y= x - 5y = 3 2x + 10y = 29 x= y=

Texto completo

(1)y=. 4x - 5y = 2x + 10y x= -8.000. y=.

(2) BLOQUE 3. = 4.500. = 3 = 29. -7.000 45. 135 90.

(3) Propósitos de la sesión. Obtener la regla verbal que genera una sucesión de números con signo en la que el valor de los términos va aumentando; en la regla se dice cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término de la sucesión. Obtener la sucesión a partir de una regla de ese tipo. Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente recuerde a los alumnos a qué se refieren las expresiones “término” y “lugar del término”. Puede preguntarles ¿Cuál es el primer término de la sucesión… y el segundo?, ¿En qué lugar de la sucesión está el término 7 y el 25?. secuencia 18. Sucesiones de números con signo En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtendrás la regla que genera una sucesión de números con signo. SESión 1. ¿CUÁL ES LA REGLA?. Para empezar Sucesiones de números. En la secuencia 3 de tu libro Matemáticas i, volumen i trabajaste con sucesiones de figuras y con sucesiones de números. En esta secuencia, continuarás estudiando las sucesiones de números y las reglas que permiten obtener cada uno de sus términos.. Descripción del video. Se hace una introducción al tema con la presentación y descripción de sucesiones famosas a lo largo de la historia tales como la sucesión de Fibonacci y la dada por Gauss para obtener la suma de los primeros 100 números naturales.. Consideremos lo siguiente Completa los términos que faltan en la siguiente sucesión de números: –5, –2,. 1. , 4, 7, 10,. 13. , 16,. 19 , 22. , 25, 28, 31, 34 , 37,40. ,…. a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.. “Van de tres en tres”, “Aumenta de tres en tres y empieza en -5” b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?. Propósito de la sesión en el aula de medios. Hallar los números que faltan para completar una tabla que contiene números con signo.. 82. c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?. El lugar 43. Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla.. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.. Manos a la obra i. Señala cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla sumar tres al término anterior.. Propósito de la actividad. La sucesión es parecida a las que se trabajaron en primero, la diferencia es que ahora se incluyen términos negativos. Se espera que los alumnos logren expresar la regla de manera verbal. Posibles procedimientos. Es relativamente sencillo que los alumnos logren identificar que los términos van aumentando de 3 en 3; es posible que identifiquen esta regularidad primero con los números positivos y que después la apliquen a los números negativos con los que inicia la sucesión. Para formular la regla general es probable que la expresen verbalmente por ejemplo: “van de tres en tres”, “aumenta de tres en tres y empieza en –5” , “Se suma tres al término anterior”. La regla algebraica es 3n – 8, sin embargo es poco probable que los alumnos la expresen de esa manera; en caso de que alguno llegara a formularla, invítelo a que la compare con las reglas verbales de otros compañeros. Para encontrar el término en el lugar 30 pueden hacer la lista con los primeros 30 términos. También es probable que algunos alumnos continúen la lista hasta los primeros 43 términos para determinar que lugar ocupa el número 121. Durante el intercambio grupal motive a los alumnos para que identifiquen una o más reglas que permitan obtener la sucesión. 28. Libro para el mae s t r o. • –15, –11, –7, –3, 1, 5, …. • –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …. • 3, 6, 9, 12, 15, 18, …. • –14, –6, 2, 10, 18, 26, …. • –4, –1, 2, 5, 8, 11, …. • –12, –9, –6, –3, 0, 3, …. • –8, –3, 2, 7, 12, 17, … 12. MAT2 B3 S18.indd 12. Propósito del interactivo. Explorar diferentes sucesiones numéricas. Que los alumnos analicen y completen diferentes sucesiones numéricas.. 9/10/07 12:28:21 PM. Propósito de las actividades I y II. Se espera que los alumnos identifiquen que, con una regla verbal del tipo sumar tres al término anterior o sumar cinco al término anterior, se pueden obtener muchas sucesiones distintas, pero si se indica cuál es el primer término, entonces sólo se obtiene una sucesión. Respuestas. 3, 6, 9, 12, 15, 18, … –4, –1, 2, 5, 8, 11, … –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, … –12, –9, –6, –3, 0, 3, ….

(4) MATEMÁTICAS. II. Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos a qué se refiere la expresión “La diferencia entre dos términos consecutivos de una sucesión”; si lo considera conveniente pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a hacer la resta para encontrar la diferencia en una sucesión. La diferencia entre dos términos les servirá, posteriormente, para encontrar las reglas algebraicas y para distinguir si una sucesión es creciente o decreciente.. II. Responde las preguntas: a) ¿Con la regla sumar cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesiones o una sola sucesión? b) Encuentra una sucesión que se obtenga con esta regla. c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que escribiste es sumar cinco al término anterior y el primer término es d) ¿Por qué crees que esta regla sea más precisa?. Propósitos de la actividad. Que obtengan la diferencia entre dos términos consecutivos de cada sucesión; identifiquen la regla verbal que sirve para obtener de manera única una sucesión, y que obtengan una sucesión a partir de la regla verbal.. Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos términos consecutivos de una sucesión se obtiene al restar a un término el término anterior. ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontraron en el . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dos inciso b)? términos consecutivos sea 7. III. Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas: a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35, … es sumar seis al tér-. Respuestas:. mino anterior y el primer término es. a) Sumar seis al término anterior y el primer término es 5.. b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? c) Una regla para obtener la sucesión –12, –10, –8, –6, –4, –2, … es sumar. b) La diferencia es 6.. al término anterior y el primer término es d) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?. c) Sumar dos al término anterior y el primer término es –12.. e) Escribe la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y el primer término es –14:. d) La diferencia es 2.. f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión?. e) –14, –9, –4, 1 , 6, 11,…. A lo que llegamos. f) La diferencia es 5.. En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior.. Sugerencia didáctica. Lea esta información junto con sus alumnos apoyándose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente puede pedir a los alumnos que propongan otra sucesión numérica como ejemplo y que den la regla verbal para obtener esta sucesión.. La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo: En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, … 13. MAT2 B3 S18.indd 13. 9/10/07 12:28:22 PM. Eje. Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.. Sentido numérico y pensamiento algebraico.. Tema. Sesión. Propósitos de la sesión. Recursos. 1. ¿Cuál es la regla? Obtener la regla verbal que genera una sucesión de números con signo en la que el valor de los términos va aumentando; en la regla se dice cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término de la sucesión. Obtener la sucesión a partir de una regla de ese tipo.. Video Sucesiones de números Interactivo Sucesiones de números con signo Aula de medios Descripción de programas (Calculadora). 2. Números que crecen Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.. Interactivo Sucesiones de números con signo. 3. De mayor a menor Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.. Interactivo Sucesiones geométricas con Logo Programa integrador 13. Significado y uso de las literales.. Antecedentes En la secuencia 3 de Matemáticas I, volumen I, los alumnos aprendieron a representar sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa; en la secuencia 4 del mismo libro aprendieron a interpretar las letras como números generales con los que es posible operar. En Matemáticas II se retoman las sucesiones numéricas con la finalidad de que los alumnos continúen buscando regularidades, y de que aprendan a formularlas, y a argumentar su validez. En esta ocasión las sucesiones incluyen números con signo.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 29.

