CÁLCULO I - ANÁLISIS MATEMATICO I

(1)

C´

ALCULO I - AN´

ALISIS MATEMATICO I

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

ALCAL´A-NEME

UNSL

2017

(2)

L´ımites en el infinito

Una manera operativa de describir los fen´omenos relacionados con el “infinito” es pensar en la dualidad entre las variablesx ey= 1_x. Describimos el acercamiento de x hacia el infinito como el acercamiento de y hacia el cero.

Definici´on 1: lim x→∞f(x) := limy→0 f 1 y , con las consiguientes versiones laterales:

lim x→+∞ f(x) := lim y→0+f 1 y , lim x→−∞f(x) := limy→0−f 1 y .

(3)

Ejemplos

Sea n un entero no negativo.

1. lim x→∞ 1 xn = lim_y_→₀ y n_{= 0} 2. lim x→∞ 1 n √ x = limy→0 n √ y= 0 3. lim x→∞ 1 + 1 x = lim y→0 (1 +y) = 1 4. lim x→∞ 3x−2 x+ 4 = limy→0 3_y1−2 1 y+ 4 = lim y→0 y(3−2y) y(1 + 4y) = 3.

(4)

Ejemplos (cont.)

5. Para calcular el l´ımite en el infinito de una funci´on racional, lim

x→∞

P(x)

Q(x), caben tres posibilidades:

(a) n=gr(P)<m=gr(Q): se saca factor com´un xm en numerador y denominador. lim x→∞ x2−2x+ 3 3x4_{+ 2}_x₋₁= lim_x_→∞ x41 x2− 2 x3+ 3 x4 x4_{3 +} 2 x3− 1 x4 = limx→∞ 1 x2− 2 x3+ 3 x4 limx→∞ 3 + 2 x3− 1 x4 = 0 3= 0.

(5)

Ejemplos (cont.)

(b) n=gr(P)>m=gr(Q): se saca factor com´un xn en numerador y denominador. lim x→∞ 3x4+ 2x−1 x2₋₂_x_{+ 3} = lim_x_→∞ x4 3 +_x23− 1 x4 x4 1 x2− 2 x3+ 3 x4 = lim x→∞ 3 +_x23− 1 x4 1 x2− 2 x3+ 3 x4 .

El numerador tiene l´ımite no nulo y el denominador tiene l´ımite cero, entonces el cociente no tiene l´ımite.

(c) n=gr(P) =gr(Q) : se saca factor com´un xn _{en numerador y}

denominador. lim x→∞ 3x−2 x+ 4 = limx→∞ x 3−2 x x 1 +4_x = limx→∞ 3−2_x limx→∞ 1 +4_x =3 1= 3.

(6)

Ejemplos (cont.)

6. lim x→∞ senx x = limx→∞ 1 x·senx = 0.

Hemos usado la propiedad 4. de l´ımites: la funci´on seno est´a acotada, ya que para todo x∈_R

−1≤ senx≤1, o sea, |senx| ≤1, y lim x→∞ 1 x = 0 (ejemplo 1).

(7)

As´ıntotas horizontales

Definición 2: La recta de ecuación y=b∈Res una as´ıntota horizontal de la gráfica de una función f (o de la función f ) si

lim

x→∞[f (x)−b] = 0.

Si sólo uno de los l´ımites laterales en el infinito se anula, se dirá que y =b es una as´ıntota horizontal en+∞o en −∞, según corresponda.

(8)

As´ıntotas horizontales

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L´ımites infinitos - As´ıntotas verticales

El comportamiento dey=1_x para x en infinito es sim´etrico, en el sentido que six→∞implica 1_x →0, entonces se aplica el mismo

criterio para la variable dependiente, es decir, 1_y →0 si y s´olo si y→∞

Definici´on 3.

lim

x→af(x) =∞ ⇐⇒ xlim→a

1

f(x) = 0.

El punto a puede ser un número o ∞.También puede tratarse de una tendencia lateral, en cuyo caso se reemplaza x→a por x→a− o x →a+, según corresponda.

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L´ımites infinitos - As´ıntotas verticales

El comportamiento dey=1_x para x en infinito es sim´etrico, en el sentido que six→∞implica 1_x →0, entonces se aplica el mismo

criterio para la variable dependiente, es decir, 1_y →0 si y s´olo si y→∞ Definici´on 3.

lim

x→af(x) =∞ ⇐⇒ xlim→a

1

f(x) = 0.

El punto a puede ser un número o ∞.También puede tratarse de una tendencia lateral, en cuyo caso se reemplaza x→a por x→a− o x →a+, según corresponda.

(11)

L´ımites infinitos

Alternativamente, puede decirse que y→∞parax→a si y s´olo si

y= 1

u para cierta u tal que u→0 para x→a.

Cuando en un entorno reducido de a el signo de f (x) no cambia, podemos considerar el l´ımite infinito con el correspondiente signo. Es decir,

lim

x→af (x) = +∞⇐⇒xlim→af(x) =∞ ∧ f (x)>0

en un entorno reducido de a.

An´aloga definici´on para f (x)→ −∞.

(12)

Ejemplos

7. Los siguientes l´ımites se obtienen directamente de la definici´on

1. lim x→0 1 x =∞ 2. _xlim_→₀− 1 x =−∞ 3. lim x→0 1 x2 = +∞ 4. lim x→0 − 1 x2 =−∞ 5. lim x→±∞ x=±∞ 6. x→−∞lim x 3₌₋ ∞ 7. lim x→1+ 1 x−1 = +∞ 8. lim x→₍π 2) − tanx= +∞

(13)

Tangentes verticales

8. a. La funci´on √3_x _{no es derivable en el origen, con tangente vertical.}

Calculamos el l´ımite del cociente incremental en ese punto

lim h→0 3 √ 0 +h−√3₀ h = limh→0 3 √ h h = lim h→0 1 3 √ h2= +∞, pues limh→0 3 √ h2_{= 0.}

Si admiti´esemos derivadas infinitas, ´estas coincidir´ıan con los puntos de tangente vertical.

(14)

Tangentes verticales,

y

=

√

3

_x

(15)

Tangentes verticales (cont.)

9. b. Para la funci´on p|x|, en cambio,

lim h→0+ p |h| h = limh→0+ √ h h = limh→0+ 1 √ h= +∞ lim h→0− p |h| h = limh→0− p (−h) h = lim h→0− − p (−h) (−h) =− lim h→0− p (−h) (−h) =− lim h→0+ √ h h =−∞

(16)

Tangentes verticales,

y

=

p

|

x

|

(17)

Propiedades extendidas de l´ımite

La propia definici´on de l´ımite infinito agrega otra regla a las propiedades de l´ımite.

La propiedad o regla 5, referida al l´ımite del cociente de dos

funciones, nos dejaba sin ninguna conclusi´on si el denominador ten´ıa l´ımite nulo (dec´ıamos que el l´ımite “no existe”)

Ahora, si tenemos que calcular el l´ımite para x→a de un cociente

y/z conz→0 , (1/y) se mantiene acotado en un entorno reducido dea, tendremos que 1 y z = z y = 1 y·z→0,

por propiedad 4 de l´ımite (finito). Se concluye quey/z→∞.

