´
Areas entre curvas
Ejercicios resueltos
Recordemos que el ´area encerrada por las gr´aficas de dos funcionesf ygentre las rectas x=ayx=bes dada por
Z b
a
|f(x)−g(x)|dx
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Hallar el ´areaAlimitada por la par´abolay= 4−x2 y el ejeX.
Soluci´on: Hallamos los puntos de intersecci´on de la curva con el ejeX, recordemos que el ejeX corresponde a la recta
y= 0 se sigue que
y = 4−x2
y = 0
tiene solucionesx=±2, note adem´as quef(x) = 4−x2≥0
en [−2,2] de donde obtenemos (ver figura 1)
A=
Z 2
−2
4−x2
−0dx= Z 2
−2
4−x2
dx= 32 3
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−2 −1 1 2 3 4
0 f(x)=4−x2
Figura 1
Ejercicio 2: Hallar el ´area de la regi´on encerrada por las curvasy= 10x−x2 yy= 3x−8.
−5 5 10
−15 −10 −5 5 10 15 20 25
0
Figura 2
Soluci´on: Graficamos ambas funciones. Busquemos los puntos de intersecci´on de ambas gr´aficas, es decir, resolvamos el sistema
y = 10x−x2
y = 3x−8
esto nos lleva a la ecuaci´on 3x−8 = 10x−x2 la que tiene por
soluci´onx= 8, x=−1. Note que enx= 0 la ecuaci´on
y= 10x−x2
day = 0 y y= 3x−8 entregay =−8, por continuidad se sigue que
10x−x2≥3x−8 en [−1,8]
as´ı podemos calcular el ´area
Z 8
−1
10x−x2
−(3x−8)dx= Z 8
−1
10x−x2−(3x−8)
Ejercicio 3: Hallar el ´area encerrada por la gr´afica de las curvay=x2−8x+ 10, el ejeX, y las rectas x= 2
yx= 5.
Soluci´on: Notemos que x2 −8x+ 10 tiene por gr´afica una
par´abola, adem´as
x2−8x+ 10 = 0⇔x−4−√6 x−4 +√6= 0
se sigue quex2−8x+ 10≤0 entre las ra´ıces, en particular, en el
intervalo [2,5] es negativa. El ´area buscada es entonces
Z 5
2
x2−8x+ 10
−0= Z 5
2
− x2−8x+ 10
dx= 15
2 4 6
−6 −4 −2
0
Figura 3
Ejercicio 4: Hallar el ´area Aencerrada por las curvasy= sinx,y= cosxentre las rectasx= 0 yx=π.
−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−1.5
−1
−0.5 0.5 1
0
Figura 4
Soluci´on: Buscamos las intersecciones de las curvasy= sinx,y= cosxen el intervalo [0, π], esto nos lleva a buscar las soluciones de sinx = cosx, as´ıx = π/4. En 0,π4
cosx≥sinxy enπ 4, π
se cumple sinx≥cosxas´ı
Z π
0
|sinx−cosx|dx =
Z π/4
0
(cosx−sinx)dx
+
Z π
π/4
(sinx−cosx)dx
= √2−1+√2 + 1= 2√2
Ejercicio 5: Hallar el ´area encerrada entre las curvas 8y=x3 y
8y= 2x3+x2−2x
Soluci´on: Buscamos los puntos de intersecci´on de las cur-vas, es decir, resolvemos el sistema
8y = x3
8y = 2x3+x2−2x
entonces
2x3+x2−2x=x3 ⇔ x3+x2−2x= 0
⇔ x(x−1) (x+ 2) = 0
se sigue que las curvas intersectan enx= 0, x= 1, x=−2, adem´as de forma anal´ıtica podemos determinar cual de las curvas se encuentra arriba y en que intervalo
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1
−1.5
−1
−0.5 0.5
0
En efecto
2x3+x2−2x≥x3⇔x(x−1) (x+ 2)≥0
luego utilizando la tabla
−2 0 1
x − − − − − 0 + + + + +
x−1 − − − − − − − − 0 + +
x+ 2 − − 0 + + + + + + + +
x(x−1) (x+ 2) − − 0 + + 0 − − 0 + +
obtenemos que en el intervalo [−2,1] se cumple
2x3+x2−2x
8 ≥
x3
8
si y solo six∈[−2,0], as´ı
Z 1
−2
2x3+x2−2x
8 −
x3
8
dx =
Z 0
−2
2x3+x2−2x
8 −
x3
8
! dx
+
Z 1
0
x3
8 −
2x3+x2−2x
8
! dx
= 1 3 +
5 96 =
37 96
Ejercicio 6: Encontrar el ´area encerrada por las curvas y2=xyy= 3x−10.