(5) secuencia 18 La diferencia entre dos términos consecutivos se calcula al restar a un término el término anterior, por ejemplo: 7 – 2 = 5. La regla verbal es: sumar 5 al término anterior y el primer término es –8. Si no se indica cuál es el primer término, se pueden obtener muchas sucesiones utilizando la misma regla.. Propósito de la actividad. Que amplíen la sucesión que trabajaron en el apartado Consideremos lo siguiente con la finalidad de que identifiquen la dificultad de encontrar cualquier término utilizando sólo una regla verbal.. iV. Una regla para obtener la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, 10, … (es la misma que está en el apartado Consideremos lo siguiente) es sumar primer término es. 3. al término anterior y el. –5. a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?. 3. b) Completa la siguiente tabla con algunos de los términos de la sucesión.. Posibles procedimientos. Pueden observar que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del término en el lugar 5 al término en el lugar 10, el valor del término aumenta 15 y si se avanza 10 lugares, el valor del término aumenta 30.. Lugar del término. Término de la sucesión. 1. –5. 2. –2. 3. 1. Respuestas.. 4. 4. c) Aumenta 30.. 5. 7. d) 142.. 10. 22. e) 292.. 15. 37. 20. 52. 30. 82. 40. 112. c) Para pasar del término en el lugar 30 al término en el lugar 40, se avanza 10 lugares. ¿Cuánto cambia el valor del término? d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 50? e) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100? Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar todos los términos. 14. MAT2 B3 S18.indd 14. 30. Libro para el mae s t r o. 9/10/07 12:28:24 PM.

(6) MATEMÁTICAS. II. Respuestas.. Lo que aprendimos. a) La diferencia es 7.. Responde las preguntas para la siguiente sucesión:. b) La regla verbal es: sumar 7 al término anterior y el primer término es –23.. –23, –16, –9, –2, 5, 12,19, .... a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los términos de la sucesión?. nÚMEROS QUE CRECEn. SESión 2. Para empezar. Propósito de la actividad. Proponer reglas verbales y algebraicas en las que utilizan el lugar del término .. En la sesión anterior encontraste la regla verbal para una sucesión de números con signo diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. En esta sesión obtendrás la regla algebraica utilizando el lugar que ocupa cada término. Para la siguiente sucesión de números:. Respuestas. a) La diferencia es 4.. 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, …. a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) Señalen con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener los términos de la sucesión. La n indica el lugar del término. • 2n + 4. • Sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2. • 4n + 2. • 4n – 2. c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes.. Consideremos lo siguiente. b) Hay dos respuestas correctas: 4n – 2 y sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2.. Recuerden que: nos entre dos térmi • La diferencia lcula al restar ca se os tiv ecu cons . término anterior a un término el ra pa las reg s ria va • Cuando hay a sucesión de obtener la mism las dice que son reg se , números . s nte ale equiv. c) Las reglas equivalentes son sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2 y 4n – 2. Sugerencia didáctica. En el inciso b) se espera que los alumnos identifiquen las dos reglas correctas, en caso de que sólo identifiquen una de ellas usted puede animarlos a buscar si hay otra más. Si eligen una regla incorrecta, durante la confrontación grupal pídales que identifiquen los primeros términos de la sucesión que se obtienen con esa regla.. Completa la siguiente tabla para encontrar los términos que se indican en cada sucesión: Reglas algebraicas. Lugar del término. 1 2 3 4 10 100 115. 3n. 3 6 9 12 30 300 345. Propósitos de la sesión. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.. 3n + 1. 3n – 7. 3n – 10. 4 7 10 13 31 301 346. –4 –1 2 5 23 293 338. –7 –4 –1 2 20 290 335. 3n – 16. –13 –10 –7 –4 14 284 329. Para el inciso c) invítelos a que justifiquen por qué consideran que tales reglas son equivalentes.. 15. MAT2 B3 S18.indd 15. Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es la misma.. 9/10/07 12:28:26 PM. Propósito del Interactivo. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es la misma.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 31.

(7) Respuestas. a) La diferencia es 3.. secuencia 18 a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en cada una de estas sucesiones?. b) 3n –8. c) El número 278 no aparece en la sucesión.. b) Para la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, … ¿Cuál es la regla algebraica que nos permite encontrar el término que está en el lugar n ?. Sugerencia didáctica. Si observa que algunos alumnos tienen dificultades para encontrar la regla de la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, ... puede sugerirles que intenten encontrar los términos de otras sucesiones que tengan reglas en las que la n se multiplica por 3.. c) ¿Aparece en esta sucesión el número 278? Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar la regla.. Manos a la obra i. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n – 7.. Si tienen dificultades para determinar si el número 278 está en la sucesión, usted puede sugerirles que obtengan algunos términos de la sucesión que se acerquen a 300. Un buen procedimiento es encontrar el término en el lugar 100 (es 292) y observar que 289, 286, 283, 280 y 277 sí están en la sucesión, pero 278 no.. a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar. al término. anterior y el primer término es b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40? c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término? d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 48? ii. Responde las preguntas sobre la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, … a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?. Otra forma de resolver, es explorar si 278 resulta de la aplicación de la regla 3n – 8: a 278 se le suma 8, y el resultado se divide entre 3. Este procedimiento implica despejar a n ; no se espera que los alumnos lo resuelvan de esta manera, pero si algunos de ellos se acercan a este procedimiento, usted puede ayudarles precisando las relaciones entre los datos.. b) Observa las dos sucesiones 3,. 6,. 9,. 12,. 15,. 18, …. 1,. 4,. 7,. 10,. 13,. 16, …. ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión (3, 6, 9, 12, 15, 18, …)?. c) Subraya la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión: • Restar 2. Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos comenten cómo cambian las sucesiones cuando cambia la regla, para ello usted puede preguntar cómo cambia el valor del primer término en cada una de las sucesiones.. • Sumar 2 d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …?. 16. Propósito de la actividad. Que comparen la utilidad de los dos tipos de reglas (la verbal y la algebraica) para encontrar cualquier término en la sucesión. Respuestas. a) Sumar 3 al término anterior y el primer término es –4. b) 113. d) 137. Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos consideren que la regla algebraica es más difícil de utilizar que la regla verbal; si fuera el caso usted puede preguntarles cómo utilizarían cada una de las reglas para encontrar el término que está en el lugar 1 350. Con este ejemplo se espera que los alumnos identifiquen la utilidad de la regla algebraica.. 32. Libro para el mae s t r o. MAT2 B3 S18.indd 16. Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma de establecer la regla algebraica de una sucesión. Se comparan los términos de la sucesión que se obtiene con la regla 3n con los de la otra sucesión (1, 4, 7, 10, 13, 16, …), esto se hace con la finalidad de establecer la operación que permite pasar de un término de la primera sucesión, al término que le corresponde en la segunda sucesión y de esta manera encontrar la regla algebraica para obtener la segunda sucesión. En este caso la operación que se debe hacer es restar 2 y entonces la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, … es 3n – 2.. 9/10/07 12:28:28 PM. Es posible que algunos alumnos hayan encontrado sus propios procedimientos para obtener la regla algebraica. Se sugiere que pida a esos alumnos que pasen al pizarrón a explicar sus procedimientos. Respuestas. a) La diferencia es 3. b) 3n . c) Restar 2. d) 3n – 2..