(18)

Propiedades extendidas de l´ımite

La consideraci´on de l´ımites infinitos permite extender la regla 5:

5’. Si existen y son finitos lim

x→af(x) y xlim→ag(x)

y no son simult´aneamente nulos, entonces existe lim x→a f(x) g(x)=`, donde `=    limx→af(x) limx→ag(x) si limx→ag(x)6= 0 ∞ si limx→ag(x) = 0 y limx→af(x)6= 0

(19)

Propiedades extendidas de l´ımite

En lo que sigue, vamos a analizar c´omo aceptan los l´ımites infinitos las restantes propiedades del l´ımite

Cabe aclarar que los entornos reducidos de infinito son los conjuntos de la forma{x:|x|>M} conM>0

Para los l´ımites laterales en el infinito, los semi-entornos considerados son semirrectas del tipo (M,+∞) para x→+∞y (−∞,−M) para x→ −∞

Para incluir la existencia de l´ımites infinitos en nuestro vocabulario, vamos a referirnos al viejo l´ımite como “l´ımite finito”, de modo que tenga sentido la frase “existe l´ımite finito o infinito” cuando queremos considerar ambos casos

(20)

Propiedades extendidas de l´ımite: Producto y cociente

Dadas dos funciones y=f(x), z=g(x), estudiamos el l´ımite del producto

y·z y del cocientey/z para x→a, donde apuede ser finito o infinito y el l´ımite completo o lateral

1. Si y→∞,z→∞, entonces y·z→∞.

Definimosy=_u1,z= 1_v conu,v→0, entonces

y·z= 1

u·v conu·v→0 =⇒y·z→∞

Para recordar esta regla vamos a utilizar el s´ımbolo “∞·∞=∞”

(21)

Propiedades extendidas de l´ımite: Producto y cociente

Dadas dos funciones y=f(x), z=g(x), estudiamos el l´ımite del producto

y·z y del cocientey/z para x→a, donde apuede ser finito o infinito y el l´ımite completo o lateral

1. Si y→∞,z→∞, entonces y·z→∞.

Definimosy=_u1,z= 1_v conu,v→0, entonces

y·z= 1

u·v conu·v→0 =⇒y·z→∞

Para recordar esta regla vamos a utilizar el s´ımbolo “∞·∞=∞”

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Propiedades extendidas de l´ımite: Producto y cociente

2. Si y est´a acotada en un entorno reducido deayz→∞, entonces y z →0. Sea z= 1 v conv→0, entonces y z =y· 1 z =y·v→0,

por regla 4 de l´ımites finitos. Representamos esta regla como “A_∞= 0” (A por acotado)

3. Si el denominador est´a acotado y el numerador tiende a infinito, el l´ımite es infinito. Se aplica el caso 2:

z y = 1 y z con y z →0 =⇒ z y →∞. Entonces “∞ A =∞”

(23)

Propiedades extendidas de l´ımite: Producto y cociente

4. Un producto con un factor infinito y el otro que se mantenga alejado del cero (en un entorno) tiende a infinito.

Decimos que z se mantiene alejado del cero si para un ε>0 fijo,

|z| ≥ε. Por lo tanto, |1_z| ≤M=1_ε es acotado.

Aplicando el caso 3. anterior

y·z= y₁

z

→∞.

Representamos esta regla como

“_A1 ·∞=∞”

que coincide con la regla 3.

(24)

5. Si un factor tiende hacia cero y el otro hacia infinito, nada se puede afirmar del producto. Es un l´ımiteindeterminado, como lo es el ya conocido ´ıcono “0₀”. No hay reglas generales, cada caso se resuelve seg´un sus particularidades.

Siy→0,z→∞, tenemos z=_v1 con v→0, entonces el producto y·z=y·1 v = y v,

es una indeterminaci´on del tipo “0₀”. Por lo tanto, el caso

“0·∞” es indeterminado.

(25)

5. Si un factor tiende hacia cero y el otro hacia infinito, nada se puede afirmar del producto. Es un l´ımiteindeterminado, como lo es el ya conocido ´ıcono “0₀”. No hay reglas generales, cada caso se resuelve seg´un sus particularidades. Siy→0,z→∞, tenemos z=_v1 con v→0, entonces el producto

y·z=y·1

v = y v,

es una indeterminaci´on del tipo “0₀”. Por lo tanto, el caso

“0·∞” es indeterminado.

(26)

A veces es posible resolver una indeterminaci´on “0·∞”. Veamos algunos ejemplos. (a) lim x→∞ ₁ x·x 2 = lim x→∞ x=∞, en este caso “0·∞=∞” (b) lim x→∞ ₁ x2·x = lim x→∞ 1 x = 0, en este caso “0·∞= 0” (c) lim x→∞ ₁ x·x = lim x→∞ 1 = 1, en este caso “0·∞= 1”

(27)

6. Si y→∞,z→∞, nada se puede afirmar acerca de y_z. En efecto, y= 1 u, z= 1 v con u,v→0 =⇒ y z = v u

una indeterminaci´on del tipo “0₀”. Por lo tanto,

“∞ ∞” es indeterminado Ejemplos: (a) lim x→∞ x x2 = 0, en este caso “ ∞ ∞= 0” (b) lim x→∞ x2 x =∞, en este caso “ ∞ ∞=∞” (c) lim x→∞ x x = 1, en este caso “ ∞ ∞= 1”

(28)

6. Si y→∞,z→∞, nada se puede afirmar acerca de y_z. En efecto, y= 1 u, z= 1 v con u,v→0 =⇒ y z = v u

una indeterminaci´on del tipo “0₀”. Por lo tanto,

“∞ ∞” es indeterminado Ejemplos: (a) lim x→∞ x x2 = 0, en este caso “∞_∞= 0” (b) lim x→∞ x2 x =∞, en este caso “ ∞ ∞=∞” (c) lim x→∞ x x = 1, en este caso “ ∞ ∞= 1”

(29)

1. Un sumando infinito y otro acotado producen una suma infinita. Si

y→∞yz est´a acotada, tenemos

y+z=y· 1 +z y con z y →0.

Luego, 1 +y_z se mantiene alejado del cero. Aplicando el caso 4. el producto y· 1 +z y →∞. Entonces “A+∞=∞”.

(30)

2. Si y→∞,z→∞, en principio, nada puede afirmarse acerca dey+z.

Sea y=1_u,z=1_v con u,v→0. Entonces

y+z =1 u+ 1 v = u+v u·v =⇒indeterminaci´on “ 0 0”.

Ahora, siy,z tienen el mismo signo,

y+z= u+v u·v = u 1 +v_u u·v = 1 +v_u v →∞.

pues u_v >0 y 1 +u_v >0 se mantiene alejado del cero, se aplica el caso 4. El signo del l´ımite est´a dado por el signo dev. En resumen,

“∞+∞=∞”

“∞−∞” es indeterminado.

(31)

2. Si y→∞,z→∞, en principio, nada puede afirmarse acerca dey+z.

Sea y=1_u,z=1_v con u,v→0. Entonces

y+z =1 u+ 1 v = u+v u·v =⇒indeterminaci´on “ 0 0”.

Ahora, siy,z tienen el mismo signo,

y+z= u+v u·v = u 1 +v_u u·v = 1 +v_u v →∞.

pues u_v >0 y 1 +u_v >0 se mantiene alejado del cero, se aplica el caso 4. El signo del l´ımite est´a dado por el signo dev. En resumen,

“∞+∞=∞”

“∞−∞” es indeterminado.

(32)

(a) lim x→0 2 x− 1 x = lim x→0 1 x =∞, en este caso “∞−∞=∞” (b) lim x→∞ 1 x− 1 x = 0, en este caso “∞−∞= 0” (c) lim x→0 ₁ x+c −1 x =c, en este caso “∞−∞=c”

(33)

Definición: Decimos que la recta vertical x=a es una as´ıntota vertical del gráfico de una función (o de la función) si a∈Ry hay un l´ımite infinito cuando x →a.

Ejemplos

10. La recta x= 0 es as´ıntota vertical de y= 1 +1_x

(34)

Definición: Decimos que la recta vertical x=a es una as´ıntota vertical del gráfico de una función (o de la función) si a∈Ry hay un l´ımite infinito cuando x →a.

Ejemplos

10. La recta x= 0 es as´ıntota vertical de y= 1 +1_x

(35)

11. La recta x=−4 es as´ıntota vertical de y=3_xx₊₄−2

(36)

Definición 4. Una función f alcanza su valor máximo relativo al conjunto S⊂Dom(f) en el punto a si f(a)≥f(x) para todo x∈S .

