1 - k22_vv22₎_{) donde g =32.2 ft/s, k una constante y v la velocidad de la partícula en f}_{donde g =32.2 ft/s, k una constante y v la velocidad de la partícula en ft/s, inicialmente su}_{t/s, inicialmente su}

posición es y

posición es yoo = 0 = 0 y su vely su velocidad es vocidad es voo = 0 determine la velocidad v como fun = 0 determine la velocidad v como función de la posición “y” .ción de la posición “y” .

R.1/k[1-exp(-2k

(8)

13.- El movimiento de dos objetos A

13.- El movimiento de dos objetos A y B esta descrito por las ecuaciones xy B esta descrito por las ecuaciones xAA= 6 +3t - t= 6 +3t - t33 y xy xBB= 10 +2t.= 10 +2t.

a) ¿Cuál es la mínima distancia entre ambos objetos? a) ¿Cuál es la mínima distancia entre ambos objetos? b)

b) ¿Cuál ¿Cuál es es la la velocidad velocidad de de los los objetos objetos en en la la mínima mínima separación? separación? R. R. a) a) 3.62 3.62 m m b)2 b)2 m/sm/s 14.-

14.- Se dispara hacia abajo una esfera con una rapidez inicial de 27 m/s. Si experimenta una desaceSe dispara hacia abajo una esfera con una rapidez inicial de 27 m/s. Si experimenta una desaceleraciónleración a=-6t m/s

a=-6t m/s22, , determine determine la la distancia distancia recorrida recorrida antes antes de de detenerse. detenerse. R. R. 54 54 mm 15.-

15.- Una partícula se Una partícula se mueve a la mueve a la derecha sobre una lderecha sobre una línea recta con uínea recta con una velocidad v=[5/(4+na velocidad v=[5/(4+x)] m/s.x)] m/s. Determinar

Determinar su su desaceleración desaceleración cuando cuando x=2 x=2 m. m. R. R. –0.116 –0.116 m/sm/s22 16.-

16.- La aceleración de un cohete La aceleración de un cohete que se desplaza hacia arrque se desplaza hacia arriba está dada por a=(6+0.0iba está dada por a=(6+0.02x) m/s2x) m/s22_{. Determine la}_{. Determine la}

velocidad del cohete cuando x=2 km y el tiempo necesario para llegar esa altitud. Inicialmente, v=0 y x=0 velocidad del cohete cuando x=2 km y el tiempo necesario para llegar esa altitud. Inicialmente, v=0 y x=0 cuando t=0.

cuando t=0. 17.-

17.- Se dispara verticalmentSe dispara verticalmente un cohete de dos etapas e un cohete de dos etapas desde el reposo codesde el reposo con la aceleración que n la aceleración que se ilustra.se ilustra. después de 15 s, la primera etapa A se agota y se enciende la segunda etapa B. Trace las gráficas v-t y x-t que después de 15 s, la primera etapa A se agota y se enciende la segunda etapa B. Trace las gráficas v-t y x-t que describen e

describen el movimiento l movimiento para para 00≤≤ t t≥≥40 40 s. s. R. R. 40 40 s, s, 612.5 612.5 m/s m/s y y 9625 9625 mm

Prob.

18.- Se dispara verticalmente un cohete de dos etapas desde el reposo en y=0 con una aceleración que se 18.- Se dispara verticalmente un cohete de dos etapas desde el reposo en y=0 con una aceleración que se ilustra. Después de 30 s, la pr

ilustra. Después de 30 s, la primera etapa A se agota y se encienimera etapa A se agota y se enciende la segunda etapa B. Trace las gráfde la segunda etapa B. Trace las gráficas icas v-tv-t y y-t

y y-t que describen eque describen el movimiento para l movimiento para 00≤≤ t t≥≥60 60 s. s. R. R. 60 60 s, s, 540 540 m/s m/s y y 10125 10125 mm 19.-

19.- El avión jet arranca desde El avión jet arranca desde el reposo es x=0 y está sujeel reposo es x=0 y está sujeto a la aceleración que se to a la aceleración que se ilustra. Determine lailustra. Determine la rapidez del avión al recorrer 200 pies. También, ¿cuánto tiempo se requiere para recorrer esa distancia?

rapidez del avión al recorrer 200 pies. También, ¿cuánto tiempo se requiere para recorrer esa distancia?