(8) MATEMÁTICAS. II. Propósito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesión que se obtiene con la regla 5n con dos sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es 5, de esta manera lograrán obtener la regla algebraica de cada sucesión.. III. Observa el diagrama y responde las preguntas. 5,. 10,. 15,. 20,. 25,. 30, …. 6,. 11,. 16,. 21,. 26,. 31, …. En la confrontación grupal usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrón a hacer el diagrama para comparar la sucesión que se obtiene con la regla 5n con la sucesión –11, –6, –1, 4, 9, 14, …. a) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión? b) ¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión? c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 6, 11, 16, 21, 26, 31, …?. Respuestas.. d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión –15, –10, –5, 0, 5, 10, …?. a) 5n . b) Sumar 1.. Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar las reglas algebraicas y encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesión –11, –6, –1, 4, 9, 14, …. c) 5n + 1. d) 5n –20.. A lo que llegamos En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada. Por ejemplo: En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, la diferencia es de 5. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente término en la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, debemos restar 13. Entonces la regla para obtener la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, … es 5n – 13.. 17. MAT2 B3 S18.indd 17. 9/10/07 12:28:31 PM. Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos apoyándose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente usted puede proponer otra sucesión para que identifiquen la diferencia entre los términos consecutivos y para que establezcan la regla algebraica.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 33.

(9) Respuestas.. secuencia 18. a) 492.. iV. Para la sucesión que se obtiene con la regla 5n – 8:. b) No.. a) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?. c) Sí.. b) ¿El número 500 está en la sucesión? c) ¿El número 497 está en la sucesión?. d) 142.. d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?. e) Está en el lugar 28.. e) ¿En que lugar de término está el número 132?. Una forma de averiguar si un número está en una sucesión determinada, es por medio de estimaciones: a partir de un término que ya se conoce de la sucesión y que sea cercano al término propuesto. Para obtener el lugar de un término, se puede proceder también por aproximaciones; otra forma es recurrir a la misma regla para despejar a n , por ejemplo, para encontrar el lugar del término del número 132 a partir de la regla 5n – 8, se suma 8 y luego se divide entre 5.. Comparen sus respuestas.. Lo que aprendimos 1. Encuentra los primeros 10 términos de las sucesiones que se obtienen con las siguientes reglas: a) Sumar 8 al término anterior y el primer término es –19 b) 7n – 25 c) 2n – 4.5 2. Responde las preguntas para la sucesión –23, –16, –9, –2, 5, 12,19, … a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?. Sugerencia didáctica. La sucesión que se obtiene con la regla del inciso c) tiene números decimales; es importante que los alumnos practiquen el manejo de estos números al obtener la sucesión.. c) La regla verbal para obtener esta sucesión es sumar. al término an-. terior y el primer término es d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 78? e) ¿En qué lugar de término está el número 201?. Respuestas.. 3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesión:. a) –19, –11, –3, 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53,…. –2.5, –1.5, –0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, …. a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?. b) –18, –11, –4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45,…. b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesión.. c) –2.5, –0.5, 1.5, 3.5, 5.5, 7.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5,…. c) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 25 en la sucesión? d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 278? e) ¿Qué lugar ocupa el número 101.5 en esta sucesión?. 18. MAT2 B3 S18.indd 18. 9/10/07 12:28:31 PM. Respuestas.. Propósito de la actividad. Que los alumnos trabajen con sucesiones en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es 1, por lo que en la regla algebraica la n aparece sin coeficiente, al estar multiplicada por 1.. a) La diferencia es 7. b) 7n – 30. c) Sumar 7 al término anterior y el primer término es –23 .. Respuestas.. d) 516.. a) La diferencia es 1.. e) En el lugar 37.. b) n – 3.5 c) 21.5 d) 274.5 e) El lugar 105.. 34. Libro para el mae s t r o.

(10) MATEMÁTICAS. II. 4. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas.. Términos de la sucesión. Reglas. ( b ) –10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, …. (a) 5n – 13 (b) 2n – 12. ( g ) –7, –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, …. (c) 4n – 15 (d) 2n – 8. ( h ) –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, …. Propósitos de la sesión. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.. (e) 4n – 7 ( c ) –11, –7 –3, 1, 5, 9, 13, 17, …. (f) 5n – 16 (g) 4n – 11. ( f ) –11, –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, …. (h) 5n – 18 (i) 2n – 10. ( i ) –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …. DE MAYOR A MEnOR. SESión 3. Para empezar. En la sesión anterior, encontraste reglas para sucesiones en las que los términos iban aumentando. Ahora trabajarás con sucesiones en las que los términos van disminuyendo. Encuentren los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –4n.. –4, –8, –12, –16, –20, –24, –28, –32, –36, –40 –4. ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?. Sugerencia didáctica. Para obtener la diferencia usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrón a realizar la operación:. Consideremos lo siguiente Completa la siguiente sucesión de números: 6, 2,. ,. , –10,. , –18, –22,. Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren una regla algebraica en la que la n está multiplicada por un número negativo. Se espera que los alumnos generen la sucesión numérica que se obtiene al aplicar la regla –4n ; esta sucesión será importante para elaborar, posteriormente, la regla que permite encontrar el término en el lugar n .. ,. ,. ,…. (–8) – (–4) = (–8) + 4 = –4. a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?. De esta manera, además, podrán recordar cómo se hace una resta de números negativos.. b) Escribe una regla para encontrar el término en el lugar n. Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla y la diferencia entre dos términos consecutivos.. 19. MAT2 B3 S18.indd 19. Propósito de la actividad. Proponer la regla algebraica para obtener una sucesión en la que los términos van disminuyendo.. 9/10/07 12:28:32 PM. Posible respuesta. Algunos alumnos podrían escribir Restar 4 al término anterior y el primer término es 6. Si bien esta regla es correcta, lo que se pide es el término en el lugar n y esto debe hacerse con una regla algebraica; no obstante esa regla verbal es aceptable por el momento.. Respuestas. 6, 2, –2, –6, –10, –14, –18, –22, –26, –30, –34, … a) –4. b) –4n + 10.. Posibles errores. Algunos alumnos podrían considerar que la diferencia es de 4 y que la regla es 4n + 2. Otros más podrían considerar que la diferencia es de –4, pero pueden proponer reglas incorrectas: –4n + 2 o –4n –2. Durante la confrontación grupal puede pedirles que pasen al pizarrón a escribir los primeros términos de la sucesión que se obtienen con estas reglas e invitarlos a que discutan cuáles reglas son válidas y cuáles no.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 35.

