Vectores en el plano Introducción

(1)

Vectores en el plano

9.1. Introducci´

on

Cuando nos referimos al tiempo que demanda un suceso determinado, basta un número con una unidad de medida. Por ejemplo, se demoró 4 segundos, corrió durante 2 minutos, nos encontraremos en una semana, etc. Las magnitudes que pueden describirse de esta manera reciben el nombre deescalares, como por ejemplo el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura.

Otras magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración, no pueden ser descritas sólo por un número. Por ejemplo, ¡camine 5 metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, ¡camine 5 metros por la Alameda hacia el poniente! producirá el efecto solicitado. Estas magnitudes para las cuales hay que especificar, además de un valor numérico, la dirección y sentido en el que actúan, se denominan vectoriales. Los vectores dan origen a las magnitudes vectoriales

(2)

los que operan seg´un las leyes del ´Algebra Vectorial.

El concepto de vector se remonta a tiempos muy antiguos. Se cree que Arqu´ımedes lo utilizó impl´ıcitamente. El término vector se debe a Hamilton, matemático y astrónomo irlandés (1805 - 1865) que lo introdujo para designar un segmento de recta orientado.

9.2. ¿Qu´

e es un vector?

9.2.1. Direcci´

on y sentido

a) Direcci´on. Cuando dos rectas son paralelas se dice que ellas tienen la misma direc-ci´on.

Las rectasd1, d2 y d3 tienen la misma direcci´on que la rectaAB.

La rectas tiene una direcci´on distinta.

b) Sentido. Si se dirige u orienta una recta, se determina unsentidosobre la direcci´on de dicha recta. En la direcci´on de una recta AB hay dos sentidos: un sentido es deA

hacia B, y el otro es deB hacia A. Ambos sentidos son diferentes.

Los dos sentidos posibles en la direcci´on de la recta AB

9.2.2. Vectores

Definici´on. Un vector del plano (o del espacio) es un segmento de recta dirigido (u orien-tado).

(3)

Notación y representación. Es usual denotar un vector por una letra minúscula con una flecha encima, y representarlo geométricamente por una flecha. Por ejemplo, la siguiente figura muestra un vector −→v:

Representaci´on geom´etrica de un vector v

9.2.3. M´

odulo de un vector

La longitud de un vector −→v recibe el nombre de m´odulo de−→v y se denota por ||−→v ||.

Nota. En aplicaciones en F´ısica, el m´odulo de una fuerza es llamada intensidad de la fuerza.

9.3. Representaci´

on geom´

etrica de vectores en el plano

Un vector est´a definido por tres elementos:

Una direcci´on, dada por la recta que contiene al segmento.

Un sentido, se˜nalado por la flecha (es uno de los dos sentidos posibles en la direcci´on de la recta que lo contiene).

Unalongitud, llamadam´odulodel vector, que corresponde a la longitud del segmento.

Un vector del plano se puede definir tambi´en como asociado a dos puntos del plano.

Definici´on. Sean P y Q dos puntos distintos del plano. El segmento dirigido de P aQ es un vector del plano, que se denota por −→P Q.

Observaciones.

a) El vector −→P Q tiene por dirección, la dirección de la recta P Q; tiene por sentido, el sentido de P hacia Q; y su módulo es la longitud del segmento P Q.

b) P es el punto inicial del vector −→P Q.

(4)

Nota.En mecánica, elpunto inicial de un vector es el punto de aplicación de la fuerza. c) El módulo del vector −→P Qse denota ||−→P Q||.

d) Vector nulo. Cuando el punto inicial P y el punto terminal Q coinciden, el vector

−→

P P recibe el nombre de vector nulo, y se denota por −→0 . El vector nulo no tiene direcci´on ni sentido, y su m´odulo es 0.