El n´umero f(a)es el valor m´aximo de f en S y se denota como f(a) = maxf

S

Si S=Dom(f), se dice que el máximo es absoluto. La definición de m´ınimo relativo y absolutoes idéntica, reemplazando ≥por ≤en la definición anterior.

Para decir que f alcanza un m´aximo o un m´ınimo en un punto sin especificar, se dir´a que alcanza un extremo.

(37)

S

(38)

S

Si S=Dom(f), se dice que el m´aximo es absoluto.

La definición de m´ınimo relativo y absolutoes idéntica, reemplazando ≥por ≤en la definición anterior.

(39)

S

(40)

S

Para decir que f alcanza un m´aximo o un m´ınimo en un punto sin especificar, se dir´a que alcanza unextremo.

(41)

M´

aximos y m´ınimos: Ejemplos

1. La funci´ony=|x|+ 1 alcanza su m´ınimo absoluto (que vale 1) en el cero.

2. La funci´on seno alcanza su m´aximo absoluto en π

2. Y tambi´en en

todos los puntos de la forma π

2+ 2kπ conk entero.

(42)

M´

aximos y m´ınimos: Ejemplos

3. y=x tiene un m´aximo relativo al intervalo (−1,1] enx= 1. No tiene m´ınimo relativo a este intervalo.

4. La funci´on no alcanza m´aximo ni m´ınimo en el intervalo [−√3,√3]

(43)

Extremos locales

Definición 5. Una función f tiene en un punto a∈Dom(f) un máximo local si existe un intervalo abierto I ⊂Dom(f) que contenga al punto a, respecto del cual f tiene un máximo relativo en a. Análoga definición para m´ınimo local.

Para poder distinguirlos de los locales, los extremos definidos anteriormente se denominar´anglobales

Los extremos globales son una propiedad de la funci´oncon respecto a un conjunto S (relativos si S⊂Dom(f) y absolutos siS =Dom(f)) Los extremos locales no requieren la menci´on de un conjunto, son una propiedad del punto.

(44)

Extremos locales

Definición 5. Una función f tiene en un punto a∈Dom(f) un máximo local si existe un intervalo abierto I ⊂Dom(f) que contenga al punto a, respecto del cual f tiene un máximo relativo en a. Análoga definición para m´ınimo local.

Para poder distinguirlos de los locales, los extremos definidos anteriormente se denominar´an globales

Los extremos globales son una propiedad de la funci´oncon respecto a un conjunto S (relativos si S⊂Dom(f) y absolutos siS =Dom(f)) Los extremos locales no requieren la menci´on de un conjunto, son una propiedad del punto.

(45)

Extremos locales: Ejemplos

5. f(x) =1

x

no tiene extremos absolutos. Tiene un m´ınimo relativo al

intervalo (0,1] en 1 y un m´aximo relativo al intervalo [1,+∞) en 1.

No tiene extremos locales.

6. Esta funci´on, cuyo dominio es el conjunto de los reales, tiene un m´aximo local ena y un m´ınimo local enb

(46)

Relaci´

on entre extremos locales y globales

Teorema 1: Si una funci´on alcanza un extremo global relativo a un conjunto S en un punto interior a S , entonces la funci´on tiene en ese punto un extremo local.

Para nuestros fines es suficiente con asumir que el conjuntoS es un intervaloI.

Sia<b son los extremos deI, todos los puntosa<x<b son puntos interiores de I.

(47)

Relaci´

on entre extremos locales y globales

Teorema 1: Si una funci´on alcanza un extremo global relativo a un conjunto S en un punto interior a S , entonces la funci´on tiene en ese punto un extremo local.

Para nuestros fines es suficiente con asumir que el conjuntoS es un intervaloI.

Sia<b son los extremos deI, todos los puntosa<x<b son puntos interiores de I.

(48)

Relaci´

on entre extremos locales y globales

Teorema 2: Si f alcanza un extremo local en un punto a y es derivable en ese punto, entonces f0(a) = 0.

Demostración. Si f tiene un máximo local en a, se cumple que f(a+h)−f(a)≤0 para valores suficientemente pequeños de h. Luego,

f(a+h)−f (a)

h ≤0 para h>0, f(a+h)−f (a)

h ≥0 para h<0. Tomando l´ımites laterales, se deduce que D−f(a)≥0 y

D+f(a)≤0. Como f es derivable, debe ser f0(a) = 0. Si f

tuviera un m´ınimo local en a, (−f) tendr´ıa un m´aximo local en a, entonces −f0(a) = 0.

(49)

Relaci´

on entre extremos locales y globales

Demostración. Si f tiene un máximo local en a, se cumple que f(a+h)−f(a)≤0 para valores suficientemente pequeños de h.

Luego,

f(a+h)−f (a)

(50)

Relaci´

on entre extremos locales y globales

f(a+h)−f (a)

h ≥0 para h<0.

Tomando l´ımites laterales, se deduce que D−f(a)≥0 y

(51)

Relaci´

on entre extremos locales y globales

f(a+h)−f (a)

(52)

Relaci´

on entre extremos locales y globales

El rec´ıproco del Teorema 2 no es v´alido: la derivada de una funci´on puede anularse en un punto, sin que dicho punto sea un extremo local, p. ej. y=x3 en x= 0.

Por otro lado, hay funciones no derivables que tienen extremos locales y globales. Hemos visto que y=|x|+ 1 alcanza un m´ınimo relativo global enx= 0 y, a su vez, este punto tambi´en es un m´ınimo local (¿Por qu´e?)

¿C´omo se utilizan los resultados de los Teoremas 1 y 2 para hallar extremos de una funci´on?

(53)

Determinaci´

on de extremos de una funci´

on

Supongamos que queremos hallar los extremos globales de una funci´onf definida en un intervalo cerrado I = [a,b].

Caben dos posibilidades: los extremos globales pueden alcanzarse, o bien, en los extremos del intervalo, o en el interior del mismo. Si existe un extremo global en el interior de I

el extremo tambi´en es local (Teorema 1)

si la funci´on es derivable, en el extremo (local) la derivada se anula (Teorema 2); pero sabemos que pueden existir extremos locales en puntos donde la funci´on no es derivable.

Vamos a llamar puntos cr´ıticos a aquellos donde no existe derivada o la derivada se anula: un m´aximo o un m´ınimo solo pueden ser alcanzados en los extremos del intervalo o en un punto cr´ıtico. De esta manera, tenemos un criterio para buscar “candidatos” a extremos

(54)

A la pesca de los extremos globales

Resulta tentador utilizar este procedimiento para “pescar” extremos

(i) Se buscan todos los puntos cr´ıticos en (a,b), p. ej.

c1≤c2≤ · · · ≤cn

(ii) Sines finito, se calculan los valoresf(c1),f(c2), . . . ,f(cn), as´ı como f(a) yf(b)

(iii) El mayor valor entre los calculados en el punto anterior es el máximo global def en [a,b] y el menor valor es el m´ınimo global def en [a,b] ¡Esto está bien si existenmáximo y m´ınimo relativos a este intervalo! Hemos visto en los ejemplos 1-6 que hay varios casos donde esto no se cumple, el método no puede pescar peces que no estaban en el estanque.

(55)

Determinaci´

on de extremos de una funci´

on

Ejemplo 4. (reloaded) f es una funci´on definida por

y=    x4₋₄_x2_{+ 3} sg(x) si x∈[−√3,0)∪(0,√3] 0 si x= 0

cuyo dominio es el intervalo cerrado [−√3,√3]. f es derivable en(−√3,√3)salvo en el origen, donde ni siquiera es continua. Tenemos que

f0(x) = 4x3−8x

sg(x) = 4x x2−2

sg(x),

que se anula en−√2y en√2. El conjunto de los puntos cr´ıticos (P.C.) es entonces{−√2,0,√2}.

