Anexo I: Oferta de TFG para o Grao en Matemáticas Curso 2020/21

(1)

1

Anexo I: Oferta de TFG para o Grao en Matemáticas Curso 2020/21

(Documento actualizado tras a Comisión de Título do 23 de outubro de 2020)

Código AL01_21p

Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío Área de Coñecemento

do/a Titor/a Álxebra Cotitor/a

(incluíndo Contratados/as

Predoutorais) Beatriz Álvarez Díaz Área de Coñecemento

do/a Cotitor/a Álxebra

Estudante Iria Rodríguez Acevedo Título Anillos neuronales

Breve descrición do contido

Los códigos neuronales son un modelo del funcionamiento de las células del sistema nervioso. Desde el punto de vista matemático constituyen una construcción combinatoria cuyas propiedades permiten explicar ciertos aspectos del funcionamiento del cerebro. En este trabajo estudiaremos dos construcciones matemáticas: el anillo neuronal y el ideal neuronal que permiten estudiar los códigos neurales. Este punto de vista relaciona los códigos neurales con la geometría sobre cuerpos finitos. En este trabajo se estudiarán los elementos básicos de esta estructura.

Bibliografía

A. Altman y S. Kleiman. A term of commutative algebra. Worldwide Center of Mathematics, Cambridge, 2013.

Curto, C.; Itskov, V.; Veliz-Cuba, A.; Youngs, N.: The neural ring: an algebraic tool for analyzing the intrinsic structure of neural codes. Bull. Math. Biol. 75 (2013), no. 9, 1571–

1611.

Youngs, N.: The Neural Ring: Using Algebraic Geometry to Analyze Neural Codes, tesis University of Nebraska-Lincoln, 2014.

Recomendacións

(non vinculantes) Cursar la asignatura “Álxebra, Números e Xeometría”.

Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío Área de Coñecemento

do/a Titor/a Álxebra

Estudante Laura Freire Míguez

Título Las matemáticas del cubo de Rubik Breve descrición do

contido

El cubo de Rubik es un pasatiempo diseñado en los años 80 cuya solución se basa en la concatenación de movimientos que pueden codificarse matemáticamente mediante la estructura de grupo. En este trabajo describiremos esa estructura y daremos indicaciones de cómo el conocimiento de esa estructura nos ayuda a diseñar soluciones al pasatiempo.

Bibliografía

Dummit, D. S.; Foote, R. M.: Abstract Algebra. Prentice Hall. (1999).

Chen, J.: Group Theory and the Rubik’s Cube, Notas, Harvard University

http://people.math.harvard.edu/~jjchen/docs/Group%20Theory%20and%20the%20Rubik%2 7s%20Cube.pdf

Joyner, D.: Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and other Mathematical Toys. John Hopkins University Press. (2008).

Recomendacións

(non vinculantes) Tener un buen conocimiento de las asignaturas de álgebra de 3º y 4º curso del grado.

(2)

2

Código AL03_21

Titor/a Javier Barja Pérez Área de Coñecemento

Título Hilbert e a axiomatización dos elementos de Euclides

A xeometría desenvolta por Euclides, nos Elementos, foi o modelo de como se contaron as matemáticas durante máis de dous milenios.

O longo do século XIX pódense salientar tres feitos no eido das matemáticas: fixouse o que podemos chamar a versión definitiva do "orixinal", xurdiron as "novas xeometrías" na discusión sobre o 5º postulado e tamén a lóxica aristotélica foi "matematizada".

En 1899, Hilbert presentou a que considérase a primeira versión da xeometría de Euclides

"verdaderamente axiomática" no senso de que nela non hai apelacións agachadas a intuición espacial. Este traballo de Hilbert contribuíu a un coñecemento mais fondo da relación entre xeometría e estruturas alxébricas. Ademais, tal como o propio Hilbert sinala no prólogo, abriu un xeito novo e axiomatico de facer matemáticas no século XX.

O traballo sería un estudo da axiomatización de Hilbert, o contexto histórico, e das repercusións nas matemáticas dos seguintes anos.

Bibliografía

- Borsuk K. and Szmielew W. Foundations of geometry: euclidean and Bolyai- Lobachevskian geometry, projective geometry. North-Holland, Amsterdam,1960.

- Greenberg, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. W. H. Freeman and Company, New York, 2008.

- Hartshorne, R. Euclid and Beyond. Springer-Verlag, New York. 2000.,

- Venema Gerard A. The foundations of geometry. 2nd ed. Pearson, New York, 2012.

Recomendacións

(non vinculantes) É convinte usar a bibliografía suxerida

Código AL04_21

Titor/a Rosa Mª Fernández Rodríguez Área de Coñecemento

Título Táboas de caracteres de grupos finitos

Neste traballo deberase facer una introdución ás representacións de grupos finitos. Para iso utilizaráse a súa estreita relación cos módulos.

De especial interese serán os caracteres e as táboas dos caracteres irrreducibles e a información que estas proporcionan sobre o grupo.

Bibliografía

Curtis, C.W.; I. Reiner. Representation theory of finite groups and associative algebras.

Interscience Publishers, 1962.

Feit, W. Characters of finite groups, Benjamin, 1967.

Isaacs, I. M. Character theory of finite groups, Academic Press, 1976.

James, G.; M. Liebeck. Representation and characters of groups. Cambridge Univ. Press, 1995.

Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursada a materias Estruturas Alxébricas.

(3)

3

Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa Área de Coñecemento

Estudante Brais Ramos Pérez

Título Álxebras de Hopf. Ecuación cuántica de Yang-Baxter

Este traballo pretende centrarse nalgún aspecto da motivación física do desenvolvemento da teoría de Álxebras de Hopf. Estas álxebras estudaranse como unha xeneralización da estrutura de grupo e en particular farase unha introdución ao dobre de Drinfeld dun Álxebra de Hopf de dimensión finita que permite atopar solucións á ecuación cuántica de Yang- Baxter.

Bibliografía - E. Abe. Hopf Algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1980 - C. Kassel. Quantum Groups. GTM 155, Springer- Verlag 1995.

Código AL06_21

Titor/a Leoncio Franco Fernández Área de Coñecemento

Título Localización de anillos conmutativos Breve descrición do

contido Lema de Nakayama. Teorema de Jordan-Holder Localización Soporte y primos asociados

Bibliografía 1] Atiyah-Macdonald Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley 1969 [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge 1980

Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado los contenidos de la asignatura “Estructuras algebraicas”

Titor Felipe Gago Couso Área de Coñecemento do

Titor Álxebra

Estudante Julia García Piñeiro

Título Polinomios e funcións de Boole: exemplos de aplicacións

Os polinomios e as funcións de Boole teñen multitude de aplicacións en diversos campos, como códigos, criptografía, circuítos lóxicos, buscas e minería de datos, algoritmos de decisión, etc. O estudio de propiedades dos polinomios de Boole é un tema interesante en matemática discreta e análise combinatorio, pois resultados teóricos para eles resultan ter un amplo abano de aplicacións. Trataríase de reunir os principais resultados sobre polinomios e funcións de Boole e estudiar algunhas das súas aplicacións.

Bibliografía

Adamek, J. Foundations of Coding: Theory and Applications of Error-Correcting Codes with an Introduction to Cryptography and Information Theory, Wiley, (1991).