9.3.1. Vectores iguales (o equivalentes)

Una direcci´on, un sentido y una longitud definen un vector−→v , existiendomuchos segmentos dirigidos que lo representan, como se muestra en la figura:

Representaciones geom´etricas del vector−→v

Luego, el vector −→v puede denotarse tambi´en como −→AB, −CD−→ o−→P Q.

Definición. Dos vectores no nulos−→u y−→v son iguales (o equivalentes), cuando ellos tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Se denota −→u =−→v.

−

→_u ₌−→_v ₌−→_w −→_u ₆₌−→_z

Observaci´on.

Dado un vector−→v =−→AB y sea P un punto cualquiera del plano. Existe un ´unico punto Q

(5)

El punto Q es tal que AP QB es un paralelogramo.

Luego, para representar un vector−→AB se puede elegir un punto a nuestro gusto para que sea punto inicial del vector.

9.3.2. Vectores opuestos

Sea−→v un vector. El vector que tiene la misma direcci´on, el mismo m´odulo y sentido contrario de −→v es llamado vector opuesto de−→v y se denota −−→v .

Nota. Elvector opuesto del vector −→P Q es el vector −→QP. Luego:

−→

QP =−−→P Q

9.3.3. Operaciones con vectores

Adici´on de vectores

Cualquiera sean los puntos A, B y C, la suma de los vectores −→u = −→AB y −→v = −BC−→ es el vector −→u +−→v =−→AC. El vector suma se llama resultante.

−→

AB+−BC−→=−→AC

Observaciones.

a) Suma de vectores con el mismo punto inicial: se aplica regla del paralelogramo, ilustrada en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Para obtener geom´etricamente elvector suma de los vectores −→u =−→OA y

−

→_v ₌−_OB−→_{, se traza el vector}−→_AC _{tal que} −→_AC _{|| −}→_v_.

Como −→u +−→v =−→OA+AC−→=−→OC. Luego, la suma de los dos vectores −→OA y −OB−→ es el vector −→OC definido por la diagonal del paralelogramo OACB.

(6)

−

→_v ₌−_OB−→₌−→_AC_, −→_u ₌−→_OA₌−_BC−→

b) Suma de dos vectores cualquiera.

Para sumar dos vectores cualquiera −→u y −→w, se traza un vector−→AB =−→u, siendo A un punto cualquiera, y luego se traza el vector −BC−→=−→w tal que punto inicial de −→w sea el punto terminal de −→v. Luego −→u +−→w =−→AC.

c) ||−→u +−→v ||₆||−→u||+||−→v||, relaci´on llamada desigualdad triangular. d) Propiedades de la adici´on de vectores:

• Es conmutativa: −→u +−→v =−→v +−→u

• Es asociativa: −→u + (−→v +−→z) = (−→v +−→u) +−→z

• −→AB+−→BA =−→0 ; −→AB+−BC−→+−→CA=−→0 .

e) Para sumar más de dos vectores, generalmente se usa el llamadopol´ıgono de fuerzas, el cual se obtiene uniendo el punto terminal de un vector con el punto inicial del siguiente. El vector resultante tiene su punto inicial en el inicial del primero, y su punto final es el extremo del último. Por ejemplo, la figura presenta la representación gráfica de la suma de tres vectores −→u +−→v +−→w:

−

→_u ₌−→_OA, −→_v ₌_AB,−→ −→_w ₌_BC−−→_: −→_u ₊−→_v ₊−→_w ₌−→_OC

f) Diferencia entre vectores

La diferencia entre los vectores→−u =−→OAy−→v =OB−−→es el vector denotado por−→u − −→v , que se obtiene de sumar los vectores −→u y −−→v . Es decir:

−

(7)

−

→_u _{− −}→_v ₌−−→_OD _{que es igual al vector}−→_BA

g) La siguiente figura muestra la representaci´on gr´afica de la suma y la diferencia de los vectores −→OA y −OB−→:

Multiplicaci´on de un vector por un escalar

El producto de un n´umero realcpor un vector−→v es el vector denotado porc−→v . El vectorc−→v

tiene la misma direcci´on que −→v, tiene el mismo sentido que −→v si c > 0 y sentido contrario de −→v sic <0, y su m´odulo es |c| ||−→v ||.

