Pachas Mendiguete, Jhonatan Raúl

Enrique Guzmán y Valle Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

EL CAMPO R DE NÚMEROS REALES

Extensión de Q. Existencia de números no racionales para formar el conjunto R. La axiomática del sistema de números reales como campo ordenado, arquimediano y completo. Intervalos. Valor absoluto.

Ecuaciones e inecuaciones en R. Aplicaciones. Sucesiones en Q. Didáctica del campo de números reales. Resuelve problemas de cantidad.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 1456-2019-D-FAC Presentada por:

Pachas Mendiguete, Jhonatan Raúl

Para optar el Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Matemática e Informática.

Lima, Perú 2019

MONOGRAFÍA

EL CAMPO R DE NÚMEROS REALES

Extensión de Q. Existencia de números no racionales para formar el conjunto R. La axiomática del sistema de números reales como campo ordenado, arquimediano y completo. Intervalos. Valor absoluto.

Ecuaciones e inecuaciones en R. Aplicaciones. Sucesiones en Q. Didáctica del campo de números reales. Resuelve problemas de cantidad.

Designación de Jurado Resolución N° 1456-2019-D-FAC

_________________________________

Mag. Rojas Guevara, Luis Esteban Presidente

__________________________________

Mag. Quiroz Quiroz, Jorge Enrique Secretario

_____________________________________

Lic. Mendoza García, Julio Alejandro Vocal

Línea de investigación: Metodología y didáctica

Dedicatoria

A Dios, por protegerme de caminos malos.

A las familias a las que pertenezco, en una como hijo y en la otra como padre.

Índice de contenidos

Portada ... i

Hoja de firmas de jurado ... ii

Dedicatoria... iii

Índice de contenidos ... iv

Lista de figuras ... vi

Introducción ... vii

Capítulo I. Conocimiento básicos de los números reales. ... 9

1.1 Sucesiones en ℚ ... 11

1.2 Sucesiones convergentes y divergentes ... 14

1.3 Sucesiones monótonas ... 15

Capítulo II. Extensión de Q. ... 16

2.1 Existencia de los números no Racionales ... 16

2.2 Representación en la recta. ... 17

Capítulo III. El campo de R... 19

3.1 Axiomas para la adición. ... 19

3.2 Axiomas para multiplicar... 20

3.3 Axiomas para la relación de orden ... 20

3.3.1 Propiedad arquimediana. ... 20

Capítulo IV. Aplicaciones con los número naturales. ... 22

4.1 Intervalos ... 22

4.2 Valor Absoluto ... 23

4.3 Ecuaciones lineales ... 25

4.4 Ecuaciones de segundo grado ... 26

4.5 Inecuaciones... 26

4.5.1 Inecuaciones con una incógnita. ... 27

4.5.2 Inecuaciones con dos incógnitas. ... 27

Capítulo V. Ejemplo de aplicaciones en R. ... 29

5.1 Ejemplo con números racionales e irracionales ... 29

5.2 Problemas con ecuaciones e inecuaciones ... 31

5.3 Problemas con intervalos ... 33

Aplicación didáctica ... 35

Síntesis ... 40

Apreciación crítica y sugerencias ... 41

Referencias ... 42

Apéndices ... 44

Lista de figuras

Figura 1. Recta OU divide a PQ ... 10

Figura 2. Medida de OP en unidades de OU ... 10

Figura 3. Porción de recta AC ... 10

Figura 4. Sucesión an ... 13

Figura 5. Sucesión βn. ... 13

Figura 6. Sucesión γn. ... 13

Figura 7. “Hacia dónde va” la sucesión. ... 14

Figura 8. Triángulo pitagórico ... 16

Figura 9. Representación de √2. ... 18

Figura 10. Representación gráfica de Intervalos ... 23

Figura 11. Representación gráfica de valor absoluto ... 24

Figura 12. Gráfico propuesto para el problema ... 29

Figura 13. Cono de revolución ... 30

Figura 14. Desigualdad, 1-4x ≤ 0 ... 32

Figura 15. Desigualdad, -x²-2x-y > 0 ... 32

Figura 16. Intervalos ... 33

Figura 17. Triángulo escaleno. ... 33

Figura 18. Centro comercial ... 36

Figura 19. Geogebra ... 37

Figura 20. Geogebra/Geometría ... 38

Introducción

Como estudiantes de secundaria, aprendemos que el campo o sistema de los números reales son la unión de dos grandes conjuntos, como son los números racionales y los números irracionales; sin embargo, no entendemos por qué o cómo surgió la existencia del conjunto de los números no racionales y a partir de ello la formación del cuerpo de los reales.

Un caso muy conocido y demostrado es el del número irracional raíz cuadrada de dos, en el que se demuestra, mediante el absurdo, que existe 𝑥 ∈ ℚ tal que 𝑥² = 2, es decir, que

𝑥 =

𝑛 , donde 𝑚 𝑦 𝑛 son naturales y que la fracción ^𝑚

𝑛 es irreducible, es decir, una fracción en la que 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1.

Completemos ahora la demostración: 𝑥 = ^𝑚

𝑛 ⇒ 𝑥² = ^𝑚2

𝑛² ⇒ 𝑚² = 2𝑛² Ahora bien, deducimos que 𝑚² es par, con lo que m también es par. Por tanto, existe k ∈ N tal que m = 2k. Sustituyendo, tenemos: (2𝑘)² = 2𝑛² ⇒ 4𝑘² = 2𝑛² ⇒ 2𝑘 ² = 𝑛² de la misma forma que se hizo anteriormente; deducimos ahora que 𝑛² es par y que, por tanto, n también lo es. Hemos demostrado entonces que m y n son números pares, pero esto entra en contradicción con el hecho supuesto de que la fracción ^𝑚

𝑛 sea irreducible, pues siendo tanto 𝑚 como n números pares la fracción se podría reducir aún más. La contradicción anterior demuestra que 𝑥 tal que 𝑥² = 2, no es racional. De aquí se deduce que existen números no racionales que, junto a los no racionales, conforman el sistema real.

En el presente trabajo se pretende mostrar las principales definiciones, propiedades y axiomas de los números reales a partir de la demostración de que la recta real está completa y ordenada, así como de sus aplicaciones en diversos contextos de la vida real,

motivo por el cual los estudiantes del nivel secundario entienden de manera más simple las matemáticas y su utilidad en lo que utilizan día a día.

En conclusión, se presentará la extensión de los números racional hacia los reales a partir de la existencia de los números no racionales, al igual que una aplicación didáctica en una sesión de aprendizaje a fin de demostrar cómo podemos lograr un aprendizaje significativo en nuestros estudiantes.

Capítulo I

Conocimientos básicos de números reales

En el origen de los tiempos los números 1, 2, 3, 4… han sido utilizados para nombrar objetos que pertenezcan a un entorno finito; sin embargo, se necesita también medir otras magnitudes como pesos, áreas, cantidades de calor, volúmenes, cantidad de electricidad, etc.

