PROBLEMAS RESUELTOS DE MÉTODO ANALÍTICO

PROBLEMAS RESUELTOS DE MÉTODO ANALÍTICO

1. Encuentra en el triángulo A(2,3), B(6,9), C(8,1) las ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro.

En el siguiente triángulo, los puntos A, B y C representan los vértices del triángulo y M, N y O son los puntos medios de los lados del vértice.

Lo primero que se tiene que hacer es calcular los puntos medios de los lados del

triángulo.

Las coordenadas del punto medio del lado AB, que llamamos O, son O(4,6)

Las coordenadas del punto medio del lado AC, que llamamos M, son M(5,2)

Las coordenadas del punto medio del lado AB, que llamamos N, son N(7,5)

Teniendo los puntos medios, se encontrarán ahora las ecuaciones de las medianas.

Primero calcularemos la pendiente de la mediana AN:

Recordemos la ecuación de una recta (punto pendiente):

La ecuación de la mediana AN es:

La pendiente de la mediana BM es

La ecuación de la mediana BM es:

La pendiente de la mediana CO es

La ecuación de la mediana CO es:

Tomando las ecuaciones de las medianas AN y BM

Aplicando el método de reducción:

Por lo que el baricentro es el punto

2. Un fabricante de sillas tiene costos fijos de $60 000.00 y un costo de producción unitario de $30.00. las sillas se venden a $55.00 la unidad.

a) ¿Cuál es la función lineal que representa los costos de este fabricante en

términos del número de sillas fabricadas (sugerencia, representa con n el

número de sillas producidas)? Grafica la función e interpreta su pendiente.

b) ¿Cuál es la función lineal que representa sus ingresos por las ventas?

Grafica la función e interpreta su pendiente.

c) ¿Cuál es la función lineal que representa las utilidades del fabricante (ingresos-costos)? Interpreta la pendiente, el cruce con los ejes, grafica e indica en donde es válida la gráfica para este planteamiento.

SOLUCIÓN:

a) Sabemos que los costos totales de una producción deben cubrir los costos fijos y los costos de acuerdo a las unidades producidas. Si representamos a C como los costos totales, nos queda la expresión para ellos como:

La pendiente se puede calcular con dos puntos que pertenezcan a la ecuación

lineal, por ejemplo (0,6000) y (100,9000)

La pendiente es:

, esto quiere decir que por cada silla fabricada el costo se incrementará en $30.00.

b) Si a los ingresos se les representa con la letra I, entonces la ecuación queda

Según la ecuación, la pendiente es igual a 55, esto significa que por cada unidad vendida el ingreso se incrementará $55.00

c) Como se sabe, las utilidades de una venta, que representaremos como U, son los ingresos menos los costos, la ecuación que representa esto es:

De acuerdo a la ecuación podemos deducir que la pendiente es igual a 25, esto nos indica que por cada unidad producida, la utilidad se incrementa en $25.00.

La gráfica de esta ecuación es:

En la gráfica podemos leer que los cruces con los ejes son los puntos (0,-6000) y (240,0).

También se pueden calcular estas intersecciones con los ejes haciendo n=0, con lo que al sustituir en la ecuación nos da U = -6000 y si sustituimos U = 0 en la ecuación correspondiente, obtenemos n = 240.

Estos puntos se interpretan de la siguiente manera.

Cuando se va a iniciar la producción y venta de sillas, se tiene un adeudo de

$6000.00.

Cuando se produzcan y vendan 240 sillas se obtendrá el punto de equilibrio entre costos y ventas, por lo que no se tendrá ninguna utilidad (U = 0). A partir de 240 sillas producidas y vendidas se obtendrá ya una utilidad.

Para el planteamiento propuesto, se observa que la gráfica es válida para

, ya que n representa el número de sillas producidas y vendidas, por lo

que esta variable puede tener únicamente valores que correspondan a números

naturales y el cero.