Observaciones

a) Algunas propiedades de esta operaci´on son:

• −v = (−1)v

• (c+d)−→v =c−→v +d−→v

• c(−→v +−→u) =c−→v +c−→u

(8)

9.4. Representaci´

on anal´ıtica de vectores del plano

Los vectores pueden representarsegráficamente o geométricamente por unaflecha, quedando claramente establecido su punto inicial y su punto terminal, y también pueden representarse o expresarse anal´ıticamente, con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares. Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas rectangulares (O;X, Y), donde

O es el origen del sistema, la recta horizontal OX es el eje de las abscisas (eje X), la recta verticalOY es eje de las ordenadas (eje Y) y la unidad en cada eje.

Los vectores del plano pueden expresarse anal´ıticamente, mediante su descomposici´on en componentes con respecto al sistema de coordenadas rectangulares.

9.4.1. Componentes de un vector

Observaci´on. De acuerdo lo tratado anteriormente:

a) Un vector es definido por un punto inicial y un punto terminal, y se representa geom´ etri-camente por una flecha o segmento dirigido.

b) Todas las flechas o segmentos dirigidos del plano que tienen la misma longitud, la misma direcci´on y el mismo sentido, representan a un mismo vector, es decir, son vectores iguales.

c) Sea −→v =−→P Q un vector con punto inicial en P y punto terminal en Q. Se tiene que, existe un ´unico vector−→OAcon punto inicial en el origenO del sistema de coordenadas, tal que −→OAes igual al vector −→v =−→P Q.

Definici´on. Sea −→v un vector del plano, y sea −→OA el vector que representa a −→v , tal que su punto inicial es O el origen del sistema de coordenadas y su punto terminal es el punto

(9)

El vector −→OA se denominavector posici´on de−→v.

Los n´umeros ax y ay se denominan las componentes del vector −→v. Es decir, las

com-ponentes del vector −→v =−→OA corresponden a las coordenadas del puntoA.

Definici´on. El vector −→v = −→OA se identifica con el punto A y se acostumbra denotarlo como −→v = (ax, ay). Esta forma de denotar al vector−→v se denominarepresentaci´on anal´ıtica

de −→v .

Observaci´on. Sea −→v =AB−→, siendoA su punto inicial y B su punto terminal, y sea −→OC el vector posici´on de−→AB.

Notar que −→v =−→AB=−→AO+−OB−→=−OB−→−−→OA=−→OC. Luego, si A= (ax, ay) y B = (bx, by)

entonces las componentes del vector −→AB son las coordenadas del puntoC:

cx =bx−ax cy =by −ay

Si el vector posici´on de −→AB es el vector −→OC, donde C = (cx, cy), entonces la representaci´on

anal´ıtica de−→AB es (cx, cy).

Nota. La expresi´on ”−→v = (a, b)” se entiende que es un vector cuyo punto inicial es el origen O del sistema y su punto terminal es el puntoA= (a, b).

9.4.2. M´

odulo de un vector

El m´odulo del vector−→v = (ax, ay), denotado por||−→v || es:

||−→v ||=qa2

x+a2y

Observaci´on. Un vector −→v =−→OA con punto inicial en el origen del sistema, queda definido en los siguientes casos:

(10)

a) Cuando se conocen las componentes del vector. Sea −→v =−→OA= (ax, ay).

• El m´odulo de −→v es: ||−→v ||=p

a2

x+a2y.

• La direcci´on y el sentido se puede obtener determinando el ´angulo θ que forma el vector −→OA con el semieje positivo de las abscisas:

tgθ= ay

ax

donde el sentido es de O hacia A.

b) Cuando se conoce el m´odulo del vector −→OA y el ´angulo θ que forma el vector−→OA con el semieje positivo de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.