Soluci´on: Buscamos las intersecciones de las curvas, es decir, resolvemos el sistema
y2 = x
y = 3x−10
en este caso es m´as conveniente resolver paray, se sigue de estas ecuaciones que
y2=y+ 10 3
que tiene solucionesy= 2, y=−5
3, valores que
correspon-den a x = 4 y x = 259 respectivamente. Los gr´afico de estas curvas corresponden a una par´abola y una recta pero la par´abola tiene directriz perpendicular al eje X, es m´as conveniente mirar el problema como si el ejeY fuera el eje
X, nos queda
A =
Z 2
−5/3
y2−
y+ 10
3
dy
=
Z 2
−5/3
y+ 10
3
−y2
dy= 1331 162
−1 1 2 3 4
−2
−1 1 2
0
Figura 6
El problema tambi´en puede ser visto desde el ejeX, la par´abolay2=xentrega dos funciones
y = √x
se sigue que podemos calcular el ´area como
Z 25/9
0 √
x− −√xdx+
Z 4
25/9 √
x−(3x−10)dx
(vea la figura 6) as´ı
500 81 +
331 162 =
1331 162
Ejercicio 7: Hallar el ´area encerrada por el ejeX y las curvasy= arcsinx,y= arccosx.
Soluci´on: Notemos que y = arcsinx, y = arccosx est´an definidas parax∈[−1,1] adem´as
y = arcsinx⇔siny=xcony∈h−π
2,
π
2
i
y = arccosx⇔cosy=xcony∈[0, π]
estas curvas intersectan en y = π4, podemos mirar el pro-blema de una manera m´as conveniente desde el eje Y, en tal caso el ´area queda
Z π/4
0
(cosy−siny)dy=√2−1
−0.5 0.5 1
−0.5 0.5 1
0
Figura 7
mirando el problema desde el ejeX el c´alculo del ´area es
Z 1/
√ 2
0
arcsinx dx+
Z 1
1/√2
arccosx dx
=
1
8
√
2π+1 2
√
2−1
+−√2
1
8π− 1 2
= √2−1
Ejercicio 8: Considere los puntos A= (−2,4) y B= (1,1) sobre la par´abolay=x2 y los puntosC= (1, s) yD = (−2, r) tales que el segmento CD es tangente a la par´abola y paralelo aAB. Hallar el ´area encerrada por los segmentosAD, DC, CBy la par´abola.
Soluci´on: Basta encontrar la recta que contiene el segmentoCD, la ecuaci´on tendr´a la forma
y=mx+n
note que al ser paralela a la recta que contieneAB debe tener pendiente
m= 4−1
−2−1 =−1
esto nos permite adem´as encontrar el punto de tangencia x20= 2xse sigue
2x=−1 =⇒x=−1
al estar sobre la par´abola se tiene que el punto de tangencia es −1
2, 1 4
y como el punto esta sobre la recta se sigue:
1 4 =−1
−1
2
+n=⇒n=−1
4
se sigue que la recta es
y=−x−1
4
de donde obtenemos finalmente que el ´area buscada es
Z 1
−2
x2−
−x−1
4
dx= 9
4
−2 −1 1
−2
−1 1 2 3 4
0
Figura 8
Ejercicio 9: Hallar el ´area encerrada por las curvas
xy = 9
√
x+√y = 4
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10
0
Figura 9
Soluci´on: Como consideramos la curva √x+√y = 4, estamos asumiendox≥0,y≥0. De la curva√x+√y= 4 obtenemos
y= 4−√x2
busquemos el punto de intersecci´on de las curvas
√
x+√y2
= 16
x+y+ 2√xy = 16
de la primera obtenemos
x+y+ 6 = 16
se sigue
x+y= 10
luego tenemos el sistema
xy = 9
x+y = 10
multiplicando la segunda porxse sigue
x2+xy= 10xyxy= 9
entonces
los puntos de intersecci´on son (1,9) y (9,1). Se sigue que el ´area es
Z 9
1
4−√x2−9
x
dx= 88
3 −18 ln 3
Ejercicio 10: Hallar el ´area encerrada por la astroide
x2/3+y2/3= 1
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5 0.5 1
0
Figura 10
Soluci´on: Por la alta simetr´ıa del problema(simetr´ıa res-pecto al eje Y, al eje X y al origen) basta calcular el ´area encerrada en el primer cuadrante, note que
y2/3= 1−x2/3
se sigue
y=1−x2/3
3/2
yx∈[0,1] entonces (sustituci´on trigonom´etricax= sin3t)
A= 4
Z 1
0
1−x2/3
3/2
dx=3 8π
Ejercicio 11: Encontrar el ´area encerrada por la curva cerraday2=x2−x4.
Soluci´on: Note que y2 ≥ 0 entonces x2 −x4 ≥ 0 ⇔
x2 1−x2
≥0 esto esx∈[−1,1]. De la ecuaci´on
y2=x2−x4
obtenemos las funciones
y=±px2−x4=± |x|p1−x2
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5 0.5 1
Figura 11
se sigue que el ´area esta dada por
Z 1
−1
|x|p1−x2−− |x|p1−x2dx
= 2
Z 1
−1
|x|p1−x2dx
= 4
Z 1
0
xp1−x2= 4