(11) Propósito de la actividad. Identificar que hay tres reglas posibles para obtener esta sucesión: dos reglas verbales y la regla algebraica. Durante la sesión se utilizan reglas verbales del tipo sumar (–4) al término anterior y el primer término es, para que identifique que, en estas sucesiones, la diferencia entre dos términos consecutivos es –4 y en la regla algebraica se multiplica la n por –4.. secuencia 18. Manos a la obra i. Señala con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener cada uno de los términos de la sucesión. • Sumar 4 al término anterior y el primer término es 6. • Restar 4 al término anterior y el primer término es 6. • –4n – 2 • –4n + 10 • 4n + 2 • Sumar ( –4) al término anterior y el primer término es 6.. Respuestas. • Restar 4 al término anterior y el primer término es 6.. ii. Responde las preguntas: a) En la sucesión –7, –3, 1, 5, 9, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?. • –4 n + 10. b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?. • Sumar (–4 ) al término anterior y el primer término es 6.. c) En la sucesión 14, 10, 6, 2, –2, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo? d) Una regla verbal para obtener esta última sucesión es restar. al. término anterior y el primer término es. Propósito de la actividad. Que los alumnos expresen la regla verbal para obtener una sucesión en la que los términos van disminuyendo y que encuentren la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión.. e) La sucesión también la podemos obtener con la regla sumar. al. término anterior y el primer término es f) Para calcular la diferencia entre dos términos consecutivos, haz la resta del segundo término menos el primer término:. Respuestas.. –. =. iii. Encuentra los primeros diez términos de las sucesiones que se obtienen con las reglas indicadas.. a) Van aumentando. Recuerda que: nes Las multiplicacio y divisiones se e las hacen antes qu . sumas y restas. b) 4. c) Van disminuyendo. d) Restar 4 al término anterior y el primer término es 14.. Lugar del término. 1. (–4) ×1+6=. 2. (–4) × 2 + 6 =. –6. –10. –14. –18. –22. –26. –30. –34. 3 4 5. e) Sumar –4 al término anterior y el primer término es 14.. 6 7 8. f) 10 – 14 = –4.. Regla algebraica. –4n + 6. 9 10. 2 –2. –4n – 2 (–4) × 1 − 2 = (–4) × 2 − 2 =. –14 –18 –22 –26 –30 –34 –38 –42. –6 –10. –4n – 5 (–4) × 1 − 5 = (–4) × 2 − 5 =. –9 –13. –17 –21 –25 –29 –33 –37 –41 –45. 20. MAT2 B3 S18.indd 20. Propósito de la actividad. Que los alumnos apliquen reglas algebraicas en las que la n está multiplicada por un número negativo.. 36. Libro para el mae s t r o. 9/10/07 12:28:35 PM.

(12) MATEMÁTICAS. II. a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de estas sucesiones?. Respuestas.. b) En estas sucesiones, ¿los términos van aumentando o disminuyendo?. a) La diferencia es –4. b) Van disminuyendo.. Comparen sus respuestas. IV. Responde las preguntas sobre la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, … a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión? b) En la regla algebraica para obtener cada uno de los términos de la sucesión, debe-. Propósito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesión que se obtiene con la regla –4n con la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, ..., para obtener la regla algebraica de la sucesión que se les presenta.. mos multiplicar la n por c) Observa las dos sucesiones: –4, –8, 7,. 3,. –12,. –16,. –20,. –24, …. –1,. –5,. –9,. –13, …. Respuestas.. ¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?. a) –4.. d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …?. b) –4. c) Sumar 11.. Comparen sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la sucesión –11, –15, –19, –23, –27, –31, …. d) –4 n + 11.. A lo que llegamos Para las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante: •. Si la constante es positiva, los términos van aumentando.. •. Si la constante es negativa, los términos van disminuyendo.. Respuesta. La regla es –4 n –7. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y que apliquen el mismo procedimiento que se plantea en la actividad IV para verificar si la regla que propusieron es correcta o no.. En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada. Por ejemplo: En la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …., la diferencia es de –3. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla –3n, a su correspondiente término en la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …, debemos sumar 1. Entonces la regla para obtener la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, … es –3n + 1. 21. MAT2 B3 S18.indd 21. 9/10/07 12:28:38 PM. Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos, posteriormente puede pedirles que escriban en sus cuadernos otras sucesiones y sus reglas algebraicas en las que la diferencia sea negativa.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 37.

(13) Respuestas.. secuencia 18. a) 23, 17, 11, 5, –1, –7, –13, –19, –25, –31.. V. Responde las preguntas. a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla sumar (–6) al término anterior y el primer término es 23.. b) –6 n + 29. c) 7, 2, –3, –8, –13, –18, –23, –28, –33, –38. d) Sí son equivalentes.. b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?. Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades usted puede pedirles que obtengan los primeros términos de cada sucesión. Una manera algebraica de ver que son equivalente es transformando la segunda expresión en una suma: 23 – 6n = 23 + (–6n ) = –6n + 23.. c) ¿Cuáles son los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –5n + 12?. d) ¿Son equivalentes las reglas –6n + 23 y 23 – 6n? Explica tu respuesta:. Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7 – n y –n + 7.. Respuesta.. Lo que aprendimos. Son equivalentes.. 1. Responde las preguntas.. Sugerencia didáctica. Usted puede pedirles a dos alumnos que pasen al pizarrón a obtener los primeros términos de cada sucesión. Otra manera de verlo es:. a) ¿En la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, … los términos van aumentando o disminu-. 7 – n = 7 + (–n ) = –n + 7.. d) Otra regla para obtener la sucesión es sumar. yendo? b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión? c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión? al término anterior y. el primer término es e) ¿En la sucesión –5, –10, –15, –20, –25, –30, … los términos van aumentando o. Respuestas.. disminuyendo?. a) Van aumentando.. f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?. b) 5.. g) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?. c) 5 n – 17.. h) Otra regla para obtener la sucesión es sumar. al término anterior y. el primer término es. d) Sumar 5 al término anterior y el primer término es –12.. 2. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –n – 18. Indica la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.. e) Van disminuyendo. f) –5. g) –5 n.. 22. h) Sumar –5 al término anterior y el primer término es –5.. MAT2 B3 S18.indd 22. Integrar al portafolios. Considere los problemas 2, 3 y 4 para evaluar los aprendizajes de los alumnos. Respuestas problema 2. Primeros 10 términos de la sucesión: –19, –20, –21, –22, –23, –24, –25, –26, –27, –28. La diferencia entre dos términos sucesivos es –1.. 38. Libro para el mae s t r o. 9/10/07 12:28:38 PM.

