TEOREMA DE BERNOULLI.
TEOREMA DE BERNOULLI.
OBJETIVO:
OBJETIVO:
Demostrar el teorema de Bernoulli (Principio de conservación de la energía) mediante un tubo Venturi Demostrar el teorema de Bernoulli (Principio de conservación de la energía) mediante un tubo Venturi que maneja agua.
que maneja agua.
INTRODUCCIÓN:
INTRODUCCIÓN:
El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado de forma exacta mediante el análisis El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidade
pueden tener diferentes velocidades y s y estar sujetas a estar sujetas a distintas aceleraciondistintas aceleraciones. Tres principioses. Tres principios fundament
fundamentales que se ales que se aplican al flujo de fluidos son:aplican al flujo de fluidos son: a)
a) El principio de la conservación de la masa, a El principio de la conservación de la masa, a partir del cual se partir del cual se establece la ecuación deestablece la ecuación de continuidad.
continuidad. b)
b) El principio de la energía cinética, a partir de la El principio de la energía cinética, a partir de la cual se deducen ciertas ecuaciones aplicables alcual se deducen ciertas ecuaciones aplicables al flujo, y
flujo, y c)
c) El principio de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones paraEl principio de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones para calcular las
calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimimovimiento.ento. Flujo de Fluidos:
Flujo de Fluidos:
El flujo de los fluidos puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o El flujo de los fluidos puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; unidimensional, bidimensional o tridimensional, y rotacional o irrotacional.
turbulento; unidimensional, bidimensional o tridimensional, y rotacional o irrotacional.
Verdaderamente, el flujo unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el modulo, Verdaderamente, el flujo unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el modulo, dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. No obstante, el análisis con flujo dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. No obstante, el análisis con flujo unidimensional es aceptable cuando al tomar como única dimensión espacial, de la que dependen unidimensional es aceptable cuando al tomar como única dimensión espacial, de la que dependen todas las características, la línea
todas las características, la línea de corriente central del flujo de corriente central del flujo pueden considepueden considerarse como despreciablesrarse como despreciables las variaciones de las velocidades y aceleraciones en dirección normal a dicha línea de corriente. En las variaciones de las velocidades y aceleraciones en dirección normal a dicha línea de corriente. En tales casos, se
tales casos, se consideran como representconsideran como representativas del flujo completo los ativas del flujo completo los valores medios de la valores medios de la velocidad,velocidad, la presión y
la presión y la elevación, despreciando las variaciones menores.la elevación, despreciando las variaciones menores. Un flujo bidimensional tien
Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las partículas fluidas se mueven en e lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos o en planoplanos o en plano paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada
paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada plano.plano.
Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tiene Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tiene lugar movimientos rotacionales de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. lugar movimientos rotacionales de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. Tales flujos ideales, que admiten una representación muy intuitiva mediante la red de corriente, se Tales flujos ideales, que admiten una representación muy intuitiva mediante la red de corriente, se llaman flujos
llaman flujos irrotacionalirrotacionales.es. Flujo permanente:
Flujo permanente:
El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas
El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículaspartículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por tanto, la velocidad es constante
que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo o bien
respecto del tiempo o bien
/=0
/=0
, , pero pueden variar de un punto a otro, es pero pueden variar de un punto a otro, es decir es variabledecir es variable respecto de lasFlujo Uniforme:
El flujo uniforme tiene lugar cuando el modulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido, es decir,
/=0
. El flujo de líquidos bajo presión a través de tuberías de diámetro constante y gran longitud es uniforme tanto si el régimen es permanente como si no lo es. Teorema de Bernoulli:El teorema de Bernoulli establece que si las pérdidas son despreciables (por el momento), la energía que posee una partícula en la trayectoria de una línea de corriente en cualquier sección de paso de un tubo de corriente permanece constante; es decir:
=
+
2+
=
+
2+
=
Dónde:
=
=
2=
=
Ecuación de continuidad:La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio de conservación de la masa. Para un flujo permanente, al masa de fluido que atraviesa cualquier sección de una corriente de fluido, por unidad de tiempo, es constante. Esta puede calcularse como sigue:
=
=.
Para fluidos incompresibles y para todos los casos prácticos en que
=
, la ecuación se transforma en:=
=
=
Donde
y
son, respectivamente, el área de la sección recta en
y la velocidad media de la corriente en m/seg.DESARROLLO:
La práctica consistió en comprobar el teorema de Bernoulli (conservación de la energía) auxiliándonos del equipo construido por los profesores del laboratorio de termofluidos. Una parte del equipo es el Venturi y sus 13 orificios distribuidos a lo largo de este en el que se conectan unas mangueras que a su vez se comparan una respecto a la otra de forma vertical cada una con una escala (en cm).