Prob. 19 Prob. 19

20.- La aceleración, de un bloque que parte del reposo, varia uniformemente a razón de 2 m/s

20.- La aceleración, de un bloque que parte del reposo, varia uniformemente a razón de 2 m/s 22_{en cada}_{en cada}

segundo a) ¿En cuanto tiempo, desde que parte, recorrerá 10 m? b) En cuanto tiempo, desde que parte, segundo a) ¿En cuanto tiempo, desde que parte, recorrerá 10 m? b) En cuanto tiempo, desde que parte, alcanzará una velocidad de 10 m/s?. Asuma

alcanzará una velocidad de 10 m/s?. Asuma que en t = 0 aque en t = 0 aoo =1 m/s =1 m/s22 . .

15 15 4040 15 15 20 20 t[s] t[s] a[m/s a[m/s22_]] 30 30 6060 99 15 15 t[s] t[s] a[m/s a[m/s22_]] a=0.01t a=0.01t22 500 500 75 75 x[s] x[s] a[pies/s a[pies/s22 a=75-0.15 x a=75-0.15 x

(9)

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99

B. MOVIMIENTOS EN EL PLANO B. MOVIMIENTOS EN EL PLANO B-1. MOVIMIENTOS EN COORDENADAS CARTESIANAS

B-1. MOVIMIENTOS EN COORDENADAS CARTESIANAS 1.- En el graficador automático de la figura se utiliza un bolígraf

1.- En el graficador automático de la figura se utiliza un bolígrafo Para trazar la curva QP en el plano o Para trazar la curva QP en el plano X-Y.X-Y. La velocidad del carro portador AB está dada como

La velocidad del carro portador AB está dada como : : dx/dt =(2t + 4 ) pies/s y la velocidad del bolígrafodx/dt =(2t + 4 ) pies/s y la velocidad del bolígrafo relativo al carro portador AB está dado como : dy/dt = ( 2/y ) pies/s . En el tiempo t = 0 él bolígrafo se relativo al carro portador AB está dado como : dy/dt = ( 2/y ) pies/s . En el tiempo t = 0 él bolígrafo se encuentra en la posición (x, y)=(1 pie , 0). a) Determine la ecuación de la curva QP graficada. b) Calcule la encuentra en la posición (x, y)=(1 pie , 0). a) Determine la ecuación de la curva QP graficada. b) Calcule la velocidad y la aceleración del punto P para t= 2 s.

velocidad y la aceleración del punto P para t= 2 s. c)Calcule la pendiente de la curva QP para t = 2 c)Calcule la pendiente de la curva QP para t = 2 s.s. R. a) x=y

R. a) x=y44_/16+y_/16+y22_{+1 b) (8ii+0.71}_{+1 b) (8}_+0.71 j_{j) pies/s, (2}_{) pies/s, (2ii-0.18}_-0.18 j_{j) pies/s}_{) pies/s}22

2.- Los bordes de dos

2.- Los bordes de dos mesas de la misma mesas de la misma altura ( h = altura ( h = 1 m ) e1 m ) están separadas por stán separadas por una distancia una distancia L= 3 L= 3 m, sobrem, sobre cada mesa y en la misma dirección y sentidos opuestos se mueven dos esferitas de tal modo que llegan al cada mesa y en la misma dirección y sentidos opuestos se mueven dos esferitas de tal modo que llegan al suelo a un mismo punto A , el mismo que se

suelo a un mismo punto A , el mismo que se encuentra a L/3 encuentra a L/3 de la primera mesa. Calcular el ángulo entre losde la primera mesa. Calcular el ángulo entre los vectores velocidad en el momento del impacto.

vectores velocidad en el momento del impacto. 3.-

3.- Demostrar que el máximo alcance para el disparo de un cañón correDemostrar que el máximo alcance para el disparo de un cañón corresponde a un ángulo de 45sponde a un ángulo de 45oo . .