(14) MATEMÁTICAS. II. Propósito de la actividad. Este problema presenta un grado de dificultad mayor, pues no se conocen dos términos consecutivos; este tipo de problemas permite que los alumnos exploren otros aspectos de las sucesiones numéricas y de las reglas que las determinan; en este caso, les permite indagar sobre las condiciones presentadas que establecen la diferencia entre dos términos consecutivos.. 3. Encuentra una regla para las siguientes sucesiones: a) Que el segundo término sea 7 y el cuarto término sea 19. b) Que el tercer término sea 1 y el sexto término sea –14. 4. En la columna de la izquierda se presentan algunas reglas algebraicas y en la columna de la derecha, algunas reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equivalentes. Regla algebraicas. ( g ) 4n – 12. ( h ) –4n – 8. ( e ) –7n + 10. ( c ) 7n – 10. ( d ) –4n – 12. ( f ) 7n – 4. Reglas verbales. (a) Sumar (–7) al término anterior y el primer término es 10. Posibles procedimientos. Una estrategia para resolver es calcular cuánto cambió el valor de los términos considerando el número de lugares entre un término y otro: en la primera sucesión, la diferencia entre 7 y 19 es 12 unidades, y hay 2 lugares entre ambos términos: 12 ÷ 2 = 6; la diferencia entre dos términos consecutivos es 6. La sucesión es 1, 7, 13, 19, 25, 31, … En la segunda sucesión, entre 1 y –14 se disminuye 15 unidades, y hay 3 lugares entre esos dos términos: –15 ÷ 3 = –5; la diferencia entre dos términos consecutivos es –5. La sucesión es 11, 6, 1, –4, –9, –14, –19, …. (b) Sumar 4 al término anterior y el primer término es –12 (c) Sumar 7 al término anterior y el primer término es –3 (d) Sumar (–4) al término anterior y el primer término es –16 (e) Sumar (–7) al término anterior y el primer término es 3 (f) Sumar 7 al término anterior y el primer término es 3 (g) Sumar 4 al término anterior y el primer término es −8 (h) Sumar (−4) al término anterior y el primer término es −12. Respuestas:. 5. Para conocer más sucesiones de números con signo pueden ver el programa Sucesiones de números con signo.. a) Regla verbal: sumar 6 al término anterior y el primer término es 1. Regla algebraica: 6 n – 5.. Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. El piropo matemático, de los números a las estrellas. México: SEP/Editorial Lectorum, Libros del Rincón, 2003. Sobre las sucesiones de números con signo consulta: http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_ aritmeticas.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. Explora las actividades del interactivo Sucesiones geométricas con Logo. 23. MAT2 B3 S18.indd 23. 9/10/07 12:28:39 PM. b) Regla verbal: sumar –5 al término anterior y el primer término es 11. Regla algebraica: –5 n + 16.. Propósito del programa integrador 13. Ejemplificar cómo se construye una sucesión de números con signo a partir de una regla dada y mostrar cómo se obtiene la regla que genera una sucesión de este tipo. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.. Propósito del interactivo. Explorar y construir sucesiones geométricas.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 39.

(15) secuencia 19. Ecuaciones de primer grado. Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen. Sugerencia didáctica. Con la finalidad de que las reglas queden claras, inicie usted el juego “adivinando” los números que piensen dos o tres de sus alumnos. Primero puede pedir a los alumnos que piensen números naturales de 1 o 2 cifras, posteriormente puede indicarles que utilicen números decimales y negativos.. En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones con una incógnita. sesión 1. Piensa un número. Para empezar. • El jugador A piensa un número y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro entrada. Después realiza las operaciones indicadas y le dice a B el número que obtuvo en el cuadro salida.. Propósito de la sesión en el aula de medios. Resolver ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c .. Multiplícalo por 10. Súmale 12. Entrada. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.. Salida Diagrama 1. • El jugador B tiene que encontrar el número que el jugador A escribió en la entrada y decírselo.. Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos puedan identificar que, para obtener el número de entrada, es necesario invertir las operaciones: al número que se obtiene en la salida, se le resta 12 y luego se divide entre 10.. • Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno.. Consideremos lo siguiente Los números de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama anterior. Escriban los números de entrada correspondientes.. Posibles dificultades. En caso de que algunos alumnos hayan optado por un procedimiento erróneo, ese procedimiento encontrará sus limitaciones en el caso de Raúl, pues el número de entrada es negativo. Respuestas.. Nombre. Entrada. Brenda. 53. 542. Salida. Saúl. 69. 702. Jesús. 824.5. Raúl. 4. Comparen sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.. Jesús: 81.25 Raúl: –0.8. 24. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.. MAT2 B3 S19.indd 24. Sesión. Tema Significado y uso de las literales.. 9/10/07 12:29:11 PM. Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones con una incógnita.. 1. Propósitos de la sesión Piensa un número Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen.. Antecedentes. En Matemáticas I, los alumnos aprendieron a resolver ecuaciones de la forma a + x = b, ax = b y ax + b = c, con coeficientes enteros positivos. En esta secuencia aprenderán a plantear y resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros o fraccionarios, enteros y negativos.. 40. Libro para el mae s t r o. 2. El modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad.. 3. Más allá del modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros y fraccionarios, positivos y negativos.. 4. Miscelánea de problemas Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la solución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.. Recursos Aula de medios Ecuaciones (2) (Hoja de cálculo) Video La balanza Interactivo Resolución de ecuaciones Aula de medios Números perdidos (Calculadora). Programa integrador 14.

(16) MATEMÁTICAS. II. Manos a la obra. Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la regla que permite encontrar el número de Entrada.. I. Consideren que el número de Salida es 72. Escriban los números que deben ir en el círculo azul y en el cuadro rojo.. Multiplícalo por 10. Súmale 12. 72. Entrada. Salida. Respuestas.. Diagrama 2. a) Restar: 72 – 12 = 60. a) ¿Qué operación hicieron con el número 72 para encontrar el número que va en el. b) Dividir: 60 ÷ 10 = 6. círculo azul? b) ¿Qué operación hicieron con el número del círculo azul para encontrar el número del cuadro de Entrada? c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron para encontrar los números faltantes.. 824.5. Entrada. Divídelo entre 10. Réstale 12. Salida. Diagrama 3. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que las líneas punteadas indican el procedimiento “de regreso” para encontrar el número inicial.. II. Completen el siguiente diagrama. Multiplícalo por 10. Súmale 12. 8. Entrada. Salida. 25. MAT2 B3 S19.indd 25. 9/10/07 12:29:12 PM. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 41.

(17) secuencia 19 iii. Consideren la siguiente adivinanza:. Respuestas.. Pensé un número. Lo llamé p, le resté 5, el resultado lo dividí entre 4 y obtuve 2.75.. a) Diagrama 2 p–5 = 2.75 b). a) ¿Cuál de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p?. 4. Divídelo entre 4. c) 16 Diagrama 1. p. 2.75. Multiplícalo por 4. p. 2.75. Súmale 5. Sugerencia didáctica. Organice la comparación de resultados empezando por pedir el valor de p y revise con todo el grupo que, con las operaciones indicadas, se obtenga 2.75. Para verificar que la ecuación que señalaron es la correcta, puede pedir a tres alumnos que pasen al pizarrón a sustituir la p por el valor encontrado.. Multiplícalo por 4. Multiplícalo por 4. Diagrama 3. Súmale 5. Divídelo entre 4. Réstale 5. Diagrama 2. Réstale 5. Súmale 5. p. 2.75. Divídelo entre 4. Réstale 5. El valor de p es 16, p. b) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subráyenla.. En la primera ecuación + 5 = 2.75, se 4 16 obtiene + 5 = 4 + 5 = 9. No es igual a 2.75 4. En la segunda ecuación 16 – 5 11 = = 2.75 4. p–5 4. Recuerden que: ldad donde hay Una ecuación es una igua ado incógnita. un valor desconocido llam ifica encontrar el Resolver la ecuación sign valor de la incógnita.. = 2.75, se obtiene. 4. En la tercera ecuación (p – 5) × 4 = 2.75, se obtiene (16 – 5) × 4 = 11 × 4 = 44. No es igual a 2.75 Aproveche este momento para precisar que es necesario invertir las operaciones que se indican en el diagrama 2; esto puede verse de manera más clara en el apartado A lo que llegamos.. Libro para el mae s t r o. •. p 4. + 5 = 2.75. p–5 4. = 2.75. • (p − 5) 4 = 2.75. c) ¿Cuál es el valor de p ? Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.. 26. MAT2 B3 S19.indd 26. 42. •. 9/10/07 12:29:13 PM.