En esta clase de magnitudes conocemos cuando dos son iguales o equivalentes, mediante sus respectivas experiencias (dos mazos rectos y semejantes son iguales en medida, o dos objetos que se disponen en una balanza tienen masas equivalentes; así hay muchos ejemplos). Sabemos también realizar la suma de conjuntos y su división en partes iguales.

Por lo expuesto, medir una longitud la realizaremos basándonos en estas suposiciones. Son los matemáticos griegos quienes, en el siglo XXV antes de Cristo, precisaron tempranamente el concepto de longitud y de medir.

Dada una porción de recta OU⃗⃗⃗⃗⃗ , la cual supondremos unidad de medición, además otro fragmento de recta PQ⃗⃗⃗⃗⃗ , encontraremos que PQ⃗⃗⃗⃗⃗ se puede dividir en “n” partes iguales a

OU⃗⃗⃗⃗⃗ ; así “n” es el valor de medir basados en unidades OU⃗⃗⃗⃗⃗ .

P Q

O U

Figura 1. Recta OU divide a PQ. Fuente: Autoría propia.

Casualmente, el caso anterior es un supuesto, ya que generalmente OU⃗⃗⃗⃗⃗ no puede estar contenido un número “n” exacto de veces en el segmento PQ⃗⃗⃗⃗⃗ . Al dividir OU⃗⃗⃗⃗⃗ en “m”

fragmentos iguales. Podemos afirmar que la medida de cada fragmento es ¹

𝑚

,

𝑚 , concluyendo que su longitud será de ^𝑛

𝑚 (docplayer, 2017).

La medida de OP⃗⃗⃗⃗⃗ en unidades de OU⃗⃗⃗⃗⃗ será ⁷

5. (fig. 2)

O U P

Figura 2. Medida de OP en unidades de OU. Fuente: Autoría propia.

En la porción de recta AC⃗⃗⃗⃗⃗ su longitud la obtendremos al sumar AB⃗⃗⃗⃗⃗ y BC⃗⃗⃗⃗⃗ (fig. 3)

A B C

Figura 3. Porción de recta AC. Fuente: Autoría propia.

A tener en cuenta:

a. Ahora bien, al dividir OU⃗⃗⃗⃗⃗ en “m” fragmentos iguales, de la misma forma cada fragmento en “p” porciones iguales, el segmento OU⃗⃗⃗⃗⃗ se habrá divido en “m.p” fragmentos, así la longitud de cada uno será ¹

𝑚.𝑝

.

misma longitud para tener un fragmento de la primera división, y obtendremos que:

1 𝑚= ^𝑝

𝑚.𝑝,

b. Analizando lo anterior, llegaremos al siguiente resultado: ^𝑟

𝑚

=

𝑚.𝑝

,

𝑚 , lo cual nos dice que se puede dividir en “r”

fragmentos semejantes, cuya medida es ¹

𝑚 , siendo necesario dividirse en “r.p”

segmentos equivalentes de medida ¹

𝑚.𝑝

,

c. Tomando como referencia la figura 3, podemos decir que la medida de AB⃗⃗⃗⃗⃗ es ^𝑝

𝑚 la medida de BC⃗⃗⃗⃗⃗ sería ^𝑞

𝑚

,

𝑚

.

En efecto, de los análisis anteriormente hechos, es factible comprobar que, si respecto de la unidad OU⃗⃗⃗⃗⃗ , al medir AB⃗⃗⃗⃗⃗ su valor es ^𝑚

𝑛 , así la medición de BC⃗⃗⃗⃗⃗ resulta ser ^𝑟

𝑠

y

𝑛.𝑠 Esto es:

𝑚 𝑛

+

𝑠

=

𝑛.𝑠

+

𝑛.𝑠 = ^{𝑚.𝑠+𝑟.𝑛}

𝑛.𝑠

Por otro lado, de la misma manera verificamos que al hallar CD⃗⃗⃗⃗⃗ /AB⃗⃗⃗⃗⃗ obtenemos ^𝑟

𝑠 , también al resolver AB⃗⃗⃗⃗⃗ /OU⃗⃗⃗⃗⃗ se obtiene ^𝑚

𝑛 y CD⃗⃗⃗⃗⃗ /OU⃗⃗⃗⃗⃗ es ^𝑟.𝑚

𝑠.𝑚, (esto es ^𝑟

𝑠

.

𝑛

+

𝑠.𝑛 ).

Por ejemplo, las ⁴

5 partes de un segmento que mide ²

3 tienen longitud ⁴

5

.

3

=

15 .

1.1 Sucesiones en ℚ

En esta parte observaremos la parte previa a la construcción un número Real (ℝ) tomando como base al conjunto de número racional (ℚ).

Una idea de sucesiones de ℚ puede ser una serie de puntos en ℚ.

Ejemplos de ellos:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … 2; 4; 6; 8; 10; … 1; 4; 9; 25; 36; … 1; 1/2; 1/3; 1/4; …

1; 10; 100; 1000; 10000; …

1; -1; 1; -1; 1; … (Bruzual y Domínguez, 2005, p. 1)

Realmente la relevancia de las sucesiones consiste en que a cada uno de los números naturales “n” le corresponde un lugar de ℚ, definiéndoseles de la siguiente manera:

Primera definición: En las sucesiones podemos encontrar una función ℕ en ℚ.

Si 𝛼: ℕ → ℚ , ∀ n ∈ ℕ, entonces 𝛼_𝑛 ∈ ℚ Luego 𝛼_𝑛= n

Esto también se puede representar a través de símbolos: {𝑎_𝑛}, (𝑎_𝑛) 𝑜 {𝑎₁; 𝑎₂; … } Estas sucesiones pueden representar gráficamente. Así:

Sea: 𝛼_𝑛 = 𝑛 𝛽_𝑛 = (−1)^𝑛 𝛾_𝑛 = 1

𝑛

La gráfica de {𝑎_𝑛}, {𝛽_𝑛} 𝑦 {𝛾_𝑛} es como sigue:

Figura 4. Sucesión {𝑎_𝑛}. Fuente: Autoría propia.

Figura 5. Sucesión {𝛽_𝑛}. Fuente: Autoría propia.

Figura 6. 𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 {𝛾_𝑛}. Fuente: Autoría propia.

Ahora bien, para representar la sucesión colocamos cada punto 𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃, … en el eje correspondiente.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2

0 1 2 3 4 5 6

0 𝛼₁ 𝛼₂ 𝛼₃ 𝛼₄

𝛽₁= 𝛽₃ 0 ^𝛽2= 𝛽₄

0 𝛾₃ 𝛾₂ 𝛾₁

Figura 7. “Hacia dónde va” la sucesión. Fuente: Autoría propia.

Segunda definición: {𝑎_𝑛} se acota cuando si {𝑎₁; 𝑎₂; … } está acotado Así, al existir Κ ∈ ℝ / |𝑎_𝑛| ≤ Κ ∀ 𝑛 ∈ ℕ.

Tercera definición: {𝑎_𝑛} se acota de forma superior si ∃ M ∈ ℝ / 𝑎_𝑛 ≤ M.