(56)

Determinaci´

on de extremos de una funci´

on

Ejemplo 4. (reloaded) Luego, calculamos el valor de f en los P.C. y en los extremos del intervalo:

f(−√2) = 1, f(0) = 0, f(√2) =−1, f(−√3) =f(√3) = 0. Aunque en−√2y√2 sólo hay máximo y m´ınimo locales porque, claramente, limx→0−f(x) =−3 ylim_x_→₀+f(x) = 3, valores que no son alcanzados; pero cuando x está cerca del 0,

f(x)≥f(−√2) y f(x)≤f(

√

2). En este intervalo la funci´on no tiene extremos globales.

(57)

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Teorema 3. (de Bolzano y Weierstrass) Si f es una funci´on continua, I ⊂Dom(f)es un intervalo, entonces f(I)es un intervalo. Si, adem´as, I es cerrado, entonces f(I) es un intervalo cerrado.

Corolario 1. Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo en[a,b].

Demostración. Por el Teorema 3, f([a,b]) = [c,d]para ciertos c y d . Como todos los valores f(x)con x ∈[a,b]están en [c,d], se cumple que c≤f(x)≤d para todo x . Pero además, esto implica la existencia de dos puntos x1,x2∈[a,b]tales que

f (x1) =c y f(x2) =d . Entonces c=f(x1) = min f|[a,b] y d =f (x2) = max f|[a,b] .

(58)

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Corolario 1. Si f es continua en un intervalo cerrado[a,b], entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo en[a,b].

Demostración. Por el Teorema 3, f([a,b]) = [c,d]para ciertos c y d . Como todos los valores f(x)con x ∈[a,b]están en [c,d], se cumple que c≤f(x)≤d para todo x . Pero además, esto implica la existencia de dos puntos x1,x2∈[a,b]tales que

f (x1) =c y f(x2) =d . Entonces c=f(x1) = min f|[a,b] y d =f (x2) = max f|[a,b] .

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Teorema de Bolzano-Weierstrass

Corolario 1. Si f es continua en un intervalo cerrado[a,b], entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo en[a,b].

Demostración. Por el Teorema 3, f([a,b]) = [c,d]para ciertos c y d . Como todos los valores f(x)con x∈[a,b]están en [c,d], se cumple que c≤f(x)≤d para todo x . Pero además, esto implica la existencia de dos puntos x1,x2∈[a,b]tales que

f(x1) =c y f(x2) =d . Entonces c=f(x1) = min f|[a,b] y d =f (x2) = max f|[a,b] .

(60)

Determinaci´

on de extremos de una funci´

on

Resulta clara la importancia de saber de antemano si en un intervalo una funci´on alcanza su m´aximo y su m´ınimo

La condici´on clave es la de continuidad

En resumen, para funciones continuasenintervalos cerrados

funciona el m´etodo para “pescar extremos”

Ahora podemos entender por qué puede fallar el método: en el ejemplo 4, la función es discontinua en 0

en el ejemplo 3, la funci´on es continua pero no alcanza el m´ınimo porque el intervalo se abre en -1

la funci´on del ejemplo 5 es discontinua y est´a definida en el intervalo abierto (−∞,∞)

(61)

Determinaci´

on de extremos: Ejemplos

7. Puede removerse la discontinuidad de la funci´on del Ejemplo 4, simplemente borrando la funci´on sg(x). Ahoraf (x) =x4₋₄_x2_{+ 3, e}

investigamos sus extremos en el intervalo cerrado [−√3,√3].

Comof es continua, alcanza su m´aximo y su m´ınimo en ese intervalo, por el teorema de Bolzano-Weiertrass.

S´olo puede alcanzarlos en los extremos o en puntos cr´ıticos, de modo que el conjunto de los puntos cr´ıticos es PC ={−√2,0,√2}.

La evaluaci´on de f en los candidatos da:

f(−√3) = 0, f(−√2) =−1, f(0) = 3, f(√2) =−1, f(√3) = 0 La funci´on alcanza su m´aximo valor, 3, en x= 0 y su m´ınimo, -1, en los puntosx=−√2 yx=√2

(62)

Determinaci´

on de extremos: Ejemplos

7. Puede removerse la discontinuidad de la funci´on del Ejemplo 4, simplemente borrando la funci´on sg(x). Ahoraf (x) =x4₋₄_x2_{+ 3, e}

investigamos sus extremos en el intervalo cerrado [−√3,√3].

Comof es continua, alcanza su m´aximo y su m´ınimo en ese intervalo, por el teorema de Bolzano-Weiertrass.

S´olo puede alcanzarlos en los extremos o en puntos cr´ıticos, de modo que el conjunto de los puntos cr´ıticos es PC ={−√2,0,√2}.

La evaluaci´on de f en los candidatos da:

f(−√3) = 0, f(−√2) =−1, f(0) = 3, f(√2) =−1, f(√3) = 0 La funci´on alcanza su m´aximo valor, 3, en x= 0 y su m´ınimo, -1, en los puntosx=−√2 y x=√2

(63)

Determinaci´

on de extremos: Ejemplos

Funci´on: y=x4−4x2+ 3, en el intervalo [−√3,√3]

(64)

Determinaci´

on de extremos: Ejemplos

8. Supongamos ahora que queremos investigar extremos de la misma funci´onf(x) =x4−4x2+ 3 en su dominio natural,R.

Como el dominio es un intervalo abierto, todo extremo absoluto debe ser extremo local, pero ahora no est´a asegurada la existencia de m´aximos y m´ınimos.

Dado que limx→∞f(x) = +∞, no puede haber m´aximos absolutos.

El m´ınimo, por ser necesariamente local, debe ser el m´ınimo local hallado en los puntos±√2.

Sabemos que f(x)≥f(√2) =−1 en [−√3,√3] yf(x)>0 fuera de este intervalo

Conclusi´on: f no tiene m´aximo absoluto y alcanza su m´ınimo absoluto, que vale −1, en±√2.

(65)

Determinaci´

on de extremos: Ejemplos

8. Supongamos ahora que queremos investigar extremos de la misma funci´onf(x) =x4−4x2+ 3 en su dominio natural,R.

Como el dominio es un intervalo abierto, todo extremo absoluto debe ser extremo local, pero ahora no est´a asegurada la existencia de m´aximos y m´ınimos.

Dado que limx→∞f(x) = +∞, no puede haber m´aximos absolutos.

El m´ınimo, por ser necesariamente local, debe ser el m´ınimo local hallado en los puntos±√2.

Sabemos que f(x)≥f(√2) =−1 en [−√3,√3] yf(x)>0 fuera de este intervalo

Conclusi´on: f no tiene m´aximo absoluto y alcanza su m´ınimo absoluto, que vale −1, en±√2.

(66)

Funciones crecientes y decrecientes: Definiciones

La funci´onf escreciente si cada vez que aumenta la variable independiente (v.i.), la variable dependiente (v.d.) no disminuye. Si el aumento de la v.i. significa tambi´en un aumento de la v.d., entonces f esestrictamente creciente.

Definici´on 6. f es creciente en el intervalo I si a,b∈I y a<b implican que f(a)≤f(b). Si, bajo las mismas suposiciones, la conclusi´on es f(a)<f(b), diremos que f es estrictamente creciente.

An´alogamente, cuando a<b⇒f(a)≥f(b), la funci´on es

decreciente. Si la desigualdad se cumple con>, la funci´on es

estrictamente decreciente

Se dice que una función es monótonasi es creciente o decreciente, sin especificar cuál de las dos. Esta propiedad se denomina monoton´ıa.

(67)

Funciones crecientes y decrecientes: Definiciones

Se dice que una función es monótonasi es creciente o decreciente, sin especificar cuál de las dos. Esta propiedad se denomina monoton´ıa.

(68)

Funciones crecientes y decrecientes: Definiciones

Se dice que una función esmonótonasi es creciente o decreciente, sin especificar cuál de las dos. Esta propiedad se denomina monoton´ıa.

(69)

Funciones crecientes y decrecientes

Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto x de ese intervalo en el que f sea derivable será f0(x)≥0. Si, en cambio, f es decreciente, será f0(x)≤0.