Carlet, C. (2010). Boolean Functions for Cryptography and Error-Correcting Codes. En Y.

Crama & P. Hammer (Eds.), Boolean Models and Methods in Mathematics, Computer Science, and Engineering (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, pp. 257-397).

Cambridge University Press, Cambridge (2010).

(4)

4

Titor/a Felipe Gago Couso Área de Coñecemento

Predoutorais) María Pilar Páez Guillán Área de Coñecemento

Estudante Sara Rodríguez Gómez

Título Criptografía asimétrica: algoritmos e seguridade

Aínda que os primeiros usos da criptografía datan de hai máis de 4000 anos, no Antigo Exipto, e as matemáticas aínda son máis antigas, non hai moito tempo que estas dúas disciplinas converxeron. Este encontro significou un cambio profundo para a criptografía, que ata entón se limitaba a comunicarse en segredo e que hoxe é, en boa medida, unha disciplina matemática. O novo paradigma de funcións de vía única, procesos doados de levar a cabo pero difíciles de inverter está detrás da criptografía asimétrica, tamén chamada de chave pública, que en vez de usar unha única chave, que era preciso intercambiar previamente para despois poder encriptar, usa unha chave pública, coñecida por todos, e unha chave privada, só coñecida polo propietario.

Este traballo pretende facer unha introdución á criptografía asimétrica, en comparación coa simétrica, e revisar algúns dos seus algoritmos dende o punto de vista matemático e computacional para entender en que se basea a seguridade presente e futura dos mesmos, onde reside a súa resistencia á criptoanálise.

Bibliografía J.L. Gómez Pardo, Introduction to Cryptography with Maple, Springer, 2013.

Recomendacións

(non vinculantes) Cursar a materia Códigos Correctores e Criptografía.

Código AL09_21

Titor/a Antonio García Rodicio Área de Coñecemento

Título Módulos de imperfección y extensiones separables

1. Proseguir el estudio de la teoría de módulos iniciado en la asignatura “Estructuras algebraicas” (producto tensorial, sucesiones exactas, límites directos...) hasta poder definir y manejar los módulos de diferenciales y los módulos de imperfección de un álgebra.

2. Proseguir el estudio de la teoría de extensiones de cuerpos iniciado en la asignatura

“Ecuaciones algebraicas” (cuerpos finitos, cuerpos perfectos, extensiones algebraicas separables en característica arbitraria, extensiones trascendentes, grado de trascendencia...).

3. Aplicación de los módulos de imperfección al estudio de las extensiones separables arbitrarias.

Bibliografía J.J. Rotman, “An Introduction to Homological Algebra”, S. Lang, “Algebra”, M.F. Atiyah, I.G.

Macdonald, “Introducción al Álgebra Conmutativa”, H. Matsumura, “Conmutative Ring Theory”.

Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado la asignatura de estructuras algebraicas y la de ecuaciones algebraicas.

(5)

5

Código AL10_21

Titor/a Ana Jeremías López Área de Coñecemento

Título Dimensión en álgebra y geometría

Las variedades algebraicas son los subconjuntos del espacio afín definidos por un sistema de ecuaciones polinómicas. La falta de un análogo del teorema de la función inversa provoca que la noción de dimensión en este tipo de conjuntos requiere la introducción de nociones de dimensión en el contexto de los anillos conmutativos.

El trabajo abordará el estudio de las posibles nociones de dimensión de anillos conmutativos. También se abordará la conexión entre dimensión y grado de trascendencia mediante el teorema de normalización de Noether. Se explorará la conexión entre el álgebra y la geometría: ecuaciones frente a proyecciones lineales.

Bibliografía

A. Altman y S. Kleiman. A term of commutative algebra. Worldwide Center of Mathematics, Cambridge, 2013.

M. F. Atiyah e I. G. MacDonald, Introducción al álgebra conmutativa, Ed. Reverté, 1973.

D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, GTM, Springer, 1995.

E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkhäuser, 1985.

Recomendacións

(non vinculantes) Tener un buen conocimiento de las materias Estructuras y Ecuaciones Álgebraicas.

Titor/a Manuel Ladra González Área de Coñecemento

Estudante Irene Macías Tarrío

Título Descomposición primaria de ideais

Unha das ferramentas fundamentais do álxebra conmutativa é a descomposición primaria dun ideal, non só polo seu alcance teórico, senón tamén pola parte práctica, pola información que proporciona sobre o ideal e, en consecuencia, sobre a variedade alxébrica que define.

O obxectivo do traballo é estudar esta descomposición para entender mellor a estrutura dos aneis e ideais co fin de poñer en relevo o papel dos ideais primarios e primos inmersos.

Bibliografía R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra. 2nd ed. LMS, Student Texts 51, Cambridge University Press, 2000.

I. Swanson, Primary decompositions. http://people.reed.edu/~iswanson/primdec.pdf Recomendacións

(non vinculantes) É recomendable cursar a materia "Álxebra, Números e Xeometría".

do/a Titor/a Álxebra Estudante Raúl Alvite Pazo

Título Extensións de grupos e cohomoloxía

Os grupos de cohomoloxía xorden en moitas áreas das matemáticas. A noción formal de grupos de cohomoloxía apareceu a mediados do século XX impulsada pola topoloxía alxébrica.

A cohomoloxía en dimensións baixas dun grupo xa se estudaba clasicamente con outros métodos, moito antes da formulación da cohomoloxía de grupos.

O obxectivo do traballo é estudar a relación que hai entre a cohomoloxía de grupos en dimensións baixas e as extensións de grupos.

Bibliografía J. J. Rotman, Advanced modern algebra. Part 2. Third edition. Graduate Studies in Mathematics, 180. AMS, Providence, RI, 2017.

(6)

6

Estudante Andrés Pérez Rodríguez Título Álxebras de evolución e grafos

No ano 2006 xurdiu un novo tipo de álxebras xenéticas, denominadas álxebras de evolución, para ilustrar o estudo da xenética non mendeliana, a cal é a linguaxe básica da bioloxía molecular. As álxebras de evolución presentan moitas conexións con outros campos matemáticos, incluíndo a teoría de grafos, a teoría de grupos, as cadeas de Markov e os sistemas dinámicos. As álxebras de evolución son álxebras conmutativas pero non asociativas, e non están definidas por identidades, e por tanto non forman unha variedade de álxebras. O obxectivo do traballo é estudar as propiedades básicas destas álxebras, e explorar o digrafo asociado a un álxebra de evolución relacionando as súas correspondentes propiedades.

Bibliografía

A. Elduque, A. Labra, Evolution algebras and graphs, Journal of Algebra and Its Applications, Vol. 14, No. 7 (2015) 1550103 (10 pages).

J. P. Tian, Evolution Algebras and their Applications, Lecture Notes in Mathematics 1921, Springer, Berlin, 2008.

Código AL14_21

Titor/a M. Purificación López López Área de Coñecemento

Título Funtores derivados

El objetivo de este TFG es conocer los rudimentos del álgebra homológica. Nos centraremos en el estudio de los funtores derivados de funtores aditivos, de la categoría de R-módulos a la de grupos abelianos, que proporcionan la herramienta y el lenguaje fundamentales para este estudio.

