UTILIZANDO LA LÓGICA SIMBÓLICA EN SITUACIONES DE

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UTILIZANDO LA LÓGICA

SIMBÓLICA EN SITUACIONES DE

NUESTRO CONTEXTO

Uni

dad

I

El hombre que hace algo puede equivocarse pero aquel que no hace nada ya está equivocado.

E. Rótterdam

Capacidades

- Identifica y elabora proposiciones lógicas relacionadas a su entorno. - Formaliza proposiciones moleculares y determina su valor de

verdad.

- Demuestra la validez de una inferencia empleando leyes de equivalencia o tablas de verdad.

- Utiliza las leyes de inferencias lógicas para determinar conclusiones a partir de un conjunto de premisas.

- Simboliza y diseña circuitos lógico. Figura 1

103

Tema: 1

PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LÓGICO,

SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES

Figura 2

Fuente:http://xtianlb.blogspot.com/2009/03/adivinanza-alemana.html

1.

1.1 Reseña histórica de la lógica

La lógica se inicia con Aristóteles (384-322 A.C.) quien fue el primero en desarrollar el análisis formal de los razonamientos. Los escritos lógicos de Aristóteles están reunidos en un libro llamado “Organon” (significa “instrumento”, “propedéutica”, “metodología”) que contiene cinco tratados como son: Las categorías, Sobre las proposiciones, Los analíticos (primeros y segundos), Los tópicos y Las refutaciones sofísticas. De estos cinco tratados “Los analíticos” es el documento que contiene la naturaleza de la lógica y el silogismo.

Posteriormente se inicia la lógica moderna con Leibniz (1646-1716) quien desarrolló el cálculo de la lógica proposicional (“Mathesis universalis”); Euler (1707-1783), introdujo los diagramas que lleven su nombre para ilustrar geométricamente los silogismos. En 1854, el matemático inglés George Boole publicó su obra “An investigation of the laws

of thought” (una investigación de las leyes del pensamiento) dando origen a la lógica

El estudio de la lógica es fundamental en la vida del ser humano, ya que mediante ella es posible disciplinar y ordenar el conocimiento. Sólo mediante el conocimiento, el hombre es capaz de realizar su propia esencia, perfeccionando su vida: cuando la razón es el faro que guía las acciones del hombre, éste tiene que llegar necesariamente a la verdad

Daniel Márquez Muro.

104

matemática, interpretando de esta manera la afinidad de la lógica de clases y la lógica proposicional.

Russell (1848-1925) junto con Whitehead (1861-1947) escribe “Principia matemática”,

obra que generó investigaciones sobre la inferencia y sus aplicaciones.Actualmente la lógica moderna tiene múltiples aplicaciones en todos los campos.

No olvides que: Francisco Miró Quesada Cantuarias, fue quien introduce y desarrolla

la lógica matemática en Latinoamérica.

1.2 Lógica

Es la ciencia que estudia los métodos o procedimientos formales para aplicar las leyes o reglas lógicas en el análisis de validez de las inferencias. Esta Disciplina tiene aplicación en todos los campos del saber; en la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no. Los matemáticos usan la lógica para demostrar teoremas e inferir resultados. En computación, para revisar programas y crear algoritmos. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas como los bits, gracias a ello se ha logrado el desarrollo de la tecnología.

1.3 Definiciones básicas de lógica

1.3.1 Lógica Proposicional

Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones y su relación entre ellas, así como las funciones que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos.

1.3.2 Enunciado

Es toda frase u oración que señala alguna idea. Algunos enunciados son mandatos, interrogaciones o expresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o negaciones que tienen la característica de ser verdaderos o falsos.

Ejemplos:

 ¿Cómo estás?

 Esas flores son hermosas.  El cuadrado y el círculo son

polígonos.

 Mañana será viernes.  ( a + b)2 = 625

 Jorge es profesor de la USS.

 X + 3 < 14

 5 es divisor de 140.

 Chiclayo es la ciudad de la

amistad

 Messi y Guerrero juegan muy

bien.

105

1.3.3 Enunciado Abierto

Llamada también función proposicional, es un enunciado en el que intervienen una o más variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición lógica cuando la variable asume un valor determinado.

Ejemplos:

 Él es un escritor peruano.

 _x2 6_x36  m + n  3

 Ella es una psicóloga.

 N es un número impar.

1.3.4 Proposición

Llamado también enunciado cerrado, es toda expresión coherente que se caracteriza por poseer un valor de verdad (V) o falsedad (F) sin ambigüedad, en un determinado contexto. Por lo general se denotan con letras minúsculas como: p, q, r, s, etc., las cuales son llamadas variables proposicionales y se analizan en una tabla de verdad.

Ejemplos:

 La luna es un satélite. (V)

 132 es un número divisible por 2 y por 3. (V)

 Ciro Alegría no fue literato. (F)

 La velocidad es una magnitud vectorial. (V)

 ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (V)

 Los Moches se caracterizaron por sus huacos retrato. (V)

 16 es múltiplo de 7. (F)

 1250  20*102 + 5. (F)

Los enunciados abiertos usan las palabras “el”, “ella” y los símbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas palabras o símbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones.

p

V

F

Tabla de

106

1.3.5 Proposiciones Simples y Compuestas

PROPOSICIÓN SIMPLE PROPOSICIÓN COMPUESTA

Llamada también atómica o elemental, monádicas o monarias. Expresa una sola idea y se representa por una sola variable (tienen un solo sujeto y un solo predicado), no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación.

Ejemplos:

 El bosque de Pomac se encuentra en Ayacucho.

 1771 es un número capicúa.

 El Señor de Sipán fue encontrado en el departamento de Lambayeque.

 3 es un número par.

Llamada también molecular o coligativa, esta formadas por dos o más proposiciones simples unidas por conjunciones gramaticales (conectivos) o afectados por el adverbio de negación NO.

Ejemplos:

 15 es divisible por 3 y múltiplo de 5.  Arequipa no es llamada la ciudad blanca.  Si mañana sale el sol entonces iremos de

paseo.

 Luís es abogado o ingeniero.

 O Jorge esta en Chiclayo o en Trujillo.  2 + 3 + 5 + 1 >11 y 2 + 3 > 5 + 1

1.3.6 Conectivos Lógicos

Los conectivos lógicos son palabras que sirven para enlazar proposiciones o cambiar el valor veritativo de una proposición. Sean las proposiciones “p” y “q”. Tenemos:

SÍMBOLO OPERACIÓN ASOCIADA ESQUEMA SIGNIFICADO O

INTERPRETACIÓN  Negación simple, interna o ligada. p No, no es cierto que

 Conjunción producto lógico pq Y ,pero, sin embargo , no obstante, aunque, etc.

