1
A-4) Campo Eléctrico en
distribuciones de carga
A-4) Campo Eléctrico en
distribuciones de carga
Profesor Rodrigo Vergara Rojas Ingeniero Civil Electrónico Magister en Ingeniería Electrónica
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA GENERAL ELECTROMAGNETISMO
Módulo A: Electrostática
Módulo A: Electrostática
2
Contenidos a
Comprender
3
Competencias a
Desarrollar
Calcular el vector campo eléctrico neto en
un punto del espacio debido a una
distribución continua de cargas.
Leer,
analizar,
plantear
y
resolver
problemas relacionados con los temas
anteriores.
4
Teoría Básica
Se pueden calcular dividiendo la distribución en elementos infinitesimales dq.
Cada elemento produce un campo dE en el punto P, y el campo resultante en P se calcula aplicando el principio de superposición, donde la sumatoria se transforma en integración.
z
dE
y
dE
x
dE
z
E
y
E
x
E
E
E
d
E
z y
x z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
∫
ˆ
∫
ˆ
∫
ˆ
∫
+
+
=
+
+
=
5
Teoría Básica
Estrategia general
ִ1) Elegir un elemento de carga dq.
ִ2) Encontrar el campo eléctrico dE en el punto de observación P.
ִ3) Integrar sobre la distribución
2 0
r
dq
4
1
dE
πε
=ds L Q λds dq = =
λ: densidad lineal de carga
λ: densidad lineal de carga
dA A Q dA dq=σ =
σ: densidad superficial de carga
σ: densidad superficial de carga
dV V Q dV dq =ρ =
ρ: densidad volumétrica de carga
ρ: densidad volumétrica de carga
6
Ejercicio Nº01: Anillo
de Carga Uniforme
Demostrar que el campo eléctrico en un punto P, a una distancia z del plano del anillo a lo largo de su eje central está dado por
Demuestre que, para puntos muy alejados del anillo (z >> R)
(
z
R
)
z
qz
4
1
E
3 22 2 0
ˆ +
=
πε
z
z
q
4
1
E
20
ˆ
πε
≈
Definición de
Variables
zx
y
θ θ
P
R Z r
dq x,y,z: ejes coordenados
cartesianos
R: radio del anillo
Z: Distancia del centro del anillo al punto P dq: elemento diferencial de carga del anillo
2 2
R
Z
r
=
+
( )
2 2R
Z
Z
r
Z
θ
cos
+ =
=
E
d
Elemento de campo eléctrico aportado por
dq
Según la Ley de Coulomb, el elemento de carga dq aporta con un campo eléctrico con módulo dado por:
Para obtener el campo en P, hay que sumar vectorialmente todas las contribuciones de los elementos de carga a lo largo del anillo.
2 2 0
2 0
R
Z
dq
4
1
r
dq
4
1
E
d
+
=
=
πε
πε
z
x
y
θ θ
P
R Z r
dq
E
d
Elemento de campo eléctrico aportado por
9 P
x z
Anillo cargado Cada elemento dq tiene
otro opuesto en el anillo tal que la suma de sus aportes de campo eléctrico da un campo eléctrico dirigido al eje +z.