(18) MATEMÁTICAS. II. Respuestas. Se resta 22 y después se divide entre 6. El valor de x es –3.. IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuación 6x + 22 = 4. Sumar 22. Multiplícalo por 6. ¿Cuál es el valor de x? x =. 6x. x. Sugerencia didáctica. Durante la confrontación, usted puede escribir los dos pasos para resolver la ecuación. 4. 6 x + 22 = 4 Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada renglón de la tabla escriban la ecuación correspondiente considerando que x es el número de entrada. Resuelvan la ecuación y verifiquen si es el resultado que habían obtenido.. A lo que llegamos La ecuación 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las operaciones de la siguiente manera. Con lenguaje algebraico, se escribe:. 10y + 12 = 4. y. + 12 10y. y. 10y. 10y = –8. y = –0.8. 6 x = –18 –18. 6. x=. x= –3. Primer paso. Segundo paso. Verificación. En la ecuación 10 y + 12 = 4, se sustituye la y por −0.8. 10 (-0.8) + 12 = (−8) + 12 = 4.. 10y + 12 = 4 – 12 + 12. × 10. y = (–8) ÷ 10. 10y + 12 = 4. + 12. × 10 10y = 4 – 12. 6 x = 4–22. Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos que realicen la verificación en sus cuadernos. Para verificar pueden utilizar el diagrama o pueden sustituir por el valor de y.. Haciendo un diagrama, se escribe: × 10. y. 10y ÷ 10. 10y + 12 = 4 – 12. 27. MAT2 B3 S19.indd 27. 9/10/07 12:29:14 PM. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 43.

(19) Respuestas. a). p 4. secuencia 19. – 5 = 34.5. Lo que aprendimos 1. Planteen y resuelvan la ecuación que corresponde al siguiente diagrama:. b) 158. Divídelo entre 4. Sugerencia didáctica. En caso de que los alumnos tengan dificultades para plantear la ecuación, usted puede, con la participación de todo el grupo, hacer el planteamiento: p 4. b) ¿Cuál es el valor de p ? p =. p. p. p = 4 x 39.5 = 158. 4. = 34.5 +5 = 39.5 sesión 2. eL MODeLO De LA BALAnZA. Para empezar La balanza. Respuesta.. x=. 34.5. 2. Resuelvan la ecuación 7x + 18 = 31. Verifiquen las soluciones.. – 5 = 34.5. a) Ecuación:. Réstale 5. El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es necesario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempre el equilibrio.. 13 7. Verificación:. Consideremos lo siguiente. ( ). 7 13 + 18 = 7. La siguiente balanza está en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo.. 13 + 18 = 31. Sugerencia didáctica. La verificación se puede hacer usando el diagrama. Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d , utilizando las propiedades de la igualdad. =. Descripción del video. Se muestra cómo en una balanza pueden representarse ecuaciones de primer grado y resolverlas manteniendo siempre el equilibro. Conviene que se observe el video antes de comenzar la actividad para que los alumnos vean cómo funciona una balanza para mantener el equilibrio y después trasladar el ejemplo aplicando las propiedades de la igualdad. Propósito de la sesión en el aula de medios. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d , utilizando las propiedades de la igualdad. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.. Propósito del interactivo. Que los alumnos se familiaricen con el modelo de la balanza para resolver ecuaciones.. 44. Libro para el mae s t r o. Figura 1. ¿Cuánto pesa cada anillo? Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el valor de cada anillo.. 28. MAT2 B3 S19.indd 28. Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a comentar cómo es y para qué sirve una balanza, de ser posible lleve una balanza. Comente también con los alumnos qué quiere decir que la balanza se mantenga en equilibrio. 9/10/07 12:29:15 PM. Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver el problema si identifican que la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho de la balanza es de 4 anillos, y si consideran las 2 pesas de un gramo de la balanza izquierda: El peso de los 4 anillos equivale a las 22 pesas de un gramo del lado derecho, menos las 2 pesas de un gramo del lado izquierdo. Esto es cada anillo pesa 5 gramos. Un posible error es que dividan los 22 gramos entre los 4 anillos sin considerar las 2 pesas que ya están del lado izquierdo..

(20) MATEMÁTICAS. II. Manos a la obra I. ¿Cuáles de las siguientes acciones mantendrían la balanza en equilibrio? Subráyenlas. • Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho. • Quitar 1 anillo de ambos lados. • Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho.. Respuesta. La segunda, cuarta y quinta acciones son correctas.. • Quitar el mismo número de pesas de 1 gramo en ambos lados. • Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.. Sugerencia didáctica. Propicie que los alumnos concluyan que, para mantener el equilibrio de la balanza, se tiene que hacer la misma acción en ambos lados.. Comparen sus respuestas y comenten porqué creen que mantienen el equilibrio de la balanza. II. A continuación se presenta una nueva situación con la balanza, completa lo que se te pide para hallar el peso de estos otros anillos.. También puede ilustrar cómo se pierde el equilibrio haciendo acciones diferentes en ambos lados.. Respuestas. a) 2 a) ¿Cuántas pesas de 1 gramo se pueden qui-. b) Ahora, ¿cuántos anillos del mismo peso pue-. tar de cada lado sin que la balanza pierda el. den quitarse de cada lado sin que se altere el. equilibrio?. equilibrio de la balanza?. b) 1 c) 2 d) 28 e) 14 gramos. Después de quitar las pesas de 1 gramo y los anillos del mismo peso,. d) ¿Cuántas pesas de 1 gramo quedan del lado derecho?. c) ¿cuántos anillos quedan del lado izquierdo de. e) Si dos anillos pesan 28 gramos, ¿cuántos gra-. la balanza?. mos pesa cada anillo? 29. MAT2 B3 S19.indd 29. 9/10/07 12:29:17 PM. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 45.

(21) Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué en este caso conviene quitar en ambos lados 3 pesas de un gramo y por qué conviene quitar 2 cubos en ambos lados. Esto se hace para que de un lado de la balanza sólo queden cubos y del otro lado sólo queden pesas.. secuencia 19 Comparen sus respuestas. Verifíquenlas sustituyendo el peso de los anillos en la balanza. Después lean con ayuda de su profesor la siguiente información.. A lo que llegamos Para encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera que siempre se mantenga el equilibrio.. Después de que revisen la información en este apartado puede indicarles que, para verificar la solución, es necesario sustituir la x por el valor encontrado.. En la siguiente balanza se tiene representada la ecuación: 6x + 3 = 2x + 15. Verificación: El valor de x es 3, al hacer la sustitución se obtiene, del lado izquierdo, 6(3) + 3 = 21, y del lado derecho, 2(3) + 15 = 21. Como en ambos lados se obtiene el mismo resultado, esto quiere decir que el valor de x encontrado es la solución de la ecuación.. Donde x representa el peso de un cubo. Para encontrar x se pueden quitar de ambos lados 3 pesas de 1 gramo. 6x + 3 – 3 = 2x + 15 – 3. Solicite a los alumnos que realicen en sus cuadernos la verificación de la solución de la segunda ecuación.. 6x = 2x + 12. Después, se pueden quitar de ambos lados 2 cubos.. Propósito del interactivo. Mostrar dinámicamente que, para mantener el equilibrio en la balanza se necesitan realizar las mismas acciones en ambos lados.. 6x – 2x = 2x + 12 – 2x 4x = 12. Al final, el peso de se puede encontrar dividiendo las 12 pesas de 1 gramo entre 4.. x = 12 =3 4 Cada cubo pesa 3 gramos.. 30. MAT2 B3 S19.indd 30. 46. Libro para el mae s t r o. 9/10/07 12:29:19 PM.