 Disyunción inclusiva o Incluyente

Disyunción Débil suma lógica pq O, salvo, a menos que, excepto

 Implicación Condicional,

condicional simple implicación material

pq

Si …entonces…; implica; por lo tanto; de ahí que; de modo que; luego; en consecuencia; por consiguiente, etc.

 Doble implicación Bicondicional,

equivalencia, etc. pq

Si y solo si; siempre y solo cuando; solamente si; entonces y solo entonces es idéntico; cuando y solo cuando, etc.



Diferencia simétrica O Disyunción Exclusiva Excluyente Disyunción

fuerte

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1.3.7 Operaciones con Proposiciones

De la misma forma como en la aritmética y en el algebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones donde se determina su valor de verdad de la proposición resultante.

A) Negación:

Es una proposición cuyo valor es opuesto al de la proposición original.

Ejemplo: Sea: p: Augustus de Morgan fue matemático.

p: Augustus de Morgan no fue matemático. Su tabla de verdad es:

B) La Conjunción:

Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico “y”.

Ejemplo: Su tabla de verdad es la siguiente p p V F F V p q p  q V V V V F F F V F F F F

Una tabla de verdad de una proposición da los valores verdaderos (que pueden ser V o F) de la proposición para todas las asignaciones posibles.

El número de valores que se asigna a cada variable proposicional está dada por la fórmula:

2n Donde: n es el número de proposiciones simples.

Las palabras: no, no es cierto que, no es verdad que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc. Equivale al conectivo 

La conjunción es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones

componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa.

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Nota: Las palabras “pero”; “sin embargo”; “además”; “aunque”; “no

obstante”, equivalen al conectivo de la conjunción.

C) Disyunción inclusiva o incluyente o disyunción débil:

Vincula dos proposiciones mediante el conectivo “O”.

Ejemplo:

Su tabla de verdad es la siguiente:

D) Implicación o condicional

Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción condicional: “Si…entonces…” o sus equivalentes. La proposición condicional consta de 2 elementos, el antecedente y el consecuente.

Ejemplo

:

Su tabla de verdad es:

Nota: Algunas formas gramaticales de la condicional son: p de ahí que q; p

implica q; p de modo que q; p por lo tanto q; p deviene q; p conclusión q; dado p

p q p  q V V V V F V F V V F F F p q p  q V V V V F F F V V F F V

La disyunción sólo es falsa cuando sus componentes son falsas en otros casos es verdadera.

La condicional tiene un valor falso cuando su antecedente p es verdadero y su consecuente q es falsa, en los demás casos será verdadero.

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por eso q; p luego q; cuando p así pues q; p por consiguiente q; de p derivamos q; p cada vez que q, etc.

E) Bicondicional o doble implicación

Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: “….si y sólo si… ”.

Ejemplo:

La tabla de valores de verdad es:

Algunas de sus formas gramaticales son: solamente si; cuando y sólo cuando; entonces y sólo entonces; es idéntico; cada vez que y sólo si; p es condición necesaria y suficiente para q; etc.

F) Diferencia simétrica o disyunción exclusiva

Cuando sólo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro queda inválido. Sus formas gramaticales son: “o…o…”; “o” (en sentido excluyente).

Ejemplo:

La

tabla de valores de verdad es la siguiente:

p q p  q V V V V F F F V F F F V P q p Δ q V V F V F V F V V F F F

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en caso contrario es falso.

La disyunción exclusiva es verdadera sólo si sus componentes tienen valores diferentes; caso contrario será falso.

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Orientaciones:

1. A continuación se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar: enunciados, proposiciones y no proposiciones, así mismo su validez.

01. Los siguientes enunciados son proposiciones lógicas

1. Si ingreso a la USS, seré muy feliz 2. Keops fue un inca egipcio

3. Los nacidos bajo el signo de Aries son efusivos y aguerridos

4. En el monte Sinaí, Moisés habló directamente con Dios

5. 4y + 5y = 9, donde y = 1 Son correctas :

a) 1, 2, 3 b) 2, 4 c) 2, 5 d) 1, 2, 5 e) 1, 2

02. Son proposiciones simples:

1. Si llegas temprano, te premiaremos. 2. Estudias o juegas.

3. O sientes frío o sientes calor. 4. La USS es una institución pública. 5. Jorge y Carmen son colegas. Son incorrectas:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) 1, 3, 5 e) 1, 4, 5

03. Son proposiciones los siguientes enunciados:

1) Tres es un número compuesto. 2) ¡Perú Campeón!

3) Ojala consiga trabajo

4) Ollanta es presidente del Perú. 5) 5 + 6 = 12

Son correctas:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) 1, 3, 4 e) 1, 4, 5

04. Son proposiciones atómicas:

1) Bolívar tal como Sánchez Carrión fueron amigos.

2) La lógica es una ciencia que obviamente estudia las formas del pensamiento 3) Es concebible que Júpiter sea el planeta

más grande de la vía Láctea

4) Es imposible que el conjunto nulo tenga existencia real

5) El virus es el tránsito entre la vida y la muerte

Son certeramente ciertas:

a) 1, 5, 4 b) 4, 5 c) 1, 2, 3 d) 3, 2, 5 e) Todas menos 4

05. Son proposiciones moleculares: 1) 6 no es un número primo.

2) José y María fueron padres de Jesús. 3) La Tierra se encuentra entre Venus y

Marte.

4) Chiclayo está al norte de Trujillo, está más cerca a Ecuador.

5) La USS es una universidad privada con más de 10 años de vida institucional. No son correctas, excepto:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 4, 5 d) 1, 3, 4 e) 2, 4, 5

06. Son proposiciones conjuntivas.

1) Los alumnos de CEPRE son estudiosos y responsables.

2) Rómulo y Remo fueron hermanos según la leyenda

3) La tierra es un planeta tanto como el sol es una estrella

4) Ni Perú ni Venezuela ganaron la Copa América 2011

5) Perú y Chile forman parte de la ONU. Son ciertas:

a) 1, 3 y 5 b) sólo 1 y 3 c) 3, 4 y 5 d) 1, 2 y 3 e) todas

07. De las siguientes proposiciones son compuestas:

1. La matemática es una ciencia formal a menos que sea fáctica.

2. Los protones forman el núcleo atómico junto con los neutrones.

3. Júpiter orbita alrededor del sol siendo el planeta más grande del sistema solar. 4. Carlos se casó ayer en Ferreñafe.

5. Huáscar y Atahualpa fueron los últimos incas.

Son innegablemente inciertas:

a) 1, 2,4 b) 2,5 c) 2, 3,5 d) Ninguna e) Todas

08. Son proposiciones disyuntivas:

1. A menos que Calígula fue cómico, fue bufón.

2. Las matemáticas son deductivas a no ser que también sean inductivas.

3. Los silogismos son validos al igual que no válidos.

4. Más vale pájaro en mano o también ciento volando.

111

5. No solo postularé a Ingeniería sino también a Contabilidad.

Son lógicamente no falsas: a) 2, 4 b) 1, 2, 4 c) 3, 5 d) 1 y 2 e) 1,4 ,5

09. Son proposiciones implicativas:

1. Las ballenas viven en el mar, respiran por branquias.

2. Chiclayo es la capital de Lambayeque, siendo Trujillo capital de La Libertad. 3. Juan viajó a Lima porque firmó contrato

de trabajo.