El álgebra homológica es una rama de las matemáticas que se desarrolló rápidamente después de la segunda guerra mundial y ha sido de gran influencia en el progreso general de las matemáticas. Fue motivada por la observación de que ideas y mecanismos algebraicos, usados en el desarrollo de la topología algebraica, que son eficaces para tratar de forma unificada problemas que habían sido abordados por separado.

Partiendo de los complejos y los homomorfismos de complejos se definirá el funtor de homología y para cada sucesión exacta corta de complejos se estudiará la sucesión exacta larga de homología.

La definición de funtor derivado de un funtor de R- Mod a grupos abelianos está basada en el concepto de resolución de un módulo. Se necesita pues estudiar los módulos proyectivos, los inyectivos e incluso los planos, para asegurar la existencia de las resoluciones proyectivas, inyectivas y planas de un módulo y se demostrará que dos resoluciones proyectivas, inyectivas o planas de un mismo módulo son homológicamente equivalentes.

Finalmente se centrará la atención en los derivados de los funtores Hom y producto tensor para obtener los funtores Ext y Tor. Se finaliza con alguna de sus aplicaciones.

Bibliografía

Hilton, Peter J. and Stammbach, U. A course in homological algebra, New York, Springer- Verlag, 1972.

Hilton, Peter; Wu, Y-CH. Álgebra moderna, Ed. Reverté, 1982.

Rotman, J.J. An introduction to homological algebra, New York, Springer, 2009 Assem, I. Algebres et modules, Masson, 1997.

(7)

7

Titor/a José Javier Majadas Soto Área de Coñecemento

do/a Titor/a Álgebra

Estudante Samuel Alvite Pazo Título Álgebra Homológica

El álgebra homológica es una herramienta de gran utilidad en campos principales de la matemática como por ejemplo la geometría algebraica y la teoría algebraica de números. En este TFG se comenzará introduciendo las construcciones y nociones básicas de un curso estándar de álgebra homológica, para continuar con algunos aspectos más sofisticados de esta teoría que son de utilidad en geometría algebraica o en teoría de números.

Bibliografía R. Godement. Topologie Algébrique et Theórie des Faisceaux.

J. J. Rotman. Introduction to Homological Algebra G. Tamme. Introduction to Étale Cohomology

Titor/a José Javier Majadas Soto Área de Coñecemento

Estudante Javier Guillán Rial

Título Ramificación en teoría de números

En el contexto de la teoría algebraica de números, la teoría de la ramificación juega un papel fundamental. El propósito de este trabajo es estudiar dicha teoría, estudiando previa y paralelamente numerosos aspectos complementarios de la teoría algebraica de números.

Bibliografía Neukirch, Algebraic Number Theory.

Serre, Corps locaux.

Recomendacións

(non vinculantes) Una buena base de álgebra conmutativa (que el estudiante que propicia este TFG ya posee) será necesaria.

Código AL17_21

Titor/a Manuel Pedreira Área de Coñecemento

Título Estudio de curvas planas proyectivas. Clasificación proyectiva de curvas de grado tres

El estudio de Curvas Algebraicas es un tema clásico del que se estudian algunos conceptos como el Teorema de Bezout en el programa actual del Grado de Matemáticas y explícitamente en la materia Álxebra, Números e Xeometría. No obstante, en este TFG se propone un estudio de las curvas planas proyectivas introduciendo conceptos como el grado de la Curva, puntos singulares, Hessiana, puntos de inflexión, deficiencia de una curva plana… Como una aplicación interesante de estos conceptos y otros que se mencionan más adelante, se aborda la clasificación proyectiva de las curvas planas de grado 3.

En esta clasificación, y en el caso de curvas irreducibles existen esencialmente dos tipos de cúbicas, aquellas que son racionales, y que poseen necesariamente un punto singular, y las cúbicas lisas o carentes de puntos singulares.

Las curvas irreducibles racionales aparecen geométricamente mediante proyección de la llamada cúbica racional normal, o cúbica alabeada en el espacio proyectivo 3-dimensional.

Las curvas lisas no son curvas racionales, corresponden a los ceros de un polinomio homogénero genérico de grado 3 en tres variables y poseen lo que se llama deficiencia 1.

La existencia de estas curvas de grado 3 no racionales justifica históricamente la introducción del concepto de género aritmético y género geométrico de una curva algebraica plana arbitraria.

(8)

8

En la clasificación proyectiva de las curvas cúbicas lisas participa un invariante consistente en la razón doble de las cuatro rectas tangentes a la cúbica que pueden trazarse desde un punto cualquiera de la misma, incluída la propia recta tangente a la cúbica en el punto.

Tal razón doble es un invariante proyectivo conocido como el j-invariante y fue introducido por el matemático inglés Salmon, que demostró el importante resultado que afirma que dos curvas cúbicas lisas son proyectivamente equivalentes precisamente si poseen el mismo j- invariante. De este modo existen tantas clases de equivalencia de cúbicas lisas proyectivamente equivalentes como número complejos. Históricamente la recta afín compleja es el primer ejemplo de espacio de móduli o espacio que parametriza objetos algebraicos con invariante dado; en este caso el j-invariante.

Además, los puntos de una cúbica algebraica lisa plana poseen una estructura de grupo abeliano y dicha operación resulta ser contínua respecto de la Topología de Segre-Zariski.

De este modo, la cúbica lisa del plano resulta ser históricamente el primer ejemplo de Grupo de Lie dentro de las matemáticas.

El objetivo de este TFG es proporcionar al autor del mismo una formación en un tema clásico de las matemáticas como son las curvas algebraicas planas, sus primeras propiedades y estudiar un problema de clasificación, de hecho el primero históricamente dentro de la Geometría Algebraica, la clasificación de cúbicas lisas del plano.

Bibliografía

Beltrametti, Mauro; Carletti, Ettore; Gallarati, Dionisio; Bragadin, Giacomo Monti: Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties, A Classical View of Algebraic Geometry, European Mathematical Society, 2009

Hulek, Klaus: Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library, Volume 20, AMS, 2003

Recomendacións (non vinculantes)

No necesario, pero haber cursado la materia Álxebra, Números e Xeometría sería intersante. En todo caso, el trabajo no será una mera transcripción del material que se estudia en dicha materia, abordando mayoritariamente otros conceptos y resultados que no son estudiados en ella.

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física.

Nese caso, indique brevemente:

• Posible conexión con liñas de coñecemento ou conceptos.

• Posibles titores/as, se o considera pertinente.

El Tema es un tema clásico de matemáticas puras. Aún así, motiva problemas de clasificación y podría ser interesante para un alumno del doble grado que quiere estudiar Teoría de Cuerdas.

Código AL18_21

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves Área de Coñecemento

Título Primeros teoremas fundamentales de la Geometría Algebraica

En este trabajo se estudian conceptos de álgebra conmutariva como la localización en anillos y la dependencia entera para probar teoremas de Geometría Algebraica como el lema de Zariski, el teorema de los ceros de Hilbert para variedades algebraicas afines y proyectivas o el teorema de la dimensión, que permite estudiar la dimensión de las variedades algebraicas afines y proyectivas.

Bibliografía

Kunz, E. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkchäuser, Boston,1985

Milne, J. S., A primer of Commutative Algebra, Expository Notes, 2017.

