ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Ecuaciones

Ecuaciones

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

ECUACIÓN DE 2º GRADO

• ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO . Es aquella que, tras pasar todo a un ‑ lado de la igualdad, el polinomio característico es de 2º grado.

•

• Tiene la forma a.x² + b.x + c = 0

• Para hallar la solución o valores de x que cumplen la igualdad, se pueden dar varios casos:

• CASO 1. ‑ Que a=0  La ecuación NO es de segundo grado.

• CASO 2.- Que b = 0  Ecuación incompleta.

• CASO 3.- Que c= 0  Ecuación incompleta.

• CASO 4.- Que b=0 y c=0  Solución: x=0

• CASO 5.- Que a, b y c <> 0  Ecuación completa.

ECUACIÓN INCOMPLETA

• CASO 1.‑

• Tiene la forma a.x² = 0

• Paso 1.- x² = 0/a

• Paso 2.- x² = 0

• Paso 3.- x = +/- √0 = 0

•

• Dándonos las dos raíces iguales a 0.

• Ejemplos

• x² = 0  x = 0

• 3.x² = 0  x² = 0/3  x² = 0  x = 0

• - 5.x² = 0  x² = 0/(- 5)  x² = 0  x = 0

• 5

• -- x² = 0  x² = 3.0 / 5  x² = 0  x = 0

• 3

ECUACIÓN INCOMPLETA

• CASO 2.‑

• Tiene la forma a.x² + c = 0

• Paso 1.- a.x² = - c

• Paso 2.- x² = - c / a

• Paso 3.- x = +/- √ (- c / a)

•

• Dándonos las dos raíces si existen.

• EJEMPLO

•

• Sea x² - 4 = 0

• Paso 1.- x² = 4

• Paso 2.- x² = 4 / 1 = 4

• Paso 3.- x = +/- √ 4

•

• Dándonos las dos raíces:

• x = +/- 2

• x₁ = + 2

• x₂ = - 2

• EJEMPLO

•

• Sea 2.x² - 18 = 0

• Paso 1.- 2.x² = 18

• Paso 2.- x² = 4 / 2 = 9

• Paso 3.- x = +/- √ 9

•

• Dándonos las dos raíces:

• x = +/- 3

• x₁ = + 3

• x₂ = - 3

• CASO 3.-

• Tiene la forma a.x² + b.x = 0

• Clave: Sacar factor común a x.

• Paso 1.- x . (a.x + b ) = 0

• Paso 2.- x = 0 es un raíz

• Paso 3.- a.x + b = 0

• de donde x = - b / a es otra raíz

• EJEMPLO

• Sea 2.x² + 8.x = 0

• Paso 1.- x . (2.x + 8 ) = 0

• Paso 2.- x = 0 es una raíz

• Paso 3.- 2.x + 8 = 0

• de donde x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz

• x₁ = 0

• x₂ = - 4

• EJEMPLO

• Sea 3.x² -- 6.x = 0

• Paso 1.- x . (3.x -- 6 ) = 0

• Paso 2.- x = 0 es una raíz

• Paso 3.- 3.x -- 6 = 0

• de donde 3.x = 6

• x = 6 / 3 = 2 es otra raíz

• x₁ = 0

• x₂ = 2

• EJEMPLO CASO 3.-

• Sea 4.x² -- 3.x = 0

• Paso 1.- x . (4.x -- 3 ) = 0

• Paso 2.- x = 0 es una raíz

• Paso 3.- 4.x -- 3 = 0

• de donde 4.x = 3

• x = 3 / 4 es otra raíz

• x₁ = 0

• x₂ = 3 / 4 = 0,75

Ecuación de segundo grado completa

• Tiene la forma:

• a.x

+ b.x + c = 0

•

• Donde a, b y c son distintos de cero.

• Se resuelven aplicando la fórmula:

• - b +/- √(b² – 4.a.c) x₁

• x = --- =

2.a x₂ Deducimos la fórmula …

• Resolución de ecuaciones completas

• 1.‑ Restamos c a ambos términos:

• a.x² + b.x = c‑

• 2. ‑ Multiplicamos por 4.a a todo:

• 4. a² x² + 4.a.b.x = 4.a.c‑

• 3. ‑ Sumamos b² a ambos términos:

• 4. a² x² + 4.a.b.x + b² = b² 4.a.c‑

• (2.a.x + b)² = b² 4.a.c ‑

• 4. Extraemos la raíz cuadrada: ‑

• 2.a.x + b = +/- √ (b² 4.a.c)‑

• 5. Restamos ‑ b a los dos términos:

• 2.a.x = b + √ (b‑ ² 4.a.c)‑

• 6. Dividimos a ambos términos entre ‑ 2.a:

• ‑ b + √ (b² 4.a.c) Con el + hallamos una ‑

• x = --- ---‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el la otra‑

• 2.a

• Ejemplo 1 Sea x² - 3.x + 2 = 0

• a = 1 b = - 3 c = 2

• - b +/- √(b² – 4.a.c)

• x = --- = 2.a

• - (- 3) +/- √(9 – 4.1.2)

• x = --- = 2.1

• + 3 +/- 1 (3+1) / 2 = 2 = x₁ Una solución

• x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ =

• 2 (3 – 1) / 2 = 1 = x₂ Otra solución

• Ejemplo 2 Sea 3.x² - 5.x + 2 = 0

• a = 3 b = - 5 c = 2

• - b +/- √(b² – 4.a.c)

• x = --- = 2.a

• - (- 5) +/- √(25 – 4.3.2)

• x = --- = 2.3

• + 5 +/- 1 (5 + 1) / 6 = 1 = x₁ Una solución

• x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ =

• 6 (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3 = x₂ Otra solución

• Ejemplo 3 Sea 2.x² + x - 3 = 0

• a = 2 b = 1 c = - 3

• - b +/- √(b² – 4.a.c)

• x = --- = 2.a

• - 1 +/- √(1 – 4.2.(-3))

• x = --- = 2.2

• - 1 +/- 5 (-1 + 5) / 4 = 1 = x₁ Una solución

• x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ =

• 4 (– 1 – 5) / 4 = - 6 / 4 = - 3 / 2 = x₂ Otra.

• Ejemplo 4 Sea x² + 6.x + 9 = 0

• a = 1 b = 6 c = 9

• - b +/- √(b² – 4.a.c)

• x = --- = 2.a

• - 6 +/- √(36 – 4.1.9)

• x = --- = 2.1

• - 6 +/- 0 (-6 + 0) / 2 = - 3 = x1 Una solución

• x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ =

• 2 (- 6 - 0) / 2 = - 3 = x2 Otra solución.

• Cuando b² – 4.a.c = 0 el valor de las dos soluciones coincide.

• Llamamos discriminante, Δ, en una ecuación de segundo grado al valor de:

•

• Δ = b² 4.a.c‑

• Presentándose tres casos, según su valor:

• Si Δ > 0 , las dos raíces son reales y distintas.

• Si Δ = 0 , las dos raíces son reales e iguales ( raíz doble ).

• Si Δ < 0 , las raíces no son reales.

DISCRIMINANTE

• EJEMPLOS:

• Caso 1.-

• x² + 2.x + 3 = 0

• b² 4.a.c = 4 – 4.1.3 = 4 – 12 = - 8‑

• La ecuación no tiene soluciones reales

• Caso 2.-

• x² + 2.x + 1 = 0

• b² 4.a.c = 4 – 4.1.1 = 4 – 4 = 0‑

• La ecuación tiene las dos soluciones iguales.

• Caso 3.-

• x² - 3.x + 2 = 0

• b² 4.a.c = 9 – 4.1.2 = 9 – 8 = 1‑

• La ecuación tiene dos soluciones distintas.

• Un trinomio de 2º grado, a.x² + b.x + c, con las raíces x1 y x2 se puede descomponer siempre de la siguiente manera:

• a.x² + b.x + c = a.(x – x₁).(x – x₂)

• Ejemplos:

• x² – 3.x + 2 tiene como raíces x=1 y x=2

• Podemos poner: x² + 3.x + 2 = (x – 1 ).(x – 2 )

• x² – 5.x + 6 tiene como raíces x=2 y x=3

• Podemos poner: x² – 5.x + 6 = (x – 2 ).(x – 3 )

FACTORIZACIÓN

• Más EJEMPLOS:

• x² + 2.x + 3 no tiene raíces reales

• No se puede factorizar

• x² + 2.x + 1 tiene las dos raíces iguales x=-1, x=-1

• Podemos poner x² + 2.x + 1 = (x + 1).(x + 1)

• 3.x² + 5.x – 8 tiene como raíces x=1 y x=- 8/3

• Podemos poner: 3.x² + 5.x – 8 = 3.(x – 1 ).(x + 8/3)

• 5.x² – 7.x – 34 tiene como raíces x=-2 y x= 17/5

• Podemos poner: 5.x² – 7.x – 34 = 5.(x + 2 ).(x – 17/5)

• Importante:

• Hay que darse cuenta de que cuando el valor de la raíz es negativo, el factor es de la forma (x + …), en lugar de (x – …)