(11)

Las componentes de −→v se pueden determinar mediante las expresiones:

ax =||−→v|| cosθ ay =||−→v ||senθ

Luego −→OA=||−→v ||(cosθ, senθ).

Observaciones.

a) El vector nulo del plano, se representa anal´ıticamente−→O = (0,0).

b) El vector opuesto del vector −→v = (ax, ay) es el vector−−→v = (−ax, −ay).

c) Dos vectores son iguales cuando se representan por el mismo vector posici´on. Por ejemplo,

Ejemplos de vectores iguales a −→OC

Nota. En los sistemas de coordenadas rectangulares del plano, se acostumbra utilizar los s´ımbolos −→i ,−→j para definir los vectores de m´odulo 1:

− →

i = (1,0) y −→j = (0,1)

que representan las unidades de cada eje. El vector −→v = (ax, ay) de la figura se puede

expresar tambi´en como:

− →_v ₌_a x − → i +ay − → j

(12)

9.4.3. Operaciones con vectores del plano

A continuaci´on se describir´an las operaciones con vectores, conocidas sus componentes rec-tangulares.

Dados los vectores −→u =−→OA = (ax, ay) y−→v =

−−→

OB = (bx, by).

a) Suma de vectores. La suma de los vectores −→u y −→v obtenida anal´ıticamente, es el vector que se obtiene sumando las componentes correspondientes de los vectores.

−

→_u ₊−→_v _{= (}_a

x, ay) + (bx, by) = (ax+bx, ay +by)

Observaciones.

El vector resultante obtenido coincide con el vector −→OP determinado geom´ etrica-mente donde OP es la diagonal del paralelogramoOAP B.

La diferencia entre los vectores dados, es el vector: −→u − −→v = (ax−bx, ay−by).

b) Multiplicaci´on por un escalar. El producto de un vector −→u = −→OP = (ax, ay) por

un n´umero realc es el vector:

(13)

c >0: los vectores −→u y c−→u c <0: los vectores −→u y c−→u

tienen igual direcci´on y sentido tienen igual direcci´on y sentido contrario

9.4.4. Producto punto y ´

Angulo entre dos vectores

Definici´on. Sean −→u = −→OA = (ax, ay) y −→v =

−−→

OB = (bx, by) dos vectores en el plano. El

producto punto entre −→u y −→v, denotado por −→u · −→v es el n´umero real:

−

→_u _{· −}→_v _{= (}_a

x, ay)·(bx, by) = axbx+ayby

Nota. El s´ımbolo −→u · −→v se lee ”−→u punto −→v ”.

Teorema. Siθes el ´angulo que forman los vectores−→u = (ax, ay) y−→v = (bx, by), entonces:

−

→_u _{· −}→_v ₌_||−→_u_{|| ||−}→_v_|| _cos_θ

´

Angulo entre dos vectores.

La siguiente f´ormula, que se deduce del teorema anterior, permite determinar el ´angulo θ

que forman los vectores −→u = (ax, ay) y −→v = (bx, by):

cosθ = axbx+ayby

(14)

Esta fórmula es muy utilizada en aplicaciones de los vectores. Por ejemplo, para determinar el ángulo formado por los segmentos brazo y antebrazo conociendo los vectores que definen la posición de ambos.

(15)

9.5. Ejemplos

1. Usando en las propiedades geom´etricas de un paralelogramo, responder las preguntas que se se˜nalan, considerando el paralelogramo ABCD de la figura, donde I y J son los puntos medios de AB y CD respectivamente.

a) Señalar dos vectores iguales al vector −AI→, y dos vectores con la misma dirección, el mismo módulo que−AI→pero con sentido contrario.

b) Graficar y describir los vectores −→u =−→AB+−BC−→ y −→v =−→AB+−AD−→. c) Graficar un vector que represente la suma −→AJ +−BI→.

d) Determinar el vector −→BA−−BC−→.

e) Determinar el vector −→AB+−BC−→+−−→CD+−DA−→.