Básicamente la práctica fue la siguiente:
1. Se echó a andar la bomba para hacer circular el fluido, en este caso agua.
2. Se esperó a que el sistema se estabilizara y rápidamente se tomó la primera lectura de las 13 mangueras conectadas al venturi (altura del fluido en
..
).3. Se realizó una segunda lectura de los trece orificios o mangueras.
4. Se apagó la bomba y el nivel de las trece mangueras regreso a su posición inicial.
FORMULAS:
Recordemos la ecuación de Bernoulli:
=
+
+
=
+
+
= ⇒
Partimos de la suposición de que tratamos con un flujo incompresible, donde:
=
Recordemos la ecuación de continuidad (flujo estable y permanente):
=̇=
En los puntos 1 (mayor carga de presión) y 5 (mayor carga cinética o de velocidad)
̇
=̇
=̇
== ̇
=
=
= ⇒
Como ya mencionamos; para flujo incompresible
==
=
, por lo que el flujo volumétrico
será:= ̇=
=
= ⇒
Entonces despejando de la ecuación anterior la velocidad en el punto 5:
=
⇒
Y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli (ec. 1) para los puntos 1 y 5:
En la práctica trabajamos todos los puntos a la misma z , es decir todos los puntos tienen la misma energía potencial o de posición, por lo que nuestra ecuación nos queda de la siguiente forma:
+
2=
+
2
Sabemos que en el punto 1 la presión es mayor y en el punto 5 es menor pero la partícula tiene más velocidad que en el punto 1, por lo que:
>
Y ya que el fluido es el mismo en todos los puntos, estamos hablando de un solo valor de
.
=
2
2
=
2
1
Ya logramos tener una ecuación con solo una incógnita que es la velocidad 1
, entonces despejamos:
=√ 2
1
Ya que ambas áreas son de una sección circular podemos expresar el cociente en función de los diámetros:
=√
[
]
⇒
Como ya habíamos mencionado anteriormente:
=
=
=
== ⇒
Como ya conocemos el valor de
podemos obtener el caudal y con el caudal podemos obtener fácilmente las velocidades en los otros puntos:
=
;
=
;
=
; ⇒
La carga cinética o de velocidad es la siguiente en cada una de los puntos:
;
;
; ⇒
Carga Total:
De la ecuación de Bernoulli podemos decir que la carga total en cada punto será:
=
+
2+
;
=
+
2+
; .
Pero al saber que la posición de los puntos es la misma entre ellos podemos decir que:
=
+
;
=
+
; ⇒
Flujo másico: ̇= = ⇒
Dónde:
=1000
TABLA DE DATOS:
Lectura
..
Numero de Tubo.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
34.2 31.6 29.6 22.9 18 23.7 24.8 26.8 28.9 29.4 30 30.4 31.32
36 33.8 29.2 14 7.5 15 18.1 22.2 27 28.1 29.4 30.1 31.8CÁLCULOS:
PARA LA LECTURA 1: Punto 1:Calculando la velocidad en el punto 1 con la ecuación 5, en dónde la diferencia en las cargas de presión las obtenemos de las lecturas y los diámetros del dibujo de la instalación:
=34.2 1 100 =0.342
=18 1 100 =0.18
=√ 29.81
[0.0381
0.0254
0.3420.18
]
1
=.
Ya con el valor de
podemos calcular el caudal o flujo con la ecuación 6:=
=0.8845 0.0381
4
=.
El flujo másico será para todos los puntos (ec. 10):
̇= =1000
0.00181799144
̇=.
La carga cinética en el punto 1 es (ec. 8):
2=0.8845
2 9.81
=.
Y la carga total para el punto 1 es:
=
+
2
=0.342 +0.0399
=.
Punto 2:
Como ya conocemos el caudal podemos calcular la velocidad en 2 y en los otros puntos de forma sencilla con la ecuación 7:
=.
Carga cinética:
2=1.0926
2 9.81
=.
Y la carga total:
=
+
2
=0.316 +0.0608
=.
Punto 3:
=0.00100844021
0.0307
4
=.
Carga cinética:
2=1.3623
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.296 +0.0946
=.
Punto 4:
=0.00100844021
0.02584
4
=.
Carga cinética:
2=1.92298
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.229 +0.1885
=.
Punto 5:
=0.00100844021
0.02540
4
=.
