COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO
ELECTRÓNICA
MATEMÁTICA ELEMENTAL
EL-103
CUADERNO DE TRABAJO 1
Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses
ESTIMADO ESTUDIANTE:
El objetivo del siguiente material es facilitarle su aprendizaje en este curso, así como maximizar el tiempo para que mediante la práctica se logren desarrollar las habilidades requeridas en este curso. Es importante que usted recuerde que el éxito en este curso depende de su trabajo y convicción; confíe en que posee la habilidad el resto es que usted tenga la disposición y trabaje para alcanzar sus metas, el conocimiento lo construye día a día.
1.
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMERO REALES.
Realice cada una de las siguientes operaciones ena) ( ) ( ) ( )= b) * , ( )-+=
c)
d)
-g) 2 3 4 3 3 4 1 2 1 2 h)
3 4 1 3 2 2 3 6 1 i) 2 3 2 3 5 2 1 6 1 j)
1 2 3 10 4 5 3 4 PRÁCTICA: Realice cada una de las siguientes operaciones en
a)
2
5
3
3
b)
100
7
5
156
2
c)
25
109
45
4 25 d)
12
5
38
7
2
5
e)
38
47 81f)
3 4 7 1 7 1 Respuestas: a. b. c. d. e. f.2. LEYES DE POTENCIAS
2.1. Concepto de potencia.
Una potencia es una forma de expresar una multiplicación repetitiva, es decir;
a: base. n: exponente. RECUERDE. ( ) ( )
2.2. Propiedades de las potencias.
Para
y
1. 2.
siempre que 3.
4.
5.
(
)
6.
( )
7.
8. 9.
.
/
10..
/
11..
/
12.√
( √
)
EJEMPLOS.
1. Simplifique al máximo cada una de las siguientes expresiones algebraicas.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2.3 Práctica: Haciendo uso de las leyes de potencias, simplifique al máximo las siguientes expresiones.
1)
2)
3)
4)
( )
5)
{
}
6)
.
/
7)
{[.
/
]
}
8)
( ( ))
9)
{
( )}
10)
(
)
11)
.
/
12)
.
/
13)
(
)
14)
[
.
/
]
15)
[
( )]
16)
(
)
17)
[.
/
]
.
/
18)
.
/
Respuestas:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
3. OPERACIONES CON POLIMONIOS.
3.1. CONCEPTUALIZACIÓN.Una expresión algebraica está representada por números, por letras, o por números y letras relacionados con una o más operaciones representadas por signos. También puede tener signos de agrupación (paréntesis).
Partes de una expresión algebraica. Números. Son valores conocidos. También se llaman CONSTANTES Letras. Representan valores desconocidos. Se denominan VARIABLES Signos de operación.
Son los signos que indican operaciones fundamentales, como +,-, , y potencias. Signos de agrupación.
Son los paréntesis. (), [], {}
Monomio:
Los monomios son expresiones algebraicas que contienen letras y números relacionados UNICAMENTE por la operación multiplicación. Dos monomios son semejantes si poseen igual factor literal (factor litera: las letras con sus respectivos exponentes)
Polinomio.
Un polinomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) que contiene uno o más monomios no semejantes (diferente factor literal.) unidos por las operaciones suma o resta o ambas, por ejemplo:
Ahora; los polinomios se clasifican según su cantidad de términos, por ejemplo:
NOTAS IMPORTANTES:
Todo polinomio que tenga más de tres términos se llamará de esta manera, es decir no posee categorización especial.
Todo monomio es polinomio pero no polinomio es monomio.
Todo binomio es polinomio pero no polinomio es binomio.
Todo trinomio es polinomio pero no polinomio es trinomio.
Polimonios de clasificación
especial.
Monomios
Expresiones algebraicas que contienen letras y números relacionados UNICAMENTE por la
operación multiplicación
9 3a2b5
Binomios
Expresión algebraica que contiene dos monomios no semejantes unidos por la suma
o la resta.
7x2+9h5
5a3h-6
Trinomios
Expresión algebraica que contiene dos monomios no semejantes unidos por la suma
o la resta.