4.- Un cazador de mucha experiencia apunta su cerbatana directamente hacia un mono que desea capturar 4.- Un cazador de mucha experiencia apunta su cerbatana directamente hacia un mono que desea capturar y dispara el dardo justo en el momento en que el mono se suelta .a) Demostrar que el caz

y dispara el dardo justo en el momento en que el mono se suelta .a) Demostrar que el cazador nunca ador nunca fallará.fallará. 5.- Determine la ecuación de la parábola de seguridad de un cañón cuya velocidad de disparo de sus 5.- Determine la ecuación de la parábola de seguridad de un cañón cuya velocidad de disparo de sus proyectiles

proyectiles es de es de 70 m/s.70 m/s.

6.- El vector posición de una partícula es

6.- El vector posición de una partícula es rr(t)(t) = = 2t2t i i ++ ( ( 8t8t22 + 1 ) + 1 ) j j . La coordenada Y es una función . La coordenada Y es una función

cuadrática de X, determine esa función. cuadrática de X, determine esa función. 7.- El vector posición de una partícula es

7.- El vector posición de una partícula es rr(t)(t) = at = at33 i i ++ btbt22 j. j. a) ¿Cuál es la velocidad en t = 1 s ?b) En t = 1 sa) ¿Cuál es la velocidad en t = 1 s ?b) En t = 1 s

la partícula está a

55

m del origen y tiene una rapidez de 5 m/s. ¿Cuan lejos del origen estará la partícula enm del origen y tiene una rapidez de 5 m/s. ¿Cuan lejos del origen estará la partícula en t=2s.

t=2s.

8.- Un objeto desliza sobre una mesa horizontal lisa de altura h, el objeto luego de dejar la mesa tarda en 8.- Un objeto desliza sobre una mesa horizontal lisa de altura h, el objeto luego de dejar la mesa tarda en llegar al suelo 1 s. a) Calcule la altura de la mesa y b) Si la trayectoria del objeto en el momento del impacto llegar al suelo 1 s. a) Calcule la altura de la mesa y b) Si la trayectoria del objeto en el momento del impacto con el suelo forma un ángulo de

con el suelo forma un ángulo de 4040oo con la horizontal con la horizontal ¿cual fue la velocidad del obje¿cual fue la velocidad del objeto sobre la mesa?to sobre la mesa? 9.-

9.- Una pelota se deja caer desde una altura de 39.0 m. El viento está soplando horizUna pelota se deja caer desde una altura de 39.0 m. El viento está soplando horizontalmente e imparteontalmente e imparte una aceleración constante de 1.20 m/s

una aceleración constante de 1.20 m/s22 _{a la pelota. (a) Demuestre que la trayectoria de la pelota es una}_{a la pelota. (a) Demuestre que la trayectoria de la pelota es una}

línea recta y halle los valores de R y de

línea recta y halle los valores de R y de θθ en la figura 9. (b)¿Qué tanto tiempo le toma a la pelota llegar al en la figura 9. (b)¿Qué tanto tiempo le toma a la pelota llegar al suelo?

suelo? R. R. 4.78 4.78 m, m, 83º, 83º, 2.82 2.82 ss

Figura

Figura 1 1 Figura 99Figura

A A PP Q Q _xx

yy

xx

Q Q B B yy xx

yy

xx

1.2 m/s1.2 m/s22 θ θ 39 m 39 m R R

(10)

10.- Un dardo es arrojado horizontalmente hacia el centro del blanco, punto P del tablero, con una velocidad 10.- Un dardo es arrojado horizontalmente hacia el centro del blanco, punto P del tablero, con una velocidad inicial de 10m/s. Se clava en el punto Q del arco exterior, verticalmente debajo de P, 0.19 s más tarde; véase inicial de 10m/s. Se clava en el punto Q del arco exterior, verticalmente debajo de P, 0.19 s más tarde; véase la figura 10. (a) ¿Cuál es la distancia PQ?(b)¿A qué

la figura 10. (a) ¿Cuál es la distancia PQ?(b)¿A qué distancia del tablero estaba parado el jugador?distancia del tablero estaba parado el jugador?