Carga cinética:
2=1.9902
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.18 +0.2019
=.
Punto 6:
=0.00100844021
0.027
4
=.
Carga cinética:
2=1.7613
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.237 +0.1581
=.
Punto 7:
=0.00100844021
0.02839
4
=.
Carga cinética:
2=1.5930
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.248 +0.1293
=.
Punto 8:
=0.00100844021
0.03009
4
=.
Carga cinética:
2=1.4181
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.268 +0.1025
=.
Punto 9:
=0.00100844021
0.03271
4
=.
Carga cinética:
2= 1.2
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.289 +0.0734
=.
Punto 10:
=0.00100844021
0.03394
4
=.
Carga cinética:
2=1.1146
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.294 +0.0633
=.
Punto 11:
=0.00100844021
0.03518
4
=.
Carga cinética:
2=1.0374
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.30 +0.0548
=.
Punto 12:
=0.00100844021
0.03641
4
=.
Carga cinética:
2=0.9685
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.304 +0.0478
=.
Punto 13:
=0.00100844021
0.03810
4
=.
Carga cinética:
2=0.8845
2 9.81
=.
Y la carga total:
=0.313 +0.0399
=.
TABLA DE RESULTADOS:
Lectura 1:
ESC
/ ̇ / /
1
0.00100844021 1.00844 0.8845 0.342 0.0399 0.3819
2
0.00100844021 1.00844 1.0926
0.3160.0608 0.3768
3
0.00100844021 1.00844 1.3623
0.2960.0946 0.3906
4
0.00100844021 1.00844 1.92298
0.2290.1885 0.4174
5
0.00100844021 1.00844 1.9902
0.1800.2019 0.3819
6
0.00100844021 1.00844 1.7613
0.2370.1581 0.3951
7
0.00100844021 1.00844 1.5930
0.2480.1293 0.3773
8
0.00100844021 1.00844 1.4181
0.2680.1025 0.3705
9
0.00100844021 1.00844 1.2
0.2890.0734 0.3624
10
0.00100844021 1.00844 1.1146
0.2940.0633 0.3573
11
0.00100844021 1.00844 1.0374
0.3000.0548 0.3548
12
0.00100844021 1.00844 0.9685
0.3040.0478 0.3518
13
0.00100844021 1.00844 0.8845
0.3130.0399 0.3529
Lectura 2:
ESC
/ ̇ / /
1
0.00133756555 1.33756 1.1732 0.36 0.0701 0.4301
2
0.00133756555 1.33756 1.4492
0.3380.1070 0.4450
3
0.00133756555 1.33756 1.8069
0.2920.1664 0.4584
4
0.00133756555 1.33756 2.5506
0.140.3316 0.4716
5
0.00133756555 1.33756 2.6397
0.0750.3551 0.4301
6
0.00133756555 1.33756 2.3361
0.150.2781 0.4281
7
0.00133756555 1.33756 2.1130
0.1810.2275 0.4085
8
0.00133756555 1.33756 1.8809
0.2220.1803 0.4023
9
0.00133756555 1.33756 1.5917
0.270.1291 0.3991
10
0.00133756555 1.33756 1.4784
0.2810.1114 0.3924
11
0.00133756555 1.33756 1.3760
0.2940.0965 0.3905
12
0.00133756555 1.33756 1.2846
0.3010.0841 0.3851
13
0.00133756555 1.33756 1.1732
0.3180.0701 0.3881
CUESTIONARIO:
1. Explique el teorema de Bernoulli y su utilidad práctica.El teorema de Bernoulli establece que si las pérdidas son despreciables (por el momento), la energía que posee una partícula en la trayectoria de una línea de corriente en cualquier sección de paso de un tubo de corriente permanece constante; es decir:
=
+
2+
=
+
2+
=
Dónde:
=
=
2=
=
Son innumerables lo problemas prácticos que se resuelven mediante la ecuación de Bernoulli, por ejemplo:
Obtener la rapidez con la que se mueve un avión en relación al viento.
Con ella se determina la altura de suspensión a que debe instalarse una bomba.
Ella es necesaria para el cálculo de la altura efectiva o altura útil que se necesita en una bomba.
Con ella se estudia el problema de la cavitación.
Con ella se estudia el tubo de aspiración de una turbina.
Ella interviene en el cálculo de las tuberías de agua, oleoductos, tuberías de
2. ¿Cómo se afecta el teorema de Bernoulli cuando se aplica a fluidos compresibles?