( )
( )
[
sin θ x cos θ z]
E d E
d 1 = ˆ+ ˆ
dq dq
θ
θ
d
E
1θ θ
2
E
d
z
E
d
Consideraciones
de simetría
( )
( )
[
-sinθ x cos θ z]
E d E
d 2 = ˆ+ ˆ
( )
θ
z
cos
E
d
2
E
d
zˆ
=
10 Al sumar todos los
elementos a lo largo del anillo, nos queda que el campo eléctrico total va a tener dirección +z y su módulo estará dado por
Anillo cargado
dq dq
P
x z
θ
θ
d
E
1θ θ
2
E
d
z
E
d
( )
∫
+
=
cos
θ
R
Z
dq
4
1
E
2 20
z
πε
∫
+
+
=
2 2 2 2
0
Z
R
Z
R
Z
dq
4
1
πε
(
)
∫
+
=
2 3 2 2
0
Z
R
Zdq
4
1
πε
11 Resolviendo la integral
(
)
(
)
∫
∫
+
=
+
=
dq
R
Z
Z
4
1
R
Z
Zdq
4
1
E
2 3 2 2 0 2
3 2 2 0
z
πε
πε
(
2 2)
32 0z
R
Z
Z
q
4
1
E
+
⋅
=
πε
Como
∫
dq
=
q
(
Z
R
)
z
Z
q
4
1
z
E
E
2 3 2 2 0
z
ˆ
ˆ
+
⋅
=
=
πε
Finalmente12 Para Z>>R (puntos muy lejanos del anillo)
(
)
Z
(
1
(
R
Z
)
)
z
Z
q
4
1
z
R
Z
Z
q
4
1
E
2 3 2 3
0 2
3 2 2 0
ˆ
ˆ
+
⋅
=
+
⋅
=
πε
πε
Arreglando un poco la expresión para el campo eléctrico
1
Z
R
1
Z
R
R
Z
2 <<
⇒
<<
⇒
13 Aplicando la aproximación:
z
Z
q
4
1
z
Z
Z
q
4
1
E
20 3
0
ˆ
ˆ
πε
πε
=
⋅
≈
Nótese que la expresión corresponde a la Ley de Coulomb. Luego, para Z>>R, el anillo circular actúa como una carga puntual.
14
Ejercicio Nº02: Disco
de Carga Uniforme
Demostrar que el campo eléctrico en un punto P, a una distancia z del plano del disco a lo largo de su eje central está dado por
Demuestre que, para puntos muy cercanos al disco (R >> z)
z
R
z
z
-1
2
E
2 2 0
ˆ
+ =
ε
σ
z
2
E
0
ˆ
ε
σ
≈
Estrategia de “ataque”
del problema
1) Dividir el disco en anillos
infinitesimales de radio w y
ancho dw.
2) Calcular el campo eléctrico
de cada elemento de anillo
usando el resultado calculado
anteriormente.
3) Integrar todos los anillos
entre w = 0 y w = R
Desarrollo
Como el campo eléctrico de los anillos tiene dirección z, no es necesario hacer el análisis de componentes.
Para un elemento de anillo
donde
(
2 2)
320
z
w
z
dq
4
1
dE
+
⋅
=
πε
dw
w
2
dq
=
σ
⋅
π
⋅
[1]
17
Desarrollo
Reemplazando [2] en [1].
Integrando [3] entre w = 0 y w = R
(
)
(
2 2)
320 2
3 2 2
0
z
w
z
dw
2w
4
1
w
z
z
dw
w
2
4
1
dE
+
⋅
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
=
σ
ε
π
σ
πε
[3]
(
)
∫
(
)
∫
+
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
=
R0 2 2 32
0 R
0 2 2 32
0
z
w
dw
2w
4
z
w
z
z
dw
2w
4
1
E
ε
σ
σ
ε
[4]
18
Desarrollo
Haciendo el siguiente cambio de variable:
La ecuación [4] queda como
(
)
+
−
=
−
+
⋅
−
=
+
⋅
=
2 2 0
2 2 0
R
0 2 1 -2 2
0
R
z
z
1
2
z
1
R
z
1
2
z
2
1
-w
z
4
z
E
ε
σ
ε
σ
ε
σ
[5]
∫
=
+
+1
m
X
dX
X
1 m m
dw
2w
dX
w
z
X
=
2+
2⇒
=
⋅
2 3 m= −
19
Desarrollo
Considerando la dirección del campo:
Modificando convenientemente [6]:
z
R
z
z
1
2