Sea 𝑎_𝑛 = ¹

𝑛 → {𝑎_𝑛} tiene cota superior en M = 1

Tercera definición: {𝑎_𝑛} se acota de forma inferior si ∃ M ∈ ℝ tal que 𝑎_𝑛 ≤ 𝑚.

Sea 𝑎_𝑛 = 𝑛. → {𝑎_𝑛} tiene cota inferior en 𝑚 = 1

“Proposición: Sea {𝑎_𝑛} una sucesión, {𝑎_𝑛} es acotada si y sólo si {𝑎_𝑛} es acotada superiormente y {𝑎_𝑛} es acotada inferiormente” (Bruzual y Domínguez, 2005, p. 4).

1.2 Sucesiones convergentes y divergentes

En las siguientes definiciones {𝑎_𝑛} indicará sucesiones de ℝ.

Definición 1: lim_𝑛→∞𝑎_𝑛 = 𝐿 Si: ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁 ∈ ℕ / 𝑛 ≥ 𝑁 → |𝑎_𝑛− 𝐿| < 𝜀 {𝑎_𝑛} converge si ∃ 𝐿 ∈ ℝ /{𝑎_𝑛} es convergente a 𝐿; por el contrario, si no es convergente, será divergente.

Ejemplo 1: Si 𝑎_𝑛 = 1/𝑛 → lim_𝑛→∞𝑎_𝑛 = 0.

Ejemplo 2: Si 𝑎_𝑛 = 𝑛! → {𝑎_𝑛} diverge.

Teorema 1: Las sucesiones que convergen solo tienen un límite.

Proposición 1: Sea {𝑎_𝑛} secuencia convergente a cero y {𝑏_𝑛} secuencia acotada, tendremos que la secuencia {𝑎_𝑛 𝑏_𝑛} es convergente a cero.

Teorema 2: Sea {𝑎_𝑛}, {𝑏_𝑛} y {𝑐_𝑛} secuencias en las que se cumple 𝑎_𝑛 ≤ 𝑏_𝑛 ≤ 𝑐_𝑛 ∀ “n” con lim_𝑛→+∞𝑎_𝑛 = lim_𝑛→+∞𝑐_𝑛 = 𝐿. Entonces lim_𝑛→+∞𝑏_𝑛 = 𝐿.

1.3 Sucesiones Monótonas

Definición 1: La secuencia {𝑎_𝑛} es creciente y monótona cuando 𝑎_𝑛 < 𝑎_𝑛+1 ∀

“𝑛" ∈ ℕ.

Sea 𝑎_𝑛 = 𝑛 → {𝑎_𝑛} será monótona creciente.

Definición 2: La secuencia {𝑎_𝑛} es decreciente y monótona cuando 𝑎_𝑛+1 ≤ 𝑎_𝑛 ∀

“𝑛" ∈ ℕ .

Sea 𝑎_𝑛 = 1/𝑛 → {𝑎_𝑛} será monótona decreciente.

Teorema 1:

“Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente”

(Bruzual y Domínguez, 2005, p. 5).

“Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente”

(Bruzual y Domínguez, 2005, p. 5).

Capítulo II Extensión de ℚ

2.1 Existencia de los números no Racionales

Remontando en la historia, el conjunto ℚ se originó al no poder realizar la medición de algún tipo de cantidad y operación de suma y producto entre ellas. Así surgieron consecuentemente, como se indicó en las líneas ya mencionadas. Dado una porción de recta OU⃗⃗⃗⃗⃗ , surge una pregunta si cualquier porción de recta PQ⃗⃗⃗⃗⃗ muestra una medida racional comparada con OU⃗⃗⃗⃗⃗ , de acuerdo a lo mostrado, al existir un submúltiplo de OU,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ el cual contiene un valor exacto de veces a PQ⃗⃗⃗⃗⃗ . El resultado de esto fue negativo y fue dado a conocer por los antiguos estudiosos de la matemática de la siguiente manera.

“La hipotenusa OP de un triángulo rectángulo isósceles ∆OPU no tiene medida racional con respecto a la unidad OU” (Diego y Platzeck , 2010, p. 2).

Figura 8. Triángulo pitagórico. Fuente: Autoría propia.

P

O U

Al suponer un absurdo, como acerca del valor de OP⃗⃗⃗⃗⃗ es ^𝑎

𝑏

Usando la formula Pitagórica se tendría lo siguiente: (^𝑎

𝑏)² = 1²+ 1² = 2.

Esta suposición es absurda, ya que al elevar un racional a la potencia dos no puede dar como resultado dos.

Supongamos que después de sacar factor común de numerador con el denominador en ^𝑎

𝑏 este resulta que no se puede reducir más.

Al cumplirse que (^𝑎

𝑏)² = 2, daría como resultado 𝑎² = 2𝑏², de esta manera 𝑎² sería par.

De esta forma 𝑎 no sería impar, ya que 𝑎² también debería ser impar, debido a que:

(2𝑘 + 1)² = 4𝑘²+ 4𝑘 + 1 = 2(2𝑘²+ 2𝑘) + 1.

“En consecuencia: 𝑎 es par, o sea 𝑎 = 2𝑞 , pero entonces 𝑎² = 4𝑞² = 2𝑏², lo que implica que 2𝑞² = 𝑏². De aquí resulta, como antes, que 𝑏 es par, pues su cuadrado lo es. Concluimos entonces que a y b son pares, lo que contradice la hipótesis de que ^𝑎

𝑏 es irreducible” (Diego y Platzeck , 2010, p. 3).

Luego, la situación se planteaba de la siguiente manera: ℚ no es suficiente al establecer a cada porción de recta un valor; por lo tanto, esto se solucionó ampliando ℚ⁺, agregándoles otros números para que de esta manera toda la recta se podrá fijar a partir de ellos.

2.2 Representación en la recta

Al observar un eje cartesiano, si cada punto equivale un valor numérico, obtendremos una recta en la cual podremos representar a cada valor numérico racional. Hay que saber

realmente que ellos no completan la recta, también hay que agregar a los números irracionales.

Ahora bien, la representación lógica de un decimal no periódico es imposible; por lo tanto, recurrimos a aproximaciones.

Pero, gracias a los triángulos pitagóricos y la medida de un arco, se puede representar a algún número racional como: √2; √3; √5, etc. (“portaleducativo”, 2018).

B 1

0 1 √2 2

Figura 9. Representación de √2. Fuente: Autoría propia.

X

1

Capítulo III El campo de ℝ

Son números reales donde hay la operación de: suma (+) y multiplicación (.), y una

relación de “menor que”, la cual satisface el siguiente conjunto de axiomas de los números reales:

3.1 Axiomas para la Adición

a. Conmutatividad. ∀ 𝑎 𝑦 𝑏 en ℝ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

b. Asociatividad. ∀ 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 en ℝ, (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).

c. Elemento Neutro. ∃ 0 ∈ ℝ / 𝒶 + 0 = 0 + 𝒶 = 𝒶; ∀ 𝒶 ∈ ℝ.

d. Elemento Inverso. ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0, ∃ −𝑎 ∈ ℝ/ −𝑎 + 𝑎 = 0.

