ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

A. A. DEFINICIÓN DEFINICIÓN

Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la forma general:

ax² + bx + c = 0  a  0

La ecuación de 2^do Grado posee dos

“raíces” que cumplen con la ecuación.

Ejemplo Ejemplo

1. x² + 3x + 2 = 0

* Para x = -1

(-1)² + 3(-1) + 2 = 0

Se cumple

* Para x = -2

(-2)² + 3(-2) + 2 = 0

Se cumple

2. x² + 4x – 5 = 0

* Para x = ________

Se cumple

* Para x = ________

Se cumple

B. B. MÉTODO DE HALLAR LAS MÉTODO DE HALLAR LAS RAÍCES

RAÍCES

1. Factorización.-

Es el más recomendable y adecuado, para poder resolver de esta manera se debe tener el polinomio en su forma general ().

Tendremos los siguientes casos:

a) Forma: ax² + c = 0

Para esta forma utilizaremos factorización por diferencia de cuadrados y aplicamos la observación.

Ejemplo Ejemplo

 x² – 25 = 0 (x² - 5²) = 0 (x - 5)(x + 5) = 0

x – 5 = 0  x + 5 = 0 x = 5  x = -5

 2x² – 8 = 0 2(x² - 4) = 0 2(x² – 2²) = 0 (x + 2)(x - 2) = 0

x + 2 = 0  x - 2 = 0 x = -2  x = 2

b) Forma: ax² + bx = 0

…()

Observación:

a . b = 0

 a = 0  b = 0

Por Obs:

Si:

(2)

aplicamos la observación.

Ejemplo Ejemplo

 x² + 3x = 0 x(x + 3) = 0

x = 0  x + 3 = 0 x = 0  x = -3

 2x² – 5x = 0 x(2x - 5) = 0

x = 0  2x - 5 = 0 x = 0  2x = 5 x = 0  x = 5/2

c) Forma: ax² + bx + c = 0

Para esta forma se factoriza por aspa simple. Aplicamos la observación:

Ejemplo Ejemplo

 x² – 6x + 5 = 0

x -5

x -1

(x - 5)(x - 1) = 0

x – 5 = 0  x - 1 = 0 Por

Obs:

En este caso una raíz siempre es

“cero”.

En este caso una raíz siempre es

“cero”.

Por Obs:

(3)

 2x² + 5x + 2 = 0

2x 1

x 2

(2x + 1)(x + 2) = 0

2x + 1 = 0  x + 2 = 0 2x = -1

x = -1/2  x = -2

2.Despejando.-

Es el menos recomendable “solo se utiliza si no se puede factorizar”.

Si: ax² + bx + c = 0

 Llamaremos discriminante a:

 = b² – 4ac

Luego las raíces son:

a 2 x₁ b 



a 2 x₂ b 

 Por

Obs:

(4)

I. RESOLVER:

1.

a) x² – 25 = 0

b) x² + 3x = 0

c) x² – 225 = 0

d) 2x² – 3x = 0

2.

a) x² – 16 = 0

b) 2x² – 10x = 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

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(6)

(7)

(8)

(9)

II. RESOLVER:

5. Dar el conjunto solución de:

3x² – 2x(x - 4) = x – 12

a) {3; 4} b) {3; -2} c)

{2; 6}

d) {-3; -4} e) N.A.

6. Resolver:

(x + 4)² = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)

a) {2; 1/9} b) {1/9; -2} c) {-2;

-1/9}

d) {2; -1/9} e) N.A.

7. Si: a  b son raíces de la ecuación.

x x 74 x

2 x   Además a < b. Calcular: a/b

a) -9/8 b) 8/9 c)

-8/9

d) -1 e) N.A.