Milne J. S., Algebraic Geometry. Course Notes, 2017.

Perrin, D., Géométrie algébrique, CNRS Editions, Paris, 1995.

Recomendacións

(non vinculantes) Se recomienda haber cursado las materias Estructuras Algebraicas y Ecuaciones Algébraicas, y estar cursando Álgebra, Números y Geometría.

(9)

9

Código AL19_21

Titor/a Antonio García Rodicio Área de Coñecemento

Título La función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet Breve descrición do

contido Definición, prolongación analítica y ecuación funcional de la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet

Bibliografía

1. W. Rudin, “Real and complex analysis”, McGraw-Hill, 1987.

2. J.B. Conway, “Functions of one complex variable”, Springer, 1978.

3. A.A. Karatsuba, “Basic analytic number theory”, Srpinger, 1993. 4. H. Davenport,

“Multiplicative number theory”, Springer, 1980.

Recomendacións

(non vinculantes) Tener un buen dominio de las asignaturas Variable Compleja y Estructuras Algebraicas.

Código AL20_21

Titor/a Javier Barja Pérez Área de Coñecemento do/a

Titor/a Álxebra

Título A Indecidibilidade do Cálculo de Predicados

Fai 100 anos David Hilbert presentou o chamado Programa de Hilbert para a fundamentación das Matemáticas.

Entre os obxectivos do programa estaba a formalización de todas as Matemáticas: "as afirmacións matemáticas tiñan que ser escritas nun linguaxe preciso e formal, e ser manipuladas de acordo a regras ben definidas".

Non debería poderse probar ningunha contradición (Consistencia). As probas formais deberían usar razoamentos finitistas.

E tamén debería dotarse "dun procedemento de decisión", é dicir, en termos de hoxe:

tería que haber un algoritmo "para decidir a verdade ou falsidade de calquera sentencia matemática".

Dez anos chegaron para que o referido programa fora cuestionado en varios puntos pola realidade das investigacións no eido da Lóxica Matemática e no novo campo da Informática (Computer Science) que xurde cando se formaliza o concepto de algoritmo executado por unha máquina teórica.

O traballo sería un estudo da axiomatización necesaria para o desenvolvemento do

"Programa de Hilbert": O Cálculo de Predicados, tamén referido como a Lóxica de Primeiro Orde.

Concretamente o estudo da súa Consistencia, Completude e a Indecidibilidade .

Ademais do estudio do contexto histórico, e das repercusións dos traballos de Gödel, Post, Turing e Church na Matemática.

Bibliografía

–Barnes, D.W.; Mack, J.K. An Algebraic Introduction to Mathematical Logic. (1975) Springer.

–Ben-Ari, M. Mathematical Logic for Computer Science.(1983) Springer.

–Hamilton, A.G. Logic for Mathemeticians (1978) Cambridge U. Press

–Hopcroft, J. E.; Ullman, J. D. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (1979) Addison-Wesley

Recomendacións (non

vinculantes) É conveniente usar a bibliografía suxerida.

(10)

10

Código AL21_21

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves Área de Coñecemento

Título Categorías y funtores. Construcciones universales Breve descrición do

contido

En este trabajo se introducen los conceptos fundamentales de la teoría de categorías:

funtores, transformaciones naturales, productos, coproductos y funtores adjuntos, ilustrando todos estos conceptos con ejemplos.

Bibliografía Mac Lane, S.: Categories for the Working Matematician, Springer-Verlag (1971) Hilton P. J. , Stambach, U.: Acourse in Homological Algebra. Springer, (1971).

Mitchell, B.: Theory of categories. Academic Press, 1965

Código AL22_21

Titor/a Manuel Pedreira Área de Coñecemento

Título Dualidad en curvas algebraicas. Fórmulas de Plücker

En este TFG, se propone estudiar el concepto de curva dual asociada a una curva proyectiva dada. El tema es clásico y fue desarrollado por Plücker obteniendo sus famosas fórmulas relacionando el grado, número de nodos y número de cúspides de curva

algebraica plana C con los correspondientes análogos de la curva dual C* que corresponden en la curva original C, respectivamente, a su clase, número de rectas bitangentes, y número de rectas tangentes inflexionales. Estos seis números se conocen con el nombre de características de Plücker y proporcionan una manera de clasificar curvas planas, si bien es conocido que no toda séxtupla de números naturales son las características de Plücker de una curva plana proyectiva.

En este TFG se propone :

Exponer la demostración clásica de dichas fórmulas ilustrando el Teorema de Bezout para Curvas Planas; mostrar métodos de cálculo para la curva dual de una curva plana dada e ilustrar dichas fórmulas de Plücker con algunos ejemplos.

Bibliografía Gerd Fischer: Plane Algebraic Curvas, Student Mathematical Library. Volume 15. A M S, 2001.

Recomendacións (non vinculantes)

Serviría de ayuda que el alumno hubiese cursado la materia Álxebra, Números e Xeometría, ya que en ella se explica el Teorema de Bezout para Curvas Planas que se utiliza en este trabajo.

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos

dos respectivos centros (12 ECTS no Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física.

Nese caso, indique brevemente:

• Posible conexión con liñas de coñecemento ou conceptos.

• Posibles titores/as, se o considera pertinente.

El tema es un tema clásico de Geometría Algebraica del que ha habído generalizacionesa hipersuperficies en el espacio proyectivo (Ragni Piene), pero a mi conocimiento desconozco de posibles interacciones con conceptos físicos.

(11)

11

Código AL23_21

Titor/a Mª Purificación López López Área de Coñecemento

do/a Titor/a

Álxebra

Título Idempotencia y descomposición

Los espacios vectoriales son objeto de estudio de cualquier curso básico de Álgebra Lineal. Su propiedad esencial es que todo espacio vectorial admite una base y, por tanto, admite una descomposición en irreducibles. Si en vez de con espacios vectoriales se trabaja con módulos, es decir, en vez de un cuerpo base se tiene un anillo, el resultado deja de ser cierto. Se trata pues de estudiar propiedades de descomposición de módulos que generalicen las conocidas de espacios vectoriales y establecer la relación que existe entre dichas descomposiciones y los elementos idempotentes del anillo.

Bibliografía Anderson, F. and Fuller, K.: Rings and categories of modules, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin (1973).

Jacobson, N.: Basic Algebra II, Dover Publications, Inc. Mineola, New York (2009).

Código AL24_21

Titor/a Rosa Mª Fernández Rodríguez Área de Coñecemento

Título Funtores Hom e Produto Tensorial na Categoría de Módulos Breve descrición do

contido

Farase unha introdución á linguaxe de categorías para fixarse na categoría abeliana de módulos sobre un anel. Consideraranse os funtores Hom e Produto Tensorial. Probarase a súa exactitude e por último verase a adxunción entre eles.

Bibliografía

Adámek,J.; H. Herrlich, H. e G. E. Strecker. Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats. Wiley and Sons, New York, 1990.

Anderson, F. W. e Kent R. Fuller. Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag, New York 1974.

Hilton, P. J. e Stammbach, U. A. A course in homological algebra. Second Edition.

Springer-Verlag, New York, 1997.

Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, New York, 1971.