R. 18 cm, 1.9 m R. 18 cm, 1.9 m 11.- Se lanza proyectiles a una distancia horizontal R del borde de un acantilado de altura h de manera tal que 11.- Se lanza proyectiles a una distancia horizontal R del borde de un acantilado de altura h de manera tal que aterrizan a una distancia horizontal x del fondo del acantilado. Si queremos que X sea tan pequeña como es aterrizan a una distancia horizontal x del fondo del acantilado. Si queremos que X sea tan pequeña como es posible, ¿cómo ajustaríamos

posible, ¿cómo ajustaríamos θθ y vy v00, suponiendo que v, suponiendo que v00 pueda ser variada desde cero hasta un valor máximo pueda ser variada desde cero hasta un valor máximo

finito v

finito vmáxmáx y que y queθθ puede ser variado continuamente? puede ser variado continuamente? Sólo se permite una colisión con el suelo.Sólo se permite una colisión con el suelo.

Prob.

12.-

12.- La niña arroja siempre La niña arroja siempre los juguetes con un ángulo los juguetes con un ángulo de 30º a partir del punto de 30º a partir del punto A, según se ilustra.A, según se ilustra. Determine el tiempo entre los lanzamientos de modo que ambos juguetes golpeen los extremos de la piscina, Determine el tiempo entre los lanzamientos de modo que ambos juguetes golpeen los extremos de la piscina, B y C, en el mismo instante. ¿Con qué rapidez deberá arroja la niña cada juguet

B y C, en el mismo instante. ¿Con qué rapidez deberá arroja la niña cada juguete? R.4.32m/s, 5.8e? R.4.32m/s, 5.85m/s 0.121s5m/s 0.121s

Prob.

13.-

13.- El globo A ascEl globo A asciende a un iende a un ritmo vritmo vAA=12 km/h y el viento lo arrastra horizontalmente a v=12 km/h y el viento lo arrastra horizontalmente a vww=20 km/h. Si se=20 km/h. Si se

arroja un saco de lastre en el instante h=50 m, determine el tiempo necesario para que llegue al suelo. arroja un saco de lastre en el instante h=50 m, determine el tiempo necesario para que llegue al suelo. Suponga que el saco de lastre se suelta desde el globo a al misma velocidad en que avanza el globo. Además, Suponga que el saco de lastre se suelta desde el globo a al misma velocidad en que avanza el globo. Además, ¿qué

¿qué rapidez rapidez tiene tiene cuando cuando llega llega al al suelo? suelo? R. R. 3.55 3.55 s, s, 32.0 32.0 m/sm/s

Prob. 14 Prob. 14 14.-

14.- La partícula recorre la La partícula recorre la trayectoria definida por la patrayectoria definida por la parábola. Si la componente de la rábola. Si la componente de la velocidad a lo largovelocidad a lo largo del eje x es v

del eje x es vxx=5t pies/s, determine la distancia que recorre la partícula desde el origen y la magnitud de la=5t pies/s, determine la distancia que recorre la partícula desde el origen y la magnitud de la

aceleración

aceleración cuando cuando t=1 t=1 s. s. Cuando Cuando t=0, t=0, x=0, x=0, y=0. y=0. R. R. 4.00 4.00 pies, pies, 37.8 37.8 pies/spies/s

θ θ vv00 R R xx hh y = 0.5 x y = 0.5 x22 xx yy 00 vvAA vvww hh C C 30º 30º A A B B 0.25 m 0.25 m 1 m 1 m 2.5 m 2.5 m 4 m 4 m P P Q Q

(11)

Docente: Lic.

11

vvAA 7 pies 7 pies 30º 30º A A BB C C hh 10 pies 10 pies 25 pies

25 pies 5 pies5 pies

V V00=50 pies/s=50 pies/s θ θ 60 pies 60 pies 5 pies 5 pies 20 pies 20 pies 15.-

15.- Se proporcionan en el dibujo las mediciones de un tSe proporcionan en el dibujo las mediciones de un tiro grabado en video durante un juego de balonceiro grabado en video durante un juego de baloncesto.sto. El balón atravesó el aun cu

El balón atravesó el aun cuando apenas pasó por encima de ando apenas pasó por encima de las manos del jugador B las manos del jugador B que pretendió bloquearla.que pretendió bloquearla. Ignore el tamaño de la pelota y determine la magnitud v

Ignore el tamaño de la pelota y determine la magnitud vAA de la velocidad inicial, así como la altura h de la de la velocidad inicial, así como la altura h de la

pelota

pelota cuando cuando pasa pasa por por encima encima del del jugador jugador B. B. R. R. 36.7 36.7 pies/s, pies/s, 11.5 11.5 piespies

Prob.