(22) MATEMÁTICAS. II. Respuestas. Los pasos para resolver la ecuación son los siguientes:. Resolvamos otro ejemplo, la ecuación 4x + 75 = 13x + 3. Primero se puede restar 3 de ambos lados:. Se resta 1.5. 4x + 75 – 3 = 13x + 3 – 3 4x + 72 = 13x. 3.2 x + 9 – 1.5 = 5.7x + 1.5 – 1.5. Después, se puede restar 4x de ambos lados:. Queda 3.2 x + 7.5 = 5.7x. 4x + 72 – 4x = 13x – 4x. Se resta 3.2 x. 72 = 9x. 3.2 x + 7.5 – 3.2 x = 5.7x – 3.2 x. Finalmente el valor de la incógnita se encuentra dividiendo 72 entre 9.. Queda 7.5 = 2.5x. x = 72 =8 9. Se divide ambos lados entre 2.5. III. El método de la balanza también se puede usar con números decimales y fraccionarios, por ejemplo, la ecuación:. x=3. 3.2x + 9 = 5.7x + 1.5. En el modelo de la balanza, en el primer paso no se puede restar 9 y en el segundo paso no se puede restar 5.7x, porque de un lado quedaría una cantidad negativa, y esto no tiene sentido en una balanza. Al resolver ecuaciones si puede hacerse, pero es más conveniente realizarlo del modo mostrado, porque de esta manera se evita trabajar con signos negativos.. a) ¿Qué número pueden restar en ambos lados de la ecuación para eliminar uno de los términos numéricos?. Escriban cómo queda la ecuación:. b) ¿Cuál expresión con la letra x pueden restar en ambos lados de la ecuación anterior para que sólo quede un término numérico y un término con la incógnita x ? Escriban cómo queda la ecuación: c) ¿Cuál es el valor de x? Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, observen cómo pueden restar términos en diferente orden pero, si lo hacen correctamente, todos llegan al mismo resultado.. Sugerencia didáctica. En la confrontación grupal pida a los alumnos que hagan la verificación. Ésta se hace al resolver las operaciones separando los lados de la igualdad como se muestra:. Lo que aprendimos Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando el método de la balanza: a) 4x + 3 = 2x + 5. Lado izquierdo:. b) 3x + 1 = x + 5. 3.2(3) + 9 = 9.6 + 9 = 18.6. c) x + 10 = 5x + 2 d). 3 2. x+1=x+2. Lado derecho: 31. MAT2 B3 S19.indd 31. Propósito del interactivo. Expresar algebraicamente las transformaciones que se hacen en la balanza.. 5.7(3) + 1.5 = 17.1 + 1.5 = 18.6. 9/10/07 12:29:21 PM. Respuestas. a) x = 1 b) x = 2 c) x = 2. Integrar al portafolios. Diga a los alumnos que le den una copia de sus respuestas a estos cuatro incisos. Si lo considera necesario, propóngales otras ecuaciones para practicar la resolución por el modelo de la balanza.. d) x = 2 Sugerencia didáctica. Se sugiere darle una atención especial a la ecuación del inciso d) 3 2. x+1=x+2. 3 2. x + 1 –1 = x + 2 – 1 3 2. 3 2. x=x+1. x–x=x+1–x 1 2. x=1 x = 2, porque la mitad de 2 es 1.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 47.

(23) Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros y fraccionarios, positivos y negativos.. secuencia 19 sesión 3. MÁs ALLÁ DeL MODeLO De LA BALAnZA. Para empezar. En la sesión anterior resolviste algunas ecuaciones mediante el modelo de la balanza. En esta sesión resolverás ecuaciones con coeficientes negativos, con paréntesis y con denominadores.. Propósito de la actividad. Que a partir de dos ecuaciones que se plantean a través de dos diagramas, los alumnos exploren la posibilidad de plantearlas en una sola ecuación.. Consideremos lo siguiente Durante un juego de adivinaza de números, Luis y Ana pensaron un mismo número, hicieron diferentes operaciones y al final obtuvieron el mismo resultado. • Luis pensó un número, lo multiplicó por 3 y al resultado obtenido le sumó 5. • Ana pensó el mismo número que Luis, lo multiplicó por 2, al producto obtenido le restó 3 y obtuvo el mismo resultado final que Luis.. Sugerencia didáctica. Es posible que sean pocos los alumnos que logren plantear la ecuación que se les solicita; lo importante en este momento es que puedan comprender la situación y que exploren alguna forma de plantearla; en las actividades del siguiente apartado podrán verificar y, si es necesario, corregir sus respuestas.. Hicieron un diagrama y les quedó de la siguiente manera.. Entrada. Respuestas.. ×3. +5. ×2. –3. Salida. a) 3 x + 5 = 2 x – 3 b) –8 a) ¿Qué ecuación puede plantearse para encontrar el valor de x? b) ¿Cuál fue el número que pensaron Luis y Ana? Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.. Manos a la obra i. Relaciona los diagramas siguientes de la columna derecha con su correspondiente ecuación en la columna izquierda.. 32. MAT2 B3 S19.indd 32. 48. Libro para el mae s t r o. 9/10/07 12:29:21 PM.

(24) MATEMÁTICAS (. ) (3x ) (2) = 5x – 3. (. ) 3x + 2x = 5 – 3. (. ) 3x + 2 = 5 x – 3. (. ) 3x + 5 = 2x – 3. II. Respuestas. ( B ) (3x ) × (2) = 5x – 3. ×3. (. +5. ) 3x + 2x = 5 – 3. ( C ) 3x + 2 = 5x – 3 Entrada. ×2. –3. ( A ) 3x + 5 = 2x – 3. Salida. Diagrama A. Entrada. ×3. ×2. ×5. –3. Salida. Diagrama B. Entrada. ×3. +2. ×5. –3. Salida. Diagrama C. Propósito de la actividad. Que los alumnos logren identificar el tipo de ecuaciones que pueden resolver utilizando el modelo de la balanza.. II. El método de la balanza se puede utilizar para resolver la ecuación: 3x + 5 = 2 x – 3. Para eso hay que realizar siempre las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación de manera que se conserve la igualdad. Contesta lo que se te pide.. a) Resta 5 en ambos lados de la ecuación 3x + 5 –. = 2x – 3 –. b) Reduce los términos semejantes:. =. Respuestas. a) 3x + 5 – 5 = 2x – 3 – 5 b) 3x = 2x – 8 33. MAT2 B3 S19.indd 33. 9/10/07 12:29:22 PM. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 49.