Teorema 5. Sea f una funci´on derivable en un intervalo(a,b). Entonces:

f0(x)≥0en(a,b) =⇒f es creciente en (a,b)

f0(x)>0en(a,b) =⇒f es estrictamente creciente en(a,b)

f0(x)≤0en(a,b) =⇒f es decreciente en (a,b)

f0(x)<0en(a,b) =⇒f es estrictamente decreciente en(a,b)

Corolario. Si f0(x) = 0en (a,b), entonces f es constante en ese intervalo.

(70)

Funciones crecientes y decrecientes

Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto x de ese intervalo en el que f sea derivable será f0(x)≥0. Si, en cambio, f es decreciente, será f0(x)≤0. Teorema 5. Sea f una función derivable en un intervalo(a,b). Entonces:

(71)

Funciones crecientes y decrecientes

Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto x de ese intervalo en el que f sea derivable será f0(x)≥0. Si, en cambio, f es decreciente, será f0(x)≤0. Teorema 5. Sea f una función derivable en un intervalo(a,b). Entonces:

(72)

Funciones mon´

otonas - Extremos locales

La interpretación geométrica de la derivada en un punto como la pendiente de la recta tangente al gráfico en ese punto es consistente con la interpretación geométrica de crecimiento y decrecimiento Recordando que f0(x0) = 0 es una condición necesaria para la

existencia de un extremo local en un punto de derivabilidad x0

En un punto del gr´afico donde la tangente es horizontal:

(i) hay un m´ınimo si observamos que el gr´afico desciende hasta llegar ax0

y luego comienza a ascender

(ii) hay un m´aximo si x0est´a precedido por un ascenso y seguido de un descenso

(73)

Funciones mon´

otonas - Extremos locales

(74)

Funciones mon´

otonas - Extremos locales

Hay cuatro maneras en que f0 puede anularse en el puntox0

a. Pasando de f0(x)<0 para x<x0 af0(x)>0 para x>x0

b. Pasando de f0(x)>0 para x<x0 af0(x)<0 para x>x0

c. Tocando el 0 en x0, pero permaneciendo positiva a su alrededor

d. Tocando el 0 en x0, pero permaneciendo negativa a su alrededor

Cada una de estas maneras conduce a cuatro comportamientos distintos para la funci´on f enx0:

a. Hay un m´ınimo local en x0

b. Hay un m´aximo local en x0

c. Gr(f) ascendente en un intervalo con tangente horizontal enx0

d. Gr(f) descendente en un intervalo con tangente horizontal enx0

(75)

Funciones mon´

otonas - Extremos locales

Hay cuatro maneras en que f0 puede anularse en el puntox0

a. Pasando de f0(x)<0 para x<x0 af0(x)>0 para x>x0

b. Pasando de f0(x)>0 para x<x0 af0(x)<0 para x>x0

c. Tocando el 0 en x0, pero permaneciendo positiva a su alrededor

d. Tocando el 0 en x0, pero permaneciendo negativa a su alrededor

Cada una de estas maneras conduce a cuatro comportamientos distintos para la funci´on f enx0:

a. Hay un m´ınimo local en x0

b. Hay un m´aximo local en x0

c. Gr(f) ascendente en un intervalo con tangente horizontal enx0

d. Gr(f) descendente en un intervalo con tangente horizontal enx0

(76)

Funciones mon´

otonas - Extremos locales

(77)

Monoton´ıa y extremos locales: Ejemplos

9. f(x) =x3−3x. Buscamos extremos locales y absolutos e intervalos de crecimiento-decrecimiento.

f0(x) = 3(x+ 1)(x−1). El an´alisis del signo de f0 es sencillo: f0<0 en (−1,1) yf0>0 en (−∞,−1) y en (1,+∞)

Por lo tanto, el cero def0 en −1 es del tipo b. mientras que el cero en 1 es del tipo a.

La funci´onf decrece en el intervalo (−1,1) y crece en los intervalos (−∞,−1) y (1,+∞)

En consecuencia, hay un m´aximo local en 1 y un m´ınimo local en−1. No existen extremos absolutos ya que

lim

x→−∞f(x) =−∞ y x→lim+∞f(x) = +∞.

(78)

Monoton´ıa y extremos locales: Ejemplos

9. f(x) =x3−3x. Buscamos extremos locales y absolutos e intervalos de crecimiento-decrecimiento.

f0(x) = 3(x+ 1)(x−1). El an´alisis del signo de f0 es sencillo: f0<0 en (−1,1) yf0>0 en (−∞,−1) y en (1,+∞)

Por lo tanto, el cero def0 en −1 es del tipo b. mientras que el cero en 1 es del tipo a.

La funci´onf decrece en el intervalo (−1,1) y crece en los intervalos (−∞,−1) y (1,+∞)

En consecuencia, hay un m´aximo local en 1 y un m´ınimo local en−1. No existen extremos absolutos ya que

lim

x→−∞f(x) =−∞ y x→lim+∞f(x) = +∞.

(79)

Monoton´ıa y extremos locales: Ejemplos

Gr´afica dey= 3x3−x

(80)

Comparaci´

on de funciones

Si f(x)<g(x) para todox en un intervalo I ⇒f <g enI.

Análogamente, se definen el resto de las desigualdades: >,≤,≥. Si f(a)≤g(a) en el extremo izquierdo de un intervalo y f no crece más queg, es de esperar que la desigualdad se mantendrá en todo el intervalo

(81)

Comparaci´

on de funciones

Si f(x)<g(x) para todox en un intervalo I ⇒f <g enI. An´alogamente, se definen el resto de las desigualdades: >,≤,≥.

Si f(a)≤g(a) en el extremo izquierdo de un intervalo y f no crece m´as queg, es de esperar que la desigualdad se mantendr´a en todo el intervalo

(82)

Comparaci´

on de funciones

Si f(x)<g(x) para todox en un intervalo I ⇒f <g enI. Análogamente, se definen el resto de las desigualdades: >,≤,≥. Si f(a)≤g(a) en el extremo izquierdo de un intervalo yf no crece más queg, es de esperar que la desigualdad se mantendrá en todo el intervalo

(83)

Comparaci´

on de funciones

Si f(x)<g(x) para todox en un intervalo I ⇒f <g enI. Análogamente, se definen el resto de las desigualdades: >,≤,≥. Si f(a)≤g(a) en el extremo izquierdo de un intervalo yf no crece más queg, es de esperar que la desigualdad se mantendrá en todo el intervalo

(84)

Comparaci´

on de funciones

Teorema 6. Sean f,g funciones continuas en [a,b)y derivables en(a,b). Si, adem´as, f(a)≤g(a)y f0≤g0 en (a,b), entonces f ≤g en[a,b). Si f0<g0 en(a,b), entonces f <g en (a,b). An´alogamente, si f(b)≤g(b) en el extremo derecho y g0≤f0 en

(a,b), entonces f ≤g en (a,b], con la desigualdad estricta en el caso correspondiente.

Demostración. Se considera la función(g−f). Por hipótesis, se sigue que(g−f)(a)≥0y que (g−f)0=g0−f0≥0 en(a,b). Luego,(g−f) es creciente en ese intervalo y también lo es en

[a,b). En consecuencia, para todo x ,

(g−f)(x)≥(g−f)(a)≥0.

Esto es, f(x)≤g(x)para x∈[a,b). La demostraciones restantes quedan como ejercicio.

(85)

Comparaci´

on de funciones

Teorema 6. Sean f,g funciones continuas en [a,b)y derivables en(a,b). Si, adem´as, f(a)≤g(a)y f0≤g0 en (a,b), entonces f ≤g en[a,b). Si f0<g0 en(a,b), entonces f <g en (a,b). An´alogamente, si f(b)≤g(b) en el extremo derecho y g0≤f0 en

(a,b), entonces f ≤g en (a,b], con la desigualdad estricta en el caso correspondiente.