Soluci´on:

a) Los vectores −IB→, −→J C son iguales al vector −AI→ ya que tienen la misma direcci´on, el mismo m´odulo y el mismo sentido.

Los vectores −BI→, −→CJ, −IA→ tienen la misma direcci´on, el mismo m´odulo y sentido contrario que −AI→.

b) Ambas sumas representan el mismo vector ya que −BC−→=−AD−→.

−→

AB+−BC−→=−→AC −→AB+−AD−→=−→AC

(16)

d) −→AB−−BC−→=−→AB+−CB−→=−−→DB

e) −→AB+−BC−→+CD−−→+−DA−→=−→O.

2. Dados los vectores−→u,−→v y−→w representados geom´etricamente, en los casos que muestra la figura:

A) B)

Construir un representante del vector −→u +−→v +−→w en cada caso.

Soluci´on:

A) B)

3. Determinar el m´odulo y las componentes de cada vector considerados en el caso (A) del ejercicio precedente, considerando que el lado de cada cuadradito de la grilla tiene longitud 1 cm.

(17)

||−→u||=√12_{+ 1}2 ₌√₂

Componentes del vector −→u: (1, 1).

||−→v ||=√22_{+ 3}2 ₌√₁₃

Componentes del vector −→v: (2, 3).

||−→w||=√12_{+ 2}2 ₌√₅

Componentes del vector −→w: (1, −2).

4. Trazar cada vector, considerando los elementos que lo definen y presentar las compo-nentes anal´ıticas respectivas: a) 5km/h, norte b) 8N (Newton), sudeste

Soluci´on:

a) b)

− →_v

1 = 5(cos 90◦,sin 90◦) →−v 2 = 8(cos 315◦,sin 315◦) −

→_v

1 = (0, 5) −→v 2 ≈(5.657,−5.657)

5. Dibujar y describir anal´ıticamente el vector opuesto de cada uno de los vectores del ejercicio anterior.

Soluci´on:

a) b)

−−→v 1 = 5(cos 270◦,sin 270◦) −−→v2 = 8(cos 135◦,sin 135◦) −−→v 1 = (0,−5) −−→v2 ≈(−5.657,5.657)

(18)

6. Dados los vectores −→u y −→v de la figura:

a) Representar geom´etricamente la suma−→u +−→v y la diferencia −→u − −→v. b) Hallar las componentes anal´ıticas de los vectores −→u y −→v.

c) Determinar determinar las componentes anal´ıticas de los vectores suma y diferen-cia de la parte (a).

Soluci´on:

a) Representaci´on geom´etrica de −→u +→−v y de −→u − −→v :

Notar que: −→u − −→v = −→OA−−OB−→ = OA−→+−BO−→ = BO−−→+−→OA = −→BA cuyo vector posici´on es −→OC. b) −→u = 5(cos 30◦,sin 30◦) = 5 √ 3 2 , 1 2 ≈(4.330,2.5) − →_v _{= 4(cos 120}◦_,_{sin 120}◦_{) = 4}₋1 2, √ 3 2 ≈(−2,3.464) c) Componentes de−→u +−→v: −

(19)

Componentes de −→u − −→v:

−

→_u _{− −}→_v _{= 5(cos 30}◦_,_{sin 30}◦₎₋_{4(cos 120}◦_,_{sin 120}◦_{) = (6}_.₃₃₀_,₋₀_.₉₆₄₎

7. Representar gr´aficamente y anal´ıticamente un vector que exprese una fuerza de 10 N (Newton) en la direcci´on 30◦ este-norte.

Soluci´on:

Sea−→F =−→OAel vector que representa la fuerza de 10 N en la direcci´on de 30◦este-norte.

a) Representaci´on gr´afica de −→F

b) Representaci´on anal´ıtica de −→F =−→OA.