Sabemos que el teorema de Bernoulli es aplicable para fluidos incompresibles para fluidos compresibles, la ecuación de Bernoulli adopta la forma:
1
+
2+
−
= 1
+
−
+
2+
3. Si el fluido fuera viscoso e incompresible como se escribiría para poder explicarlo.
En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto del fluido con el contorno (tubería, canal, etc.) como de las partículas del fluido entre sí. Entonces la ecuación de Bernoulli (de la pregunta 1) no se cumple. Naturalmente se sigue cumpliendo el principio de la conservación de la energía. Esta fricción en la mecánica de fluidos incompresibles no es aprovechable y solo en este sentido la llamaremos energía perdida, o bien expresada en forma de altura, altura perdida
.
Ahora bien diremos que: í 1
í 1 2 =í 2
, o sea: Ecuación de Bernoulli con pérdidas.
+
+
2
−
=
+
+
2
O bien expresada en alturas:
+
+
2
−
=
+
+
2
Dónde:
−
= 1 2
4. ¿Cómo podría deducir el teorema de Bernoulli a partir de las ecuaciones de Euler? Las ecuaciones de Euler en forma sintetizada son las siguientes:
=1
=1
=1
Multiplicando la primera ecuación por dx , la segunda por dy y la tercera por dz . Tendremos:
=1
= 1
Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones anteriores tendremos:
+
+
= 1 + + ⇒ 1
Ahora bien, como:
=
; =
=
El primer miembro de la ecuación 1 se transforma así:
+
+
=12 (
+
+
)=12
En efecto, si se diferencia el segundo miembro se obtiene el primero, lo que demuestra la validez del primer signo igual. Por otra parte, el cuadrado de la diagonal
de unparalelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de sus aristas
,
, lo que demuestra la validez del segundo signo igual.Al suponer que el régimen es permanente, p no es función de t, y su diferencia total será:
= + +
Con lo cual la ecuación 1 se transforma en:
+ +
2=0
Integrando esta última ecuación, entre dos puntos cualesquiera 1 y, situados en una misma línea de corriente, que en régimen permanente coincide con la trayectoria del movimiento y siguiendo con la hipótesis de un fluido incompresible
=
, se tiene:
+
+
2=
+
+
2 ⇒ 2
Que nos dice que la suma
+ +
es constante a lo largo de una misma línea de corriente, ya que los puntos 1 y 2 son dos puntos cualesquiera de esta línea, o sea:Dividiendo los dos miembros de esta última ecuación por g se tiene:
+ +
2= ⇒ 4
O bien:
+
+
2=
+
+
2= ⇒ 5
Las ecuaciones 2 a 5 son expresiones diversas de la ecuación de Bernoulli para un hilo de corriente, que, según las hipótesis establecidas en su deducción, son válidas solamente para el fluido ideal e incompresible que se mueve en régimen permanente. Además lo puntos entre los que se establecen estas ecuaciones se suponen que están situados en una misma línea de corriente.
CONCLUSIONES:
Fue una práctica muy didáctica y verdaderamente fácil de comprender cuando ya se tienen los conceptos. En base a los problemas que fueron surgiendo durante el desarrollo de la práctica se comprendió mejor algunos comportamientos extraños, por ejemplo; se notó que en el punto 5 o manguera 5 había un pequeño error en la lectura pero el profesor nos explicó el motivo por el cual el nivel marcaba más de lo que en teoría debería de marcar (error en el maquinado del venturi).
Como conclusión podríamos decir que las energías (de presión, cinética y de posición) son
intercambiables, es decir; una le puede ceder energía a la otra, pero la energía nunca se elimina más bien se va convirtiendo en todo el proceso, pero ¿y cómo se pudo ver esto en la práctica?, pues muy sencillo solo es necesario comparar los puntos 1 y 5 de la primera lectura, en ambas las energías de presión y cinética son distintas pero al sumarlas nos da el mismo valor de carga total y aquí es donde se demuestra el principio de conservación de la energía.
Si somos observadores vemos que conforme el diámetro del tubo va disminuyendo la energía cinética aumenta ya que la velocidad aumenta pero al mismo tiempo la carga de presión disminuye, esto
demuestra una cosa, una parte de la energía de presión se convirtió en energía cinética en la partícula. Después vemos que al aumentar el diámetro a partir del punto 6 la energía o carga de presión va
aumentando y la cinética disminuye poco a poco (recordemos que la energía de posición z se mantiene constante en todo el proceso).
BIBLIOGRAFIA:
Mecánica de los Fluidos e Hidráulica. Ranald V. Giles.
Mecánica de los Fluidos y Maquinas Hidráulicas.
Claudio Mataix. Alfaomega.