Demostración. Se considera la función(g−f). Por hipótesis, se sigue que(g−f)(a)≥0y que (g−f)0=g0−f0≥0 en(a,b). Luego,(g−f) es creciente en ese intervalo y también lo es en

[a,b). En consecuencia, para todo x ,

(g−f)(x)≥(g−f)(a)≥0.

Esto es, f(x)≤g(x)para x∈[a,b). La demostraciones restantes quedan como ejercicio.

(86)

Comparaci´

on de funciones: Ejemplos

10. Tomamos f(x) = sen(x) yg(x) =x en [0,+∞).

Dado que sen(0) = 0 y que

f0(x) = (senx)0= cosx≤1 =g0(x),

se deduce que senx≤x para x≥0.

Como consecuencia, resulta sen_xx ≤1 parax>0.

Parax<0, la desigualdad permanece por tratarse de una funci´on par (luego sim´etrica).

Sabemos que limx→0sen_x(x) = 1. Entonces, la funci´on definida por

h(x) =

(_sen_x

x six6= 0

1 six= 0

tiene un m´aximo absoluto en x= 0.

(87)

Comparaci´

on de funciones: Ejemplos

10. Tomamos f(x) = sen(x) yg(x) =x en [0,+∞).

Dado que sen(0) = 0 y que

f0(x) = (senx)0= cosx≤1 =g0(x),

se deduce que senx≤x parax≥0.

Como consecuencia, resulta sen_xx ≤1 parax>0.

Parax<0, la desigualdad permanece por tratarse de una funci´on par (luego sim´etrica).

Sabemos que limx→0sen_x(x) = 1. Entonces, la funci´on definida por

h(x) =

(_sen_x

x six6= 0

1 six= 0

tiene un m´aximo absoluto en x= 0.

(88)

Comparaci´

on de funciones: Ejemplos

Gr´afica dey= sen(x),y=x

Gr´afica dey= sen(x)/x

(89)

Comparaci´

on de funciones: Ejemplos

Gr´afica dey= sen(x),y=x

Gr´afica dey= sen(x)/x

(90)

Comparaci´

on de funciones: Ejemplos

11. Consideremos la funci´on d dx senx x =xcosx−senx x2 .

Queremos averiguar su signo en el intervalo (0,π).

Ya que el denominador es positivo para 0<x<π, basta considerar

f(x) =xcosx−senx, y compararla con g(x) = 0. Tenemos quef(0) = 0 y

f0(x) = cosx−xsenx−cosx=−xsenx<0 en (0,π).

Por el Teorema 6, f <0 en (0,π) y de all´ı se deduce que sen_xx es

decreciente en ese intervalo.

(91)

Comparaci´

on de funciones: Ejemplos

11. Consideremos la funci´on d dx senx x =xcosx−senx x2 .

Queremos averiguar su signo en el intervalo (0,π).

Ya que el denominador es positivo para 0<x<π, basta considerar

f(x) =xcosx−senx, y compararla cong(x) = 0. Tenemos quef(0) = 0 y

f0(x) = cosx−xsenx−cosx=−xsenx<0 en (0,π).

Por el Teorema 6, f <0 en (0,π) y de all´ı se deduce que sen_xx es

decreciente en ese intervalo.

(92)

Concavidad y segunda derivada

La concavidad se refiere a secciones de la gráfica de una función donde la misma es “curva hacia arriba” o “curva hacia abajo” Si la gráfica de una función queda por arriba de todas sus tangentes en un intervalo I, se dice que escóncava hacia arriba enI

Si la gráfica de una función queda por debajo de todas sus tangentes en un intervalo I, se dice que escóncava hacia abajo enI

(93)

Cuando una curva es c´oncava hacia arriba, las pendientes de las sucesivas rectas tangentes van creciendo a medida quex crece. Lo opuesto ocurre cuando es c´oncava hacia abajo

Entonces, sif es derivable en un intervalo donde su gráfica es cóncava hacia arriba, f0 serácreciente en dicho intervalo

De forma análoga, sif es derivable en un intervalo donde su gráfica es cóncava hacia abajo, f0 serádecrecienteen dicho intervalo

Cuando existe la derivada segundaf00, su signo permite determinar el car´acter creciente o decreciente de la derivada primera f0. En este caso,

f00≥0 en (a,b)⇐⇒f c´oncava hacia arriba en (a,b)

f00≤0 en (a,b)⇐⇒f c´oncava hacia abajo en (a,b)

Si f es cóncava hacia arriba (resp. hacia abajo) y hacia abajo (resp. hacia arriba) en dos intervalos contiguos, existef00y es continua en la unión de ambos, la misma debe anularse en el punto fronterizo. En este punto se dice que la función tiene un punto de inflexión

Cuando existe derivada segunda, ´esta se anula en los puntos de inflexi´on.

(94)

Pero no siempre que se anula la derivada segunda hay un punto de inflexi´on

(95)

Concavidad y puntos de inflexi´

on: Ejemplos

12. Veamos nuevamente la funci´onf(x) =x4−4x2+ 3

Ya sabemos que f03₋₈_x_{. Ahora,}

f002−8 = 12 x− q 2 3 x+ q 2 3

Usando el teorema de Bolzano y tomando valores def00 en un punto de cada intervalo: f00(−1) =f00(1) = 4>0 y f00(0) =−8<0

f es c´oncava hacia arriba en

−∞,− q 2 3 y en q 2 3,+∞

f es c´oncava hacia abajo en

− q 2 3, q 2 3

En los dos puntos de anulación def00, la función cambia el sentido de su concavidad. Por lo tanto, son puntos de inflexión

(96)

Concavidad y puntos de inflexi´

on: Ejemplos

12. Veamos nuevamente la funci´onf(x) =x4−4x2+ 3

Ya sabemos que f03₋₈_x_{. Ahora,}

f002−8 = 12 x− q 2 3 x+ q 2 3

Usando el teorema de Bolzano y tomando valores def00 en un punto de cada intervalo: f00(−1) =f00(1) = 4>0 y f00(0) =−8<0

f es c´oncava hacia arriba en

−∞,− q 2 3 y en q 2 3,+∞

f es c´oncava hacia abajo en

− q 2 3, q 2 3

En los dos puntos de anulación def00, la función cambia el sentido de su concavidad. Por lo tanto, son puntos de inflexión

(97)

Concavidad y puntos de inflexi´

on: Ejemplos

13. Si y= tanx, entonces dy_dx = _cos12_x. Calculamos la segunda derivada, d2_y dx2 = −2 cosx(−senx) cos4_x = 2 senx cos3_x,

que se anula para x=kπ conk entero (en esos puntos el

denominador no se anula). Evaluando los signos correspondientes,

d2y dx2 <0 en kπ−π 2,kπ y d 2_y dx2 >0 en kπ,kπ+π 2 ,

y en cada punto fronterakπ de estos intervalos contiguos hay un

punto de inflexi´on.

Por otro lado, la tangente es discontinua con as´ıntota vertical en puntos de la forma: kπ+π₂ conk entero, los puntos de separaci´on de

dichos intervalos. No se consideran puntos de inflexi´on.

(98)

Concavidad y puntos de inflexi´

on: Ejemplos

(99)

Teoremas y Demostraciones

La primera parte del Teorema 3 implica que una funci´on continua toma todos los valores intermedios.

Lo explicitaremos como corolario, para facilitar su referencia.

Com´unmente este resultado se menciona como teorema de Bolzano. Necesitamos un resultado previo (ejercicio 1.140 de Alvarez (2010) “Notas de C´alculo” 2da. ed.)

Lema Sea I un intervalo con x,y∈I , x6=y . Entonces

[x,y]∗⊂I , donde [x,y]∗=    [x,y] si x<y, [y,x] si y <x.

(100)

Teoremas y Demostraciones

La primera parte del Teorema 3 implica que una funci´on continua toma todos los valores intermedios.