Las componentes anal´ıticas del vector −→OA son:

ax = 10 cos 30◦ = 10· √ 3 2 , ay = 10 sen 30 ◦ = 10· 1 2 luego: −→F = (5√3, 5)≈(8.66,5) o bien: −→F = 5√3−→i + 5−→j .

8. Sean los vectores −→u = (3,−2), −→v = (−4,1). Calcular:

a) El m´odulo de cada vector.

b) El vector suma −→u +−→v y su m´odulo. c) El vector diferencia −→u − −→v .

d) El vector −→w tal que 2−→u −3−→v +−→w =−→O. e) El ´angulo que forman los vectores −→u y −→v .

(20)

a) ||−→u||=p(3)2_{+ (}₋₂₎2 ₌√₁₃ ||−→v ||=p(−4)2_{+ (1)}2 ₌√₁₇ b) −→u +−→v = (3,−2) + (−4, 1) = (3−4,−2 + 1) = (−1,−1) ||−→u +−→v ||=p(−1)2 _{+ (}₋₁₎2 ₌√_2. c) −→u − −→v = (3,−2)−(−4, ,1) = (3 + 4,−2−1) = (7,−3) d) Si 2−→u −3−→v +−→w =→−O entonces −→w =−2−→u + 3−→v. − →_w ₌₋₂₍₃_,₋_{2) + 3(}₋₄_,_{1) = (}₋₁₈_,_7).

e) Seaθ el ´angulo que forman los vectores −→u y −→v. Luego:

cosθ = − →_u _{· −}→_v ||−→u|| ||−→v|| Como: − →_u _{· −}→_v _{= (3)(}₋_{4) + (}₋_{2)(1) =}₋₁₄ ||−→u||=√13, ||−→v||=√17 Reemplazando en la f´ormula se obtiene:

cosθ = √−14

13√17 ≈ −0,9417419115 de donde θ= arcos (−0,9417419115) Luego:

θ ≈160.346◦

9. Sea −→u = 3−→i −5→−j , denotado tambi´en, −→u = (3,−5). a) Verificar que los vectores−→u y −→v =−12

7 − →

i + 20₇−→j tienen la misma direcci´on1_.

b) Determinar el ´angulo que forman los vectores −→u y −→w =−→i +3₅−→j

Soluci´on:

a) Como−→v =−4 7

−

→_u _{se tiene que}−→_u _y−→_v _{tienen la misma direcci´}_{on (o son colineales).}

b) Sea θ el ´angulo que forman los vectores −→u y −→w. Luego cosθ = −→u·−→w ||−→u|| ||−→w|| = 3−3 √ 34√34/25 = 0, de donde θ = 90 ◦_. 10. Dos fuerzas −F→1 y − →

F2 aplicadas en un mismo punto de un objeto tienen intensidades (o

m´odulos) de 5 N (Newton) y 7 N respectivamente, y forman ´angulos 60o _{y 30}o _{con el}

semieje positivo de las abscisas respectivamente. Calcular: a) La fuerza resultante y su m´odulo.

(21)

b) El ´angulo que forma la fuerza resultante con el eje X. Soluci´on: a) −→F1 = 5(cos 60◦,sin 60◦) = 5 1 2, √ 3 2 ≈(2.5, 4.330) = 2.5−→i + 4.330−→j − → F2 = 7(cos 30◦,sin 30◦)≈(6.0622, 3.5) = 6.0622 − → i + 3.5−→j

La fuerza resultante es:

− →

F = (2.5−→i + 4.330−→j ) + (6.062−→i + 3.5−→j ) = 8.562−→i + 7.830−→j

y su m´odulo es ||−→F|| ≈11,603.

b) El ´anguloθ que forma la fuerza resultante con el ejeX es:

θ = atan 7.830 8.562 ≈44.13◦

11. Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60o al Oeste del Norte. Determinar el módulo y la dirección del desplazamiento resultante del auto.