16.-

16.- En el mismo instante, dos niños arrojan las En el mismo instante, dos niños arrojan las pelotas Ay B desde la ventana con rappelotas Ay B desde la ventana con rapidez inicial videz inicial v00 y y kvkv00,,

respectivamente, en donde k es una constante. Muestre que las pelotas chocarán entre si k=cos

respectivamente, en donde k es una constante. Muestre que las pelotas chocarán entre si k=cos θθ22 /cos /cosθθ1.1.

Prob.

17.-

17.- El hombre está a 60 pies El hombre está a 60 pies de muro y lanza una pelota hde muro y lanza una pelota hacia éste con una rapacia éste con una rapidez videz v00=50 pies/s. Determine=50 pies/s. Determine

el ángulo en que deberá arrojar la pelota de modo que ésta toque el muro en el punto más elevado posible. el ángulo en que deberá arrojar la pelota de modo que ésta toque el muro en el punto más elevado posible. ¿Cuál

¿Cuál es es la la altura altura de dde dicho puicho punto? nto? La La habitación habitación tiene tiene el el techo techo a ua una na altura altura de 20 de 20 pies. pies. R. 38.4º, R. 38.4º, 14.8 pie14.8 piess 18.-

18.- Se patea la Se patea la pelota en A pelota en A de tal forma de tal forma queque θθAA=30º. Si toca el suelo en el punto B con coordenadas x=15=30º. Si toca el suelo en el punto B con coordenadas x=15

pies,

pies, determine determine la la rapidez rapidez con con la la que que es es pateada pateada y y con con la la que que toca toca el el suelo. suelo. R. R. 16.5 16.5 pies/s, pies/s, 29.2 29.2 pies/spies/s 19.-

19.- El muchacho en A desea lanzar dos El muchacho en A desea lanzar dos pelotas al chico en B pelotas al chico en B de modo de ambas lleguen al mismo tiempo. Side modo de ambas lleguen al mismo tiempo. Si cada pelota se lanza con una rapidez de 10 m/s, determine los ángulos

cada pelota se lanza con una rapidez de 10 m/s, determine los ángulos θθCC y y θθDD con lo con los que s que debe lanzar debe lanzar cadacada

pelota y el tiempo entre lanzamientos. Obsérvese que la primera pelota debe lazarse con un ángulo

pelota y el tiempo entre lanzamientos. Obsérvese que la primera pelota debe lazarse con un ángulo θθCC(>θ(>θDD)), y, y

la segunda con la segunda con θθDD. . R. R. 75.3º, 75.3º, 14.7º, 14.7º, 1.45 1.45 ss θ θ22 θ θ11 kv kv00 vv00 hh dd A A B B vvAA θ θAA y = -0.04 x y = -0.04 x22 B B yy xx

(12)

A A BB θ θCC θθ 5 m 5 m Prob.

20.-

20.- Determine la rapidez de un motocicDetermine la rapidez de un motociclista acrobático, de modo que cuandlista acrobático, de modo que cuando despegue de la rampa en Ao despegue de la rampa en A atraviese el centro del aro en B. Asimismo, ¿a qué distancia del aro deberá encontrarse la rampa de aterrizaje atraviese el centro del aro en B. Asimismo, ¿a qué distancia del aro deberá encontrarse la rampa de aterrizaje y cuál deberá ser su pendiente de modo

y cuál deberá ser su pendiente de modo que aterrice con plena seguridad en C?que aterrice con plena seguridad en C? 21.-