20+x+y2
3.2. Operaciones con polinomios.
3.2.1 Suma y Resta.
Sumar o restar polinomios es equivalente a reunir los términos semejantes (suma o resta de monomios semejantes).
Ejemplos
Calcule las siguientes sumas y restas de polinomios.
a) b) c) = d) ( ) ( ) ( ) Un menos (resta) delante de un paréntesis cambia el
signo a TODOS los términos del
e) ( )— ( )
f) ( ) ( ) ( )
3.2.2. Multiplicación de Monomios.
Pasos.
1. Se multiplican los factores numéricos entre sí.
2. Los factores literales se buscan las bases iguales y se suman sus exponentes. Ejemplos. Efectúe cada una de las siguientes multiplicaciones.
1.
2.
3.
4.
𝑎𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑚 Recuerde que:
3.2.3. Multiplicación de un Monomio por un Polinomio.
Para multiplicar un monomio por un polinomio es necesario recurrir a la ley distributiva ( ) . Es decir se multiplica cada término del polinomio, obteniéndose de esta manera una multiplicación de monomios.
Ejemplos: Efectué las siguientes multiplicaciones.
a) ( ) b) . /
3.2.4. Multiplicación de Polinomio por Polinomio.
Nuevamente se debe hacer uso de la propiedad distributiva ( )( ) . Es decir se multiplica cada término de uno de los polinomios por todos los términos del otro polinomio y se suman o restan los monomios semejantes.
Ejemplos: Efectué las siguientes multiplicaciones.
a. ( )( )= b. ( )( )
c. ( )( )
3.1.1. División de monomios.
a. División de monomios.
Pasos.
1. Se dividen los factores numéricos entre sí.
2. Los factores literales se buscan las bases iguales y se restan sus exponentes.
Ejemplos. Efectúe cada una de las siguientes divisiones. a) ( ) ( )=
b)
=
c) . / . / d) . / . /=
3.1.2. División de polinomios método Algoritmo de Euclides.
Este método permite dividir un polinomio entre otro, donde cada polinomio puede estar en términos de una o dos variables.
Recuerde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pasos:
1. Ordenar el cada polinomio según el grado de la variable, completando el dividendo de manera que la disminución del grado vaya de uno en uno.
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
𝑎𝑛
𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑚
3. Realizar la multiplicación del primer término del cociente por el divisor y realizar la resta de los términos.
4. Repetir el proceso hasta que el grado del residuo sea menor que el del divisor. Ejemplos. Efectúe cada una de las siguientes divisiones.
a) ( ) ( )=
b)
3.1.3. División de polinomios, división sintética.
Este método permite dividir un polinomio entre otro, donde cada debe estar en términos de una variable (la misma para ambos) y el divisor es de grado uno. Pasos:
1. Ordenar el cada polinomio según el grado de la variable, completando el dividendo de manera que la disminución del grado vaya de uno en uno. 2. Tomar los coeficientes de cada término del dividendo, y colocar el cero del
divisor.
3. Bajar el primer término del dividendo y realizar la multiplicación por el divisor. Ejemplos. Efectúe cada una de las siguientes divisiones.
a) ( ) ( )= b) ( ) ( )=
3.2. Productos notables.
Las fórmulas notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
1. Primera fórmula notable: El cuadrado de un binomio; cuyos términos poseen el
mismo signo.
El cuadrado de un binomio cuyos términos poseen igual signo es igual al cuadrado del primer término más dos veces el primer por el segundo término más el segundo término al cuadrado.
Nota: Recuerde ( ) ( )( )
(𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏 ( 𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏
Ejemplos: Desarrolle las siguientes fórmulas notables.
a.( ) b.. / . / c. ( )
2. Segunda fórmula notable: El cuadrado de la resta de dos cantidades.
El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos dos veces el primer por el segundo término más el segundo término al cuadrado.
Ejemplos: Desarrolle las siguientes fórmulas notables.
a. . / b. ( )
3. Tercera fórmula notable: Producto de la suma por la diferencia de dos
cantidades.
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual. Al cuadrado del término de signo igual, menos, el cuadrado del término con diferente signo.
(𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏 ( 𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏
(𝑎 𝑏)(𝑎 𝑏) 𝑎 𝑏 ( 𝑎 𝑏)( 𝑎 𝑏) 𝑎 𝑏
Ejemplos: Desarrolle las siguientes fórmulas notables.
a) ( )( )= b) ( )( )=
c) . / . /
3.3. Combinación de Operaciones con Polinomios.
Para realizar combinación de operaciones con polinomios se sigue el mismo procedimiento que se realiza para resolver operaciones combinadas con números racionales.
Prioridad
Operaciones 1- Potencias 2- Multiplicaciones y divisiones en el orden que se presentan. 3- Sumas y restas . Signos de agrupación (Parentesis) 1- Redondos ( ). 2- Cuadrados [ ] 3- Llaves { }Ejemplos: Simplifique (realice) las siguientes expresiones. a. ( ) =
b. ,( )( )
-c. ( ) ( )
3.4. Práctica.
a. Efectuar las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
(
) (
)
10)
11)
.
/ .
/
12)
.
/ .
/
13)
(
) (
) (
)
14)
(
)— (
)
15)
(
) (
) (
)
16)
(
)
17)
.
/
18)
(
)( )
19)
(
)( )
20)
(
)(
)
b. Desarrolle las siguientes fórmulas notables.
1)
(
)
2)
.
/ .
/
3)
(
)
4)
.
/
5)
(
)
6)
(
)(
)
7)
(
)(
)
8)
.
/ .
/
c. Realice cada una de las siguientes divisiones por el método algebraico.
1)
(
) ( )
2)
(
) (
)
3)
(
) (
)
4)
(
) ( )
6)
(
) ( )
7)
(
) ( )
8)
(
) ( )
9)
(
) ( )
10)
(
) (
)
d. Realice las siguientes divisiones sintéticas.
1.
(
) ( )
2.
(
) ( )
3.
(
) ( )
4.
(
) ( )
5.
(
) ( )
e. Desarrolle las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.
1)
(
)
2)
.
/
3)
,
(
)-
(
)(
)
4)
( )(
) (
)
5)
( )
( )
6)
(
)( ) ( )
7)
(
)
(
)
8)
,( ) (
)-
(
)
Respuestas.
a. Efectuar las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
b. Desarrolle las siguientes fórmulas notables.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
c. Realice cada una de las siguientes divisiones por el método algebraico.
Cociente. Residuo. Cociente. Residuo.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 0 10.
d. Realice las siguientes divisiones sintéticas.
Cociente. Residuo. Cociente. Residuo.
1. 2.
3. 4.
5.
e. Desarrolle las siguientes operaciones simplificando al máximo su resultado.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
4.
Factorización de Polinomios.
El proceso de factorizar polinomios consiste en descomponer en factores un polinomio.
Ejemplos:
Polinomio. Factorización. Factorización Máxima
( ) ( )( )
A continuación se le ofrece el siguiente esquema que ayudara a la resolución de los casos de factorización.
FACTORIZACIÓN
1. Factor Común
2. Dos términos
3. Tres términos
4.Cuatro o más
términos
Diferencia de cuadrados. ( )( )
Si ; Trinomio cuadrado perfecto (Fórmula Notable)
( )
Agrupación.
Debe facilitar el uso de algún otro método
Cubo de un binomio
( )( ) ( )( )
Si √ ; Inspección. Usado generalmente División Sintética: cuando hay una única
variable.
Si √ ; Fórmula General
Si ; NO existe factorización.
NOTAS IMPORTANTES AL FACTORIZAR.
1. Su objetivo es descomponer en factores una expresión, por lo tanto no es recomendable realizar multiplicaciones o productos notables.
2. Un paréntesis se considera como un solo término. 3. Recuerde que:
4.1. Factor común.
Consiste en extraer como factor aquello que tienen en común todos los términos.
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.
a) b) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) 4.2. Diferencia de cuadrados.