En el álgebra cada axioma mostrado anteriormente dice de (ℝ, +) es un grupo conmutativo. Con ello se obtendrá alguna otra propiedad de ℝ.

Por ejemplo:

Cuando 𝑎; 𝑏 𝑦 𝑐 ⊂ ℝ 𝑦 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 → 𝑏 = 𝑐.

Demostramos esto usando el axioma (𝑑) donde: −𝑎 ∈ 𝑅 Entonces: −𝑎 + (𝑎 + 𝑏) = −𝑎 + (𝑎 + 𝑐)

Así: (−𝑎 + 𝑎) + 𝑏 = (−𝑎 + 𝑎) + 𝑐 axioma (b)

El cual: 0 + 𝑏 = 0 + 𝑐 ; axioma (d) Resultando que: 𝑏 = 𝑐 ; por (a) y (c)

3.2 Axiomas para multiplicar

a. Conmutatividad: ∀ 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎,

b. Asociatividad: ∀ 𝑎; 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ , (𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐), c. Elemento neutro: ∃ 1 ∈ ℝ, 1 ≠ 0 / 𝑎 · 1 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ ℝ,

d. Elemento inverso: ∀ x ∈ ℝ , x ≠ 0, ∃ x^-1 ∈ ℝ / x · x^-1 = 1.

Podemos observar que cada axioma es similar a los de la adición. Efectivamente para (ℝ°, ·), demostrando que pertenece al grupo conmutativo. Así sea cual fuese el resultado para (ℝ, +) se relativiza (ℝ° ,·) (Ortega, 2008) .

Por ejemplo:

Si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 están en ℝ° y 𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑐 entonces 𝑏 = 𝑐.

El siguiente de los axiomas relaciona la adición con el producto:

Axioma de la distributividad.

Para 𝑎; 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ / 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐).

3.3 Axiomas para la relación de orden

a. ∀ “a” que pertenece a ℝ solo será cierto: a < 0, a = 0, 0 < a, b. cuando a y b ∈ ℝ , 0 < a, 0 < b → 0 < a + b y 0 < a · b, c. para a y b ∈ ℝ, a < b ↔ a − b < 0,

Cuando a < b, escribimos b > a, “≤” quiere decir que a ≤ b ↔ a < b ó a = b.

3.3.1 Propiedad arquimediana.

Definición 1. En un campo ordenado F, decimos que F es arquimediano si satisface

∀ 𝑥 ∈ 𝐹; ∃ 𝑛 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 > 𝑥

Teorema 2. Sea 𝐹 un campo ordenado. Las siguientes propiedades son equivalentes a la propiedad arquimediana.

a. ∀ 𝑥 > 0 ∃ 𝑛 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 > 𝑥,

b. si 𝑎 > 0 entonces ∀ 𝑥 ∈ 𝐹, ∃ 𝑛 ∈ ℕ , tal que 𝑛𝑎 > 𝑥, c. ∀ 𝜀 > 0; 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ¹

𝑛 < 𝜀.

Demostración. 𝑎 ⟹ propiedad arquimediana tenemos que:

∀ 𝑥 ∈ 𝐹; 𝑥 ≠ 0; 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑥 > 0 ó 𝑥 < 0 Caso 𝑥 > 0

En este caso por hipótesis

∀ 𝑥 > 0, ∃ 𝑛 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 > 𝑥 Caso 𝑥 < 0

En este caso se tiene −𝑥 > 0 y por hipótesis

Si −𝑥 > 0 ∃ 𝑛 ∈ ℕ, tal que 𝑛 > −𝑥 ⇒ 𝑛 > −𝑥 > 𝑥 ⇒ 𝑛 > 𝑥

En el caso de 𝑥 = 0 sabemos que 1 > 0; por lo tanto, ∃ 𝑛 ∈ ℕ tal que 𝑛 > 𝑥;

por lo tanto, ∀ 𝑥 ∈ 𝐹; ∃ 𝑛 ∈ ℕ tal que 𝑛 > 𝑥 propiedad arquimediana ⇒ 𝑏

Supongamos que 𝐹 satisface la propiedad arquimediana y 𝑎 > 0. Entonces

∀ 𝑥 ∈ 𝐹 se tiene que:

𝑥

𝑎∈ 𝐹, y por la propiedad arquimediana.

Si ∃ 𝑛 ∈ ℕ tal que 𝑛 >^𝑥

𝑎 y como 𝑎 > 0 𝑛𝑎 > 𝑥

Capítulo IV

Aplicaciones con los números reales

4.1 Intervalos Notaremos:

< 𝑎, 𝑏 > = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} …(a) [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} …(b) [𝑎, 𝑏 > = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} …(c)

< 𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} …(d) [𝑎, + ∞ > = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≥ 𝑎 } …(e)

< 𝑎, + ∞ > = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 𝑎 } …(f)

< − ∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≤ 𝑎 } …(g)

< − ∞, 𝑎 > = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 𝑎 } …(h)

< − ∞, + ∞ > = ℝ …(i)

Cada conjunto es llamado intervalo. En la figura 10 se indica su forma gráfica de cada intervalo.

a

b …(a)

a b …(b)

a b

…(c)

a b …(d)

a _…(e)

a _…(f)

a

…(g) a

…(h)

…(i)

Figura 10. Representación gráfica de Intervalos.Fuente: Autoría propia.

4.2 Valor Absoluto

Su definición es la siguiente:

|𝑎| = {

𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 > 0 0, 𝑠𝑖 𝑎 = 0 −𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 < 0 Por ejemplo:

 |5| = 5.

 |−5| = 5.

Propiedades

a. |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|, b. |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|, c. ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|, d. |^𝑎

𝑏| =^|𝑎|

|𝑏|.

 Demostración de b:

𝑎 ≤ |𝑎| y 𝑏 ≤ |𝑏|, luego: 𝑎 + 𝑏 ≤ |𝑎| + |𝑏|.

Asimismo -𝑎 ≤ |𝑎| y −𝑏 ≤ |𝑏|, luego: (𝑎 + 𝑏) ≤ |𝑎| + |𝑏|.

Sin embargo, por definición, uno de los valores (𝑎 + 𝑏), − (𝑎 + 𝑏) concuerda

|𝑎 + 𝑏|, resultando la propiedad dos.

 Demostración de c:

|𝑎| = |𝑏 + (𝑎 − 𝑏)| ≤ |𝑏| + |𝑎 − 𝑏|,

|𝑎| − |𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏|

|𝑏| − |𝑎| ≤ |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| (Sustituyendo b con 𝑎 y viceversa)

−(|𝑎| − |𝑏|) ≤ |𝑎 − 𝑏|

|𝑎| − |𝑏|, −(|𝑎| − |𝑏|) es ||𝑎| − |𝑏|| (de donde resulta c) Interpretación geométrica:

Sean los puntos en un eje 𝑎 𝑦 𝑏 y |𝑎 − 𝑏| la medida de la distancia entre ellos.

