I NSTITUTO P OLITÉCNICO N ACIONAL
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CONÓMICAS ECONOMÍA FINANCIERA
TESIS
MEDICIÓN DEL RIESGO MERCADO CON MIXTURAS GAUSSIANAS: UNA APLICACIÓN AL
SECTOR PETROLERO CON ANÁLISIS RETROSPECTIVO
ROGELIO JAHIR MORALES DE PAZ
MÉXICO, D.F. DICIEMBRE DE 2021
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ÍNDICE
ÍNDICE DE FIGURAS ... II SECCIONES DE ABREVIACIONES/SIGLAS ... III RESUMEN ... IV ABSTRACT ... IV INTRODUCCIÓN ... IV CAPÍTULO I. BREVE PERSPECTIVA DEL MERCADO PETROLERO
INTERNACIONAL ... 1
1.1 Las expectativas racionales de los agentes económicos ... 1
1.2 Antecedentes de la demanda petrolera. ... 2
1.3 Participantes del mercado petrolero internacional. ... 3
1.4 Principales estadísticas y evolución de la economía mundial y los precios del petróleo. ... 6
1.5 La importancia del precio del barril de petróleo en el presupuesto. ... 10
1.6 ¿Funcionan las coberturas petroleras? ... 11
CAPÍTULO 2. RIESGO MERCADO EN EL SECTOR PETROLERO Y SU MEDICIÓN ... 12
2.1 El factor riesgo y su importancia en el mercado petrolero ... 12
2.1.1 Estructura del mercado petrolero ... 13
2.1.2 Volatilidad del mercado petrolero ... 14
2.1.3 Riesgo de mercado y su regulación. ... 16
2.2 Medidas coherentes de riesgo ... 17
2.3 Valor en Riesgo: definición y métodos. ... 18
2.3.1 Modelo de simulación histórica ... 20
2.4 Limitaciones del VaR y soluciones ... 21
2.4.1 Valor en riesgo condicional (CVaR)... 22
2.5 Mixtura gaussiana finita... 23
2.6 Estimación de parámetros ... 26
CAPÍTULO 3. APLICACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS ... 29
3.1 Descripción y análisis estadístico de activos. ... 29
3.2 Cálculo del VaR y CVaR. ... 34
3.2.1 VaR Paramétrico. ... 34
3.2.2 Simulación histórica. ... 36
3.3 Deducción CVaR para normal y MG. ... 37
3.4 Resultados del VaR, CVaR y análisis de backtesting para cada metodología. ... 39
CONCLUSIONES ... 46
Anexo A ... 48
REFERENCIAS ... 49
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 Mayores productores de Petróleo 2018 ... 4
Figura 2 Composición de las reservas comprobables 2018 ... 5
Figura 3 Composición de la demanda 2018 ... 6
Figura 4 Crecimiento económico mundial PIB a/ 1980-2020 ... 6
Figura 5 Tasas de Crecimiento PIB vs Tasa de Crecimiento Producción de petróleo ... 7
Figura 6 Tasas de Crecimiento PIB vs Tasa de crecimiento Demanda de petróleo. ... 8
Figura 7 Renta Petrolera/PIB... 9
Figura 8 Tasas de Crecimiento PIB México vs Tasa de crecimiento Demanda Mundial de petróleo ... 9
Figura 9 Comportamiento del precio del petróleo a/ de enero de 2018 a octubre de 2019 . 14 Figura 10 Volatilidad del precio del petróleo de enero de 2000 a diciembre de 2018 ... 15
Figura 11 Representación gráfica VaR y CVaR ... 22
Figura 12 Ilustración mixtura gaussiana (MMG) ... 25
Figura 13 Precios del commodities ... 29
Figura 14 Rendimientos de los commodities ... 31
Figura 15 Precios y rendimiento ... 32
Figura 16 Histograma de rendimientos de los commodities ... 33
Figura 17 Expresiones analíticas para el CVaR. ... 39
Figura 18 Resultados VaR y CVaR ... 40
Figura 19 VaR y CVaR Normal, SH y GM ... 41
Figura 20 Representación gráfica del Backtesting ... 42
Figura 21 Resultados Backtesting... 43
Figura 22 Validación estadística de VaR al 99% ... 44
Figura 23 Validación estadística de CVaR al 97.5% ... 45
Figura 24 Región de no rechazo ... 48
SECCIONES DE ABREVIACIONES/SIGLAS
API
American Petroleum Institute, 11 Brent
Petróleo del Mar del Norte, 11, 21 Commodity
Bienes transables en el mercado de valores, 22
Convolución
Operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función, 32
COVID-19
Enfermedad infecciosa causada por coronavirus, 14, 18
CVaR
Valor en Riesgo Condicional, 7, 8, 20, 29
Derivados
Instrumento financiero cuyo valor depende directamente del valor de otro activo., 18, 19, 24
FMI
Fondo Monetario Internacional, 14, 15, 16, 17
Leptocurtosis
Una situación en la cual las colas de una distribución estadística son más gruesas de lo que deberían ser., 24 MME
Mezcla Mexicana de Exportación, 8, 23 OPEP
Organización de Países Exportadores de Petróleo, 12, 13, 15, 21
OTC
Over the Counter, 19 PIB
Producto Interno Bruto, 7, 14, 15, 16, 17, 18, 20
Put
Contrato que le da al comprador el derecho, pero no la obligación de vender un activo a un precio determinado, 19
VaR
Valor en Riesgo, 7, 8, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 29, 43
Volatilidad
Intensidad de los cambios del precio de un activo., 7, 23, 24
WTI
West Texas Intermediate, 8, 11, 21, 23
RESUMEN
El sector petrolero ha sido un factor clave en la economía mexicana, y fungió como el principal motor durante un largo periodo, como consecuencia se han experimentado periodos de recesión y expansión explicados principalmente por variaciones en los precios del petróleo. En este trabajo se analiza y contrasta el comportamiento de tres metodologías, (paramétrico, simulación histórica y mixturas gaussianas) para el cálculo de Valor en Riesgo (VaR) y Valor en Riesgo Condicional (CVaR) de un portafolio compuesto de tres activos del sector petrolero, dos crudos marcadores, (BRENT y WTI) y la mezcla mexicana de exportación (MME) para determinar cuál metodología es más adecuada para este mercado a través de un análisis backtesting. Una de las consecuencias que trajo consigo la crisis del COVID19, se observa en los precios de los futuros del barril de petróleo modificando de manera considerable el Valor en Riesgo de las posiciones en los activos BRENT WTI y MME. Siendo el VaR a través de simulación histórica el modelo que presento menos rebases para el portafolio con ponderación iguales. Sin embargo, los resultados de la prueba Kupiec arrojan que ninguno de las metodologías del VaR es confiable al 99%. En el caso del CVaR, la prueba Kupiec muestra que las tres metodologías son confiables para estimarlo al 97.5%
para el portafolio con pesos iguales.
Palabras claves: Valor en Riesgo, mercado de petróleo, riesgo de mercado, mixturas Gaussianas.