Se basa en el empleo de la tercera fórmula notable
( )( )
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.a) b)
4.3. Cubo de un binomio.
Consiste en el empleo de la cuarta y quinta fórmulas notables que consiste en:
( )(
)
( )(
)
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.a) b)
c) d) ( )
4.4. Trinomio cuadrado perfecto.
Se basa en el empleo de la primera y segunda fórmula notable
( )
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.a) b)
4.5. Inspección.
También conocido el método como método de tanteo o bateo, el cual consiste en la descomposición por deducción de la expresión.
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.
a) b)
c) d)
4.6. Agrupación.
Es la agrupación de términos con el fin de poder utilizar algún método de los anteriores.
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.
a) b)
4.7. División sintética.
Este método sirve para factorizar polinomios que estén en términos de una sola variable.
Se debe ordenar el polinomio y luego utilizar todos los divisores del primer y del último término.
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones. a)
b)
4.8. Combinación de métodos.
Ejemplos: Factorice cada uno de las siguientes expresiones.
c) ( ) d)
4.9. Práctica.
a.
Factorice al máximo las siguientes expresiones.1)
2)
3)
4)
( ) ( )
5)
( ) ( )
6)
( )
( )
7)
8)
9)
10)
( )
11)
12)
13)
14)
( )
15)
( )
16)
17)
18)
19)
20)
( )
( )
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
***
30)
31)
32)
33)
34)
( )
35)
36)
37)
Respuestas.
1)
( )
2)
(
)
3)
.
/
4)
( )( )
5)
( )( )
6)
(
)( )
7)
(
)(
)
8)
)(
)(
)
9)
.
/ .
/
10)
( )( )
11)
(
)(
)
12)
(
)(
)
13)
.
/ .
/
14)
( )(
)
15)
( )(
)
16)
( )
17)
( )
18)
( )
19)
(
)
20)
( )
21)
( )( )
22)
( )( )
23)
( )( )
24)
( )( )
25)
( )( )
26)
( )( )
27)
(
)(
)
28)
( )(
)
29)
( )( )
30)
( )( )
31)
(
)(
)
32)
( )( )
33)
.
/ .
/
34)
.
/ .
/
35)
( )( )
36)
( )( )
37) ( )( )( ) ( )5.
OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES.
5.1. Simplificación de expresiones racionales.
Pasos:
Factorizar cada uno de los polinomios presentes al máximo.
Simplifique los términos que sea posible. Ejemplos:
5.2. Multiplicación y división de expresiones racionales.
Pasos:
Factorizar cada uno de los polinomios presentes al máximo.
Convierta las divisiones en multiplicaciones y efectúe las operaciones resultantes.
Simplifique los términos que sea posible. Ejemplos:
5.3. Suma y resta de expresiones racionales. Pasos:
Factorizar todos los denominadores para obtener el MCM.
Homogenizar la expresión y resolver las operaciones resultantes. Ejemplos:
5.4. Combinación de operaciones de expresiones racionales.
Debe respetarse la prioridad de las operaciones estudiadas anteriormente.
( ) ( ) ( ) 5.5. Práctica.
a. Simplifique al máximo las siguientes expresiones.
1) 2) 3) 4) 5)
b. Realice las operaciones indicadas y simplifique al máximo. 1)
= 2)
=
3) 4) 5) 6) 7).
/
8)=
9) 10) 11) 12).
/
13).
/
Respuestas.a. Simplifique al máximo las siguientes expresiones. 1) 2) 3) 4) ( ) 5)
b. Realice las operaciones indicadas y simplifique al máximo. 1)
2) ( ) ( ) 3) ( ) 4) 5) ( ) 6) ( ) 7) 8) ( )( ) 9) ( ) 10) ( )( ) 11) ( )( ) 12)
13)
6.
RACIONALIZACIÓN.
El proceso de racionalizar consiste en eliminar la o las raíces existentes del numerador o denominador de una expresión.
6.1. I Caso: Cuando existe únicamente una raíz en el lugar a racionalizar.
Pasos:
Factorizar todos los términos del subradical.
Determinar el “uno especial” por el cual se puede multiplicar la expresión.
Realizar la multiplicación resultante.