Para 𝑎 < 𝑏, → 𝑏 − 𝑎 = |𝑎 − 𝑏|, sería la media de esa distancia de 𝑎 𝑦 𝑏.

Pero si 𝑏 < 𝑎, → entonces 𝑎 − 𝑏 = |𝑎 − 𝑏| es la longitud entre 𝑎 𝑦 𝑏.

Para 𝑟 > 0:

{𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∶ | 𝑥 − 𝑎 | = 𝑟 } = { 𝑎 − 𝑟, 𝑎. 𝑟} … (a) {𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∶ | 𝑥 − 𝑎 | < 𝑟 } = ( 𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟 ) … (b) {𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∶ | 𝑥 − 𝑎 | ≤ 𝑟 } = [ 𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟] … (c)

a-r a a+r …(a)

a-r a a+r …(b)

a-r a a+r …(c)

Figura 11. Representación gráfica de valor absoluto. Fuente: Autoría propia.

Estas desigualdades resultan teniendo en cuenta la definición geométrica, esta puede ser comprobada con su propiedad básica y su consecuencia.

4.3 Ecuaciones lineales

El conjunto solución de una ecuación de primer grado acoge la siguiente forma simplificada 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, donde x denota la variable y 𝑎 ≠ 0, es: 𝑥 =^−𝑏

𝑎

Por el contrario, si la solución no acoge la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, se procederá a reunir a todos los términos que poseen a la variable 𝑥 y en otro lado a los términos que no poseen a dicha variable, reduciendo así la ecuación mediante este proceso.

Luego, si en el transcurso de este proceso se obtiene un real 𝑏 ≠ 0, entonces se dice que no hay soluciones en R. Por otro lado, cuando el resultado es un número real n, donde n = n entonces se dice que la ecuación es una identidad.

Luego, gráficamente hablando, la solución de esta ecuación se denota por un par ordenado en la recta real.

Ahora bien, cuando hablamos de una ecuación lineal con dos incógnitas, el conjunto solución se denota de la siguiente forma.

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 con 𝑎 ≠ 0 𝑜 𝑏 ≠ 0.

En este caso, con las ecuaciones que no tienen esa forma, procederemos reuniendo cada término que posee la variable x e y; por último, quienes no poseen la variable en cuestión. Convirtiendo esta ecuación en una semejante pero simplificada. Cabe la posibilidad de que esta no tenga solución o que sea de identidad.

Cuando las ecuaciones lineales con dos variables tienen solución, su gráfica es una línea recta.

4.4 Ecuaciones de segundo grado

 Una ecuación cuadrática puede tomar la siguiente forma general:

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 ≠ 0

Este tipo de ecuaciones suelen resolverse con la siguiente fórmula general:

𝑥 =^{−𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐}

2𝑎 (1) De tal forma analizando la discriminante:

- Si 𝑏² − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tendrá dos soluciones reales distintas que son:

𝑥₁ = ^{−𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐}

2𝑎 y 𝑥₂ =^{−𝑏− √𝑏2 −4𝑎𝑐}

2𝑎 .

- Si 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 0, entonces se dice que la ecuación tiene una solución o dos soluciones reales iguales que es: 𝑥 =^−𝑏

2𝑎.

- Cuando 𝑏²− 4𝑎𝑐 < 0, decimos que no hay solución en R o solución compleja.

En otros casos, en las ecuaciones cuadráticas existen formas donde se ausenta uno de los términos (o se hacen ceros), como son:

Si 𝑐 = 0, entonces: 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 = 0 , 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ⇔ 𝑥 = 0; 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 En consecuencia, las soluciones para esta ecuación son: 𝑥 = 0 ; 𝑥 = −^𝑏

𝑎 Si 𝑏 = 0, entonces 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0 que tendrá solución si 𝑐 ≤ 0.

 Luego, las ecuaciones cuadráticas aquí presentadas acogen la siguiente forma

simplificada: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑦 = 0. con 𝑎 ≠ 0. La solución gráfica de esta ecuación cuadrática es una parábola abierta hacia arriba {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ²: 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐}.

4.5 Inecuaciones

Las desigualdades que se presentan a continuación acogen la siguiente forma:

𝑓(𝑥) ≤ 0 𝑜 𝑓(𝑥) ≥ 0, o por el contrario con intervalos precisos (<; >), donde 𝑓(𝑥) son polinomios de grado 1 o 2 para la variable 𝑥 de manera simplificada (Álvarez, Caballero, y Sánchez, 2018).

𝑓(𝑥; 𝑦) ≤ 0 𝑜 𝑓(𝑥; 𝑦) ≥ 0, por el contrario, tiene intervalos precisos, se cumple que: 𝑓(𝑥; 𝑦) es una expresión algebraica de grado uno en las incógnitas 𝑥 𝑒 𝑦 simplificadamente, también: 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑦 con 𝑎 ≠ 0.

4.5.1 Inecuaciones con una incógnita.

En el siguiente párrafo se presenta cómo se desarrolla una inecuación a partir de su forma reducida.

Resolviendo f(x) = 0.

Los puntos que van como solución del polinomio subdividen en la recta a la función en segmentos de recta, donde cada uno de estos intervalos posee un signo permanentemente.

Luego, para averiguar el signo de cada uno de los intervalos de f(x) se evaluará un punto que pertenezca a dicho segmento de recta.

Después, determinando el gráfico solución de una desigualdad de este tipo, esta suele ser un intervalo o la reunión de un grupo de intervalos, donde estos pueden ser la unión de toda la rectal real.

4.5.2 Inecuaciones con dos incógnitas.

La forma de resolver este tipo de desigualdades 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 con 𝑓(𝑥; 𝑦) un polinomio y sus soluciones se representan mediante rectas o parábolas, depende del caso.

Estos distribuyen el eje de coordenadas en dos sectores 𝑓(𝑥; 𝑦), pero el signo permanece.

Luego se elegirá una de estas regiones 𝑓(𝑥; 𝑦). De acuerdo a esto 𝑓(𝑥; 𝑦) será positivo o

negativo, manteniéndose para cada punto que pertenece al sector del eje elegido; luego sí 𝑓(𝑥; 𝑦) tiene signo positivo para (x; y) que pertenece al plano seleccionado, después en toda la región seleccionada el signo de f(x; y) es positivo, se procederá igual si es negativo.

Capítulo V

Ejemplos de aplicaciones en ℝ

5.1 Ejemplo con números racionales e irracionales Ejemplo 1:

En el siguiente gráfico, ¿cuáles son los puntos considerados en la recta para A y B?

Figura 12. Gráfico propuesto para el problema.Fuente: Autoría propia.

Solución:

Se sabe que las líneas punteadas rojas representan una longitud de arco, pues se pretende hallar la hipotenusa y, a la vez, el segmento OA̅̅̅̅ y OB̅̅̅̅, para así ubicar el punto A y B en la recta numérica.