21.- Al Al mover hacia mover hacia abajo el abajo el rodamiento A corodamiento A con una rapin una rapidez constante dez constante vvAA=2 m/s sobre su guía, se levanta la=2 m/s sobre su guía, se levanta la

caja contra la caja C. Encuentre la velocidad y la variación en la velocidad de la caja contra la posición de la caja contra la caja C. Encuentre la velocidad y la variación en la velocidad de la caja contra la posición de la misma s. Cuando el rodamiento se encuentra en B, la caja está en reposo en el suelo. Ignore el tamaño de la misma s. Cuando el rodamiento se encuentra en B, la caja está en reposo en el suelo. Ignore el tamaño de la polea

polea en en el el cálculo. cálculo. R. R. (–2/(s+4))[(s+4(–2/(s+4))[(s+4))22_-16]_-16]1/21/2_{, -64/(s+4)}_{, -64/(s+4)}33

Prob.

22.-

22.- La muchacha en C está cerca del borde de un muelle y tira horizontalmente de la cuerLa muchacha en C está cerca del borde de un muelle y tira horizontalmente de la cuerda con una rapidezda con una rapidez constante de 6 pies/s. Determine la aceleración de la lancha en el instante en que la longitud AB de la cuerda constante de 6 pies/s. Determine la aceleración de la lancha en el instante en que la longitud AB de la cuerda es

es de de 50 50 pies. pies. R. R. 0.192E-3 0.192E-3 pies/spies/s22

8 8 pies pies BB xxBB A A xxCC A A xxAA B B ss C C 4 m 4 m xxCC 4 m 4 m 3 pies 3 pies 5 pies 5 pies 12

12 pies pies 24 24 pies pies dd 12 12 A A B B C C α α

(13)

Docente: Lic.

13

B-2. MOVIMIENTO EN COORDENADAS NORMAL -TANGENCIAL B-2. MOVIMIENTO EN COORDENADAS NORMAL -TANGENCIAL

1.-

1.- Demuestre que el Demuestre que el radio de curvaradio de curvaturatura ρρ para una curva : y = para una curva : y = y(x) , está dado por :y(x) , está dado por :

ρ ρ == + +

((

₁₁

((

)) ))

22 33 22 / / 22 22 dy dy dx dx d d yy dx dx

2.- Demostrar que la aceleración normal es a

2.- Demostrar que la aceleración normal es ann = v = v22 / /ρρ

3.- Se dispara un proyectil con una velocidad de 30 m/s y un ángulo de elevación de 35

3.- Se dispara un proyectil con una velocidad de 30 m/s y un ángulo de elevación de 35 oo. Calcule el radio de. Calcule el radio de curvatura. a)

curvatura. a) En el puntEn el punto más alto más alto de su o de su trayectoria. b) trayectoria. b) Para un Para un tiempo t = tiempo t = ½ t½ t subidasubida.. c) En el punto dec) En el punto de

impacto.

impacto. R. R. a) a) 61.62 61.62 m m b)73.29 b)73.29 m m c) c) 112.11 112.11 mm 4.- Se dispara un proyectil con una velocidad de 20 m/s de tal modo que su altura máxima es igual a su 4.- Se dispara un proyectil con una velocidad de 20 m/s de tal modo que su altura máxima es igual a su alcance.

alcance. Calcule Calcule el el radio radio de de curvatura curvatura en en el el momento momento del del lanzamiento. lanzamiento. R. R. 168.25 168.25 mm 5.- Un prototipo de automóvil se somete a una prueba que evalúa su movimiento en una pista difícil. Los 5.- Un prototipo de automóvil se somete a una prueba que evalúa su movimiento en una pista difícil. Los registros de

registros del movimiento l movimiento muestran que muestran que para el para el tiempo tiempo tt11 la velocidad del automóvil era v la velocidad del automóvil era v11 = 40 m/s y = 40 m/s y

estaba en dicho instante a razón de 3 m/s

estaba en dicho instante a razón de 3 m/s22 siendo su aceleración total 25 m/s siendo su aceleración total 25 m/s22. . Calcule Calcule el el radio radio de de curvaturacurvatura de la trayectoria del automóvil en el instante t