Lo explicitaremos como corolario, para facilitar su referencia.

Com´unmente este resultado se menciona como teorema de Bolzano. Necesitamos un resultado previo (ejercicio 1.140 de Alvarez (2010) “Notas de C´alculo” 2da. ed.)

Lema Sea I un intervalo con x,y∈I , x6=y . Entonces

[x,y]∗⊂I , donde [x,y]∗=    [x,y] si x<y, [y,x] si y <x.

(101)

Teorema de Bolzano

Corolario 2 (del Teorema 3). Si f es continua en el intervalo

[a,b]y c∈(f(a),f(b))∗, existe ξ ∈(a,b) tal que f (ξ) =c.

Demostraci´on. Por el Teorema 3, f([a,b]) es un intervalo. Adem´as, f(a),f(b)∈f([a,b]). El lema anterior implica que

[f(a),f(b)]∗⊂f([a,b]).

Luego, c∈f([a,b])y, por lo tanto, existe ξ ∈[a,b] tal que

f (ξ) =c. Adem´as, ξ es un punto interior del intervalo[a,b],

dado que f (ξ) =c, y f(a)=6 c 6=f(b) por hip´otesis. Entonces ξ ∈(a,b).

(102)

Teorema de Bolzano

Corolario 2 (del Teorema 3). Si f es continua en el intervalo

[a,b]y c∈(f(a),f(b))∗, existe ξ ∈(a,b) tal que f (ξ) =c.

Demostraci´on. Por el Teorema 3, f ([a,b]) es un intervalo. Adem´as, f(a),f(b)∈f([a,b]). El lema anterior implica que

[f(a),f(b)]∗⊂f([a,b]).

Luego, c∈f([a,b])y, por lo tanto, existe ξ ∈[a,b] tal que

f(ξ) =c. Adem´as, ξ es un punto interior del intervalo[a,b],

dado que f (ξ) =c, y f(a)=6 c 6=f(b) por hip´otesis. Entonces ξ ∈(a,b).

(103)

Teorema de Bolzano: Interpretaci´

on gr´

afica

(104)

Teorema de Bolzano: Ejemplos

[1.]Una lectura posible de este corolario es la siguiente: si

a,b∈Dom(f) conf continua, entonces [f(a),f(b)]∗⊂Rg(f)Sif es continua en [a,c) y

lim

x→c−f(x) = +∞

entonces [f(a),+∞)⊂Rg(f).

Para probar esta afirmaci´on, bastar´a ver que, para todo M>f(a), [f(a),M]⊂Rg(f). Pero sif(x)→+∞para x→c−, es posible

encontrar b∈(a,c) tal que f(b)>M (Demu´estrelo). Ahora, usando el Ejemplo 1,

[f(a),M]⊂[f(a),f(b)]⊂Rg(f).

(105)

Teorema de Bolzano: Ejemplos

[1.]Una lectura posible de este corolario es la siguiente: si

a,b∈Dom(f) conf continua, entonces [f(a),f(b)]∗⊂Rg(f)Sif es continua en [a,c) y

lim

x→c−f(x) = +∞

entonces [f(a),+∞)⊂Rg(f).

Para probar esta afirmaci´on, bastar´a ver que, para todo M>f(a), [f(a),M]⊂Rg(f). Pero sif(x)→+∞para x→c−, es posible

encontrar b∈(a,c) tal que f(b)>M (Demu´estrelo). Ahora, usando el Ejemplo 1,

[f(a),M]⊂[f(a),f(b)]⊂Rg(f).

(106)

Teorema de Bolzano: Ejemplos

1. 2. 1. 2.

3. Existencia de ra´ıces n-´esimas. f(x) =xnes continua en [0,+∞) y

adem´as,f(0) = 0, limx→+∞f(x) = +∞. Por el Ejemplo 2, sabemos

que [0,+∞)⊂Rg(f). Esto es, para cada número no negativoy, existe x≥0 tal que xn=y. Si n es impar, es fácil ver que también existen ra´ıces n-ésimas de números negativos.

4. Sif es continua en [a,b] y, digamos,f(a)<0, mientras quef(b)>0, el teorema de Bolzano puede ser usado para aproximar una ra´ız de la ecuaci´onf(x) = 0. Se eval´ua f a+₂b y:

sif a+₂b<0 =⇒f tiene un cero en a+₂b,b

sif a+₂b

>0 =⇒f tiene un cero en a,a+₂b

En ambos casos hemos “encerrado” una ra´ız en un intervalo con la mitad de longitud que el inicial. Iterando n veces el procedimiento, encerraremos una ra´ız en un intervalo de longitud b₂−na.

(107)

Teorema de Bolzano: Ejemplos

3. Existencia de ra´ıces n-´esimas. f(x) =xnes continua en [0,+∞) y

adem´as,f(0) = 0, limx→+∞f(x) = +∞. Por el Ejemplo 2, sabemos

que [0,+∞)⊂Rg(f). Esto es, para cada número no negativoy, existe x≥0 tal que xn=y. Si n es impar, es fácil ver que también existen ra´ıces n-ésimas de números negativos.

4. Sif es continua en [a,b] y, digamos,f(a)<0, mientras quef(b)>0, el teorema de Bolzano puede ser usado para aproximar una ra´ız de la ecuaci´onf(x) = 0. Se eval´ua f a+₂b y:

sif a+₂b<0 =⇒f tiene un cero en a+₂b,b

sif a+₂b

>0 =⇒f tiene un cero en a,a+₂b

En ambos casos hemos “encerrado” una ra´ız en un intervalo con la mitad de longitud que el inicial. Iterando n veces el procedimiento, encerraremos una ra´ız en un intervalo de longitud b₂−na.

(108)

Teorema del valor medio: Introducci´

on

Si se considera una curva descripta param´etricamente

x=f(t)

y=g(t)

cona≤t≤b, los extremos de la misma tienen coordenadas (f(a),g(a)) y (f(b),g(b)).

La pendiente de la cuerda que los une es

m1=

g(b)−g(a)

f(b)−f(a).

(109)

Teorema del valor medio: Introducci´

on

El vector tangente en un punto interior de la curva, (f(t),g(t)) est´a dado por (f0(t),g0(t))

La pendiente de la recta tangente en ese punto ser´a

m2=

g0(t)

f0(t). La siguiente afirmaci´on:

La cuerda que une los extremos de la curva es paralela a la tangente en un punto intermedio de la curva

es equivalente a postular la existencia de un n´umero τ∈(a,b) para el

cual se verifica m1=m2, es decir

g(b)−g(a)

f(b)−f(a) =

g0(τ)

f0₍

τ).

(110)

Teorema del valor medio: Introducci´

on

El vector tangente en un punto interior de la curva, (f(t),g(t)) est´a dado por (f0(t),g0(t))

La pendiente de la recta tangente en ese punto ser´a

m2=

g0(t)

f0(t). La siguiente afirmaci´on:

La cuerda que une los extremos de la curva es paralela a la tangente en un punto intermedio de la curva

es equivalente a postular la existencia de un n´umero τ∈(a,b) para el

cual se verifica m1=m2, es decir

g(b)−g(a)

f(b)−f(a) =

g0(τ)

f0(τ).

(111)

Teorema del valor medio: Interpretaci´

on gr´

afica

(112)

Teorema de Rolle

Teorema 7 (Rolle) Sea f una función continua en[a,b]y derivable en (a,b). Supongamos además que la cuerda entre los extremos del gráfico de f es horizontal, esto es, f(a) =f(b). Entonces existe un punto interior ξ∈(a,b)tal que f0(ξ) = 0. (O

sea, la tangente al gr´afico es horizontal)

(113)

Teorema de Rolle

Demostraci´on. Seg´un el Corolario 1 del Teorema 3

(Bolzano-Weierstrass), la funci´on f alcanza su m´aximo y su m´ınimo en el intervalo cerrado [a,b].