Ejemplos: Racionalice el numerador de:
√ √
√
Racionalice el denominador de:
√
√
6.2. II Caso: Cuando existe una suma o resta que involucra raíces
cuadradas.. Pasos:
Determinar el “uno especial” por el cual se puede multiplicar la expresión, de manera que se cumpla la tercera fórmula notable.
Realizar la multiplicación resultante.
Ejemplos: Racionalice el numerador de:
√ √
√ √ √ √
Racionalice el denominador de:
√ √ √
√ √ √
6.3.
Práctica.
a. Racionalice el denominador y numerador de las expresiones algebraicas.
1.
√ √2)
√
3)
√ √4)
√ √5)
√ √ √ Respuestas.Racionalice el denominador y numerador de las expresiones algebraicas.
1)
√2)
√3)
√4)
√5)
√7.
ECUACIONES.
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas.
El conjunto solución de una ecuación son los valores que hacen cierta la ecuación.
7.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Llamadas ecuaciones de primer grado con una incógnita pues el grado de la única variable es uno.
Ejemplos:
Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.
( ) ( )
7.2. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Ejemplos:
Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 7.3. Ecuaciones radicales.
Para este tipo de ecuaciones es necesario usar las potencias y por tanto se llega a una ecuación equivalente, por lo que se deben realizar las pruebas necesarias.
Ejemplos:
Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.
√ √ √
7.4. Práctica.
a. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
Primer grado con una incógnita.
1)
2)
3)
( ) ( )
4)
( ) ( )
5)
( ) ( ) ( )
6)
( ) ( )
7)
( ) ( )
8)
( ) ( )
9)
( )
( )( )
10)
( )
11)
( ) ( ) ( )
12)
( )
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
( )20)
Segundo grado con una incógnita.
21)
22)
23)
24)
( )
25)
26)
( )
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
Ecuaciones radiales.
36)
√
37)
√ √
38)
√
39)
√ √ √
40)
√
b. Si es solución en la ecuación ( ) ¿cuál es el valor de k? c. Determine el valor de k, de modo que la ecuación tenga sus raíces iguales.
1)
2)
Respuestas.
a. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
1. S:{ } 2. S:{ 1 } 3. S:{ } 4. S:{ } 5. S:{ } 6. S:{ } 7. S:{ 0 } 8. S:{ } 9. S:{ 3 } 10. S:{ } 11. S:{ -9 } 12. S:{ -2 } 13. S:{ } 14. S:{ } 15. S:{ 4 } 16. S:{ } 17. S:{ } 18. S:{ } 19. S:{ √ } 20. S:{ } 21. S:{ } 22. S:{ } 23. S:{ } 24. S:{ -2 , 0 } 25. S:{ , } 26. S:{ 0 , 7 } 27. S:{ 0 } 28. S:{ -2 , 4 } 29. S:{ , 3} 30. S:{ -1 } 31. S:{ } 32. S:{ 0 } 33. S:{ -1 } 34. S:{ } 35. S:{ 1, 2 } 36. S:{ } 37. S:{ } 38. S:{ } 39. S:{ } 40. S:{ } b. El valor de k es c. 1. K= 2. K=
8.
MATRICES.
Las matrices son una manera de resumir datos generalmente organizados en forma tabular; considere la información de la siguiente tabla:
Cantidad vendida
Día. Lunes Martes Miércoles Jueves
Zapatos. 9 11 10 13
Ropa. 8 13 12 14
Accesorios. 5 7 6 10
Los datos pueden resumirse como:
( )
Lo cual corresponde a notación matricial, observe como los datos se agrupan igual que en la tabla y entre paréntesis. Respecto a la V, es la forma en que se nombra la matriz, lo cual se realiza con una letra mayúscula.
Por lo tanto, se define matriz como un arreglo rectangular de números, donde los elementos se organizan en filas (horizontales) y columnas (verticales).
La dimensión de una matriz corresponde al número de filas (m) y columnas (n),
que se representa como .
En la matriz en estudio, la dimensión se denotaría como , lo cual usualmente se denota .
Respecto a los elementos se denotan con el nombre la matriz en minúscula y con sus índices que indican su posición, por ejemplo puesto que se ubica en la fila 2 y la columna 3, en aquellos casos que no existe confusión la coma se omite.