de la trayectoria del automóvil en el instante t1.1. R. R. 64.47 64.47 mm

6.- En una operación de manufactura se tran

6.- En una operación de manufactura se transporta pequeños contenedores que esporta pequeños contenedores que en una n una etapa del procesoetapa del proceso son conducidos por un riel parabólico paralelo al suelo. ¿Cuál es la máxima magnitud de la velocidad v de los son conducidos por un riel parabólico paralelo al suelo. ¿Cuál es la máxima magnitud de la velocidad v de los contenedores si su aceleración total, causada por el riel parabólico, no debe exceder de 200 p/s

contenedores si su aceleración total, causada por el riel parabólico, no debe exceder de 200 p/s22_{?. Suponga}_{?. Suponga}

que

que el el riel riel no no cambia cambia la la magnitud magnitud de de la la velocidad velocidad de de los los contenedores. contenedores. (p (p = = pulgada) pulgada) R. R. 14.14 14.14 pulg/spulg/s

Prob.

7.- Un aeroplano en prueba de vuelo en picada tiene una velocidad v

7.- Un aeroplano en prueba de vuelo en picada tiene una velocidad v AA = 200 m/s , disminuyendo a un = 200 m/s , disminuyendo a un

razón de 15 m/s

razón de 15 m/s22_{en la parte más baja de su trayectoria . Calcule el radio de curvatura de la trayectoria}_{en la parte más baja de su trayectoria . Calcule el radio de curvatura de la trayectoria en el}_{en el}

punto A si la aceleración total del aeroplano es de 80 m/s

punto A si la aceleración total del aeroplano es de 80 m/s22en en ese ese punto. punto. R. R. 509.03 509.03 mm 8.- Una partícula P se mueve con una velocidad constante v = 10 pies/s sobre una trayectoria definida por 8.- Una partícula P se mueve con una velocidad constante v = 10 pies/s sobre una trayectoria definida por y=4x

y=4x22_{pies . Calcule el radio de curvatura}_{pies . Calcule el radio de curvatura} _ρ_ρ_{y la aceleración}_{y la aceleración aa de la partícula para x = 0 y x}_{de la partícula para x = 0 y x = 2 pies .}_{= 2 pies .}

R. 0.125 pies, 800 pies/s

R. 0.125 pies, 800 pies/s22; 515 pies, 0.19 pies/s; 515 pies, 0.19 pies/s22 9.- Una partícula P inicia su movimiento desde el reposo desde el punto O (ver figura ). La trayectoria del 9.- Una partícula P inicia su movimiento desde el reposo desde el punto O (ver figura ). La trayectoria del movimiento se define por : y = 3x

movimiento se define por : y = 3x22 donde y y x están en metr donde y y x están en metros . La velocidad de la pos . La velocidad de la partícula aumenta artícula aumenta aa razón constante y llega

razón constante y llega a x = 1 m en un tiempo t = 0,2 s después de iniciado su movimiento. Calcule losa x = 1 m en un tiempo t = 0,2 s después de iniciado su movimiento. Calcule los vectores

vectores de de aceleración aceleración para para x x = = 0 0 y y x x = = 1 1 m. m. R. R. 162.5162.5ii m/s m/s22_{, (-1.06}_{, (-1.06ii+164.92}_+164.92 j_{j) m/s}_{) m/s}22

10.- El

10.- El vector posicvector posición de ión de una partuna partícula en ícula en movimiento cumovimiento curvilíneo prvilíneo plano lano ::rr(t)(t) = (4t = (4t33 +5) +5) i i ++ -t-t22 j j , todas, todas

las unidades en el S .I.. Calcule el radio de curvatura , la aceleración normal , la aceleración tangencial y la las unidades en el S .I.. Calcule el radio de curvatura , la aceleración normal , la aceleración tangencial y la aceleración total de la partícula para t = 1 s y para t

aceleración total de la partícula para t = 1 s y para t = 2 s.= 2 s. R. 18.76 m, 7.89 m/s R. 18.76 m, 7.89 m/s22, 22.75 m/s, 22.75 m/s22, 24.08 m/s, 24.08 m/s22; 291.01 m, 7.97 m/s; 291.01 m, 7.97 m/s22, 47.38 m/s, 47.38 m/s22, 48.04 m/s, 48.04 m/s22