Soluci´on:

Sean −→OA y −→AB los vectores que representan los desplazamientos del auto. Un dibujo que representa la situaci´on planteada es:

Luego:

−→

OA= (0,20) = 20−→j

−→

AB=−→u = 35(cos 150◦,sin 150◦)≈(−30.311,17.5) =−30.311−→i + 17.5−→j

El vector resultante es:

− →

(22)

− →

R =−30.311−→i + 37.5−→j

Luego:

El m´odulo de −→R es: ||−→R||=p(17.5)2_{+ (37}_.₅₎2 _≈₄₈_,₂_km

La dirección de −→R se determinará calculando el ángulo θ que forma con el semieje positivo de las abscisas.

Como tanθ= 30.311

37.5 , luego: θ = atan

30.311

37.5 ≈38,9

o_.

12. Equilibrio en F´ısica. Un s´olido es sometido a dos fuerzas −→F1 y − →

F2 de igual intensidad,

10 N. Sus l´ıneas de acci´on forman un ´angulo de 60◦. Calcular la intensidad de la fuerza

−→

F3 que hay que aplicar al s´olido para que quede en equilibrio.

Nota. La condici´on de equilibrio es: −→F1+ − → F2+ − → F3 = − → 0 . Soluci´on:

Representar la fuerza −F→1 por el vector −→

OA en el semieje positivo de las abscisas, y la fuerza −→F2 por el vector

−−→

OB tal que _∠AOB = 60◦. Como las fuerzas −→F1 y

−→

F2 tienen igual intensidad, 10 N, se tiene que:

||−→OA||=||−OB−→||= 10

Para resolver el problema hay que determinar el punto E tal que la−→F3 = −−→ OE y cumpla la condici´on: −→ OA+−OB−→+−OE−→=−→0 Luego: −−→ OE=−(−→OA+−OB−→)

a) Representación gráfica de la solución

Fuerzas −F→1 y −→

F2 PuntoD tal que −−→

(23)

−→ OA+−OB−→=−−→OD −F→3 = −−→ OE =−−−→OD b) Soluci´on anal´ıtica −→ OA= (10, 0) −−→ OB = (10 cos 60◦, 10 sen 60◦) = (10· 1 2,10· √ 3 2 ) = (5, 5 √ 3) −→ OA+−OB−→= (15,5√3) Luego: −OE−→=−(15, 5√3) = (−15, −5√3) ||−OE−→||= q (−15)2_{+ (}₋₅√₃₎2 ₌√₃₀₀_≈₁₇_,_321.

(24)

9.6. Ejercicios

1. Determinar la veracidad o falsedad de cada enunciado, justificando su respuesta: a) Si −→u =−→v, ¿es siempre verdadero que ||−→u||=||−→v||?

b) Si ||−→u||=||−→v ||, ¿es siempre verdadero que −→u =−→v?

2. La figura presenta un hex´agono regular ABCDEF de centro O:

Determinar, usando las letras que aparecen en la figura: a) Dos vectores iguales al vector−→AB.

b) Dos vectores opuestos al vector−OE−→. c) Si los vectores−→AB y −BC−→ son iguales. d) Un representante del vector−→AB+−−→CD. e) Si −→AB+−BC−→−−−→CD es igual al vector 2−→AB.

3. Sean−→u = (3,−4) y −→v = (6,8) dos vectores en el plano.

a) Graficar cada vector y determinar el m´odulo de cada uno. b) Determinar las componentes de los vectores −→u +−→v y −→u − −→v . c) Determinar el ´angulo que forman los vectores −→u +−→v y −→u − −→v. d) Determinar el vector −→w tal que 2−→u −4−→v +−→w =−→0 .

4. En cada caso los vectores tienen la misma dirección. Determinar a partir del gráfico una relación−→u =c−→v donde ces un número real.