ABSTRACT
The oil industry has been a key factor in the Mexican economy, and served as the main engine for a long period, as a consequence there have been periods of recession and expansion mainly explained by variations in oil prices. In this work the behavior of three mothodologies is analyzed and contrasted, (parametric, historical simulation and Gaussian mixtures) for the calculation of Value at Risk (VaR) and Conditional Value of Risk (CVaR) of a portfolio composed of three assets in the oil sector, two Crude markers (BRENT and WTI) and the Mexican export mix (MME) to determine which methodology is more appropriate for this market through a backtesting analysis. One of the consequences that the COVID19 crisis brought with it is observed in the prices of the oil barrel futures, significantly modifying the Value at Risk of the positions in the BRENT WTI and MME assets. Being the VaR through historical simulation the model that presented the least exceedances for the portfolio with equal weighting. However, the results of the Kupiec test show that none of the VaR methodologies is 99% reliable. In the case of CVaR, the Kupiec test shows that the three methodologies are reliable to estimate it at 97.5% for the portfolio with equal weights.
Keywords: Value at Risk, oil market, market risk, Gaussian mixtures.
INTRODUCCIÓN
El petróleo ha sido fundamental para el desarrollo industrial, tomando protagonismo a partir de finales del siglo XIX. Volviéndose rápidamente la principal fuente de energía para la producción industrial. Se encuentra presente, de manera directa o indirecta, en los procesos productivos, por ejemplo, en la industria química, en el sector agrícola y el industrial.
Por esta razón los países productores de petróleo han adoptado este sector como una pieza clave dentro de sus economías. En algunos países la explotación y exportación del petróleo llega a ser la principal fuente de riqueza (Banco Mundial, 2019), fenómeno llamado por los especialistas como “economías petrolizadas”. Durante el 2017; dentro de las economías más dependientes del petróleo, este sector representó en promedio el 13.5% del PIB, mientras para el caso particular de México representó el 1.3%.
Dada la importancia del sector petrolero, en la literatura se encuentran distintos estudios que analizan el comportamiento y la producción del insumo del tema de estudio. La mayor parte de estas investigaciones se centran en la volatilidad del precio del petróleo, teniendo en cuenta que la volatilidad se considera como un causante del desequilibrio de oferta y demanda, puede dar pie a de los ciclos económicos, agitaciones políticas, guerras y condiciones climáticas desfavorables (Hung-Chun, Ming-Chih, & Ching-Mo, 2009). Los estragos de esta volatilidad se pueden observar en cualquier sector de la economía mundial, para el caso particular de México, que ocupó el puesto número 11 del ranking mundial de producción durante el 2018 y no se considera una economía petrolizada según datos de la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo); una variación negativa en los precios del petróleo sin cobertura con llevaría estragos en las finanzas públicas, puesto que los ingresos petroleros toman un rol protagónico en la estructuración del presupuesto anual.
En las últimas décadas se ha destacado la importancia que tiene el mercado petrolero en los mercados financieros internacionales, por ello se requiere un documento que exponga las características del mercado petrolero, su importancia dentro de la actividad económica, así como medir el riesgo financiero a través de las metodologías más utilizadas (VaR y CVaR).
Estas metodologías, que son aceptadas ampliamente en la valuación financiera, presentan algunas deficiencias notables, como lo son: los supuestos de normalidad de los rendimientos y correlación lineal simple como estructura de dependencia (Venegas- Martínez, 2008). Una forma de resolver estas desventajas es a través de mixturas gaussianas finitas, ya que es un medio en el cual se pueden modelar de manera eficiente las distribuciones de los rendimientos de activos financieros como es el caso del petróleo.
(Rosales-Contreras, 2015).
El presente trabajo tiene como objetivo comparar las mediciones del Valor en Riesgo (VaR) y Valor en Riesgo Condicional (CVaR) mediante mixturas gaussianas contra los modelos usuales de simulación histórica y varianza-covarianza, ejecutando un análisis de backtesting para determinar qué metodología es mejor sobre un portafolio compuesto de posiciones en BRENT, WTI y MME en el periodo 01/01/2018-31/12/2020. Se eligieron los crudos: BRENT y WTI porque son los principales referentes en la industria petrolera debido a sus características, mientras que se contrasta con la Mezcla Mexicana de Exportación para ver el caso particular de México. La hipótesis de este estudio afirma que los modelos para calcular el VaR y CVaR de portafolios mediante mixturas gaussianas, proporcionan una medida de riesgo más robusta que los modelos VaR y CVaR usuales.
El documento se encuentra estructurado de tres capítulos. En el capítulo 1 se describe el contexto histórico, las características de las mezclas, los principales participantes dentro del mercado y la importancia que tiene el precio del barril para México. En el capítulo 2 se analizan los factores determinantes que afectan los precios del petróleo en el corto plazo, se tratará a detalle la metodología que se implementará para la medición del riesgo mercado desde fundamentos hasta ventajas de cada metodología.
Para el capítulo 3 se desarrollará el modelo para la medición de riesgo mercado y se compararán los resultados contra el benchmark. Finalmente se determinará si el uso de mixturas gaussianas para medir el riesgo en el sector petrolero es viable y otorga una medición certera.
CAPÍTULO I. BREVE PERSPECTIVA DEL MERCADO PETROLERO INTERNACIONAL
En el presente capítulo se describirán las características primordiales de los agentes involucrados en el mercado petrolero, la evolución e importancia que ha tenido este sector dentro de la economía mundial, así como la interrelación que desarrollan los productores, consumidores y los dueños de la materia prima.
1.1 Las expectativas racionales de los agentes económicos
Desde la teoría marginalista, hasta la revolución de la teoría de las expectativas racionales, iniciada por los escritos de Muth en 1961 y concretada por Lucas en 1972, se han sostenido el supuesto de la racionalidad económica, trabajando con agentes maximizadores, los cuales realizan un análisis con toda la información disponible, con el objetivo de tomar la decisión optima. Si bien este supuesto es cuestionable, puede sostenerse en el mundo real.
El principal problema subyace en que la información en el mundo real es asimétrica para los agentes, provocando distorsiones en los mercados y dificultando la medición del riesgo para la toma de decisiones (Leland & Pyle, 1977). Aun así, el comportamiento racional de los agentes económicos no se rompe, ya que, si la información con la que cuenta el individuo es catalogada como “verdadera” por él, se puede incurrir en una decisión racional errónea debido a la naturaleza de la información.
Esta información se presenta de dos formas; de manera determinista la cual presenta un estado absoluto y de manera estocástica en el cual se acepta la existencia de riesgo, a lo que Bermúdez concluye que: “el futuro es probabilísticamente riesgoso, pero no incierto”
(Bermúdez, 2014). Tratando de solucionar esta incongruencia teórica, Muth en 1961 plantea una hipótesis llamada expectativas racionales.
La hipótesis de las expectativas racionales surge de la premisa en la cual los individuos no deben cometer errores de manera sistemática, y en un mundo con información perfecta determinista, los agentes pronosticarán de manera perfecta, sin embargo, como la predicción perfecta que se argumenta no es una característica literal del mundo, se genera un
modelo en el cual coexistan la información determinista, la información estocástica y la información asimétrica sobre las variables.
De acuerdo con Begg, la formulación de este modelo se concluye en que las expectativas racionales son las esperanzas matemáticas condicionadas a la información disponible (Begg, 1989). A partir del marco de las expectativas racionales, se asume que la información disponible y pública de los precios del petróleo, ya incorpora las expectativas de los agentes.
Si bien, esta base teórica sigue siendo objeto de discusión, tiene puntos de vista divergentes y no hay conciliación respecto a si el marco de expectativas racionales es el mejor referente para conocer los precios futuros, sigue siendo ampliamente utilizado para capturar la dinámica de la toma de decisiones desde el enfoque micro hasta las políticas económicas (Caspi, Katzke, & Gupta, 2018).