Titor/a Leoncio Franco Fernández Área de Coñecemento

Estudante Parrado Freijo Marcos

Título Sobre anillos y módulos noetherianos. Descomposición primaria

Ideales primos. Cambio de anillo Módulos y su producto tensorial Anillos y módulos noetherianos Desomposición primaria Interpretación geométrica

Bibliografía

Atiyah-Macdonald Introduction to Commuttiva Algebra Bourbaki Commutative algebra

Matsumura Commutative ring theory

Kunz Introduction to Commuttiva Algebra and Algebraic Geometry

(12)

12

Titor/a Ana Jeremías López Área de Coñecemento

Estudante Gabriel Novas Domínguez

Título Geometría proyectiva: Teoremas clásicos sobre Cónicas Breve descrición do

contido

Se estudiará las propiedades geométricas del espacio proyectivo, el principio de dualidad, las transformaciones proyectivas, las correlaciones y, el principal invariante proyectivo, la razón doble de cuatro puntos alineados. Aplicaremos estas técnicas al estudio de las cónicas del plano proyectivo.

Bibliografía

Gruenberg, K. W. and Weir, A. J.: Linear Geometry. Springer, 1977.

Hartshorne, R.: Foundations of Projective Geometry. W.A. Benjamin, New York 1967.

Richter-Gebert, J.: Perspectives on Projective Geometry. Springer, 2011.

Rodríquez-Sanjurjo, J. M., Jesús M. Ruíz: Lecciones de Geometría Proyectiva. Sanz y Torres 2009.

Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa Área de Coñecemento

Estudante Andrés Siaba Rodríguez Título Grupo de Brauer dun corpo

O teorema de Frobenius afirma que o corpo dos números reais R, o corpo dos números complexos C e o anel dos cuaternios H, son as únicas álxebras de división de dimensión finita sobre R, ademáis, as únicas que son centrais son R e H. Clasificar as álxebras de división de dimensión finita e centrais sobre outros corpos é moito máis difícil. O feito de que o producto tensor das álxebras de división, non é, en xeral, unha álxebra de división senón unha álxebra de matrices sobre unha álxebra de división (álxebra simple), é a motivación para considerar clases de K-álxebras centrais simples sobre un corpo k.

En este traballo introducirase unha relación de equivalencia no conxunto das k-álxebras centrais simples de dimensión finita e probarase que o conxunto de clases de equivalencia de tales álxebras é un grupo, denominado Grupo de Brauer do corpo k. Este grupo actúa como un "clasificador" de álxebras de division centrais.

Bibliografía

Amitsur, S. A.: Simple algebras and cohomology groups of arbitrary fields. Trans. Amer.

Soc. 90 (1959), 73-112.

Anderson, F.W. e Fuller, K.R.: Rings and categories of modules. Graduate texts in Mathematics, vol. 13, Springer-Verlag, 1992.

Auslander, M. e Goldman, O.: The Brauer Group on a conmutative ring., T.A.M.S., vol. 97, no 3, 1960.

Bass, H.: Topics in algebraic K-theory. Lecture Notes. Tata Institute, Bombay, 1967.

Farb, B. e Dennis, R.K.: Nonconmutative algebra. Graduate texts in Mathematics, vol. 144, Springer-Verlag, 1993.

Rotman, J.J.: An introduction to homological algebra. Academic Press, inc. 1979.

Código AL28_21

Titor/a Celso Rodríguez Fernández Área Titor/a Álxebra

Título A Xeometría dos sólidos dos Elementos de Euclides (Libro XII)

O Libro XII dos Elementos de Euclides, xunto cos libros XI e XIII, adícase ó estudo da xeometría do espazo.

Neste TFG centrarémonos no Libro XII. Estudaremos o método que seguen os Elementos de Euclides no Libro I e analizaremos os resultados dos libros III, IV, V, VI e XI que se utilizarán nas demostracións do libro XII. A versión final do TFG recollerá o contido do libro XII con demostracións análogas ás da versión orixinal, pero nun linguaxe actual.

(13)

13

Bibliografía

[1] Euclides, Elementos (traducción de Ana Gloria Rodríguez Alonso y Celso Rodríguez Fernández), Clásicos do Pensamento Universal, Fundación BBVA, Universidade de Santiago de Compostela, 2013.

[2] Heath, Thomas L., The thirteen books of Euclid’s Elements. Second edition, Revised with adittions (3 Vols.) Dover Publications, Inc., New York, 1956.

[3] Heiberg, J.L., Euclid’s elements of geometry (edited, and provided with a modern English translation by Richard Fitzpatrick) 2007.

[4] Clark University, Los elementos de Euclides [en línea]. <http://euclides.org>.

Código AN01_21p

Titor/a Alberto Cabada Fernández Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática Estudante Antón Rodríguez de Castro

Título Unicidade de Solucións de Ecuacións Diferenciais Ordinarias

eve descrición do contido

Neste traballo estudaranse diferentes criterios que garanten a unicidade de solución de ecuacións diferenciais ordinarias.

Ademáis do amplamente coñecido resultado de Lipschitz, serán probados outros criterios, como poden ser, por citar só algúns exemplos, os de Peano, Osgood, Montel – Tonelli, Nagumo, Krasnosel’skii – Krein ou o de Perron.

Farase un estudo destes e outros resultados, coas súas correspondentes probas, así como de exemplos nos que son aplicados.

Bibliografía R P Agarwal, V Lakshmikantham, Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations, Series In Real Analysis, World Scientific, 1993.

Recomendacións (non vinculantes)

Titor/a Alberto Cabada Fernández Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matemática

Estudante Julio José Rodríguez Martínez

Título Estudo cuantitativo e cualitativo de ecuacións discretas

Describiranse fenómenos modelados por ecuacións en diferencias (modelos de poboacións, económicos, epidemiolóxicos, …).

Estudaranse técnicas básicas da matemática discreta, como o operador incremento e incremento inverso, a resolución de ecuacións en diferencias lineais tanto escalares como vectoriais, así como o estudio da estabilidade das ecuacións estudadas.

Bibliografía Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Difference Equations: An Introduction with Applications, Second edition. Harcourt/Academic Press, San Diego, CA, 2001.

Titor/a Alberto Cabada Fernández Área de Coñecemento

Estudante Paloma Fernández Fernández

(14)

14

Título Solucións de Ecuacións Diferenciais por medio de Transformadas Integrais

Neste traballo estudarase a definición e as propiedades fundamentais da Transformada de Laplace e de Fourier.

Farase un estudo minucioso dos valores das transformadas das funcións elementais e da delta de Dirac, así como das transformadas inversas das mesmas. Tamén se estudará o comportamento desta transformada cos operadores derivación, integración e convolución. A partir destas propiedades estudarase a súa aplicación para a resolución das Ecuacións Diferenciais.

Bibliografía Rudin, W. Real and complex analysis. McGraw Hill, 1987.

Simmons, George F. y Krantz, S. G. Ecuaciones diferenciales: teoría, técnica y práctica.

McGraw Hill, 2007

Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matemática Estudante Alba Rey Santiago

Título A Transformada de Laplace e as súas aplicacións a resolución de ecuacións diferenciais Breve descrición do

contido

Trátase de estudar as propiedades máis importantes da transformada de Laplace así como as súas aplicacións a resolución de ecuacións diferenciais. En particular, farase especial fincapé na análise matemática e resolución de ecuacións en derivadas parciais relacionadas con problemas medioambientais.