(25)

a) b) c) d)

5. Sea−→u el vector (−4,5) yP el punto (6,−2).

a) Graficar el vector posici´on de −→u y calcular su m´odulo.

b) Graficar el vector −→P Qque representa a −→u, con punto inicial en P, y determinar las coordenadas de Q.

6. Sean los vectores −→u = −→AB, −→v = −BC−→ y −→w = −−→CD tales que A = (2,3), B = (5,−1),

C = (−1,3) y D= (3,4).

a) Graficar cada vector en el plano coordenado b) Determinar el vector posici´on de cada vector. c) Determinar el m´odulo de cada vector.

d) Calcular los vectores 2−→u; −→u − −→v +−→w, 3−→u + 2−→v −1 2

− →_w_.

7. La figura presenta tres vectores en el plano, tal que la longitud del lado de cada cuadradito de la grilla es 1cm:

a) Calcular el m´odulo de cada vector. b) Sea −→t = 3−→u + 2(−→u − −→w)− 1

2 − →_v _.

(26)

8. Construir cada vector, considerando los elementos que lo definen y determinar sus componentes anal´ıticas:

a) 12m/s, 95◦ b) 2.5m/s2_{, 335}◦ _{c) 7m, 270}◦

9. Un s´olido es sometido a dos fuerzas −F→1 y − → F2 de igual intensidad: || − → F1||=|| − → F2||= 10N,

tal que sus direcciones forman un ´angulo de 90◦. Calcular la intensidad de la fuerza

F3 que habr´ıa que aplicar al s´olido para que quede en equilibrio. Es decir, para que −→ F1+ − → F2+ − → F3 = − → 0 .

10. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos m´odulos son: ||−F→1|| = 6N, || −→

F2|| = 3N y

F3 = 4N, que forman, respectivamente, los siguientes ´angulos con el semieje positivo

de las abscisas: 45o_{, 30}o _{y 60}o_{. Las tres fuerzas est´}_{an en el mismo plano.}

Calcular el m´odulo de la resultante y el ´angulo que forma con el semieje positivo OX.

11. Dos pequeñas lanchas ayudan a que un barco salga de su embarcadero. Una de las lanchas está tirando de él con una fuerza de 150 N, mientras que la otra lo hace con una fuerza de 200 N.

La primera lancha toma una dirección que forma un ángulo de 30o con la recta AB. ¿Qué dirección debe tomar la otra lancha para que el barco salga en la dirección deA

hacia B?

9.7. Respuesta a los ejercicios

1. a) Verdadero.

b) Falso, ya que por ejemplo los vectores −→u = (1,0) y −→v = (0,1) tienen el mismo m´odulo y sus direcciones son distintas.

(27)

c) No son iguales ya que tienen direcciones distintas. d) −→AB+−−→CD =−→AO e) Si, es correcto.

3. a) ||−→u||= 5 y||−→v ||= 10. b)−→u +→−v = (9,4) y −→u − −→v = (−3,−12). c) El ´angulo que forman los vectores −→u +−→v y →−u − −→v es≈127,999o_.

d) −→w =−(2−→u −4−→v) = (18,40). 4. a) −→u = 5₃−→v. b) −→u = 2₃−→v c) −→u = 6₅−→v. d) −→u = 2₃−→v 5. a) ||−→u||=√41. b) Si Q= (a, b) entonces −→P Q= (a, b)−(6,−2) = (−4,5). Luego Q= (2,3). 6. b) −→u = (3,−4), −→v = (6,−4), −→w = (4,1) 7. a) ||−→u||=√5, ||−→v||= 2, ||−→w||= 2√2. b) −→t = 5−→u − 1 2−→v −2−→w. 8. a) b) c) − →_v 1 = (−1,046,11,954) −→v2 = (2,265,−1,056) −→v3 = (0,−7)

9. La intensidad de la fuerzaF3 deber´ıa ser de 10 √

2 N.

11. La direcci´on que debe tomar la otra lancha para que el barco salga en la direcci´on de