1.2 Antecedentes de la demanda petrolera
La forma en la que se encuentra consolidado el mercado petrolero actualmente, ha sido fruto de una ardua evolución a través del tiempo. A principios del siglo XIX la demanda energética comenzó a incrementar en países como USA, y gran parte de Europa occidental, a consecuencia de los recientes avances tecnológicos que trajo consigo la revolución industrial.
En estos momentos de la historia la producción interna era lo suficientemente grande para poder satisfacer las necesidades de la demanda. Para esta época la industria petrolera en el resto del mundo era prácticamente inexistente (Ruiz-Caro, 2001).
Con el crecimiento de la industria e incremento de poder económico y político de las empresas productoras (sobre todo en el siglo XX), se implementó un gran número de regulaciones y concesiones en prácticamente todo el mundo para esta industria. Un claro ejemplo de este intento de regulación por parte de los gobiernos fue la disolución de la empresa Standard Oil por parte de las autoridades de los Estados Unidos o las concesiones que expedían los gobiernos sobre extensiones de terrenos concedidos durante un plazo, otorgándoles el derecho exclusivo de explorar, producir, transportar, refinar y comercializar
petróleo, a cambio las obligaba a pagar una cantidad de dinero fija o proporcional a la producción de un periodo determinado de tiempo (Mora, 2002).
Mora (2002) en su artículo “El poder de las grandes petroleras” expresa que “los jugadores del juego petrolero internacional son esencialmente tres: empresas, consumidores y propietarios del recurso no renovable.” A consecuencia de esto existen, desde los inicios de la industria petrolera, alteraciones externas tanto a la oferta como a la demanda, ocasionando que no sea extraño encontrar históricamente presencia de cárteles en este mercado, como El Acuerdo de la Línea Roja, en el cual participaron empresas de USA, Inglaterra, Francia, Holanda y de medio oriente con el objetivo de fijar los precios a través del sistema que se actualizaba de manera diaria, sistema que estuvo vigente de 1928 a 1948.
Esta estrategia benefició a las empresas, sin embargo, fue desgastando la relación con los gobiernos, y en un intento de abaratar el precio con una sobre oferta, crearon políticas con la finalidad de otorgar nuevas concesiones. Como respuesta se crea la Organización de Países Exportadores de Petróleo. Organismo que continúa presente y tiene un gran impacto en el mercado petrolero mundial (Ruiz-Caro, 2001).
1.3 Participantes del mercado petrolero internacional.
El petróleo no es un producto homogéneo, en el mercado existe un gran número de tipos de petróleo y cada uno cuenta con su demanda particular, ya que por sus diferentes características son usados en distintos procesos. “El petróleo crudo se clasifica dependiendo de los grados API (American Petroleum Institute), considerando valores menores a 30 como mezclas pesadas, y por arriba de 30 se definen como mezclas ligeras” (Gobierno de México, 2019). De entre todos destacan 2 por su importancia a nivel mundial, son aceptados internacionalmente como referencia para el mercado; denominándoseles crudos marcadores.
Las características de estos tipos de petróleo son:
a) Brent: se utiliza como referencia para los mercados europeos y en general para el 65% de los crudos a nivel global. El Brent tiene 38.5 grados API y 0.4% de azufre.
b) West Texas Intermediate (WTI): Crudo de muy alta calidad, ligero y dulce (39.6 grados API y 0.24% de azufre). El WTI es utilizado como precio de referencia en el mercado de los Estados Unidos.
(Delfino, 2016).
Uno de los principales agentes dentro de la oferta petrolera, es la OPEP; representa a 13 países para el 2020 (Argelia, Angola, Congo, Guinea Ecuatoriana, Gabón, Irán, Iraq, Kuwait, Libia, Nigeria, Arabia Saudita, Emiratos Árabes Unidos y Venezuela) y de acuerdo con su estatuto: “la misión de la Organización de Países Exportadores de Petróleo (OPEP) es coordinar y unificar las políticas petroleras de sus Países Miembros y garantizar la estabilidad de los mercados petroleros para asegurar un suministro eficiente, económico y regular para los consumidores, un ingreso estable para los productores y un rendimiento justo del capital para quienes invierten en la industria petrolera” (Organization of the Petroleum Exporting Countries, 2020).
Durante el año 2018 se produjeron cerca de 75.7 millones de barriles, siendo Estados Unidos, Rusia y Arabia Saudita los principales productores, teniendo una distribución equivalente y abarcando el 42% de la producción total.
La OPEP produce el 42.9% del mercado total. Los 10 países que más producen representan el 71% de la producción total y 5 de ellos pertenecen a la OPEP.
Figura 1 Mayores productores de Petróleo 2018
País % Participación en la producción
Estados Unidos 14%
Rusia 14%
Arabia Saudita 14%
Iraq 6%
China 5%
Irán 5%
Emiratos Árabes Unidos 4%
Kuwait 4%
Brasil 3%
México 2%
Fuente: elaboración propia con datos de OPEP 2020.
De acuerdo con los datos de la OPEP, para el 2018 la cantidad de reservas probadas de petróleo a nivel global se encontraba en 1,497,986 millones de barriles, de los cuales el 79.4% corresponden a países miembros de la OPEP, con un total de 1,189,804 millones de barriles. Concentrándose entre Venezuela, Arabia Saudita, Irán e Iraq más del 70% de todas las reservas, siendo Venezuela el país que liderea esta lista.
Figura 2 Composición de las reservas comprobables 2018 País Reservas (millones de barriles) %
Mundial 1,497,986 100%
OPEP 1,189,804 79%
Venezuela 302,809 25%
Arabia Saudita 267,026 22%
Irán 155,600 13%
Iraq 145,019 12%
Kuwait 101,500 9%
Otros 217,850 18%
No-OPEP 308,182 21%
Rusia 80,000 26%
USA 47,120 15%
Kazajistán 30,000 10%
China 25,927 8%
Qatar 25,244 8%
México 5,807 2%
Otros 94,084 31%
Fuente: elaboración propia con datos de OPEP 2020.
El consumo durante el 2018 se encontró liderado por Estados Unidos y China, quienes consumieron cerca del 35% de toda la producción mundial. Se puede observar que 7 de los 10 países que más demandan petróleo también son parte de las 10 economías más grandes del 2018 según datos del fondo monetario internacional. Caso contrario con la parte de los productores; de los 10 países que más producen solamente 3 son parte de las 10 economías más grandes. El 60% de la demanda se encuentra centralizada en los siguientes países:
Figura 3 Composición de la demanda 2018 País % de la demanda
Estados Unidos 21%
China 13%
India 5%
Japón 4%
Rusia 4%
Brasil 3%
Arabia Saudita 3%
Corea del sur 3%
Canadá 2%
Alemania 2%
Fuente: elaboración propia con datos de OPEP 2020.
1.4 Principales estadísticas y evolución de la economía mundial y los precios del petróleo.
Conocer la evolución de la economía mundial es un factor importante que posteriormente, servirá de referencia para comprender el comportamiento de los precios del petróleo
Figura 4 Crecimiento económico mundial PIB a/ 1980-2020
a/Variación % anual.
Fuente: elaboración propia con datos de FMI 2019.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Economías Avanzadas Economías emergentes Mundo Pronóstico
Economías Avanzadas Pronóstico
Economías Emergentes Pronóstico Economías Mundo
En la figura 4 se observa el comportamiento que ha tenido el PIB mundial desde 1980 hasta el 2020, en este último año se consideran las estimaciones realizadas por el Fondo Monetario internacional, así como la recuperación estimada posterior a la contingencia del COVID-19. A nivel mundial (exceptuando los estragos económicos ocasionados por el coronavirus) el crecimiento anual del PIB oscila entre 2 y 4%.