Mediante el teorema de Pitágoras Cateto² + Cateto² = Hipotenusa² 1² + 2² = Hipotenusa²

√5 = Hipotenusa

∴ 𝐀 = √5

Del mismo modo 2² + 3² = Hipotenusa²

√13 = Hipotenusa

∴ 𝐁 = √13

Ejemplo 2:

En la siguiente situación calcular su superficie total, además del y cuántos metros cúbicos tiene un cono de 0,05 m de radio con una generatriz de 0,1 m.

0,1 m = 10 cm 0,05 m = 5 cm

Figura 13. Cono de revolución. Fuente: Autoría propia.

Solución:

Al pedirnos al área total, necesitamos hallar la altura para así encontrar el área lateral, así como recordar las fórmulas que nos ayudan a hallar los ya mencionados y también el volumen.

Hallamos la altura mediante el Teorema de Pitágoras = √10²− 5²= √75 = 5√3 cm.

Reemplazamos los valores en la fórmula del área Lateral:

AL = π. R . g = π. 5.10 = 50 πcm²

Hallamos mediante la fórmula el área de la base: = π . R² = π. 5² = 25π cm²

Para concluir hallando el área total = 50 π + 25 π = 75 π cm² y el volumen mediante la fórmula = ¹

3 π . R². h = ¹

3 π . 5². 5√3 = ^{125 √3 π}₃

5.2 Problemas con ecuaciones e inecuaciones Ejemplo 1:

Calcular el valor de x en la siguiente ecuación: ^𝟑𝐱

𝟓 − 2x + 5 = ^𝟓

𝟐−^𝐱

𝟐

Solución:

Agrupamos: ^𝟑𝐱

𝟓 − 2x +^𝐱

𝟐= ^𝟓

𝟐− 5 Reducimos: ^−𝟗𝐱

𝟏𝟎 = ^𝟓

𝟐

Despejamos la variable: 𝐱 = ^𝟐𝟓

𝟗

Ejemplo 2:

Resolver: 1 − 4x ≤ 0 Solución

Igualamos el polinomio 1 − 4x = 0 ⇔ x =¹

4 y encontramos una de las soluciones.

Ahora bien, encontramos cada intervalo: (−∞,¹

4) y (¹

4, +∞):

Si x ∈ (−∞,¹

4) , 1 − 4x > 0 Si x ∈ (¹₄, +∞): , 1 − 4x < 0

Las soluciones de esta desigualdad serán: [¹

4, +∞), el cual contendrá a x = ¹

4 ∈ ℝ, y el polinomio 1 – 4x = 0.

Figura 14. Desigualdad 1 − 4x ≤ 0. Fuente: Autoría propia.

Ejemplo 3:

Halla y representa el C.S. de la siguiente desigualdad: −𝐱^𝟐− 𝟐𝐱 − 𝐲 > 𝟎 Solución

Representamos la inecuación −x²− 2x − y , igulandola a cero. La representación de las soluciones para esta desigualdad es la región que se ha sombreado, asimismo tomamos nota que no incluimos la figura parabólica, ya que se presenta una línea descontinuada.

Figura 15. Desigualdad −x²− 2x − y > 0. Fuente: Autoría propia.

5.3 Problemas con intervalos:

Ejemplo 1:

Grafica en una misma recta los siguientes intervalos:

A = ]−∞, 2] y A = [−2, +∞[

¿Qué elementos o grupo de elementos pertenecen a ambos conjuntos?

Solución:

Graficamos

Figura 16. Intervalos. Fuente: Autoría propia.

Luego definimos a los elementos de A y B como A ∩ B Entonces, según el gráfico A ∩ B = [−2, 2 ]

Ejemplo 2:

Estimar el mínimo valor entero del perímetro del siguiente triángulo.

Figura 17. Triángulo escaleno. Fuente: Autoría propia.

Solución:

Por propiedad de existencia (Desigualdad triangular):

 x + 5 − x < x − 5 < x + x + 5 5 < x – 5 < 2x + 5 x > 10

 (x + 5) – (x – 5) < x < (x + 5) + ( x − 5) 10 < x < 2x x > 10

 x − (x − 5) < x + 5 < x + (x – 5) 5 < x + 5 < 2x − 5 x > 10

Ahora bien, el perímetro (2𝑝 = 3𝑥) será mínimo cuando x tome su mínimo valor entero, entonces:

Como observamos que el conjunto solución de x toma como mínimo valor a 11 cm.

Reemplazamos en (2𝑝 = 3𝑥), luego el mínimo valor entero del perímetro será:

3(11) = 33 𝑐𝑚

Aplicación didáctica

Sesión de aprendizaje N° 06 - Unidad 01 TÍTULO: “En el centro comercial”

I.- DATOS INFORMATIVOS:

ÁREA : Matemática DOCENTE: JHONATAN RAÚL PACHAS MENDIGUETE SECCIÓN : “A”

DURACIÓN : 90 minutos FECHA : 18-12-2019

II.- PROPÓSITO DE APRENDIZAJE:

COMPETENCIAS

CAPACIDADES DESEMPEÑOS EVIDENCIAS DE

APRENDIZAJE INSTRUMENTOS Resuelve problemas de

cantidad

Usa estrategias y

procedimientos de estimación y cálculo.

Selecciona, combina y adapta estrategias de cálculo, estimación, recursos, y procedimientos diversos para realizar operaciones con raíces inexactas, y para simplificar procesos usando las propiedades de los números y las operaciones, según se adecúen a las condiciones de la situación.

Desarrolla la página 16 de su cuaderno de trabajo y situaciones adicionales en una ficha de trabajo.

Lista de cotejo

ENFOQUES

TRANSVERSALES ACCIONES OBSERVABLES

Enfoque ambiental

Docentes y estudiantes desarrollan acciones de ciudadanía que demuestran conciencia sobre los eventos climáticos extremos ocasionados por el calentamiento global, así como el desarrollo de capacidades de resiliencia para la adaptación al cambio climático.

COMPETENCIAS TRANSVERSALES ACCIONES OBSERVABLES

Se desenvuelve en entornos virtuales generados por las TIC Gestiona información del entorno virtual.

Gestiona su aprendizaje de manera autónoma Organiza acciones estratégicas para alcanzar sus metas de aprendizaje.

III.- MOMENTOS DE LA SESIÓN:

MOMENTOS PROCESOS

PEDAGÓGICOS ESTRATEGIAS TIEMPO

(Minutos)

INICIO

Problematización

Se da la bienvenida a los estudiantes y se presenta la situación problemática: Debido a que los estudiantes del cuarto grado de secundaria de la Institución Educativa “Dionisio Manco Campos” han optada por una cultura de prevención ante el riesgo de adquirir enfermedades debido al cambio climático, ellos toman sus previsiones antes de la exposición al Sol, sobre todo cuando salen de compras. Sobre esto presentamos la siguiente situación: EN EL CENTRO COMERCIAL, Sandra y Milagros van de compras a un centro comercial. Al llegar, Sandra sube al segundo nivel por la escalera eléctrica, mientras que Milagros la espera al pie de esta. Se sabe que la distancia horizontal del pie de la escalera a la proyección del punto más alto de la escalera mide 7 metros. Además, al llegar al segundo nivel, Sandra alcanza una altura de 5 metros con respecto al primer nivel. ¿Cuál será la longitud de la escalera eléctrica?