Ejemplos:
1. Si . /, entonces la dimensión de la matriz es ______.
, , . 2. Si (
), entonces la dimensión de la matriz es ______.
, , .
8.1. Tipos de matrices.
Tipo. Descripción. Ejemplo.
Cuadrada El número de filas es igual al número de columnas; es decir, .
. /
Dimensión:
Fila El número de filas es igual a uno; es decir, .
( )
Dimensión:
Columna El número de columnas es igual a uno; es decir, .
. /
Dimensión:
Identidad
Sea , B es una matriz identidad si para cada y para cada . Dicha matriz se denota como .
( )
Nula Todos sus elementos son cero. (
)
Dimensión:
Transpuesta Sea se define la transpuesta de A como la matriz ( ) . /
Diagonal Sea si para cada con . (
)
8.2.
Operaciones con matrices.
8.2.1. Adición de matrices:
Si A y B son matrices de tamaño mxn, se define la suma de A y B, como
〈 〉 〈 〉 〈 〉
Ejemplo:
Sean .
/ . / calcule: A+B.
8.2.2. Multiplicación de una matriz por un número real:
Si A es una matriz de tamaño mxn y k es un número real, se define la multiplicación de k por A, que se denota como kA, como la matriz mxn que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.
Ejemplo:
Considere (
8.2.3. Sustracción de matrices:
Si A y B son matrices de tamaño mxn, se define la diferencia de A y B, como
( )
Ejemplo:
Sean .
/ . / calcule: U-B.
8.2.4. Multiplicación de Matrices:
8.2.4.1. Matriz fila por matriz columna:
Si A es una matriz de tamaño 1xn y B es una matriz de tamaño nx1, entonces:
Ejemplo:
8.2.4.2. Multiplicación de matrices:
Sea A un matriz de tamaño mxn y B una matriz de tamaño nxp, se define el producto de A y B, y se denota como la matriz de tamaño mxp formada por las multiplicaciones de cada fila de A por cada columna de B.
Ejemplo:
Considere las matrices . / ( ), calcule .
8.3.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas se denota por
Ejemplos: {
es un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas, al cual se le puede asociar una matriz (matriz asociada)en el cual se evita la escritura de las variables
(
8.4.
Método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas
de ecuaciones.
Pasos:
1. Se escribe la notación matricial del sistema.
2. Se realizan las operaciones fila permitidas para obtener la matriz reducida. 3. Se deducen las soluciones del sistema y se escribe el conjunto solución. Operaciones fila permitidas:
1. Multiplicación de una fila por una constante k, diferente de cero. ( ) 2. Intercambiar la fila i por j. ( )
3. Multiplicar la fila i por k y sumarla con la j. ( ) Ejemplos:
Determine las soluciones del sistema
{
{
8.5. Práctica.
a. Determine el valor de cada una de las letras en la siguiente igualdad.
( ) ( )
b. Sean las matrices.
. / . / ( ) ( ) Calcule: 1. 2. 3. 4. 5. 6. ( ) 7. 8. 9. 10.
c. Sean las matrices . / . / . / . / Calcule: 1. 2. 3. 4. ( ) 5. ( ) 6.
d. Sean las matrices
.
/ . / . /
De ser posible, calcule: 1.
2.
3.
4.
5. ( )
e. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. En caso que existan infinitas soluciones, escriba dos soluciones particulares. Utilice el método de Gauss-Jordan.
1. { 2. { 3. { 4. { 5. { 6. { 7. {
Respuestas. a. b. 1. . / 2. . / 3. . / 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) 9. No se puede 10.. / c. 1. . / 2. . / 3. . / 4. . / 5. . / 6. . / d. 1. No se puede. 2. No se puede. 3. . / 4. . / 5. No se puede. e. 1. ( ) 2. . / 3. {( ) } 4. *( ) + 5. ( ) 6. ( ) 7. {( ) }
9.
DETERMINANTES.