A partir de los últimos 20 años se puede observar una correlación directa entre las tasas de crecimiento, lo que coincide con el desarrollo de los sistemas financieros en el mundo y la estrecha interrelación entre ellos. El PIB impulsado por diferentes cuestiones entre las que destaca el constante aumento de la producción de petróleo. Cabe resaltar que en los primeros 10 años de la creación de la OPEP (1960-1970) el crecimiento de la producción de petróleo estuvo cerca del 8% anual, mientras que el crecimiento del PIB mundial se situó en 5%, posteriormente a finales de la década de los 70 y hasta a mediados de la década de los 80 las políticas de control de producción propuestas por la OPEP, redujeron la tendencia de crecimiento de la producción a 1% anual, afectando de manera directa el crecimiento económico para ese periodo, reduciéndolo a 3% anual.
Figura 5 Tasas de Crecimiento PIB vs Tasa de Crecimiento Producción de petróleo
a/Variación % anual.
Fuente: elaboración propia con datos de FMI 2020 y del Banco Mundial 2020.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
% PIB % Producción
En la figura 5 se muestra el comportamiento que han tenido las variaciones del PIB y las variaciones de producción de petróleo y si bien en los primeros años tenían un comportamiento similar, respondiendo en la misma dirección. Durante los siguientes años los conflictos políticos que se desarrollaron durante la década de los 70 influyeron en la planeación de la producción de la OPEP, lo que genero un desequilibrio en el mercado, afectando directamente al crecimiento económico de ese periodo, el cual duraría hasta principios de la década de 1990. En general podemos ver como las variaciones de producción generan en cierta medida las variaciones en PIB.
Figura 6 Tasas de Crecimiento PIB vs Tasa de crecimiento Demanda de petróleo.
a/Variación % anual.
Fuente: elaboración propia con datos de FMI 2020 y del Banco Mundial 2020.
De manera contraria la demanda que responde a variaciones del PIB. En la figura 6 se observa que la demanda imita el comportamiento que tiene el PIB.
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
% PIB
% Demanda
Figura 7 Renta Petrolera/PIB
Fuente: elaboración propia con datos del Banco Mundial 2020.
Para el caso particular de México, durante las décadas de 1970 a 1990 la economía se encontraba fuertemente influenciada por la renta petrolera, llegando a representar cerca del 7% anual del PIB en promedio durante este periodo de tiempo, llegando a un máximo de 12%.
Figura 8 Tasas de Crecimiento PIB México vs Tasa de crecimiento Demanda Mundial de petróleo
Fuente: elaboración propia con datos de FMI 2020 y del Banco Mundial 2020.
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
-4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%
Tasa de crecimiento PIB MEX
Tasa de Crecimiento Demanda Mundial
En la figura 8 se plasma la relación que ha tenido el crecimiento del PIB con respecto al aumento de la demanda mundial del petróleo. Si bien en la actualidad ya no existe una dependencia fuerte entre el crecimiento de México y la demanda mundial, aún se mantiene un significativo grado de influencia entre estas variables
1.5 La importancia del precio del barril de petróleo en el presupuesto.
El presupuesto de Egresos de la Federación se refiere al documento que se elabora por el Poder Ejecutivo a través de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, en el que se expresa la cantidad y la forma en la que distribuirán los recursos públicos. En este documento se incluyen sueldos de los empleados públicos, obra pública, servicios básicos, gastos de operación y programas sociales (Secretaría de Gobernacion, 2018). A la par de este documento se genera la Ley de Ingresos de la Federación, en la cual se expone “la política de ingresos del Ejecutivo Federal; montos de ingresos en los últimos cinco ejercicios fiscales;
estimación de los ingresos para el año que se presupuesta y las metas objetivo de los siguientes cinco ejercicios fiscales; explicación para el año que se presupuesta sobre los gastos fiscales, incluyendo los estímulos, así como los remanentes del Banco de México y su composición; propuesta de endeudamiento neto para el año que se presupuesta (Secretaría de Gobernacion, 2018)”.
A diferencia con otros países la forma en la que el Gobierno recauda los ingresos tiene una fuerte dependencia a los ingresos petroleros debido a la baja carga tributaria que tiene.
La recaudación de impuestos se ubica en un 9.5% anual promedio con respecto del PIB, a diferencia de países como Argentina, Brasil o Uruguay que su recaudación tributaria se encuentra en el rango de 28-35% del PIB (Tello, 2015). Para los ejercicios 2015- 2019 los ingresos petroleros representaron en promedio el 20% de la estimación total de los ingresos.
La manera en la que se estima esta cantidad es a través de una serie de pronósticos realizada por Pemex; en los que se consideran las condiciones macroeconómicas mundiales, estimaciones del Producto Interno Bruto, precio de la mezcla mexicana de petróleo, precio del gas natural, el tipo de cambio peso-dólar, inflación anual, entre otros elementos (Secretaría de Hacienda y Crédito Público, 2019).
Sin embargo, la parte impredecible de la realidad puede ocasionar estragos verdaderamente graves para las finanzas públicas, un ejemplo de esto, son las consecuencias de la Pandemia de COVID-19 en materia económica. Que se vio traducido en un descenso de la actividad económica y con ello, una disminución de la demanda petrolera a nivel mundial, estimulando los precios del crudo hacia abajo. Sabiendo que las estimaciones pueden fallar es necesario contar con otro tipo de garantías, como lo son las coberturas petroleras.
1.6 ¿Funcionan las coberturas petroleras?
Las coberturas petroleras son: “instrumentos financieros derivados con el propósito de administrar el riesgo de sus operaciones habituales en caso de movimientos adversos en las tasas de interés, precio del petróleo crudo, materias primas, gas natural, valor de las divisas y el precio de los portafolios” (López-Sarabia & Venegas-Martinez, 2010).
Durante el 2009 a través de las opciones put que adquirió la secretaría de Hacienda y Crédito Público se pudo garantizar el 90% de los ingresos petroleros, pero tuvo un costo de 1500 millones de dólares. A pesar de que su eficiencia se encuentra comprobada y es esencial en la parte de la administración de riesgo, existen ciertas condiciones que pueden comprometer su buen funcionamiento, entre ellas la naturaleza de las coberturas al estar realizadas en los mercados no regulados llamados Over the Counter (OTC) que traen consigo el riesgo inherente del incumplimiento de la contra parte por lo cual es conveniente que las autoridades muestren transparencia en las operaciones realizadas con estos derivados (López- Sarabia & Venegas-Martinez, 2010).
En el primer capítulo se expusieron los elementos necesarios para comprender el mecanismo de mercado del sector petrolero y la importancia que tiene dentro de la economía mexicana.
CAPÍTULO 2. RIESGO MERCADO EN EL SECTOR PETROLERO Y SU MEDICIÓN
En el presente capítulo se describe la importancia de la medición del riesgo mercado para el sector petrolero, se exponen los supuestos y limitantes de las metodologías de medición de riesgo mercado actuales (VaR y CVaR) y se propone una alternativa a las limitantes a través de mixturas gaussianas.
2.1 El factor riesgo y su importancia en el mercado petrolero
Los agentes económicos se enfrentan a diferentes riesgos1, entre ellos, destaca el riesgo de mercado, el cual se refiere a la posibilidad de fluctuaciones o variaciones en el mercado que a consecuencia pueden generar alguna pérdida no anticipada. Estas fluctuaciones pueden deberse a cambios en variables significativas como: Los precios, la tasa de interés y tipo de cambio, entre otras. Por lo que una medición inadecuada del riesgo puede ocasionar efectos desfavorables en el sistema económico (Sarmiento, 2007).