Bibliografía

Schiff, Joel L., The Laplace transform: theory and applications. Springer, cop. 1999 Donaldson, Thomas. A Laplace Transform Calculus for Partial Differential Operators.

American Mathematical Society, 1974.

Kuhfittig, Peter K.F. Introduction to the Laplace transform. New York; London : Plenum Press, cop. 1978.

Le Page, Wilbur R. Complex variables and the Laplace transform for engineers. New York Dover, 1980.

Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández Área de Coñecemento

Estudante Manuel Modroño Beires-Días

Título Os espazos de Sobolev-Bochner W^{k,p,q}(I;B_1,B_2) Breve descrición do

contido

Trátase de describir os espazos de Sobolev-Bochner W^{k,p,q}(I;B_1,B_2) e as súas propiedades máis importantes.

Bibliografía

J. Diestel and J. J. Uhl. Vector measures. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1977. With a foreword by B. J. Pettis, Mathematical Surveys, No. 15.

G. Leoni. A first course in Sobolev spaces, volume 181 of Graduate Studies in Mathematics.

American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2017.

K. Yosida. Functional analysis. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995.

vinculantes) Interese pola teoría da medida e o análise funcional en espazos de Banach.

(15)

15

Titor/a Fernando Adrián Fernández Tojo Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matemática Estudante Alberto José Díaz Cuenca

Título Curvas de persecución

Se denominan curvas de persecución a aquellas curvas que genera un objeto (generalmente un depredador, navío pirata, avión...) en la persecución de otro de manera óptima. Estas curvas tienen diversas aplicaciones a problemas clásicos de índole militar. En este trabajo se pretenden analizar las ecuaciones diferenciales que dan lugar a dichas curvas así como las soluciones a las mismas y sus aplicaciones.

Bibliografía Paul J. Nahin. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion (2007)

Estudante Ángel Pablo González López

Título Caos

En pocas palabras, se dice que un sistema dinámico es caótico cuando este no nos permite predecir el futuro. Este tipo de sistemas de ecuaciones son la prueba de que el teorema de Poincaré–Bendixson (de la asignatura Ecuaciones Diferenciales) no es cierto para dimensión n>2. En este trabajo se estudiarán los orígenes del caos así como ejemplos paradigmáticos como pueden ser las ecuaciones meteorológicas de Lorentz (efecto mariposa), la aplicación de Hénon o el sistema de Rössler.

Bibliografía Alligood Sauer and Yorke. Chaos An Introduction to Dynamical Systems (2000)

Código AN08_21

do/a Titor/a Análisis Matemático Cotitor/a

do/a Cotitor/a Álgebra

Título Análisis algebraico constructivo

El análisis algebraico estudia sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales basándose en teoría de módulos y álgebra homológica. Más concretamente, a un sistema de ecuaciones dado se le asocia un módulo sobre un determinado anillo de operadores diferenciales que refleja las propiedades estructurales del conjunto de soluciones de dicho sistema. Recientemente, el análisis algebraico está siendo estudiado desde un punto de vista más constructivo. El objetivo de este trabajo es llegar a conocer los aspectos básicos del análisis algebraico constructivo y presentar algunas aplicaciones en la teoría del control.

Bibliografía Referencia principal: Quadrat, A., An introduction to constructive algebraic analysis and its applications, Les cours du CIRM, 1(2) (2010), 281-471.

(16)

16

Titor/a Rodrigo López Pouso Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matemática Estudante Alexandre Domínguez Prieto

Título O teorema de representación de Riesz e a integral de Lebesgue-Stieltjes

Descrición da integral de Riemann-Stieltjes. Propiedades básicas. Limitacións da integral de Riemann-Stieltjes. Introdución á teoría da medida abstracta. Enunciado e demostración do teorema de representación de Riesz. Aplicación do teorema de representación de Riesz para xustificar a existencia da integral de Lebesgue-Stieltjes. Propiedades das medidas e das integrais de Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografía T. M. Apostol, Análisis Matemático, Reverté, 1960.

W. Rudin, Análisis real y complejo, McGraw-Hill, 1987.

do/a Titor/a Análise Matemática Estudante David Graña Vázquez

Título Introdución á teoría das distribucións Breve descrición do

contido

Motivación da derivación xeneralizada. Funcións test. Espazo de distribucións e a súa topoloxía. Distribucións notables: delta de Dirac e as súas derivadas. Propiedades das distribucións. Distribucións temperadas e transformada de Fourier. Aplicacións ao estudo de ecuacións en derivadas parciais.

Bibliografía J. Ian Richards e H. K. Youn, Theory of distributions: a nontechnical introduction, Cambridge, 1990.

do/a Titor/a Análise Matemática Cotitor/a (incluíndo

Contratados/as

Predoutorais) Ana María Otero Casal Área de Coñecemento

do/a Cotitor/a Microbioloxía

Estudante Pablo Mourelle Ramos

Título Análise matemática de modelos de poboacións microbianas en cultivos controlados

Modelos de crecemento malthusiano e loxístico e as súas limitacións para describir poboacións reais. Aspectos básicos da evolución de cultivos biolóxicos controlados (bacterias, algas...). Utilidade das ecuacións con impulsos para modelar cultivos bacterianos semicontinuos. Demostración da existencia e unicidade de solución dos novos modelos.

Resolución exacta e/ou aproximada.

(17)

17

Bibliografía

M. T. Madigan e outros, Brock Biología de los microorganismos, 14ª Ed., Pearson, 2015.

G. F. Simmons, Ecuaciones diferenciales: con aplicaciones y notas históricas, McGraw-Hill, 1985.

C. C. Reichert, C. O. Reinehr e J. A. V. Costa, Semicontinuous cultivation of the cyanobacterium Spirulina platensis in a closed photobioreactor, Braz. J. Chem. Eng. 23, 23- 28 (2006).

Titor/a Lucía López Somoza Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática Estudante Elena Parrado Villasante

Título Diferenciación en espazos de Banach

Neste traballo estenderanse os conceptos estudados na materia de Diferenciación de funcións de varias variables reais. Así, mentres que a mencionada materia trata os conceptos de diferenciabilidade de funcións definidas en Rn, consideraremos agora espazos máis xerais (en particular, espazos de Banach). Para isto, introduciremos a derivada de Fréchet definida en tales espazos e estudaremos a xeneralización dos resultados máis importantes relativos á diferenciabilidade de funcións, amosando algunhas das súas aplicacións, como pode ser a resolución de problemas variacionais.

Bibliografía S. Kesavan, Nonlinear Functional Analysis. A First Course, Hindustan Book Agency, 2004

Titor/a Análise Matemática Estudante Sara Rodríguez Pastoriza

Título Ecuacións de modelos biolóxicos

Neste traballo estudaranse algúns dos principais modelos biolóxicos ou epidemiolóxicos que poden ser modelados tanto con ecuacións diferenciais coma con ecuacións en diferenzas.

Analizarase a importancia destes modelos e do estudo cualitativo do comportamento das súas solucións, de cara a poder facer predicións axeitadas da evolución de certos fenómenos (como, por exemplo, a evolución unha enfermidade de tipo infeccioso).

