TEMA 4. PROGRAMACIÓN LINEAL.
1. Introducción.
2. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
3. Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 4. ¿Qué es un problema de programación lineal?
5. Métodos de resolución de un problema de programación lineal bidimensional. 6. Problemas de programación lineal con infinitas soluciones.
7. Problemas de programación lineal sin solución.
1. Introducción.
En 1946 comienza el largo período de la guerra fría entre la antigua Unión Soviética (URSS) y las potencias aliadas (principalmente, Inglaterra y Estados Unidos). Uno de los episodios más llamativos de esa guerra fría se produjo a mediados de 1948, cuando la URSS bloqueó las comunicaciones terrestres desde las zonas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de Berlín, iniciando el bloqueo de Berlín. A los aliados se les plantearon dos posibilidades: o romper el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegar a Berlín por el aire. Se adoptó la decisión de programar una demostración técnica del poder aéreo norteamericano; a tal efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer a la ciudad: en diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias; en marzo de 1949, se llego a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba por carretera y ferrocarril antes del corte de comunicaciones. En la planificación de los suministros se utilizó la programación lineal. (el 12 de mayo de 1949 los soviéticos levantaron el bloqueo).
Otras aplicaciones de la programación lineal son:
¾ El problema de la dieta, que trata de determinar en qué cantidades hay que mezclar diferentes piensos para que un animal reciba la alimentación necesaria a un coste mínimo.
¾ El problema del transporte, que trata de organizar el reparto de cualquier tipo de mercancías con un coste mínimo de tiempo o de dinero.
¾ El problema de la ruta más corta, que ayuda a ordenar las etapas de un viaje con el propósito de minimizar el recorrido.
4. ¿Qué es un problema de programación lineal?
¾ Ejemplo: Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y de pintura.
El artículo A requiere de una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros.
Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.
Nº de artículos Montaje (horas) Pintura (horas) Beneficio (€)
Artículo A x 1 2 40
Articulo B y 3 1 20
Total ≤ 9 ≤ 8 40x + 20y
• Función beneficio que se quiere maximizar:
F = 40x + 20y
• Restricciones del problema: Montaje x + 3y ≤ 9 Pintura 2x + y ≤ 8 Además x ≥ 0 y ≥ 0
¾ Consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales.
¾ En este curso trataremos de resolver problemas de programación lineal
bidimensional, es decir, maximizar o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales. En este tipo de problemas la función objetivo es una función lineal con dos variables. Se representa por:
by ax y x
f( , )= +
¾ A la hora de estudiar la programación lineal se debe tener en cuenta: • El recinto que determina la solución del sistema de inecuaciones se
denomina región factible y está formado por todos los puntos del plano que verifican todas y cada una de las restricciones. Estos puntos se llaman
Función objetivo
soluciones factibles. Entre estas soluciones factibles se encontrará, en su caso, la solución del problema que se denominará solución óptima. • En ocaciones, al establecer las restricciones de un problema, aparecen
algunas que no aportan información adicional al sistema. A estas restricciones se les llama condiciones redundantes.
• Un problema de programación lineal puede tener ninguna, una o infinitas soluciones óptimas.
• La región factible puede ser acotada o no acotada.
• Si la región factible es acotada, el problema siempre tiene al menos una solución óptima. Si no es acotada, el problema puede no tener solución.
¾ El vector director de la función objetivo f(x,y)=ax+by es el vector vr=(−b,a) Ejemplo f(x,y)=30x+20y → vr=(−20,30) simplificado (:10) vr=(−2,3)
Ejemplo 1:
Signo de la ordenada (y):
Sea la función objetivo de un problema de programación lineal f(x,y)=ax+by cuando usamos el método gráfico para resolver el problema tenemos que analizar el signo del coeficiente de la variable y.
(Es el caso del ejemplo que acabamos de resolver)
Observa:
Ejemplo 2. La función x−y=k
Donde k representa un número cualquiera. Si representamos la función con k = 0, k = 2 y k = – 5
0 = −y
x → y = x
2 = −y
x → y = x – 2
5 − = −y
x → y = x + 5
Ejemplo 1. La función x+y=k Donde k representa un número cualquiera.
Si representamos la función con k = 0, k = 4 y k = – 2
0 = +y
x → y = – x
4 = +y
x → y = – x + 4
2 − = +y
x → y = – x – 2
k →∞ MÁXIMO. Según aumenta la ordenada (y).
k = 4
k = 0
k = - 2
k = - 5
k = 0
k = 2
k →∞ MÁXIMO. Según disminuye la ordenada (y). MINIMO.
Ejemplo 2: Un ejemplo de este último caso con b < 0.
Signo de la abscisa (x):
En el caso de que a sea negativo y la función objetivo sea z=ax+by, se puede resolver el problema considerando que hallar el máximo de z equivale a hallar el mínimo de – z y que hallar el mínimo de z equivale a hallar el máximo de – z.
Ejemplo 3: Un ejemplo de este último caso con a < 0
Determinar el máximo de la función z=−20x+100y sujeta a las restricciones:
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ − − ≥ − ≤ − ≥ + 4 1 2 4 2 6 2 3 2 x y x y x y x y x
A) x+2y≥3
Dibujamos la recta x+2y=3→
2
3 x
y= −
Elegimos el origen (0, 0) x+2y≥3 3 0 2
0+ ⋅ ≥ es falso, por lo que elegimos el semiplano donde no está el origen.
B) 2x−y≤6
Dibujamos la recta 2x−y=6→ y=2x−6 Elegimos el origen (0, 0) 2x−y≤6
6 0 0
2⋅ − ≤ es cierto, por lo que elegimos el semiplano donde está el origen.
C) x−2y≥−4
Dibujamos la recta x−2y=−4→
2 4 − =x y
Elegimos el origen (0, 0) x−2y≥−4 4 0 2
0− ⋅ ≥− es cierto, por lo que elegimos el semiplano donde está el origen (esta restricción es redundante). D) 2x−y≥1
Dibujamos la recta 2x−y=1→ y=2x−1 Elegimos el origen (0, 0) 2x−y≥1
1 0 0
2⋅ − ≥ es falso, por lo que elegimos el semiplano donde no está el origen.
x 1 2 3 y -4 -2 0
x 0 2 4 y -2 -1 0
El máximo de z=−20x+100y es el mínimo de −z=20x−100y
Representamos la recta 20x−100y=0 → y x 5 1 =
Por tanto, si la función objetivo que estudiamos es el mínimo −z=20x−100y como la ordenada tiene b < 0, se encuentra en el vértice III.
El vértice III es el punto donde se cortan las rectas D) 2x−y=1 con la recta x = 4 por lo que sus coordenadas son (4, 7).
6. Problemas de programación lineal con infinitas soluciones.