(25) Respuestas.. secuencia 19. c) El término que conviene restar en ambos lados es 2 x.. c) ¿Qué te conviene hacer para que del lado izquierdo del igual quede sólo x? Si lo haces, ¿cómo queda la ecuación?. d) –8. d) ¿Cuál es el número que pensaron Luis y Ana? Comparen sus soluciones. Verifíquenlas sustituyendo el valor de x en el diagrama de Ana y Luis.. Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información junto con sus alumnos; posteriormente presente otro ejemplo.. A lo que llegamos Para solucionar cualquier ecuación usando el modelo de la balanza hay que conservar la igualdad realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación. 3x + 5 = 6 + (–2x ). Por ejemplo, al resolver la ecuación: • Para eliminar el término +5 se resta 5 en ambos lados de la igualdad.. 3x + 5 – 5 = 6 + (–2x ) – 5 3x = 1 + (–2x ). • Se reducen los términos semejantes • Para eliminar el término –2x se suma 2x en ambos lados de la igualdad.. 3x + 2x = 1 + (–2x)+ 2x. • Se reducen los términos semejantes. 5x = 1. • Finalmente, se divide 1 entre 5 para encontrar el valor de x.. x=. Propósito de la actividad. Que los alumnos sepan cómo trabajar con el modelo de la balanza cuando se les presentan ecuaciones con paréntesis.. 1 5. iii. No siempre se puede usar de manera inmediata el modelo de la balanza para resolver ecuaciones. En ocasiones hay que hacer operaciones antes de comenzar a eliminar términos. Por ejemplo, para resolver la ecuación 5 (2x – 3) = 6x +14. Respuesta.. a) Primero se puede hacer la multiplicación que indica el paréntesis. Completa:. a) 10 x – 15 = 6 x + 14. 5 (2x – 3) = 6x +14. –. = 6x + 14. 34. MAT2 B3 S19.indd 34. 50. Libro para el mae s t r o. 9/10/07 12:29:23 PM.

(26) MATEMÁTICAS. II. b) Encuentra el valor de x y verifícalo.. Respuesta. b) x = 7.25. x= Recuerda que: es equivalentes, entonc Si 2 fracciones son iguales. son os zad cru tos sus produc A=C B D entonces. IV. Para resolver la ecuación:. y–4 5. =. y+1 3. Posibles procedimientos. Esta ecuación se puede resolver de varias formas: • Para evitar signos negativos en el coeficiente del término de primer grado.. AD = BC. a) Se pueden aplicar los productos cruzados para “eliminar” los denominadores.. y–4 5. =. y+1 3. 3y –12 = 5y + 5. 3y – 12 – 5 = 5y + 5 –5. = 3 (y – 4) = 5 (y + 1). b) Realiza las multiplicaciones indicadas y encuentra el valor de y . Verifícalo.. y=. 3y – 17 = 5y 3y –17–3y = 5y –3y –17 = 2y. y = – 17 = –8.5 2 • Para que el término de primer grado quede en el lado izquierdo. Comparen sus soluciones.. Lo que aprendimos. 1. Juan pensó un número y lo introdujo en la entrada del siguiente diagrama compuesto. Por ambas rutas obtuvo el mismo resultado.. 3y – 12 +12 = 5y + 5 + 12. –1. ×7. Entrada. 3y –12 = 5y + 5. 3y = 5y + 17 3y – –5y = 5y + 17 –5y – 2y = + 17. y = – 17 = –8.5 2. Salida +6. ×3. 35. MAT2 B3 S19.indd 35. 9/10/07 12:29:24 PM. Sugerencia didáctica. Lea y comente junto con los alumnos la información del Recuerda que; esta información es importante porque permite justificar el procedimiento para eliminar los denominadores en dos fracciones equivalentes.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 51.

(27) Respuestas.. secuencia 19. a) (p – 1) (7) = (p + 6) (3). a) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver?. b) 6.25. b) ¿Qué número fue el que pensó Juan? 2. Resuelve las siguientes ecuaciones:. Respuestas. a) 3(x + 4) = – 5x – 36. a) 3 x + 12 = –5x – 36. 8 x = –48. x = –6. b). c). b) 5 r + 30 = –5 r + 20. 10 r = –10. r = –1. r+6 –5. z–6 4. =. =. r–4 5. z+4 9. MISCELÁNEA DE PROBLEMAS. SESIÓN 4. Lo que aprendimos. c) 9 z – 54 = 4 z + 16. 5 z = 70. Resuelve los problemas siguientes mediante el planteamiento y resolución de una ecuación.. z = 14. 1. El hexágono rojo y el rectángulo azul tienen igual perímetro. Contesta lo que se te pide para encontrar el perímetro de cada figura.. Propósito de la sesión. Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la solución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.. e. D. F. c. aB = De Bc = cD = eF = Fa. x a. 2x – 1. B. x. 2x + 4.5. 36. MAT2 B3 S19.indd 36. 9/10/07 12:29:25 PM. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que x representa la medida en centímetros del ancho del rectángulo. Integrar al portafolios. Considere el problema 1 para evaluar los aprendizajes de los alumnos.. 52. Libro para el mae s t r o.

(28) MATEMÁTICAS. II. Respuestas. a) 2(2 x – 1) + 4x = 4x – 2 + 4x = 8 x – 2. a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del hexágono?. b) 2(x + 4.5) + 2 x = 2 x + 9 + 2 x = 4x + 9 b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo?. c) 8 x – 2 = 4x + 9 d). c) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver para encontrar el valor de x?. 11 4. = 2.75. e) 20 f) 20. d) Resuelve la ecuación anterior en tu cuaderno. ¿Cuál es el valor de x? e) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? f) ¿Cuál es el perímetro del hexágono?. Sugerencia didáctica. En los problemas 2, 3 y 4 se propone una ecuación para resolverlos, pero no es necesario que los alumnos utilicen la misma ecuación o la misma variable. Incluso podrían resolverlos con otros métodos, sin utilizar explícitamente las ecuaciones. Lo importante en estos problemas es que los alumnos intenten encontrar la solución y que sean capaces de argumentar sus respuestas, aún cuando éstas sean incorrectas.. 2. Para cultivar y mantener una hectárea de jitomate se invierte en planta, fertilizante, fumigante y agua de riego cinco veces lo que se invierte en mano de obra. El costo total por hectárea es $80 000.00. Ecuación:. 5x + x = 280 000. ¿Cuánto dinero cuesta la mano de obra para cultivar y atender 3.5 hectáreas de jitomate? 3. Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo? Ecuación:. 1 040 t = 640 t + 3 200. 4. La edad actual de José es 38 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es la edad actual del hermano? 3 1 Ecuación: 8 h + 4 = 2 ( h + 4). 1 2. de la. Respuesta. $ 46,666.66. 5. Una cancha de volibol se encuentra dentro de una cancha de basquetbol. El largo de la cancha de volibol es el doble de su ancho.. Respuesta. 8 horas. x. Respuesta.. 2x. 16 años. 37. MAT2 B3 S19.indd 37. 9/10/07 12:29:25 PM. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 53.