Uno de los sectores claves de medición de riesgo es el precio del petróleo, ya que es parte fundamental para los procesos productivos y energéticos de la economía global, y en varios países forma parte esencial en los ingresos gubernamentales como es el caso de Irak, que el valor de las exportaciones representó el 37.8% del PIB para el año 2017 (Banco Mundial, 2019). En particular los países con grandes yacimientos de petróleo para Beltrán- Saavedra (2015) son altamente susceptibles a cambios en los precios internacionales trayendo consigo repercusiones en los flujos de capital y los ingresos petroleros.
La forma en la que se encuentra establecido el precio del petróleo en la actualidad proviene de la demanda y la tendencia a la alza que ha tenido en los últimos años según Basher (2006), principalmente en el aumento de Asia Pacífico cuya región aumentó su demanda en un 37% en un periodo de 10 años; impulsados principalmente por el incremento del 112.5% del consumo por parte de China en el periodo de 1994 a 2004. En general los países industrializados han aumentado su consumo en este periodo. La oferta responde en
1 Por ejemplo, riesgo de liquidez, riesgo operacional, riesgo legal, etc. Sin embargo, el trabajo se centra en el riesgo de mercado.
parte a este aumento de la demanda, pero también a situaciones de geopolítica y de acuerdos institucionales controlados en gran medida por la OPEP (Ruiz, 2006). Sin embargo, después de la crisis subprime y de la llamada euro-crisis provocada por la deuda soberana incitaron a que los precios del crudo tuvieran un récord histórico para posteriormente caer en el corto y mediano plazo a causa del desplome de la demanda por la recesión del 2008 (De Jesus, Vergara, & Carreño, 2014).
Estas condiciones del mercado petrolero hacen que sea una tarea difícil modelar el riesgo al que se encuentran expuestos los agentes económicos, debido a que los precios del petróleo muestran movimientos más extremos comparados con otros activos financieros tradicionales, aunado a procesos complejos de carácter político que logra desequilibrar la oferta y demanda. Por lo que una medición VaR tradicional, utilizado frecuentemente en los mercados financieros, puede no ser necesariamente una medida apropiada para el mercado petrolero (Hung-Chun et al, 2009).
Dado que el precio del petróleo afecta a las economías, tal cual como se acaba de analizar en los diferentes países, el estudio y la búsqueda de nuevas metodologías para cuantificar y mitigar el riesgo ha sido un eje principal en la ciencia financiera, a causa de la importancia que tiene la certidumbre para la toma de decisiones óptima y más en sectores estratégicos como lo es el sector petrolero.
2.1.1 Estructura del mercado petrolero
Uno de los principales retos en cuanto al estudio del mercado internacional de petróleo es que existen diferentes tipos de crudos con características técnicas diferentes. Los más reconocidos internacionalmente son el West Texas Intermediate (WTI) y el Brent de procedencia del norte de América y del mar del norte respectivamente. Pero existen muchos más, la cesta de la OPEP se encuentra representada por catorce diferentes tipos de crudos de los 13 miembros que lo integran, de los cuales destacan Kuwait Export, el Bonny Light nigeriano, el Saharan Blend de Argelia y el BCF-17 venezolano; por ser de los crudos con características más demandadas (Pulitano & Borgucci, 2010).
A partir de la crisis mundial de los años 70, el estudio económico del mercado de petróleo dejó de considerarse como una mercancía cualquiera para comenzar a ser estudiado como commodity, lo que genera que la compraventa de este insumo requiera mecanismos de cobertura de riesgos ya que su estructura de precios está definida como el diferencial entre el nivel de precios esperado 𝑝𝑡+1𝑒 y los niveles actuales de p. Mientras que la oferta futura depende de la oferta actual, los avances tecnológicos, y la capacidad de las empresas productoras para manejar su inventario. (Pulitano & Borgucci, 2010).
2.1.2 Volatilidad del mercado petrolero
El ambiente vivido en el mercado internacional de petróleo derivado de la incertidumbre de las decisiones políticas se ha visto reflejado en movimientos extremos en los precios, lo que incrementa la exposición al riesgo. En la figura 9 se presenta el comportamiento que han tenido los precios en el periodo de enero de 2018 hasta octubre del 2019.
Figura 9 Comportamiento del precio del petróleo a/ de enero de 2018 a octubre de 2019
a/Precios en dólares
Fuente: elaboración propia con datos de Investment 2020 y Banco de México 2020.
$30.00
$40.00
$50.00
$60.00
$70.00
$80.00
$90.00
1/2/2018 5/2/2018 9/2/2018 1/2/2019 5/2/2019 9/2/2019
BRENT WTI MME
En la figura 9 se puede ver las fluctuaciones que ha tenido el precio de los tres petróleos que se utilizarán de referencia en este estudio y se puede observar que existe una correlación entre ellos; comportándose de manera muy similar en gran parte de la serie, aunque existen diferencias en cuanto a la magnitud de sus caídas y subidas, su tendencia es muy parecida respondiendo de la misma manera en el mismo periodo de tiempo.
Existe una compleja dinámica no lineal en los precios del petróleo creando un ambiente desfavorable para modelar su comportamiento y dificultando la predicción de la volatilidad, generando un escenario de incertidumbre y dejando desprotegidos a los agentes económicos para una óptima toma de decisiones (De Jesus & Carvajal, 2013). En la figura 10 se muestra la volatilidad que ha tenido el precio del petróleo.
Figura 10 Volatilidad del precio del petróleo de enero de 2000 a diciembre de 2018
a/Variación % mensual.
Fuente: elaboración propia con datos de Investment 2020 y Banco de México 2020.
En la figura 10 se puede observar la volatilidad que han tenido los rendimientos de la serie de los activos BRENT, WTI y MME y se puede observar que en este periodo de tiempo hay cambios bruscos con valores extremos. El comportamiento de los cambios en los precios del petróleo ha sido un tema relevante en la economía financiera y existen múltiples métodos
-50.00 -40.00 -30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 30.00
1/1/2000 7/1/2002 1/1/2005 7/1/2007 1/1/2010 7/1/2012 1/1/2015 7/1/2017
% MME % BRENT % WTI
para poder modelarlos. Wang y Wu (2012) proporcionan evidencia empírica de que la volatilidad en los rendimientos del crudo WTI muestra alta persistencia y efectos asimétricos.
El precio al estar influenciado por más variables que sólo la oferta y la demanda, como; los desastres naturales, las crisis financieras o eventos especulativos, los autores De Jesus y Carvajal (2013) sugieren la selección de distribuciones más flexibles para describir las características de las innovaciones de los rendimientos del petróleo caracterizadas por la leptocurtosis derivada de alta volatilidad. Este fenómeno es relevante para el análisis financiero debido a la probabilidad asociada a los eventos extremos de la serie estudiada (Lopez-Herrera & Mota, 2019). Rosales (2015) propone solucionar el problema mencionado a través de la implementación de Mixturas Gaussianas finitas ya que constituyen un medio eficiente para modelar la distribución de los rendimientos.