4. 7 es un número par, si 6 es impar. 5. No es cierto que, 10 es un múltiplo de 2

entonces es un múltiplo de 4. No son ciertas:

a) 2, 3 y 5 b) 2 y 5 c) 1, 2 y 3 d) 1, 3 y 4 e) 2

10. De los enunciados siguientes: 1. ¡Vamos a campeonar!

2. La suma de tres números enteros consecutivos es múltiplo de 3. 3. 24 x 2 x 3 x 2 x 3 2 2        _        _

4. Pedro y Pablo fueron los primeros papas de la iglesia católica.

5. El 28 de julio es feriado a nivel nacional. Se puede afirmar:

a) Tres son proposiciones. b) Sólo dos son proposiciones. c) Dos son enunciados. d) Todas son proposiciones. e) Ninguna es proposición.

11. ¿Cuáles son enunciados abiertos?

1. El producto de dos números enteros es un número par. 2. 2x + 3 = 5x – 9 3. x > 4  3x – 1 > 11 4. A  =  5. A – B =  Son ciertas a) 2, 5 b) 2, 4 c) 2, 3, 4 d) 1, 4, 5 e) Todos.

12. ¿Cuáles son proposiciones? 1. ¿César Vallejo nació en Perú? 2. La luna es un planeta.

3. 3 + 2(x + 1/3)  1 – 3(5 – 2x/3) 4. Batman vive en ciudad Gótica.

5. Las personas más inteligentes son generosas.

a) 2, 5 b) 2, 3 c) 2, 4 d) 2 e) Todos.

13. De las siguientes oraciones son proposiciones lógicas:

1. El fin del mundo será el 2012.

2. El sol era el dios principal de los incas. 3. Entre dos números racionales siempre

hay otro número racional. 4. ¡Esperemos que ya pare de llover! 5. Un polígono es regular si es equilátero y

equiángulo.

Son ciertas:

a) 2, 3, 5 b) 1, 2, 4 c) 2, 4 d) 3, 5 e) Todas.

14. Cuantas son proposiciones atómicas: 1. La ciudad de barro más grande del mundo

se encuentra en el Perú.

2. 6 y 25 son números primos entre sí. 3. Tanto Sócrates como Platón fueron

filósofos de la antigüedad.

4. La masa es una magnitud escalar así como fundamental.

5. Ricardo y Carlos son socios.

a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5

15. Son proposiciones negativas:

1. Ni Chiclayo ni Piura son ciudades de la selva peruana.

2. La química no es una ciencia formal. 3. No se cumple que los números primos

sean todos impares. 4. El cero no es un número par.

5. Los números son positivos o negativos. Son ciertas:

a) Solo dos b) Solo tres c) Solo una d) Solo cuatro e) Todas

16. ¿Cuántas proposiciones son conjuntivas? 1. El cinco es impar, también el siete es

impar.

2. Viajamos temprano pero llegamos tarde. 3. El mercurio es un metal líquido a

temperatura ambiente.

4. El 33 es un número primo, tiene sólo dos divisores.

5. El Perú limita por el norte con Ecuador así como con Colombia.

a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) Todas

112

17. “Viajaremos a Lima, siempre que terminemos el trabajo”, es una proposición:

a) Disyuntiva débil. b) Implicativa.

c) Disyuntiva fuerte. d) Conjuntiva. e) Negativa.

18. Cuántas de las expresiones son proposiciones:

1. El Perú es un lugar maravilloso. 2. Los números primos son impares 3. ¿Chiclayo está al sur de Lima?

4. Árbol que crece torcido ya no se endereza 5. (x + 3)2 > x(x + 6) + 7

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. Indique cuántas de las proposiciones son bicondicionales:

1. Ser un número negativo equivale a ser menor que cero.

2. Dos triángulos son semejantes siempre y cuando tienen dos pares de ángulos correspondientes con medidas iguales 3. Un triángulo es isósceles sí y solo sí

tienen dos lados de medidas iguales 4. n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 5. Zeus vivió en el monte Olimpo sí y solo sí Poseidón vivió en el mar

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20. Indica el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas: 1. Un cuadrado es un rombo o es un rectángulo 2. 3x–7 = 9–x, entonces (x–1)2 + x2 = (x+1)2 3. 259 es un número primo y 289 es un cuadrado perfecto

4. No es cierto que, 36 = -6 porque (-6)2 = 36)

a) VVVV b) VVVF c) VVFV d) VVFF e) VFVF

113

Tema N° 2 :

ESQUEMAS MOLECULARES

2.1. Formalización de Proposiciones

Es la representación de las proposiciones simples mediante variables proposicionales (p; q, r;..) y de los conectivos lógicos por sus respectivos símbolos.

Ejemplo:

Si encuentro trabajo y ahorro, viajaré a Miami. p: Encuentro trabajo

q: ahorro

r: viajaré a Miami

2.1.1. Jerarquía de Conectores y de Signos De Puntuación

Formalización:



pq



r 1. Bicondicional……….↔ 2. Disyunción fuerte………Δ 3. Condicional……….... 4. Conjunción y disyunción….., 5. Negación………..~

1. Dos signos ____. Pero,____ 2. Punto y seguido ____. Pero ____ 3. Punto y coma ____; pero ____ 4. Coma ____, pero ____ 5. Ningún signo ____ pero ____

JERARQUÍA DE CONECTORES JERARQUÍA SIGNOS DE PUNTUACIÓN

Figura 3

114

Signos de Agrupación

2.1.2. Reglas de formalización de Esquemas moleculares

Para formalizar un enunciado, se siguen las siguientes reglas:

1. Se adjudica una variable proposicional a cada proposición simple. Si la proposición se presenta más de una vez en el mismo enunciado, se vuelve a emplear la misma variable.

2. Cada contenido proposicional debe ser reemplazado por su respectivo conectivo lógico.

3. Cada contenido lógico debe tener un alcance, dominio o jerarquía específico.

Ejemplo:

Roxana viajó a España, pero regresó pronto o no viajó a tal lugar.