9.1. Determinante de una matriz de orden 1.
Sea A una matriz de orden 1, el determinante de A se denota con | | y se define como | |
9.2. Determinante de una matriz cuadrada de orden 2.
Sea A una matriz de orden 2, el determinante de A se denota con | | y se define como
| | |
|
Ejemplos:
Calcule el determinante para cada una de las siguientes matrices.
. / . /
9.3. Práctica.
a. Calcule el determinante para las siguientes matrices. 1) . /
2) . /
Respuestas. 1) 31 2) -72
10.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:Se debe tener presente que el resultado de un sistema de ecuaciones es un par ordenado
x
,
y
de lo cual es evidente que se tiene que determinar el valor dex
y el valor de y. Se estudiarán cuatro casos:
10.1. Suma y resta
Dicho método consiste en eliminar una de las dos variables “sumando o restando” dichas ecuaciones, eligiendo en primera instancia la variable que se desea eliminar.
Pasos:
Determinar un número por el cual se debe multiplicar a una ecuación y otro número para multiplicar a la otra para que la variable a eliminar tenga igual coeficiente,
Se suman o restan las ecuaciones.
Encontrar el valor de la variable que aún se conserva.
Sustituir en una ecuación original el valor determinado para encontrar el segundo.
Ejemplos.
Determinar la solución de los siguientes sistemas.
0
5
2
3
0
1
3
2
y
x
y
x
10.2. Igualación
Este método consiste en despejar alguna de las dos variables en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez obtenido el valor de dicha variable se sustituye en alguna de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable.
Ejemplo:
Determinar la solución de los siguientes sistemas.
3 3 5 2 y x y x
10.3. Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar alguna de las dos variables de una de las ecuaciones para luego sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, y de nuevo resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. El valor de la otra variable se determinará sustituyendo el valor obtenido en alguna de las ecuaciones originales.
Este método es especial para los casos en que las variables se estén multiplicando o dividiendo.
Ejemplo 1:
Determinar la solución de los siguientes sistemas.
2 1 2 3 1 y x y x
Ejemplo 2:
Determinar la solución de los siguientes sistemas.
10.4. Regla de Cramer.
El método consiste en encontrar el determinante general de cada sistema así como los determinantes de cada variable y aplicar las fórmulas:
Entonces considere el sistema
{ ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 1:
Determine el conjunto solución del sistema.
{ ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( )
Donde la solución sería: *( )+
Ejemplo 2:
Determine el conjunto solución del sistema.
3.1. Práctica.
a. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas por el método de suma y resta. 1) { 2) { 3) { 4) { 5) { 6) { 7) { ( ) ( ) 8) { ( ) ( ) 9) { 10){
b. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas por el método de igualación. 1) { 2) { 3) { 4) { 5) { 6) { 7) { ( ) ( ) 8) { ( ) ( ) ( ) 9) { 10){
c. Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas por el método de sustitución.
1) {
2) {
3) {
5) { 6) { ( ) 7) { ( ) 8) { 9) { 10){
d. Resuelva los sistemas del punto a y b por el método de la Regla de Cramenr.
Respuestas. a. 1) *( )+ 2) *( )+ 3) {( )} 4) *( )+ 5) *( ) + 6) {( )} 7) 8) *( )+ 9) {( )} 10) b. 1) *( )+ 2) *( )+ 3) *( )+ 4) *( )+ 5) *( )+ 6) 7) *( )+ 8) *( )+ 9) *( ) + 10) *( )+ c. 1) *( )+ 2) *( )+ 3) 4) {. /} 5) *( )+ 6) *( )+ 7) *( )+ 8) *( )+ 9) 10) {. / ( )}
Bibliografía.
Arce, C., Castillo, W., González, J., (2001). Algebra Lineal. San José, Costa Rica, Editorial UCR.
Camacho, A., (2008). Manual de Ejercicios Matemáticos 10º año. San José, Costa Rica, Editorial Káñir.
Murrillo, M., Soto, A., Araya, J., (2009). Matemática Básica con Aplicaciones. San José, Costa Rica, EUNED.
Porras, V., Porras, J., Villegas, E., (2014). Matemáticas 10. San José, Costa Rica, Editorial Publicaciones Porras.