Si alguno de los dos es alcanzado en un punto interior, entonces la derivada en ese punto debe anularse (Teoremas 1 y 2). Caso contrario, el máximo y el m´ınimo son alcanzados en los extremos del intervalo, pero como f toma el mismo valor en ambos extremos, se deduce que el máximo y el m´ınimo son iguales. Esto sólo es posible si f es constante. Pero en tal caso f0(x) = 0para todo x∈(a,b).

(114)

Teorema de Rolle

(Bolzano-Weierstrass), la funci´on f alcanza su m´aximo y su m´ınimo en el intervalo cerrado [a,b]. Si alguno de los dos es alcanzado en un punto interior, entonces la derivada en ese punto debe anularse (Teoremas 1 y 2).

Caso contrario, el máximo y el m´ınimo son alcanzados en los extremos del intervalo, pero como f toma el mismo valor en ambos extremos, se deduce que el máximo y el m´ınimo son iguales. Esto sólo es posible si f es constante. Pero en tal caso f0(x) = 0para todo x∈(a,b).

(115)

Teorema de Rolle

(Bolzano-Weierstrass), la función f alcanza su máximo y su m´ınimo en el intervalo cerrado [a,b]. Si alguno de los dos es alcanzado en un punto interior, entonces la derivada en ese punto debe anularse (Teoremas 1 y 2). Caso contrario, el máximo y el m´ınimo son alcanzados en los extremos del intervalo, pero como f toma el mismo valor en ambos extremos, se deduce que el máximo y el m´ınimo son iguales. Esto sólo es posible si f es constante. Pero en tal caso f0(x) = 0para todo x∈(a,b).

(116)

Teorema del valor medio de Cauchy

Para usar el resultado anterior en la demostraci´on del teorema del valor medio, necesitamos que f(a)6=f(b). Con un pasaje de t´erminos se evita el problema.

Teorema 8. (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean f y g funciones continuas en[a,b] y derivables en(a,b). Entonces existe un punto ξ ∈(a,b) tal que

[g(b)−g(a)]f0(ξ) = [f(b)−f(a)]g0(ξ).

Demostración. Bastará considerar la función

Φ(x) = [g(b)−g(a)]f(x)−[f(b)−f(a)]g(x)

y verificar que cumple con las hip´otesis del teorema de Rolle.

(117)

Teorema del valor medio de Cauchy

Teorema 8. (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean f y g funciones continuas en[a,b]y derivables en (a,b). Entonces existe un punto ξ ∈(a,b) tal que

[g(b)−g(a)]f0(ξ) = [f(b)−f(a)]g0(ξ).

Φ(x) = [g(b)−g(a)]f(x)−[f(b)−f(a)]g(x)

(118)

Teorema del valor medio de Cauchy

Teorema 8. (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean f y g funciones continuas en[a,b]y derivables en (a,b). Entonces existe un punto ξ ∈(a,b) tal que

[g(b)−g(a)]f0(ξ) = [f(b)−f(a)]g0(ξ).

Φ(x) = [g(b)−g(a)]f(x)−[f(b)−f(a)]g(x)

(119)

Teorema del valor medio de Cauchy

Demostraci´on (cont.) Φ(a) =g(b)f(a)−g(a)f(a)−f(b)g(a) +f(a)g(a) =f(a)g(b)−f(b)g(a). Φ(b) =g(b)f(b)−g(a)f(b)−f(b)g(b) +f(a)g(b) =f(a)g(b)−f(b)g(a).

Luego,Φ(a) = Φ(b). ComoΦes continua en[a,b]y derivable en

(a,b), existe ξ ∈(a,b) tal queΦ0(ξ) = 0. Pero

Φ0(ξ) = [g(b)−g(a)]f0(ξ)−[f(b)−f(a)]g0(ξ) = 0,

o, en forma equivalente,

[g(b)−g(a)]f0(ξ) = [f(b)−f(a)]g0(ξ).

(120)

Teorema del valor medio de Cauchy

(a,b), existe ξ ∈(a,b) tal queΦ0(ξ) = 0.

Pero

Φ0(ξ) = [g(b)−g(a)]f0(ξ)−[f(b)−f(a)]g0(ξ) = 0,

[g(b)−g(a)]f0(ξ) = [f(b)−f(a)]g0(ξ).

(121)

Teorema del valor medio de Cauchy

(a,b), existe ξ ∈(a,b) tal queΦ0(ξ) = 0. Pero

Φ0(ξ) = [g(b)−g(a)]f0(ξ)−[f(b)−f(a)]g0(ξ) = 0,

[g(b)−g(a)]f0(ξ) = [f(b)−f(a)]g0(ξ).

(122)

Teorema del valor medio de Cauchy

Corolario 1. Con las hip´otesis del teorema, si adem´as f0 no se anula en(a,b), entonces existe un punto τ∈(a,b) para el cual

se verifica

g(b)−g(a)

f(b)−f(a) =

g0(τ)

f0₍_τ₎.

Demostraci´on. S´olo se debe verificar que tampoco se anula f(b)−f(a). Pero si esto ocurriera, por el teorema de Rolle habr´ıa un punto donde se anula la derivada, cosa que estamos suponiendo que no ocurre.

Tomandof(x) =x, la curva se convierte en (x,g(x)), que es el gráfico de la funcióng. En ese caso, el teorema toma una forma más sencilla y también la interpretación geométrica.

(123)

Teorema del valor medio de Cauchy

se verifica

g(b)−g(a)

f(b)−f(a) =

g0(τ)

f0₍_τ₎.

(124)

Teorema del valor medio de Cauchy

se verifica

g(b)−g(a)

f(b)−f(a) =

g0(τ)

f0₍_τ₎.

(125)

Teorema del valor medio de Lagrange

Corolario 2. (Lagrange) Si g es continua en[a,b]y derivable en

(a,b), entonces existe un punto ξ∈(a,b)tal que

g(b)−g(a)

b−a =g

0

(ξ).

(126)

Funciones mon´

otonas y primera derivada

Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto x de ese intervalo en el que f sea derivable será f0(x)≥0. Si, en cambio, f es decreciente, será f0(x)≤0.

(127)

Funciones mon´

otonas y primera derivada

Demostraci´on del Teorema 4. Bajo la hip´otesis que f0(x)≥0

para x ∈(a,b), queremos demostrar que f(x) es creciente en ese intervalo. Es decir, si a<x1<x2<b, debemos probar que

f(x1)≤f(x2).

Como f es derivable en(a,b), verifica las hip´otesis del teorema del valor medio de Lagrange en [x1,x2]. Luego,

f(x2)−f(x1)

x2−x1

=f0(ξ)≥0

para alg´unξ ∈(x1,x2). Dado que x2−x1>0, debe ser

f(x2)−f(x1)≥0.

Si f0 fuera estrictamente positiva en el intervalo, ser´ıa f0(ξ)>0.

Entonces la conclusi´on ser´ıa f(x2)−f(x1)>0, de donde sigue

que f es estrictamente creciente. La prueba de los casos f0≤0,f0<0es totalmente an´aloga.

(128)

Funciones mon´

otonas y primera derivada

Demostraci´on del Teorema 4. Bajo la hip´otesis que f0(x)≥0

para x ∈(a,b), queremos demostrar que f(x) es creciente en ese intervalo. Es decir, si a<x1<x2<b, debemos probar que

f(x1)≤f(x2). Como f es derivable en (a,b), verifica las hip´otesis

del teorema del valor medio de Lagrange en [x1,x2]. Luego,

f(x2)−f(x1)

x2−x1

=f0(ξ)≥0

para alg´unξ ∈(x1,x2).

Dado que x2−x1>0, debe ser

f(x2)−f(x1)≥0.

Si f0 fuera estrictamente positiva en el intervalo, ser´ıa f0(ξ)>0.

Entonces la conclusi´on ser´ıa f(x2)−f(x1)>0, de donde sigue

que f es estrictamente creciente. La prueba de los casos f0≤0,f0<0es totalmente an´aloga.