Solución:

 Adjudicamos una variable a cada proposición: p: Roxana viajó a España

q: regresó pronto p: viajó a tal lugar

 Reemplazamos el contenido proposicional por su conectivo lógico: Pero…. 

O…….. 

no …… ~

 Teniendo en cuenta la jerarquía, su esquema sería: p  (q  ~ p)

Conectivo de mayor jerarquía

Son los símbolos auxiliares Que permiten establecer la jerarquía de los conectivos lógicos y así evitar ambigüedades.

Paréntesis ( ) Llaves { } Corchetes [ ] Barras |

El conectivo lógico de mayor jerarquía es aquel que no está afectado por ningún signo de colección.



pq



r







pq r



s











pq r s

 

 pt



Conectivos de mayor jerarquía

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2.2. Esquema molecular

Es la combinación de variables y conectivos lógicos debidamente jerarquizados, se simbolizan mediante meta variables que son las letras mayúsculas a partir de A, B, C,…

Ejemplos:

 A = p  (q  r)

 B = (p  q)  [ r ↔(q  s)]

 C = ~(p ~ q)  [ (p r) ↔(q  s)]

2.2.1. Evaluación de los esquemas moleculares por la tabla de verdad

2.3. Tipos de esquemas moleculares

2.3.1. Tautología. Una proposición es una tautología si y sólo si es verdadera para

todas las asignaciones posibles.

Ejemplo: Consideremos la proposición compuesta: [(pq)  p]  q

p q [( p q)  p]  q V V F F V F V F V V V F F V V F F V F F V V V V V F V F

Desarrollando su tabla tenemos que la proposición compuesta resulta todas verdadera, entonces decimos que la proposición es una tautología o una ley lógica.

Ejemplo: Si analizamos la proposición t: (pq)  (~ p  q) realizando su tabla de verdad: p q (p  q)  ( ~ p  q ) V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V F F F V V V V F

Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de los valores de cada una de las variables proposicionales y se realiza mediante las denominadas “Tablas de verdad” creadas por Wittgenstein.

Los valores obtenidos se denominan Matriz principal y corresponden al conectivo de mayor jerarquía.

Ejemplo: Evalúa [~ (p  q)  p] (p ↔ q) p q [ ~(p  q)  p]  (p ↔ q) VV VF FV FF F V V V V F F F VV VV VF FF V F F V V F F V Matriz principal

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2.3.2. Contradicción. Una proposición es una contradicción si y sólo si es falsa para

todas las asignaciones posibles.

Ejemplo: Consideremos la proposición compuesta: ~ [(p q)  (q p)]

p q ~ [( p  q)  (q  p)] V V F F V F V F F F F F V V V V V V V V V F V V

Desarrollando su tabla tenemos: que la proposición compuesta resulta toda falsa entonces decimos que la proposición expresa una contradicción.

2.3.3. Contingencia.- Una proposición que no sea una ni una tautología ni una

contradicción se denomina contingencia (casualidad, eventualidad).

Ejemplo: Sea el enunciado: p  ~ q

p q p  ~ q V V F F V F V F V V F V

2.4. Valor de verdad por el método directo

Parte de las tablas de verdad se puede utilizar el método de directo para encontrar el valor de verdad de una fórmula lógica o esquema molecular.

Ejemplos:

1. Dadas las proposiciones: p: 11 es un número primo. q: 19 es un número par. r: es un cuadrado perfecto.

Hallar el valor de verdad de:

Solución

Definimos el valor de verdad real de las proposiciones. Entonces: p V; q  F; r  V Reemplazamos dichos valores en la fórmula dada y aplicamos la regla de los conectores según la jerarquía. Así:











 





pq r  qr  p



Es importante tener en cuenta que:

 Un esquema tautológico se representa por T  Un esquema contradictorio se representa por   Un esquema consistente se representa por Q

117

2. Si la proposición:



p



q

 



~

r



s



es falsa. Hallar el valor de verdad de p, q, r y s. Solución







 









pq r  qr  p



V F F V F V V V V V V

La fórmula lógica es: V (

Tautología

)



p q







~ r  s



V V V F V F F  p V; q  V; r  F, s  F

118

Orientaciones:

Formaliza correctamente las proposiciones.

Demuestra que en cada una de los casos siguientes los esquemas moleculares son tautológicos, contradictorios o contingentes.

Resuelve esquemas moleculares por medio del método directo. 01. La formalización correcta de la proposición:

“No es verdad que sea falso que, Newton fue un físico”. Es:

a) – p b) p v – p c) – – (p) d) – p & – p e) – (p)

02. La formalización correcta de la proposición: “O los mamíferos son vertebrados o invertebrados. Pero, es absurdo que los voladores sean bípedos”. Se formaliza correctamente:

a) (p v – p) & q b) (A v – A)  q c) (p v – p)  p d) (p v – p) & - q e) (p v q) & - r

03. La proposición: “Los cuadernos, lápices y/o borradores son útiles escolares”, se formaliza:

a) -p



-q



-r b) p v q v r c) -p v – q v – r d) (p



q) v - r e) p v q



r

04. “Jamás en invierno hace calor, aún cuando en verano llueve al igual que hay eclipse asimismo hay evaporación de agua tal como no hay granizo”, se simboliza: a) - p  - q  - r  - s  - t

b) -p  q  r  -s  -t c) -p  q  r  -s d) -p  q  r  s  -t e) -p  q  r  s  t

05. “Puesto que hay globalización se deduce que, tanto hay países que altamente tecnologizados cuanto países bastantes atrasados en ciencia” Se formaliza:

a) p



(q



r) b) p



(q



r) c) p



(q



r) d) p



(q



r) e) p



(q  r)

06. En la tabla de verdad se obtiene: (p  q)  (p q)

a) VFVF b) VVVV c) FFFF d) VFFV e) FFFV

07. La proposición: p  (q  r) es falsa, la proposición “s” es verdadera ¿Cuáles de las proposiciones son verdaderas?

I) p  q II) s  (p  r) III) (p q) r IV) (p  q)  r a) I y II b) I y IV c) III d) Sólo I e) Sólo II 08. Si: (p q)  r es falsa, Determina el valor de p, q y r a) VVV b) FFF c) VVF d) VFF e) FVF 09. (p  r)  (q  p)

Halla si el resultado o matriz es:

a) Tautológico b) Contradictorio c) Consistente d) Contingente e) c y d

10. [p  (q p)]  [(p  q) v  q]

Indica cuántas falsas se obtienen en la tabla de verdad:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

11. [( r  p) q]  [ p  (q r)]