8. Si (-6) es una de las raíces de la ecuación:

x² + (n + 3)x + n + 2 = 0 Calcular la otra raíz aumentada en “n”.

a) 1 b) -1 c) 3

d) 4 e) 5

9. Una raíz de la ecuación:

2x² + (4a - b)x – 2ab = 0

a) 2b b) 2a c)

b/2

d) a/2 e) a + b

10. Si una raíz de la ecuación:

2x² – 4x + c² – 2c – 3 = 0 es cero. Hallar: “c” (c < 0)

a) -2 b) -3 c)

-1

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III. RESOLVER:

11. Hallar el valor de “k” en la ecuación:

(k - 1)x² – 5x + 3k – 7 = 0 Para que una de sus raíces sea el recíproco de la otra.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

12. Si la ecuación: x² – x – 6 = 0, tiene por raíces a x₁ y x₂ donde x1 > x₂.

Indicar el valor de: 5x₁x₂³.

a) 15 b) 8 c)

-7

d) 7 e) 21

13. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar la edad de A si es el mayor:

a) 6 b) 17 c)

12

d) 13 e) N.A.

14. La diferencia de 2 números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números.

a) 17  6 b) 14  11 c)

14  7

d) 15  8 e) N.A.

15. Indicar una de las raíces de la ecuación cuadrática:

9nx² + 12(n + 1)x + 8 = n³

a) 2 3

n  b)

2 1 n  c) 3

2 n  d) 3

4

n  e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA Nº 6

I. RESOLVER:

1.

a) x² – 49 = 0

b) x² – 144 = 0

c) 2x² – 32 = 0

2.

a) x² + 5x = 0

b) 3x² – 12x = 0

c) 2x² – 12x = 0 3.

a) x² – 5x - 6 = 0

b) x² + 2x – 24 = 0

c) x² + 6x + 9 = 0

(11)

4.

a) 5x² + 9x – 2 = 0

b) 3x² – 5x –2 = 0

c) 2x² + 13x + 6 = 0

II. RESOLVER:

5. Dar el conjunto solución de:

x² – 2(x - 2) = x² – 12

a) {3; 4} b) {3; -2} c)

{2; 6}

d) {-3; -4} e) N.A.

6. Resolver:

(x + 4)² = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)

a) {2; 1/9} b) {1/9; -2} c) {-2;

-1/9}

d) {2; -1/9} e) N.A.

7. Si: a  b son raíces de la ecuación.

x x 45 x

3 x   Además a < b. Calcular: a/b

a) -7/6 b) 6/7 c)

-6/9

d) -1 e) N.A.

8. Si (-2) es una de las raíces de la ecuación:

x² + (n + 1)x + n = 0

Calcular la otra raíz aumentada en “n”.

a) 3 b) -1 c) 3

d) 4 e) N.A.

9. Una raíz de la ecuación:

x² + (3a - 2b)x – 6ab = 0

a) 2b b) -2b c)

2a

d) b/a e) a/b

10. Si una raíz de la ecuación:

2x² + 5x + c² + 2c + 1 = 0 es cero. Hallar: “c”

a) +2 b) +3 c)

-1

d) -2 e) -10

(12)

11. Hallar el valor de “k” en la ecuación:

(2k + 3)x² – 5x + k + 7 = 0 Para que una de sus partes sea el recíproco de la otra.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

12. Si la ecuación: x² + x – 2 = 0, tiene por raíces a x1 y x2 donde x1 > x2.

Indicar el valor de: x ₁³ x₂³.

a) 15 b) 8 c)

-7

d) 7 e) 21

13. La suma de las edades de A y B es 25 años y su producto 156. Hallar la edad de A si es el mayor:

a) 6 b) 17 c)

12

d) 13 e) N.A.

14. La diferencia de 2 números es 3 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 65. Hallar los números.

a) 5  13 b) 8  5 c) 5

 3

d) 8  3 e) N.A.

15. Indicar una raíz:

2nx² + (n³ + 2)x = -n²

a) 1 + n b) 1 c)

2 n²



d) n

1 e) N.A.