Al ser un activo con alta volatilidad, los precios se ven considerablemente afectados a situaciones externas al mercado petrolero (De Jesus & Carvajal, 2013). A consecuencia de esto a lo largo del tiempo se han utilizado distintas metodologías para su medición, siendo de las más utilizadas el VaR, porque permite medir el valor de pérdida máxima que puede tener un activo, en este caso el petróleo. Sin embargo, no cumple con ciertas características necesarias según Artzner, Delbaen, Eber, y Carnegie (1999). Esta metodología para la medicion del riesgo se han ido sofisticando con el paso del tiempo, y con ayuda de instituciones financieras se han especializado en diferentes tipos de riesgos, como por ejemplo el riesgo mercado el cual es el principal eje de esta tesis.
2.1.3 Riesgo de mercado y su regulación.
El riesgo mercado contempla la probabilidad de variación de las condiciones de mercado en cuanto a precio, tipo de interés y tipo de cambio. El riesgo de tipo de interés se define por el comité de supervisión bancario de Basilea como la exposición de la situación financiera de un banco a movimientos adversos en los tipos de interés. El riesgo de tipo de cambio se expresa como la influencia que tiene las variaciones de la paridad de la divisa local frente a divisas extranjeras, sobre posiciones abiertas. Finalmente, el riesgo de precio se refiere a los resultados de movimientos adversos en los precios de activos financieros, acciones, derivados o índices bursátiles. Para 1998 la exposición al riesgo de tipo de interés dentro de
los mercados de derivados no organizados representaba cerca de dos tercios del riesgo total de mercado (Feria, 2005).
Para el caso de México, un ejemplo de las consecuencias que ha traído una administración “imprudente” del riesgo de mercado se puede observar en la crisis de 1982, en la cual la mezcla de circunstancias entre las que destacan un nivel alto de apalancamiento en el sector petrolero y gubernamental aunado a una fuerte dependencia a los ingresos de la exportación petrolera hicieron que la situación fuera insostenible al momento de la caída del precio de la mezcla mexicana (Jiménez, 2006).
Durante la década de los 80 y 90 como consecuencia del fuerte crecimiento del sector financiero y de una serie de crisis y quiebras que se suscitaron en este periodo, hicieron que se formularan y endurecieran ciertas regulaciones al sistema bancario. Las más importantes fueron las establecidas por el Comité de Supervisión Bancaria de Basilea en el que se establecía los requisitos y la metodología que se utilizaría para mitigar el riesgo mercado a través del capital mínimo regulatorio y de la exposición al riesgo mercado de sus activos (Stupariu, 2018)
2.2 Medidas coherentes de riesgo
El riesgo mercado es un factor determinante para la toma de decisiones y el resultado de una medición incorrecta o parcialmente correcta puede derivar en grandes pérdidas como las ya mencionadas. La medición correcta y oportuna se ha convertido en un tema fundamental para el mundo financiero y durante los últimos años se han desarrollado bastantes técnicas con el objetivo de mejorar la medición sin embargo no todas cumplen con ciertas propiedades necesarias para que sean consideradas como medidas fiables.
Artzner, Delbaen, Eber, y Carnegie (1999) llegan a la conclusión de que para que una técnica de medición de riesgo sea coherente debe satisfacer 5 axiomas.
Se supone que X se encuentra definida sobre un espacio de probabilidad fijo (𝛺, 𝐹, 𝐼𝑃).
Se define la familia:
𝐴 = 𝑋│𝑋: 𝛺 → 𝐼
X representa el cambio del portafolio y A el conjunto de todos los posibles cambios y el riesgo del cambio del portafolio se define como 𝑝: 𝐴:A⟶ 𝐼𝑅. Siguiendo la notación de (Venegas-Martínez, 2008), para que la medición del riesgo sea coherente debe cumplir con:
Invariante por traslación. Si X∈𝐴 y α ∈ IRentonces:
𝑃(𝑋 + 𝛼) = 𝑃(𝑋) − 𝛼
Subaditividad. Si para todo X y ∈ 𝐴 se cumple que 𝑃(𝑋 + 𝑌) ≤ 𝑃(𝑋) + 𝑃(𝑌)
Homogeneidad positiva. Para todo α ≤ 0 y X ∈ 𝐴 𝑃(𝛼𝑋)= 𝛼 𝑃(𝑋)
Monotonía no creciente. Si X, Y ∈ 𝐴 y es tal que X ≤ Y entonces:
𝑃(𝑌) ≤ 𝑃(𝑋)
Relevancia. Si para todo X ∈ 𝐴 con X< 0 existe 𝑝(𝑋).
2.3 Valor en Riesgo: definición y métodos.
Durante el siglo XX se han generado numerosas metodologías para cuantificar el riesgo con base en análisis estadísticos. Pero fue hasta finales del siglo pasado que en J.P Morgan desarrolló un método para cuantificar el riesgo de mercado al que llamaron VaR, como respuesta a las crisis financieras de inicios de los 90. Según Venegas (2017) “a partir de entonces, el valor en riesgo es una de las medidas que se utilizan con mayor frecuencia, por los intermediarios financieros, en la estimación de pérdidas potenciales, en el rendimiento de un portafolio, en un periodo de tiempo y con un nivel de confianza dados.” Dentro de los
establecidos en el comité de supervisión bancaria de Basilea se estableció como normativa el uso del VaR como medida primaria de riesgo en el ámbito de regulación global.
En el documento técnico la institución financiera (J.P.Morgan/Reuters, 1996) define el valor en riesgo como: “Una medida del cambio potencial máximo en el valor de una cartera de instrumentos financieros para un nivel de probabilidad dado y para un horizonte temporal predefinido.
El VaR trata de responder a la pregunta cuánto puedo perder con un x% de probabilidad para un horizonte temporal determinado”. El VaR es simplemente una medida de referencia sobre las pérdidas de un portafolio. Lo que realmente importa es la consistencia de nivel de confianza del VaR a través del tiempo
La expresión analítica para calcular el VaR es:
𝑃[𝑅𝑟+𝑡< 𝑉𝑎𝑅(ℎ)] = 𝛼
Donde [𝑅𝑟+𝑡] es el rendimiento de la cartera al tiempo [t+h], y VaR(h) es el valor en riesgo en rendimiento de un portafolio a un horizonte temporal h. Para estimar la probabilidad de pérdida con un nivel de confianza dado es necesario definir la función de distribución de los rendimientos del activo. Según Jaureguízar (2009), desde un punto de vista estadístico, el VaR representa el menor percentil de las pérdidas potenciales en que se puede incurrir una cartera en un periodo de tiempo dado.
Actualmente existen diversos métodos prácticos para el cálculo del Valor en Riesgo, principalmente por la forma en la que se estima la distribución de los rendimientos del activo;
existiendo dos clasificaciones; Métodos paramétricos, se basan en las varianzas y covarianzas de los rendimientos que compone el activo y nos arroja como resultado el valor en riesgo de al nivel de confianza α denotado por −𝑉𝑎𝑅α𝑥 , se define como el peor valor del portafolio en un periodo de tiempo dado[t,T] , para un intervalo de confianza del α , es decir:
𝑝[−𝑉𝑎𝑅𝛼𝑥 ≤ 𝑋] = 𝛼
Esta definición se puede aplicar ya sea a variables aleatorias discretas o continuas, de lo anterior se sigue inmediatamente que:
𝑉𝑎𝑅1−𝛼𝑥 = −𝑖𝑛𝑓 {𝑥 ∈ 𝐼𝑅│𝑃ѳ{𝑋 > 𝑥} ≤ 1 − 𝛼
Se observa que 𝑉𝑎𝑅1−α𝑥 es una estimación estadística del peor valor de .