Figura 18. Centro comercial Fuente: recuperado de

https://www.palimpalem.com/4/MATEMATICABLACKISTAIV/index.html?body6.html

10

Propósito y organización

El docente da a conocer el propósito de la sesión: Realizar operaciones con números

racionales e irracionales al resolver problemas. 5

Motivación

El docente realiza las siguientes preguntas (Manos a la obra):

¿Qué medidas se identifican en la escalera eléctrica? ¿Cómo podríamos representar los

datos de manera gráfica? ¿Habrá algún recurso gráfico en Internet que sirva para ubicar 10

los datos y resolver el problema?

Saberes previos Triángulos rectángulos. Números irracionales y recta numérica 5

DESARROLLO

Gestión y acompañamien- to del desarrollo de las

competencias.

El docente aplica la Estrategia Heurística: Laboratorio Matemático. Uso de software GEOGEBRA geometría dinámica

ACCIÓN REAL

1. Accede a http://web.geogebra.org/app y haz clic en “Geometría” (Santillana, 2016).

Figura 19. Geogebra

Fuente: Recuperado de https://www.geogebra.org/

2. Activa la herramienta y marca los puntos A (0; 0), B (7; 0) y C (7; 5). ¿Qué se obtiene?

3. Activa la herramienta y traza la circunferencia con centro en A y radio AC (figura 20).

Luego, marca D en la intersección con el eje X.

4. Activa la herramienta y une los puntos A y D haciendo clic en cada uno de ellos.

Luego, activa la herramienta y haz clic en cualquier parte del segmento AD (figura 20). ¿Qué valor se obtiene?

40

Figura 20. Geogebra/Geometría Fuente: Recuperado de https://www.geogebra.org/

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE

5. ¿Cuánto vale la hipotenusa? ¿Cómo representas su valor en la recta numérica?

6. ¿A qué conjunto numérico pertenece dicho valor? ¿Cuál es su valor aproximado? ¿Qué representa en el problema?

RELATO

7. Si por equivocación se marca B (8; 0) y C (8; 7), ¿cuáles serían las medidas de la proyección de la escalera sobre el piso del primer nivel y la altura de la escalera eléctrica?

8. En el caso anterior, expresa de manera exacta y aproximada al centésimo la medida de la longitud de la escalera.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

9. Representa en tu cuaderno la escalera sobre un plano cartesiano y utiliza el compás para determinar la longitud de la hipotenusa. Luego, verifica utilizando el teorema de Pitágoras.

CIERRE Evaluación

METACOGNICIÓN

Respondo estas preguntas y analizo mi proceso de aprendizaje.

1. ¿Tuve dificultades para el uso de las herramientas de GeoGebra?

2. ¿Qué nuevas herramientas de GeoGebra conocí en esta actividad?

3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

20

4. ¿Qué situaciones de la vida diaria puedo resolver con GeoGebra?

HETEROEVALUACIÓN

Resuelve con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas por correo a tu profesor(a).

1. Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices A (1; 1), B (6; 6) y C (6; 1).

2. Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 u y 5 u.

3. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 u y √.

IV.- EVALUACIÓN

 Lista de cotejo

V.- RECURSOS Y MATERIALES EDUCATIVOS

 Texto escolar: Matemática 4°

 Cuaderno de trabajo 4°

 Plumones, papelotes, etc.

VI.- ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CASA

 Desarrollan una ficha de trabajo.

Síntesis

Mediante el siguiente trabajo monográfico se intenta recopilar información sobre el campo de los números reales, con la presentación de las sucesiones en los números racionales y la extensión de estos con la existencia de los números no racionales.

Asimismo, se menciona ejemplos y demostraciones mediante los teoremas, axiomas y propiedades de los números racionales.

Cuando se deduce que la recta real no está completa o simplemente al notar huecos se da la necesidad de demostrar la existencia del conjunto de los números irracionales. Partiendo de magnitudes conmensurables e inconmensurables se establece también la necesidad de completar la recta real con el conjunto ya mencionado ℚ.

En conclusión, representamos un nuevo sistema que tiene a los números racionales como subconjunto, que conserva sus propiedades y axiomas correspondientes. En otras palabras, este nuevo conjunto es una ampliación de los números racionales: Se observó el camino correcto que históricamente fue asombroso y retador para los pitagóricos, que en ese entonces trabajaban solo con los números racionales, y que se dieron cuenta de que no podían medir segmentos exactamente.

Luego se enfatiza el campo de los números reales con el uso de sus propiedades y axiomas y principios en distintos ejemplos, al igual que operaciones como los intervalos, el valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones en ℝ.

Para finalizar este trabajo se presentó distintos ejemplos con las operaciones básicas y que se imparten como las aplicaciones en los números reales que se dan hoy en día para los estudiantes de secundaria.

Apreciación crítica y sugerencias

Como estudiante en la universidad, uno recién profundiza lo que en secundaria solo nos describen como la unión de dos grandes conjuntos, formando así el gran conjunto que llamamos el sistema de los números reales. Es como cuando nos cuentan algo, pero no su origen. En verdad, es fascinante y muy importante valorar el trabajo de los matemáticos que en esas épocas resolvieron estas situaciones tan complicadas y que hoy en día son muy obvias para los matemáticos estudiosos.

Sin embargo, un gran detalle que tuve como estudiante fue comprender los teoremas muy complicados que se exponen en diversos libros de matemática básica; por tanto, la didáctica de un docente debe observarse en su máxima expresión. Por ello, en esta monografía se resumen algunos puntos importantes que se deben tener en cuenta para comprender el campo de los números reales a partir de la ampliación de ℚ, así como algunos ejemplos que nos llevan a explicar la existencia de los números no racionales mediante ejemplos de aplicación.

Ahora bien, la enseñanza de estos temas en el nivel secundario debería hacerse con esa profundidad, es decir, que los estudiantes de cuarto año de secundaria conozcan el origen del campo de los reales mediante ejemplos como los que se presentan en esta monografía, al igual que mencionar la intervención de la geometría para la mejor explicación y presentación de la situación que se pretende enseñar.

Aplicado según el contexto mejor escogido por el docente, el conjunto de los números reales puede ser fácilmente explicado partiendo siempre de los números racionales y de la necesidad por la aproximación de algunos que no pueden ser expresados como fracción.

Por último, si hablamos de la educación hoy en día, los estudiantes optan por aprender de manera más rápida y divertida; por tanto, el trabajo docente es más de estrategia por lograr que la enseñanza sea a partir de problemas de contexto real de objetivos significativos.

Referencias

Álvarez, S., Caballero, M. y Sánchez, M. (2018). Ecuaciones e inecuaciones. Universidad de Murcia. España. Recuperado de

https://www.um.es/documents/4874468/9978537/ecuacionesprint.pdf/9f40c07f- e59e-45bb-ba91-b79e63d004d1

Bruzual, R. y Domínguez, M. (2005). Introducción a las sucesiones y series numéricas.