En el resultado de la tabla de verdad cuántas verdaderas se obtienen:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12. La fórmula: [-(q v -p)  -(-q  -p)]; es: a) Tautológica b) contingente c) contradictoria d) imprecisa e) No se puede determinar 13. Si la estructura lógica: [(p  - q)]  (- r  - s) es falsa. Los valores de verdad de p, q, r y s; Son respectivamente:

a) 1101 b) 1010 c) 1100 d) 1111 e) 1000

119

14. ¿Cuáles de los siguientes esquemas

moleculares son tautológicos? I)



p(qq)



p

II)



(pq)q)



p III)



(pq)p)



q

a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todos

15. Se tiene el siguiente esquema:



p~q

 

 ~pq



_{, se afirma que:}

a) Es contingencia b) Es tautología c) Es contradicción

d) No se puede afirmar nada e) No es un esquema molecular

16. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas? I.



pq



~



~qp



II.





pq



p



p III.





pq

 

 pq





p IV. ~



pq



~



~pq



V. ~



pq

 

 ~pq



a) Solo I, IV y V b) Solo I y II c) Solo I, II y III d) Solo III, IV y V e) Solo III y V

17. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son contradicciones?

I.





q~p



p



~p

II.







~qp



~q



q

 

 ~rr



III.



~pq

 

 pq



a) Solo I b) Solo I y II c) I y III d) II y III e) Todas

18. Si la negación del esquema



pq

 

 sr



_{es verdadera: halla el}

valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares. I.





rq



q









pr



s



II. 





pq



q







pq



a) VV b) FF c) VF d) FV e) Falta información 19. Si:pq  rqpq  qpes verdadera. Halla el valor de verdad de p, q y r, respectivamente.

a) VVV b) FFF c) FFV d) VFV e) FVF

20. La proposición molecular dada es falsa:



pq

 

 rs



_{, halla el valor de}

verdad de los siguientes esquemas moleculares:



q s



p A  



r s

 

p q



B    







q s r



p C    a) VVV b) FFF c) FFV d) VFV e) FVF

121

Tema: 3

IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS

Figura 4

Fuente:http://a7.idata.over-blog.com/2/63/94/20/Balanza2-1-.gif

Sean los esquemas moleculares o fórmulas proposicionales (o simplemente proposiciones compuestas) r p A 



p q



r B  



p q r



C  

Debemos distinguir los conceptos de implicación y equivalencia de los conceptos condicional y bicondicional respectivamente. La implicación y la equivalencia son relaciones entre fórmulas proposicionales, mientras que la condicional y la bicondicional son relaciones entre proposiciones. Así tendremos las siguientes definiciones:

3. G

3.1. Implicación lógica.

Una fórmula A implica a B, cuando unidos por el condicional “



”, siendo A antecedente y B consecuente, el resultado es una Tautología.

Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia o leyes lógicas que son formas proposicionales tautológicas con carácter general que permiten transformar y simplificar fórmulas lógicas.

122

3.2. Equivalencia lógica

Dos fórmulas B y C son equivalentes cuando unidos por el bicondicional “



” el resultado es una Tautología.

3.3. Equivalencias notables.

Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia o leyes lógicas que son formas proposicionales tautológicas con carácter general que permiten transformar y simplificar fórmulas lógicas.

Dos formulas F1 y F2 son equivalentes si: F1  F2 resulta ser una tautología. Y se

denota F1  F2

Un ejemplo de equivalencia es:

p



q





 

p



q

. Basta revisar las tablas de verdad La siguiente tabla muestra estas leyes.

Ley de equivalencia Fórmula Ley de equivalencia Fórmula Conmutación

p



q



q



p

p



q



q



p

p



q



q



p

Distribución

p



(q



r)



(p



q)



(p



r)

p



(q



r)



(p



q)



( p



r)

Asociación

(p



q)



r



p



(q



r)

(p



q)



r



p



(q



r)

(p



q)



r



p



(q



r)

Complemento

p





p



F

p





p



V



(



p)



p



V



F



F



V

Idempotencia

p



p



p

p



p



p

Identidad

p



F



p

p



V



p

p



V



V

p



F



F

Involución



(



p)



p

Absorción

p



(p



q)



p

p



(p



q)



p

p



(



p



q)



p



q



p q



p q p     Implicación

p



q





p



q

Doble Implicación

p



q



(p



q)



(q



p)



p q

 

p q



q p     

q

p







 

p



q

De Morgan



( p



q)





p





q



(p



q)





p





q

123

Las leyes lógicas nos ayudan a simplificar expresiones simbólicas, las cuales representan enunciados. También nos sirve para demostrar la equivalencia entre esquemas moleculares.

Ejemplos:

a) Se tiene el siguiente esquema:





~ pq

 

 r~s





~q, simplificar utilizando las leyes lógicas. Solución:



 





~ pq  r~s



~q 



~



~ pq

 

 r~s





~q………..condicional 





p~q

 

 r~s





~q………..…De Morgan 





r~ s

 

 p~q





~q………conmutativa 







r~s



 p



~q



~q………Asociativa ~q



~q





rs



 p





………..conmutativa ~q ………..absorción b) Simplifica  {[(p  q)  p]  p}

Solución:  {[(p  q)  p]  p}   {[ p  (p  q)]  p} ley conmutativa   {[ p(p  q)]  p} ley implicación   {[ p  (p  q)]  p} ley absorción   {( p)  p} ley absorción   (V) ley complementación  F

c) Demostrar que:

~



~



pq



~q



p pq

Solución:

~



~



pq



~ q



 p









































q p q p p p p q p p q q p q q p p q q p p q q p                  ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Condicional De

Morgan

Conmutativa Absorción Conmutativa Absorción

124

Orientaciones:

Simplifica cada una de las proposiciones propuestas que se te presentan, utilizando las leyes de equivalencia.

01. La proposición: “Voy al cine pero no veo la película”, equivale a:

a) No voy al cine porque no me gusta la película.

b) Si voy al cine entonces no veo la película.

c) No es cierto que, si voy al cine en consecuencia veo la película. d) Ni voy al cine, ni veo la película. e) es falso que, vaya al cine a ver la

película.

02. La proposición: “Los países pobres no son desarrollados a menos que no sean subdesarrollados”, equivale a:

a) No es verdad que, los países pobres sean desarrollados o subdesarrollados. b) Es mentira que, los países pobres sean desarrollados también subdesarrollados. c) De repente los países pobres son y no

son desarrollados y subdesarrollados. d) los países pobres son y no son

subdesarrollados.

e) Sí, los países pobres son desarrollados entonces son subdesarrollados.