Bibliografía Edelstein-Keshet, L. Mathematical Models in Biology. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2005.

Fulford, G., Forrester, P., Jones, A. Modelling with Differential and Difference Equations.

Cambridge University Press, 1997.

Código AN14_21

Titor/a Juan José Nieto Roig Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática

Título A ecuación diferencial loxística Breve descrición do

contido

A ecuación diferencial ordinaria loxística é unha das ecuacións non lineais mais sinxelas, pero ao mesmo tempo das máis interesantes desde o punto de vista teórico e das aplicacións. Se aplicará ao estudo da epidemia da COVID-19.

Bibliografía G. F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales, McGraw-Hill, 1993

G. Ledder, Ecuaciones Diferenciales. Un enfoque de modelado. McGraw-Hill, 2006

(18)

18

Código AN15_21

Titor/a Juan José Nieto Roig Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática Título O teorema de Lax-Milgram Breve descrición do

contido

Dito resultado, do que se dará unha demostración rigorosa, xeneraliza o teorema da proxección ortogonal nun espazo de Hilbert e ten multitude de aplicacións no estudo de ecuacións en derivadas parciais.

Bibliografía H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Universidad Textos, 1984.

vinculantes) Ter cursado a materia de Análise Funcional en Espazos de Hilbert

Titor/a M. Victoria Otero Espinar Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matemática Cotitor/a Érika Diz Pita Área de Coñecemento

do/a Cotitor/a Análise Matemática Estudante Alejandra Comesaña García

Título Modelos matemáticos en epidemioloxía

A modelización matemática é unha ferramenta fundamental no ámbito da epidemoloxía, xa que permite analizar cuestións esenciais dunha epidemia como a incidencia, o contaxio ou a propagación. Isto asegura un mellor coñecemento que facilita a toma de decisións e establecemento de medidas oportunas para minimizar o seu impacto. Por exemplo, resulta de gran utilidade para combatir e controlar o densenvolvemento das epidemias, permitíndo predecir as posibles consecuencías de introducir medidas específicas.

O obxectivo deste traballo é analizar distintos modelos epidemiolóxicos baseados principalmente en ecuacións diferenciais.

Bibliografía

- N.F. Britton, Essential Mathematical Biology, Springer, New York, 2003, pág. 83-116.

- M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990, pág. 373 y 451-458.

- S. Galindo, M.A. Rodríguez y J.L. Cervantes, Las matemáticas de las epidemias: caso México 2009 y otros, Espacio del divulgador, 2013, Vol. 20-3, pág. 238-246.

Titor/a M. Victoria Otero Espinar Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matemática Cotitor/a Érika Diz Pita Área de Coñecemento

do/a Cotitor/a Análise Matemática

Estudante Cesar Cambronero González

Título Modelización de problemas dinámicos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias

(19)

19

Las ecuaciones diferenciales han adquirido una gran relevancia para el estudio de modelos en diferentes disciplinas.

El objetivo de este trabajo es analizar algunos modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias y sus aplicaciones a procesos de biología, economía, física, medicina,…, a través de distintas técnicas propias de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales.

En el trabajo se incluirán aquellas técnicas necesarias para el estudio de los modelos planteados.

Bibliografía

Bibliografía inicial:

- N.F. Britton, Essential Mathematical Biology, Springer, New York, 2003, pág. 83-116.

- M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990, pág. 373 y 451-458.

Código AN18_21

Titor/a Jorge Rodríguez López Área de Coñecemento

Título O Teorema da función implícita e aplicacións

Os Teoremas da función implícita e da función inversa son resultados fundamentais en Análise Matemática con importantes aplicacións en diversos eidos das matemáticas. O obxectivo deste traballo será presentar probas rigorosas de ambos resultados, mostrar a relación existente entre ambos e estudar algunha xeneralización dos mesmos.

Como consecuencia deles, mostrarase algunha aplicación á existencia e unicidade de solución para ecuacións diferenciais ordinarias.

Bibliografía S. G. Krantz e H. R. Parks, The Implicit Function Theorem. History, Theory and Applications, Birkhäuser, 2012.

J. Diblík, C. Nowak e S. Siegmund, A general Lipschitz uniqueness criterion for scalar ordinary differential equations, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., (2014), No. 34, 1-6.

Código AN19_21

Titor/a Jorge Rodríguez López Área de Coñecemento

Título O Teorema de punto fixo de Brouwer: xeneralizacións e aplicacións.

A teoría de punto fixo é unha área activa das matemáticas con innumerables aplicacións ás ecuacións diferenciais. Neste traballo presentarase un dos resultados máis coñecidos neste campo: o Teorema de punto fixo de Brouwer, que ten implicacións relevantes en diversas áreas das matemáticas. Ademais de probar o resultado, estudarase algunha das súas consecuencias, como son os Teoremas de Hadamard e Poincaré-Miranda, que xeneralizan o Teorema de Bolzano a funcións de varias variables. Tamén se mostrarán aplicacións de todos estes resultados ás ecuacións diferenciais.

Bibliografía J. Mawhin (2019) Simple Proofs of the Hadamard and Poincaré–Miranda Theorems Using the Brouwer Fixed Point Theorem, The American Mathematical Monthly, 126:3, 260-263.

E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications I, Springer-Verlag, 1986.

(20)

20

Código AN20_21

Titor/a Rosana Rodríguez López Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática Cotitor/a (incluíndo

Contratados/as

Predoutorais) Cristina Lois Prados Área de Coñecemento

do/a Cotitor/a Análise Matemática

Título Sistemas dinámicos discretos unidimensionais: estabilidade, bifurcacións e aplicacións en Bioloxía

As ecuacións diferenciais ordinarias serven para modelar o comportamento dunha especie cando esta evoluciona no tempo de maneira continua. Sen embargo, cando o crecemento da poboación é un proceso estacional, resulta máis axeitado traballar con sistemas dinámicos discretos unidimensionais.

O obxectivo principal deste traballo é introducir ao alumno no estudo cualitativo dos sistemas dinámicos discretos unidimensionais e a súa aplicación. Un esquema aproximado dos contidos podería ser o seguinte.

O primeiro paso sería establecer un marco teórico para levar a cabo o estudo da estabilidade local [3, Capítulo 1], estabilidade global [1, 2, 4] e as bifurcacións [5, Sección 3.2].

En segundo lugar, aplicaríase a teoría desenvolvida a modelos de poboación clásicos, coma o de Beverton-Holt ou o de Ricker. Os resultados teóricos acompañaríanse con gráficas e simulacións numéricas realizadas co programa MATLAB.

Para rematar, faríase unha interpretación dos resultados obtidos en termos biolóxicos.

Bibliografía

As referencias bibliográficas nas que se poden consultar o contido máis teórico do traballo son as seguintes:

[1] Braverman, E., Liz, E., Global stabilization of periodic orbits using a proportional feedback control with pulses, Nonlinear Dyn., 67:2467-2475, 2012.

[2] Cull, P., Population models: stability in one dimension, Bull. Math. Biol., 69:989- 1017, 2007.

[3] Devaney, R.L., An introduction to chaotic dynamical systems (2nd Edition), Addison- wesley, California, 1989.

[4] Singer, D., Stable orbits and bifurcations of maps of the interval, SIAM J. Appl.