E
2 2
0
ˆ
+
−
=
ε
σ
[6]
z
1
R
z
R
z
1
2
E
2 0
ˆ
+
−
=
ε
σ
[7]
20
Desarrollo
Para puntos muy cercanos al disco, R >> z ⇒ (z/R) << 1. Luego:
Este campo corresponde al campo de una lámina infinita uniformemente cargada. Posteriormente calcularemos ese problema usando Ley de Gauss
z
2
z
R
z
1
2
E
0 0
ˆ
ˆ
ε
σ
ε
σ
≈
−
≈
21
Ejercicio Nº03: Línea
de Carga Infinita
Demostrar que el campo eléctrico a una distancia y de la línea está dado por
Demuestre, usando criterios de simetría, que
y
y
2
E
0ˆ
πε
λ
=
r
r
2
E
0ˆ
πε
λ
=
22Simetría
Por
simetría,
la
suma entre dos
elementos
de
cargas
equidistantes
del
origen
da
una
resultante
de
dirección
y
(las
componentes z se
anulan entre sí)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + z y dz dz z
z dE1
2 E d E d θ θ θθ r r 2 2
y
z
r
=
+
( )
2 2 y z y r y θ cos + = =dz
dq
=
λ
⋅
Desarrollo
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + z y dz dz zz dE1
2 E d E d θ θ θθ r r 2 2
y
z
r
=
+
( )
2 2 y z y r y θ cos + = =dz
dq
=
λ
⋅
( )
( )
[
cos y sen z]
r dq 4 1 E d 2 0
1 θ ˆ θ ˆ
πε −
=
( )
( )
[
cos y sen z]
r dq 4 1 E d 2 0
2 θ ˆ θ ˆ
πε +
=
( )
y cos r dq 4 2 E d E d E d 2 0 21 θ ˆ
πε
= +
=
( )
y
cos
r
dz
4
2
E
d
2 0ˆ
θ
λ
πε
⋅
=
[1a] [1b] [1c] [2]Integrando entre z = 0 y z = + ∞
Haciendo el siguiente cambio de variable
Desarrollo
( )
∫
( )
∫
+∞ +∞=
⋅
=
0 2 0 0 2 0cos
r
dz
2
cos
r
dz
2
1
E
θ
πε
λ
θ
λ
πε
( )
θ
z
y
tan
( )
θ
y
z
tan
=
⇒
=
⋅
( )
θ
d
θ
sec
y
dz
=
⋅
2⋅
0
0
z
=
⇒
θ
=
2
z
=
+∞
⇒
θ
=
+
π
25
Desarrollo
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
[
( )
]
[
( )
( )
]
y 2
0 sen 2 sen y 2 sen
y 2 d cos y 2
cos sec
d sec y
2 cos tan
1 y
d sec y 2
cos tan
y y
d sec y 2
cos z
y
d sec y 2
E
0
0 2
0 0
2
0 0
2
0
2 2
0 2
0
2 2
2
0
2
0
2 2
2
0 2
0
2 2
2
0
πελ
π πε
λ θ
πε λ θ θ πε
λ
θ θ
θ θ πε
λ θ
θ θ θ πε
λ
θ θ
θ θ πε
λ θ θ θ πε
λ
π π
π π
π π
=
− + =
= ⋅ =
⋅ =
+ ⋅ ⋅
=
⋅ +
⋅ ⋅
= +
⋅ ⋅
=
+ +
+ +
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
La integral [2] queda con
[3]
26
Considerando la dirección:
Dada la simetría de la situación, vemos que el campo eléctrico para cualquier punto del plano xy ubicado a una distancia r de la línea es:
Este mismo problema será resuelto posteriormente, y en una forma mucho más rápida, usando la Ley de Gauss.
Desarrollo
y
y
2
E
0
ˆ
πε
λ
=
r
r
2
E
0
ˆ
πε
λ
=
[5]
[4]
27
A-4) Campo Eléctrico en
distribuciones de carga
A-4) Campo Eléctrico en
distribuciones de carga
Profesor Rodrigo Vergara Rojas Ingeniero Civil Electrónico Magister en Ingeniería Electrónica
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA GENERAL ELECTROMAGNETISMO