03. Simplifica la siguiente proposición:







~ p~q p



q

~

a) p ~ q b) ~ p  q c) p q d) p q e) p  ~ q

04. Después de simplificar la proposición, lógica:







~pq



~p



~r



p se obtiene: a) ~ q b) ~ p c) p q d) p e) q

05. Simplifica a su mínima expresión:

a) p q b) p c) q d) p q e) ~p  ~ q 06. La fórmula proposicional: (p q) Equivale a: 1) (p  q) 2) p q 3) p q 4) p  q 5) p  q Son ciertas: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 2 y 5 e) 1, 4 y 5

07. La proposición: “Jugar equivale a recrear, salvo que, recrear no sea lo mismo que jugar”. Equivale formalmente a:

a) 0 b) 1 c) p d) p e) p  q 08. La fórmula: “((p  q)  p)  q”. Equivale a: a) p b) q c) p d) q e) 1 09. La fórmula: (p  F)  (p  F) equivale a: a) p b) V c) F d) p e) p  p 10. La fórmula proposicional:  p  q Equivale a: a) (p q) b) p q c) p q d) (p q) e) (p  q)

11. La proposición: “Es absurdo que, la Tierra sea una estrella así como el sol es un planeta”, equivale a:

a) La Tierra no es una estrella y el sol no es un planeta.

b) Si la tierra no es una estrella entonces el sol no es un planeta.

c) La Tierra no es una estrella o el sol es planeta.

d) La Tierra es mentira que sea una estrella excepto que el sol no sea un planeta. e) es falso que, la tierra es estrellada o el

sol no es un planeta.

12. La proposición: “No es falso que no mienta que, el perro es un vertebrado”, equivale a:

1) El perro es vertebrado y no vertebrado. 2) Es falso que el perro sea vertebrado. 3) Es inconcebible que el perro no sea

vertebrado.

4) El perro es un vertebrado. 5) El perro no es un vertebrado.

125

De las anteriores son ciertas:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) 3 y 4 e) 3, 5 13. Simplifica: (A  B)  [ B  ( A  A) ] a) A b) B c) B  A d) C e) B  A

14. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones equivalentes?

a). Si tengo ahorros entonces me voy de viaje.

b). Si no tengo ahorros entonces no voy de viaje.

c). No tengo ahorros o voy de viaje. a) I y II b) I y III c) II y III d) I, II y III e) Ninguna 15. Al simplificar:  (p  q)   (p  q) se tiene: a)  q b) q c) p d)  p e)  p  q

16. La proposición: “Maradona juega y no está lesionado, a menos que, no juega pero está lesionado”, equivale a:

a) Si Maradona no juega es porque está lesionado.

b) Maradona no juega pero está lesionado. c) Es falso que, Maradona juega o no

está lesionado.

d) Es absurdo que, Maradona no juega si y sólo si está lesionado.

e) No es mentira que sea falso que, Maradona juega siempre que y sólo cuando está lesionado.

17. La proposición: “No es verdad pensar que, si voy a la Sierra inmediatamente me resfrío”, no equivale a:

a) Voy a la sierra y no me resfrío.

b) Iré a la sierra pero de ninguna manera me resfriaré.

c) Voy a la sierra además es falso que me resfríe.

d) Iré a la sierra sin embargo no es verdad que me resfriaré.

e) No voy a la sierra y me resfrió

18. Dados los esquemas moleculares:



p q

 

p q



A   



p q



B 



p q



C 

¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) A es equivalente a B b) C es equivalente a B c) A es equivalente a B d) A es equivalente a C e) B es equivalente a C

19. Dados los esquemas moleculares:

q p A  r p B  ) r q ( C  Indica lo correcto: a) A implica a B b) (A  C) implican a B c) [(A  C)  B] equivale a (A  B) d) B equivale a C e) A equivale a B

20. Dados los siguientes esquemas moleculares:







p q q



A   



q p



B  Se cumple que: a) A implica en B. b) A es equivalente a B. c) A equivale a (p  q) d) B equivale a (p  q) e) A es equivalente a B

127

Tema: 4

INFERENCIAS LÓGICAS Y CIRCUITOS LÓGICOS

Figura 5

Fuente:http://4.bp.blogspot.com/_5R-pOXY8b6c/TEPjq_ljr-I/AAAAAAAAADs/3N94wiEZkdA/s400/cuadro.jpg

4.1. Inferencias lógicas.

Es el conjunto de proposiciones en donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas extraemos otra conocida como conclusión.

Ejemplo: P1: Todos los peruanos son americanos. P1: Juan es peruano

Entonces: C: Juan es americano.

4.1.1. Métodos de demostración

Las inferencias se denotan de dos formas, así:

“Mientras existan los pensamientos existirán las palabras, mientras existan las palabras existirán los hechos y mientras existan los hechos existirán las reflexiones”.

Kung FuTse, Confucio

b) Forma Horizontal: Cuando la

conjunción de premisas que implican a la conclusión se escribe horizontalmente en forma explícita usando los conectores  ,

P1 P2  P3 ….  Pn C

Premisas Conclusión

a) Forma vertical: La conjunción de

premisas que implican a la conclusión se escriben verticalmente uno después del otro y al término de la última premisa se escribe una raya y tres puntos para luego escribir la conclusión.

P1 P2 P3 . . . Pn C Premisas Conclusión

128

4.1.2. Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia son tautologias que modelan razonamientos universalmente correctos. Para determinar su validez se analiza la forma de las proposiciones involucradas y no de los valores especificos de cada variable. Estas reglas se relacionan para precisar una demostracion.

Ejemplo:

¿Es válido el siguiente argumento?

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico. Si se hace usted rico, entonces será feliz.

________________________________________________

 Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores. q: Se hará rico. r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

p → q

q → r ______

 p → r

Ejemplo:

¿Es válido el siguiente argumento?

Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva.

_________________________________________  _{Los impuestos bajan}

Solución:

Sea: p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva. Tenemos:

p → q q _____  _p

129

Las reglas de inferencia al relacionarse entre las proposiciones que participan en un proceso de razonamiento permiten determinar otras nuevas líneas validas y para esto se debe tener especial cuidado al aplicar la regla correcta. Existen varias reglas de inferencia que se pueden aplicadar en una demostracion entre ellas tenemos:

1. Adición 4. Conjunción p p _______ q  _{p q _________}  _{p q}

2. Simplificación 5. Modus ponens p q p

_________ p → q  p _________  _q

3. Silogismo disyuntivo 6. Modus tollens p q p → q ~ p ~ q _________ ___________  _q  ~ p 7.- Silogismo hipotético p → q q → r ________  _{p → r}

4.1.3. Validez de una inferencia

La validez es una cualidad de las inferencias, solamente las inferencias pueden ser válidas (correctas) o inválidas (incorrectas). Una inferencia es válida cuando la conclusión se ha derivado lógica y necesariamente de las premisas.