Math., 35(2):260-267, 1978.

[5] Wiggins, S., Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer-Verlag, New York, 1990.

Para unha primeira toma de contacto cos sistemas dinámicos discretos

unidimensionais, recoméndamos a lectura das catro primeiras seccións do capítulo 1 en [3].

Recomendacións (non vinculantes)

Cabe destacar que as referencias bibliográficas están en inglés, o que pode supoñer un esforzo adicional.

Traballaremos con propiedades de sucesións e funcións de números reais, tamén faremos uso do Teorema da Función Implícita en R2. Estar familiarizado co estudo cualitativo das EDOs, facilitará a compresión dos contidos análogos para os sistemas dinámicos discretos unidimensionais.

O uso do programa MATLAB será básico. Consistirá en xerar datos facendo uso de bucles e representar graficamente ditos datos e certas funcións de números reais.

(21)

21

Titor/a Rosana Rodríguez López Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matemática Estudante Mariña Canabal Juanatey

Título Análise matemática dalgúns modelos de cuantificador borroso

Multitude de fenómenos reais están suxeitos a factores imprecisos, que non poden ser expresados de xeito exacto e requiren do emprego de variables e conxuntos borrosos.

Así, a predición da evolución dos mencionados fenómenos estará vinculada necesariamente ao emprego de expresións imprecisas que, na linguaxe natural, se corresponden con enunciados que inclúen termos como “bastante”, “moitos”, “poucos”,

“normalmente”, “case todo”, “case sempre”, “con frecuencia”, etc. Os números borrosos son, entón, un mecanismo esencial para poder describir esta imprecisión. Dende o punto de vista matemático, un número borroso é unha función definida nun certo espazo base con valores no intervalo [0,1], que permite asignar a cada elemento do dominio un grao de pertenza a un certo conxunto, expresando o grao de certeza dunha afirmación.

Un dos problemas fundamentais que xorde á hora de determinar o grao de veracidade dunha expresión como as anteriores referida a un conxunto de datos é que o valor deste grao de certeza depende do modelo de cuantificación que se empregue, podendo ofrecer un resultado que non sexa representativo da realidade dos datos. Isto está relacionado coas propiedades matemáticas do modelo escollido.

Neste traballo, proponse estudar en detalle as propiedades matemáticas de diferentes modelos de cuantificador borroso.

Bibliografía

[1] S. Barro, A. J. Bugarín, P. Cariñena, F. Díaz-Hermida, A Framework for Fuzzy Quantification Models Analysis, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 11 (2003), 89-99.

[2] H. Bustince, F. Herrera, J. Montero, Fuzzy sets and their extensions: representation, aggregation and models: intelligent systems from decision making to data mining, web intelligence and computer visión, Berlin, Springer, 2007.

[3] A. Celikyilmaz, I. B. Türksen, Modeling uncertainty with fuzzy logic: with recent theory and applications, New York, Springer, 2009.

[4] M. Delgado, M. D. Ruiz, D. Sánchez, M. A. Vila, Fuzzy quantification: a state of the art, Fuzzy Sets and Systems 242 (2014) 1-30.

[5] K. H. Lee, First Course on Fuzzy Theory and Applications, Berlin, Springer, 2005.

[6] E. Trillas, L. Eciolaza, Fuzzy logic: an introductory course for engineering students, Cham, Springer, 2015.

Valoración da adecuación da proposta para ser complementada con outra de TFG do Grao en Enxeñaría Informática ou do Grao en Física, indicando a posible conexión con liñas de coñecemento ou conceptos e as/os posibles titoras/es, se o considera pertinente (só necesario se a/o estudante pertence a un programa integral de titulacións dobres)

Esta proposta de TFG xorde coa finalidade de ofrecer un complemento dende o punto de vista matemático a unha proposta de TFG ofertada polos profesores Alberto Bugarín Diz e Jose Alonso no Grao de Enxeñaría Informática e na que traballará a estudante, que cursa o Dobre Grao en Enxeñaría Informática e Matemáticas. A presente proposta de TFG para o Grao en Matemáticas permitirá afondar nas propiedades matemáticas de diferentes modelos de cuantificador borroso, de forma que será posible coñecer aquel que mellor se adapte a unha determinada aplicación segundo as propiedades desexadas e as súas limitacións. A través da proposta de TFG para o Grao en Enxeñaría Informática, a estudante analizará o impacto na conversación do emprego do modelo de cuantificador borroso considerado máis axeitado para a aplicación desenvolvida, neste caso un chatbot meteorolóxico.

(22)

22

Titor/a Rosa María Trinchet Soria Área de Coñecemento

Estudante Claudia Johanna Quintáns Vinke

Título De lonxitudes, áreas e volumes a medidas: un breve percorrido histórico Breve descrición do

contido

O concepto de medida ten as súas orixes nas nocións (intuitivas nos seus comezos) de lonxitude, área e volume, que xorden de necesidades prácticas e teñen unha longa historia de máis de 5000 anos. O obxecto deste traballo é realizar un breve percorrido pola evolución destes conceptos, estreitamente relacionados co concepto de integral.

Bibliografía Edwards Jr, C.H.: The Historical Development of the Calculus, Ed. Springer

Titor/a Rosa María Trinchet Soria Área de Coñecemento

do/a Titor/a Análise Matematica

Estudante María Cristina Santiago Martínez

Título Aproximación de funcións analíticas mediante funcións racionais

A aproximación de funcións, en distintos contextos, é un tema recorrente na Análise. O presente traballo céntrase, principalmente, na aproximación de funcións analíticas mediante funcións racionais (entre as que incluímos, naturalmente, ás funcións polinomiais) a través da revisión bibliográfica dalgúns resultados clásicos, sen que iso supoña descoidar outros aspectos (históricos; gráficos, etc.).

Bibliografía Conway, J.B.: Functions of one Complex Variable. Springer-Verlag, 1973

Titor/a Análise Matemática Estudante Santiago Rozas Trastoy

Título O método de sub e sobresolucións para problemas diferenciais ordinarios

Breve descrición do contido

Neste traballo estudarase o método das sub e sobresolucións, unha ferramenta clásica para probar a existencia de solución de problemas non lineais con condicións de fronteira.

Esencialmente, o método funciona do seguinte xeito: a existencia dunha subsolución e dunha sobresolución do problema diferencial, ben ordenadas, implican a existencia dunha solución do problema localizada entre a subsolución e a sobresolución.

Bibliografía

C. De Coster, P. Habets, Two-point boundary value problems: lower and upper solutions.

Elsevier (2006).

A. Cabada, An overview of the lower and upper solutions method with nonlinear boundary value conditions, Boundary Value Problems 2011 (2011).

Código AN25_21P

Titor/a Rodrigo López Pouso Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática Estudante Millán Lado Bascoy

Título Armónicos e series de Fourier

Breve descrición do contido Trátase de explorar a relación entre os armónicos das cordas vibrantes, particularmente en instrumentos musicais, e a orixe da teoría das series de Fourier.

Bibliografía

J. M. Almira, Matemáticas para la recuperación de señales: una introducción, Grupo Editorial Universitario, 2005.

T. Christensen, Rameau and musical thought in the Enlightenment, Cambridge University Press, 1993.