Universidad Central de Venezuela. Recuperado de

https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasII/M2UT5/ssmat3.pdf

Diego, A. y Platzeck, M. (2010). Curso de Matemática General. Universidad de Granada.

España. Recuperado de

https://www.matematica.uns.edu.ar/ingresantes/NrosReales.pdf

Docplayer. (2017). Números reales y sus propiedades. Docplayer. Protection of Private Person. Moscow. Recuperado de https://docplayer.es/37607907-Conjunto-de-los- numeros-reales.html

Ferreirós, J. (2018). Historia de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. Recuperado de https://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Dedekind2.asp.htm Intelectum (2013). Texto escolar Matemática por áreas, quinto grado de secundaria.

Editorial San Marcos. Lima-Perú. Recuperado de https://kupdf.net/download/texto- escolar-pdf_5b07ac16e2b6f5ad0b1bfc98_pdf

Ministerio de Educación (2018). Recursos didácticos. Recuperado de http://jec.perueduca.pe/?page_id=242

Nogués, O. (2018). Augustin Cauchy. Maravillas del mundo. Reino Unido. Recuperado de https://www.maravillas-del-mundo.com/Torre-Eiffel/Pantheon/Augustin-

Cauchy.php

Ortega, J. (2008). Análisis matemático. Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT) Gobierno de México. Recuperado de

https://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/Analisis/Cap1v3.pdf Portal educativo (2018). Ordenar números irracionales y representarlos en la recta

numérica. Portaleducativo.net. Chile. Recuperado de

https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/4/ordenar-numeros-irracionales- representarlos-en-recta-numerica

Santillana (2016). Cuaderno de trabajo matemática 3. Editorial Santillana. Ministerio de Educación del Perú. Recuperado de https://doku.pub/documents/cuaderno-de- trabajo-matematica-3-mqejxjn4m4l5

Apéndices

Apéndice A: Augustin-Louis Cauchy

Apendice B: Julius Wilhelm Richard Dedekind

Apéndice A: Augustin Louis Cauchy

Matemático italiano, nacido en París el veintiuno de agosto del año 1779, y murió en 1857 en ese mismo lugar. Ya que en ese tiempo no había límites de edad, cuando tenía quince años ingresa a la Politécnica Ecole; y en 1804, en la École des Ponts y el Cuerpo de Ingenieros. Después de unos años se dedicó a la enseñanza y a estudiar matemáticas.

Cuando llegaba a los veinticinco años de edad, en 1816, la académica de Ciencias lo elige y lo nombra profesor de mecánica en la Ecole Polytechnique (Nogués, 2018).

Gracias a los aportes de Cauchy, el álgebra y la mecánica lograron desarrollarse.

Altamente productivo, este único y profundo investigador ha publicado más de 500 autobiografías para una colección institucional. Algunos de estos son: Método para

determinar a priori el número de raíces reales (1813); Teoría de las olas (1815); Aplicación del cálculo de residuos a la solución de los problemas de la física matemática (1827);

Sobre la dispersión de la luz (1834); Desarrollo de funciones en series ordenadas según las potencias ascendentes de las variables (1846) (Nogués, 2018).

“Sus primeros años fueron en su familia, y fue el trabajo de su padre, un hombre muy distinguido, que quiso permanecer durante mucho tiempo como el único maestro de sus cuatro hijos. Apasionado por las cosas de la inteligencia, las había inspirado con un verdadero amor por el aprendizaje” (Nogués, 2018). Su pasión por la ciencia matemática se dio a notar rápidamente, testigo de ellos los encontramos en sus apuntes, que se interrumpen debido a que realiza algún cálculo o la gráfica de alguna figura geométrica.

Su habilidad era notable y atrajo la curiosidad de Laplaceet de Lagrange, quien siempre lo encontraba estudiando; este, comentando con sus colegas científicos, una vez dijo: “Miren a este joven, bueno, nos reemplazará a todos como un geómetro” (Nogués, 2018).

Lagrange dijo a su padre que Cauchy debe tener una buena educación en literatura, confesando este que seguiría ese consejo, enviándolo a la Escuela Central del Panteón.

Aplicando luego todo lo aprendido en sus apuntes con elocuencia. Además, en 1804, antes de recibirse, recibe un premio de la Humanidad en la primera distribución del Concours General.

Tuvo una prolija y maravillosa producción intelectual, distribuida en veintiséis libros editada por Gauthier Villars y su hijo, supervisada y dirigida por la Academia de Ciencias y auspiciado por el Ministerio de Educación Pública.

Figura A21. Augustín Cauchy. Fuente:

Recuperado de https://www.maravillas-del- mundo.com/Torre-Eiffel/Pantheon/Augustin- Cauchy.php

Apéndice B: Julius Wilhelm Richard Dedekind

De nacionalidad alemana, nace el seis de octubre 1831, fue una figura influyente que dio inicio a las matemáticas conjuntistas y estructurales del siglo pasado.

La importancia de sus obras ha sido constantemente evaluada los últimos 30 años, teniendo como resultado su buena imagen. Considerado como un Euclides del siglo actual, deja un trabajo significativo de elementos matemáticos. Es reconocido por sus aportes en las definiciones sobre números reales y naturales, pero su mayor aporte es en el álgebra, en especial en la teoría de números algebraicos.

Mientras estudiaba por el año 1850, visitó a la Universidad de Göttingen,

asistiendo a las clases de matemáticos como Gauss sobre los mínimos cuadrados y sobre física experimental de Weber. Culminando su doctorado, participó como miembro del Seminario Físico-Matemático, donde conocería a Riemann, quien influenciaría en su carrera como matemático.

Para 1858 funge de profesor del Politécnico en Zurich, ideando su concepto de número Real, mediante cortadoras. A su regreso a Braunschweig (Alemania), en 1862, se dedica únicamente a publicar la producción matemática de sus profesores:

“las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet (1863) y algunos trabajos de Riemann (en 1868, los célebres trabajos de habilitación, sobre geometría y sobre teoría de funciones reales, con la definición de la integral; en 1876, las obras completas editadas por él …)”

(Ferreirós, 2018, pág. 2).

El hallazgo de que R se podía representar en función de Q a partir de la teoría de conjuntos, tuvo una influencia fuerte en Dedekind y en la mayor parte de matemáticos de ese lugar. Dedekind pensaba que la teoría de conjuntos comprendía solo parte de la lógica

elemental, llegando a convencerse escribiendo: “la aritmética”, pero también “el álgebra y el análisis”, “sólo una parte de la lógica”.

Todo ello trajo como consecuencia la constitución de una teoría de los números naturales, fundamentada solo en la teoría de conjuntos y aplicaciones. Los conjuntos y las aplicaciones se convertirían en las piedras básicas con las que se construía todo el edificio de la nueva matemática estructural.

Figura B1. Richard Dedekind. Fuente:

Recuperado de

https://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/

docs/autores/pag/mat/Dedekind.asp.htm