En la validez no interesa el contenido de las proposiciones (sean verdaderas o falsas) que integran la inferencia, sino que la estructura que tenga cumpla con las reglas, métodos y procedimientos de la lógica. Ejemplo:

Todo universitario es estudiante (V) Algún tacneño es universitario (V)

Algún tacneño es estudiante (V)

130

4.1.4. Método para determinar la validez de una inferencia

Existen diversos métodos, entre los más utilizados tenemos:  Método de las tablas de verdad.

 Método de las leyes lógicas.

 Método de las inferencias notables.

Aquí solo veremos los métodos de tablas de verdad y el método abreviado.

4.1.5. Prueba de la validez por tablas de verdad

Como una inferencia es válida si y sólo si (P1  P2  P3 ….  Pn)  Q, es una tautología. Entonces debemos analizar la tabla de verdad de toda la inferencia.

Ejemplo:

Se tiene el siguiente razonamiento: “Manuel es contador o administrador, pero Manuel es administrador por tanto Manuel no es contador”.

Determinar si es válido o no.

Además P1: Manuel es contador o administrador: (p  q)

p q

P2: Manuel es administrador: q

Q: Manuel no es contador:  p

Luego la inferencia se simboliza de la siguiente forma:

(p  q)  q p . Analizamos la tabla de verdad:

En conclusión el razonamiento no es válido, puesto que debe ser una tautología.

4.1.6. Prueba de la validez por método abreviado

Este procedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto se trabaja con más de dos proposiciones simples.

Consiste en suponer la conjunción de premisas Verdadera y la conclusión Falsa, como única posibilidad que invalida la implicación (inferencia):

(P1  P2  P3  ….  Pn)  Q ( V  V  V  ….  V )  F V p q  ( p  q )  q  p V V V V V F F V F V F F V V F V V V V V F F F F F F V V

“Manuel es contador o administrador, pero Manuel es administrador por tanto Manuel no es contador”

131

Ejemplo:

Si el clima está seco entonces el enfermo se mejora Si el enfermo se mejora, la familia gasta menos dinero Luego, si el clima es seco, la familia gasta menos dinero.

Solución:

p: “El clima es seco” q: “El enfermo se mejora”

r: “La familia gasta menos dinero”

Forma lógica será: p  q q  r p  r

La inferencia se simboliza de la siguiente manera:



 





pq  qr

 

 pr



Utilizando el método abreviado tenemos:

V  V F Se tiene: (i) p  r  F V F p  V y r  F (ii) (p  q)  (q  r)  V (V  q)  (q  F) V V Donde: V  q  V y q  F  V

Se observa que: “q” puede tomar el valor de verdad (V o F) y así se llega a una contradicción al reemplazar el valor de verdad en el esquema molecular.



 





p



q



q



r

 



p



r



132

4.2. Circuitos.

4.2.1. Circuitos conmutadores

Un circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interruptores para el paso o interrupción de la corriente.

Para el diseño de estos circuitos designemos por “p” y “q” dos interruptores eléctricos que dejan pasar corriente y por “~p” y “~q” los que no dejan pasar corriente estos se pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo.

Gráficamente tenemos:

Figura (1) Figura (2) En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se representa por: En la figura (2) se tiene un circuito en paralelo y se representa por:

Observación: Su evaluación en tablas de verdad es:

Donde: 1 = verdadero (V) 0 = falso (F)

Figura 6 Fuente:http://2.bp.blogspot.com/_BuaRahAIcHM/Slk-zyNviLI/AAAAAAAAAL0/l2ZzdSfPTgg/s320/circuitoelemental.gif p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Vamos a ejemplificar la materialización del cálculo proposicional, empleando el más antiguo de los dispositivos que ya fue utilizado para fines lógicos por nuestro sabio ingeniero Leonardo Torres Quevedo, a finales del siglo XIX, al construir sus máquinas aritméticas y su jugador de ajedrez.

133

Ejemplo1: Describe simbólicamente el

siguiente circuito:

Solución: Observemos que el circuito esta en serie y en paralelo, tenemos:  p y q están en paralelo es decir: p v q

 p, (p v q) y q están en serie, es decir: p (p v q) q

 r y q están en paralelo es decir: r v q

 r , (r v q) y p están n serie, es decir: r (r v q) p Luego: la representación de todo el circuito es:

[p (p v q) q] v [r (r v q) p]

4.2.2. Simplificación de circuitos

Para la simplificación de circuitos se debe tener en consideración las leyes de equivalencia.

Ejemplo 2: Del ejemplo anterior se tiene que el circuito queda simplificado de la

siguiente manera: [p (p v q) q] v [r (r v q) p] Ξ {[p (p v q)] q} v {[r (r v q)] p} Ξ (p q) v (r p) Ξ [(p q) v r] [(p q) v p] Ξ [(p q) v r] p Ξ [(p v r) (q v r)] p Ξ [(p v r) p] (q v r) Ξ p (q v r)

Luego: se obtiene el circuito:

p

r

p

p

q

r

q

q

p

q

r

134

Ejemplo 3: Simplificar el siguiente circuito Solución: Tenemos: {[p (p v q) q] v [q (q v p)  p]}  p (p v q) Ξ {(p q) v [(q p)  p]} ( p q) Ξ {(p q) v [(q (p  p)]} ( p q) Ξ {(p q) v (q F)} ( p q) Ξ {(p q) v F} ( p q) Ξ {(p q)} ( p q) Ξ (p  p) (q q) Ξ F F Ξ F

q

p

q

p



p



q

p



q



p

_p

q

135

Orientaciones

:

1. Aplicando las leyes de la implicación determinar la conclusión de las afirmaciones propuestas.

2. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no. 3. Simplifica y representa los circuitos propuestos.

Se tiene los siguientes argumentos:

01. Si terminamos la obra, entonces tomaremos el nuevo contrato; terminamos la obra. Por tanto a) No tomaremos el nuevo contrato

b) Tendremos unos días libres c) Tal vez tomemos es nuevo contrato d) Tomaremos el nuevo contrato

e) Tenemos tiempo para el nuevo contrato 02. Si ha estudiado, entonces aprobará el curso;

ha estudiado. En consecuencia a) Desaprobará el curso

b) No es cierto que no apruebe el curso c) No dará examen de recuperación d) Puede irse de vacaciones e) Ya sabe los temas del curso