La aplicación de esta metodología ofrece ciertas ventajas integrales, ya que representa el riesgo mercado mediante la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y evalúa el riesgo con un solo número y a consecuencia se ha convertido en una herramienta esencial dentro de los mercados financieros, y de igual manera es aplicable en los mercados petroleros para medir el riesgo (Fan, Zhang, Tsai, & Wei, 2008). Las recientes crisis han aumentado la volatilidad en los mercados financieros y con ello ha aumentado la exigencia de nuevas metodologías capaces de estimar con mayor precisión. En la actualidad no existe un consenso sobre la metodología más adecuada, muchas de estas metodologías han sido criticadas por la suposición de normalidad, implicando una subestimación del riesgo y por lo tanto se han propuesto distribuciones sesgadas y de colas pesadas (Del Brio & Mora-Valencia, 2014).
Desde su creación hasta la fecha, el VaR, sigue siendo el método recomendado para estimar el riesgo en los acuerdos de Basilea III y prácticamente todas las instituciones financieras han adoptado en alguna de sus variedades para evaluar su riesgo de cartera (Asche, Dahl, & Oglend, 2013).
2.3.1 Modelo de simulación histórica
Esta metodología asume que los movimientos ocurridos en el pasado pueden acontecer en un futuro (Jorion, 1996). Se toman en consideración ciertos factores de riesgo relevantes para cada uno de los activos financieros de un portafolio en n observaciones previas, con esta información se simula n-1 escenarios históricos con el fin de evaluar la cartera y comparar el resultado con el valor actual (Monroy, 2015). El resultado, según Monroy (2015), será una distribución de posibles pérdidas y ganancias de forma empírica a través de las variaciones observadas por el valor de la cartera en un determinado periodo de tiempo.
Al no ser un método paramétrico no depende de ninguna hipótesis sobre distribuciones de probabilidad y permite capturar el fenómeno de colas gruesas. Este modelo es pertinente cuando se tiene un portafolio con posición en diferentes mercados con instrumentos no lineales siendo intuitivo y fácil de instrumentar (Jorion, 1996).
A pesar de sus bondades tiene un problema crítico y es que descarta los eventos que no hayan ocurrido en el pasado, sesgando, o en su defecto si es una serie demasiado extensa puede alterar el valor estimado y no se encuentra ningún indicador estadístico para determinar de manera analítica y óptima cuantas observaciones son necesarias incluir (Carneiro, Gabriela, & Hamacher, 2010).
2.4 Limitaciones del VaR y soluciones
Todos los métodos antes mencionados tienen diferentes limitaciones técnicas a la hora de realizar la medida en cuanto a exposición al riesgo. Se debe tener en cuenta que las diversas formas existentes de medir el VaR convierten a estas estimaciones en medidas subjetivas y debe considerarse como una técnica necesaria pero no suficiente para el control del riesgo, así lo afirma (Jorion, 1996).
Según Venegas-Martínez (2008) afirma que el VaR no refleja la reducción de riesgo cuando se diversifica, además de que el modelo medido a través de la varianza como medida de riesgo es incapaz de distinguir diferencias entre las colas de distribuciones. Pero tal vez el mayor de los problemas con el VaR es el supuesto de normalidad que lleva implícito debido a dos razones, la primera es que los rendimientos de activos financieros suelen presentar distribuciones con colas anchas y el segundo es que la metodología no cumple con la propiedad de sub-aditividad causando que subestime pérdidas potenciales, cuando el tamaño de la pérdida excede el umbral determinado por ella. Otra crítica es que el VaR no proporciona información sobre severidad de una pérdida extrema y podría ser inadecuada debido a su falta de convexidad, que puede conducir a muchos extremos locales y una calificación de riesgo inestable (Carneiro, Gabriela, & Hamacher, 2010).
2.4.1 Valor en riesgo condicional (CVaR)
El CVaR o también conocida como exceso de pérdida media, al satisfacer las propiedades exigidas para ser una medida coherente de riesgo se propone como metodología complementaria del VaR. El CVaR se define como la pérdida esperada de un portafolio con valor 𝑋𝑡 al tiempo 𝑡 en el peor α% de los casos. Por ejemplo, 𝐶𝑉𝑎𝑅10% a 10 días representa el promedio de las pérdidas durante un período de 10 días dado que la pérdida está en el 10%
de la cola izquierda. Esta cantidad ayuda a resumir la pérdida esperada que podría ocurrir más allá de un nivel de confianza dado.
El Valor en Riesgo Condicional es una medida consistente de riesgo con buenas propiedades matemáticas, que permiten una optimización eficiente mediante técnicas de programación lineal (Carneiro, Gabriela, & Hamacher, 2010). Debido a sus propiedades matemáticas vuelven al CVaR en una metodología importante a considerar, especialmente cuando las colas de la distribución son pesadas, como es el caso de la distribución de los rendimientos del petróleo (Ali & Arnesen, 2018).
Figura 11 Representación gráfica VaR y CVaR
Fuente: elaboración propia.
En la figura 11 se observa el bosquejo de una distribución normal, representado con el punto azul el valor del VaR al 5% y el CVaR se presenta con el promedio de los valores que se encuentran en la zona roja de la distribución.
2.5 Mixtura gaussiana finita
Un modelo de mixtura se refiere a un modelo probabilístico utilizado para describir una población que consiste en observaciones generadas a partir de diferentes distribuciones subyacentes. Generalmente, se supone que estas distribuciones tienen la misma forma paramétrica, pero pueden tener diferentes valores de parámetros. Para variables aleatorias continuas y de valor real, un modelo de mixtura gaussiana (MMG) es el modelo de mixtura más utilizado. En esta clase de modelos, se supone que cada componente de la mixtura tiene una distribución normal.
Para un número dado de componentes, los parámetros del modelo se pueden estimar de manera eficiente utilizando un algoritmo de Expectation-Maximization (EM) (Dempster, Laird y Rubin 1977) que se adapta muy bien tanto a la dimensión como al tamaño de un conjunto de datos. Como resultado, modelos basados en mixturas gaussianas tienen aplicación en una variedad de problemas, que van desde la agrupación no supervisada de datos para la detección de anomalías, control estadístico de procesos, recuperación y segmentación de imágenes, seguimiento de objetos en tiempo real.
Dadas las ventajas que tienen las mixturas gaussianas se pueden encontrar en la literatura varias aplicaciones en finanzas cuantitativas, por ejemplo, Tan y Chu (2012), proponen una clase de distribuciones de mixturas gaussianas para aproximar las distribuciones de rendimientos de activos con medición del VaR.
En lo que sigue se presenta la teoría para el cálculo de VaR y CVaR para mixturas gaussianas de acuerdo con Rosales (2015). El valor de un portafolio de inversión al tiempo t denotado por 𝑉𝑡, es una función del tiempo y de un conjunto de factores de riesgos (𝑍𝑡∈ ℝ𝑑: 𝑉𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑍𝑡). Se define los cambios en los factores de riesgo como 𝑋𝑡 = 𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1 y la pérdida (positiva) del portafolio como 𝐿𝑡 = −(𝑉𝑡− 𝑉𝑡−1). La aproximación línea de 𝐿𝑡+1 es:
𝐿𝑡+1 = −(𝑓(𝑡, 𝑍𝑡) + ∑ 𝑓𝑧(𝑡, 𝑍𝑡)𝑋𝑡+1,𝑗)
𝑑
𝑗=1 (1)
Donde los subíndices de f representan derivadas parciales y solo los cambios 𝑋𝑡+1son aleatorios. Si los suponemos Normales, entonces 𝐿𝑡+1es normal. Esto da origen al método Delta-Normal para el cálculo de Valor en Riesgo (VaR) descrito por Jorino (2006).