03. Si tiene dinero, entonces postulará a la universidad; Es innegable que tiene dinero. En conclusión

a) Tiene la intención de postular a la U b) Estudiará una carrera en la universidad c) Está mejorando el negocio

d) Tiene la posibilidad de postular a la U e) Postulará a la universidad

04. Si hacemos ejercicios todos los días, entonces tendremos buena salud; no tiene buena salud. Por tanto

a) A veces entrena b) No hace ejercicios c) Hay que entrenar d) Hace ejercicios

e) No hace ejercicios todos los días

05. Si Vallejo es peruano, entonces Borges es argentino. Borges no es argentino. Luego: a) Vallejo nació en el Perú

b) No se sabe donde nació Vallejo c) Vallejo no es peruano

d) Borges es argentino

e) No es cierto que Vallejo no sea peruano 06. Trabajo o viajo; no viajo. Por tanto:

a) Puede que trabaje b) Me quedaré c) No trabajo d) Trabajo

e) Perderé las vacaciones

07. Es jueves a menos que vaya a la universidad; no he ido a la universidad. En consecuencia a) He tenido algunos contratiempos

b) Es jueves o estoy trabajando c) Hoy no me toca clases

d) Es jueves entonces estoy trabajando e) No es jueves

08. Ha vendido o ha comprado, no ha comprado. Entonces

a) No ha vendido b) No ha comprado

c) Ha vendido y tiene dinero d) No ha vendido o tiene dinero

e) Si no ha vendido entonces tiene dinero 09. “Si Miguel es deportista, entrena. Al entrenar

es obvio que siempre está preparado para competir”. En consecuencia

1. En el caso que Miguel sea deportista estará preparado para competir.

2. Miguel es deportista además está preparado para competir.

3. No es deportista salvo que esté preparado para competir Miguel.

4. Es falso que, si Miguel no es deportista por ello esté preparado para competir.

5. Es imposible que, Miguel sea deportista mas no esté preparado para competir.

Son ciertas:

a) 1, 2,3 b) 1, 3,5 c) 3, 4,5 d) 2, 4,5 e) 2 y 4

10. “Ya que existió el Racionalismo por ende surgió el Empirismo. Sin embargo, es innegable que el culto a la razón tuvo gran vigencia en la Filosofía”. Por ello:

1. No tuvo vigencia el culto a la experiencia. 2. También tuvo vigencia el Empirismo. 3. Apareció el Eclecticismo.

4. Es indefectible que el culto a la experiencia tuvo vigencia.

5. Existió el Racionalismo. Son anti incorrectas:

a) Sólo 5 b) 1 y 5 c) 2 y 4 d) 2, 5 y 4 e) 1, 3 y 5

136

11. “Salvo que no trabaje, tengo dinero. Más si fuese el caso que no tengo dinero”, concluiríamos en:

1. Trabajo. 2. Dejé de trabajar. 3. No tengo trabajo. 4. No me dedico al trabajo.

5. A veces trabajo y a veces no trabajo. Son correctas:

a) 1, 3,5 b) 1, 3 c) 2, 4,3 d) 3, 5 e) 1, 2, 4

12. No hay democracia a menos que a la vez haya participación popular. Empero no hay participación popular excepto que incluso haya crisis”, por tanto:

1. Si hay democracia, hay instrucción.

2. Al no haber crisis tampoco hay democracia 3. Jamás hay democracia salvo que a la vez

haya crisis.

4. Es mentira que, hay democracia sin embargo no hay crisis.

5. Hay crisis salvo que también no haya democracia.

Son ciertas:

a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5 d) Todas e) 1, 3,5

13. “No hay artistas a menos que haya creatividad. Si hay creatividad por ende existen pintores”, en consecuencia:

1. Dado que hay pintores se deduce que hay artistas.

2. Hay pintores salvo que no existan artistas

3. Puesto que no hay artistas se infiere que no existen pintores.

4. Es objetable que, existan artistas sin embargo no existan pintores.

5. Jamás habrá pintores salvo que hayan artistas.

Son falsas:

a) 1, 3, 5 b) 2, 4,5 c) 2 y 4 d) 1 y 3 e) 1, 5

14. Determina el circuito equivalente al circuito dado: p p q q p q r p p q a) c) b) p q p q d) e) n.a.

15. Si el costo de cada llave en la instalación del circuito es de S./15 ¿Cuánto se pagaría si reemplazamos la instalación su equivalente más simple:

p q

q p

p

a) 30 soles b) 40 soles c) 60 soles d) 45 soles e) 15 soles

16. Simplifica y da la proposición que corresponde al circuito: p q q q p p A B a) p b) q c) q d) p  q e) q

17. Reduce el siguiente circuito:

a) – p – b) – q – c) –  p – d) – p – q – e) –  q – 18. La proposición: p  { q v [ p  ( p  r) ] } equivale al circuito: a) – p – q – b) – q – r – e) – p –

19. Señale el circuito equivalente:

[ (p  q)  p ]  [ p  (p  q) ] a) – p – b) – q –

c) – p – q – d)  p – e)

20. Simplifica el circuito siguiente:

s s s t t s s t t

Señale el esquema correspondiente: a) s b) t c) s d) t e) s v t

137

TEORÍA DE CONJUNTOS,

ECUACIONES E INECUACIONES

Figura 7 Fuente: http://edu.jccm.es/ies/labesana/index.php?option=com_content&ta sk=view&id=218&Itemid=0 Capacidades

- Aplica operaciones con conjuntos en la solución de problemas.

- Resuelve problemas de ecuaciones lineales y cuadráticas relacionados con su entorno.

- Matematiza situaciones de diferentes contextos al resolver problemas con sistema de ecuaciones relacionados con su entorno.

- Aplica algoritmos para la resolución de ejercicios y problemas con inecuaciones lineales y cuadráticas.

Uni

dad

I

I

Se alcanza el éxito convirtiendo cada paso una meta y cada meta en un paso.

139

Tema: 5

DEFINICIONES BÁSICAS Y OPERACIONES CON

CONJUNTOS

Figura 8

Fuente:http://www.ehu.es/ehusfera/mathvideos/files/2010/05/conjuntos.gif

5.1 Noción de conjunto

El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que como se verá en los ejemplos, pueden ser cualquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Si bien los conjuntos se estudian como entidades abstractas, veamos ejemplos particulares de conjuntos.

Ejemplos:

1) Los números 2,4, 6 y 8. Es decir: A = {2, 4, 6, 8} 2) Las soluciones de la ecuación y2 - 3y – 2 = 0.

3) Las vocales del alfabeto: a, e, i, u, o. Es decir: B = {a, e, i, u, o} 4) Las personas que habitan la tierra.

5) Los estudiantes: Fernando, Carlos y Erick. C = {Fernando, Carlos, Erick}

6) Los países: Alemania, Francia, Finlandia. Es decir: D = {Alemania, Francia, Finlandia} 7) Las ciudades capitales de Europa.

8) Los números: 2, 4, 6, 8,… Es decir: E = {2, 4, 6, 8,….} 9) Los ríos de Perú.

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.