Sin embargo, la evidencia empírica muestra que en la gran mayoría de los activos financieros se observan rendimientos que no siguen una distribución normal. En particular, la frecuencia observada de rendimientos extremos es mayor que la probabilidad de dichos rendimientos bajo la normal. Esta característica se denomina leptocurtosis, colas anchas o elongación en exceso. También es posible observar alternadamente períodos de alta y baja volatilidad, distribuciones asimétricas o dependencia en las colas en las distribuciones conjuntas. Más grave aún es el hecho de que el supuesto de normalidad con frecuencia no se verifica.
Según Rosales (2015) se puede decir que un vector aleatorio X: Ω￫ℝd se distribuyen de acuerdo con una mezcla gaussiana cuando su función de densidad se puede escribir como:
𝑓𝑥(x, Ψ) = ∑ πiΦi
k i=1
(x, μ, Σi)
Donde ∑ π ki=1 i = 1 y πi va de 0 a 1. Φi(x, μ, Σi) con i= 1, . . . , k son densidades Normales d-variadas con parámetros μi ∈ ℝdy Σi ∈ ℝdxdson matrices positivas definidas.
Esto quiere decir que cada una de las distribuciones tiene una media que define su centro μi, una covarianza Σii que define su ancho y πi que define que tan grande será la función.La función de densidad se encuentra definida como:
𝑁(𝑥|𝜇, 𝛴) = 1
(2𝜋)𝑑/2√|𝛴|𝑒(−12(𝑥−𝜇)𝛴−1(𝑥−𝜇)
Donde 𝑥 representa el conjunto de variables, d es el número de dimensiones, y tiene dos propiedades importantes, la primera es que una mixtura gaussiana finita univariada de 𝑘 componentes admite 3𝑘 − 1 parámetros y es cerrada bajo convolución. La última propiedad sirve para obtener medidas de riesgo de interés en este trabajo. Dado que la hereda de la normal, se enuncian las siguientes propiedades para los casos normal y MG:
Propiedad 1. (Caso Normal). Si 𝑋 ∼ 𝑁𝑑(𝜇, 𝜮) y 𝑙(𝑥) = −(𝑐 + 𝜔⊤𝑥), entonces 𝑙(𝑋) ∼ 𝑁(𝜇𝑙, 𝜎𝑙2), donde 𝜇𝑙 = − (𝑐 + 𝜔⊤𝜇) y 𝜎𝑙2 = 𝜔⊤𝛴𝜔.
Propiedad 2. (Caso Mixtura Gaussiana). Si 𝑋 ∼ 𝑀𝐺𝑑(𝜋, {𝜇𝑖}𝑖=1𝑘 , {𝛴𝑖}𝑖=1𝑘 ) y 𝑙(𝑥) =
−𝜔⊤𝑥 entonces 𝑙(𝑋) ∼ 𝑀𝐺 (𝜋, {𝜇𝑙𝑗}
𝑗=1 𝑘 , {𝜎𝑙2𝑗}
𝑗=1
𝑘 ) , donde 𝜇𝑙𝑗 = −𝜔⊤𝜇𝑗 y 𝜎𝑙2𝑗 = 𝜔⊤𝛴𝑗𝜔, 𝑗 = 1, … , 𝑘.
El utilizar Mixturas Gaussianas en el cálculo del VaR muestra una mejora en cuanto a la medición del riesgo de manera significativa con estimaciones superiores a las encontradas en el cálculo del VaR con métodos tradicionales en el contexto de activos individuales como de portafolio (Venkataraman, 1997). Tienen ventaja sobre la descripción de varios niveles de riesgo y resuelven problemas de la distribución que de manera tradicional sería complicado (Zhang & Cheng, 2005).
Figura 12 Ilustración mixtura gaussiana (MMG)
Fuente: elaboración propia.
En la figura 12 se ejemplifica la representación gráfica de mixtura gaussiana: las líneas verde y morado representan distribuciones Normales y en rojo la combinación lineal de ambas distribuciones generando una mixtura gaussiana.
2.6 Estimación de parámetros
Como ya se describió, la construcción de la distribución de mixturas gaussianas se partirá de una muestra aleatoria de tamaño n, en la cual 𝑋𝑗 es un vector d-dimensional con función de densidad de probabilidad en ℝ𝑑, donde x representa una observación del vector 𝑋j 𝑗.
Cuando se tienen especificadas las densidades, excepto por el valor de un conjunto de parámetros 𝛩 = (𝜋𝑖, 𝜇𝑖, 𝜎𝑖2)𝑖=1𝑘 , la estimación de dichos parámetros se hace mediante máxima verosimilitud. Entonces, dada una muestra aleatoria, la función de verosimilitud y su logaritmo se pueden escribir como:
𝐿(𝛩) = ∏ ∑ 𝜋𝑖𝜙𝑖(𝑥𝑗)
𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑗=1
,
ℒ(𝛩) = 𝑙𝑛 𝐿 (𝛩) = ∑ 𝑙𝑛 [∑ 𝜋𝑖𝜙𝑖(𝑥𝑗)
𝑘 𝑖=1
]
𝑛 𝑖=1
(2)
Para simplificar la notación, sea la dimensión d . Para obtener los estimadores 1 máximos verosímil se debe resolver el problema:
Max𝛩ℒ(𝛩) s.a. ∑ 𝜋𝑖
𝑘 𝑖=1
= 1.
Al resolver el problema de optimización en tiempo discreto se tiene un sistema de 2k ecuaciones: 1
∑ 𝜙ℎ′(𝑥𝑗)
∑𝑘𝑖=1𝜋𝑖𝜙𝑖(𝑥𝑗)= 0, ℎ = 1,2, … , 𝑘
𝑛
𝑗=1
∑ 𝜙ℎ′(𝑥𝑗)
∑𝑘𝑖=1𝜋𝑖𝜙𝑖(𝑥𝑗)=
𝑛 𝑗=1
𝜆, ℎ = 1,2, … , 𝑘
∑ 𝜋𝑖
𝑘 𝑖=1
= 1.
La solución a este problema no se encuentra de manera cerrada, pero si a través de iteraciones, para este tipo de problemas es común la utilización del algoritmo Esperanza y Maximización (EM) de Dempster et al (1977), a consecuencia de ciertas características como la estabilidad numérica, la fácil ejecución y la convergencia rápida a un máximo local.
En el paso de Esperanza se estima la probabilidad posterior, dada la muestra, de cada uno de los subconjuntos de la partición del espacio muestral por:
𝜋ℎ = 1
𝑛 ∑ 𝑃(𝛺ℎ|𝑋 = 𝑥𝑖)
𝑛 𝑖=1
,para ℎ = 1,2, … , 𝑘.
Para una mixtura finita univariada los pasos del algoritmo EM se resumen en los pasos siguientes:
Paso de Esperanza:
𝜋ℎ =𝑛1∑𝑛𝑖=1𝑃(𝛺ℎ|𝑋 = 𝑥𝑖),
Donde:
𝑃(𝛺ℎ|𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝜋ℎ
𝜎ℎ𝜙 (𝑥𝑖− 𝜇𝑗
𝜎ℎ )
∑ 𝜋𝑗
𝜎𝑗𝜙 (𝑥𝑖− 𝜇𝑗 𝜎𝑗 )
𝑘𝑗=1
