PROBLEMAS DE C ´
ALCULO II
Curso 2011-2012
Funciones reales de varias variables
1. Dibuja las curvas de niveles 0,1, . . . ,5 y la representaci´on gr´afica de las siguientes funcio-nes
a) f(x, y) = 5−x−y
b) f(x, y) =px2+y2
c) f(x, y) = (x−1)2+y2
2. Calcular los l´ımites direccionales de f(x, y) en (0,0) cuando
a) f(x, y) = x 3−xy2 x2+y2 b) f(x, y) = xy x2+y2 c) f(x, y) = xy 2 x2+y4
3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones de dos variables
a) x2 +xy+ 2x b) ln(x2+y2) c) ycos(xy) d) 1 (x−1)2+ (y−2)2 e) x 2 x2+y2
Calcular los l´ımites en la direcci´on y = x en el punto (1,1) para las funciones de los apartados b) d) y e) 4. Sea f(x, y) = x3−y3 x2+y2 (x, y)6= (0,0) 0 (x, y) = (0,0)
a) Calcular D(cosθ,senθ)f(0,0), ∂f∂x(0,0) y ∂f ∂y(0,0) b) Calcular ∂f ∂x, ∂f
∂y y la derivada direccional de f en (1,0) en la direcci´on (1,1).
c) ¿Es cierta la igualdad ∇f(0,0)·~h =D~hf(0,0) con~h = (cos(θ), sen(θ))? d) Estudiar la diferenciablidad def
e) ¿Son cont´ınuas las derivadas parciales de f?
5. Hallar las derivadas parciales, vector gradiente y diferencial de las siguientes funciones
a) f(x, y) =x3+y2−2xy
b) f(x, y, z) =z exy
c) f(x1, x2, x3, x4) =x1 x2+x23x4 d) f(x, y) = 5
6. Seaf :R2 →Rconf ∈C1(R2) (es decir tiene derivadas parciales continuas en todo punto de R2), ∇f(2,1) = (1,1) y f(2,1) = 5, calcular ∂f
∂x(2,1) y D(cosθ,senθ) f(2,1). Utiliza el
polinomio de Taylor de primer orden en (2,1) para calcular un valor aproximado def(2,1)
7. Sea f(x, y) = 3 −x/3−y/3.
a) Dibuja la gr´afica de f(x, y) en el primer octante.
b) Hallar la derivada direccional de f(x, y) en el punto (3,2) en la direcci´on de argu-mento π/4.
c) Hallar el valor m´aximo de la derivada direccional de f(x, y) en (3,2). d) Hallar el polinomio de Taylor de primer orden def(x, y) centrado en (1,2).
e) Hallar un vector ortogonal a∇f(3,2) y calcular la derivada def(x, y) en (3,2) en la direcci´on de este vector.
8. Calcular la ecuaci´on del plano tangente a la gr´afica de z = f(x, y) = 5−x2 −y4 en el punto (1,1,3).
9. Hallar la derivada direccional de f(x, y, z) = x2−2xy−z3 en el punto (1,-1,2) seg´un la direcci´on del vector (-1,3,1)
a) ¿En qu´e direcci´on es m´axima la derivada direccional?
b) ¿Cu´al es el valor de ese m´aximo?
10. Utilizar el polinomio de Taylor de ordenn para desarrollar x3+y2+xy2 en potencias de (x-1) e (y-2).
11. Probar que la ecuaci´onxy+ ln(xy) = 1 define aycomo funci´on impl´ıcita dexen el punto (1,1). Calcular la recta tangente a esta funci´on en dicho punto.
12. Calcular los puntos cr´ıticos y estudiar si son m´aximos, m´ınimos o puntos de silla de las siguientes funciones de dos variables
a) x2y+ 2xy−y2−3y b) x4 +y4
c) x4 −2px2−y2+ 3 para los distintos valores de p d) x2 + 2y2−2x+ 4y−6
Funciones vectoriales de varias variables
1. Hallar una representaci´on param´etrica dea) La recta que pasa por (1,2,1) en la direcci´on del vector (1,−1,2). b) El segmento con extremos en los puntos (2,0,4) y (1,0,6).
c) El segmento con extremos en los puntos (1,0) y (0,1). d) La recta x+y= 2.
e) La circunferencia con centro en (3,1) y radio 2.
f) La circunferencia (x−2)2+ (y−3)2 = 1. g) El cuadrado de v´ertices (0,0) (1,0) (1,1) y (0,1).
h) El arco de par´abola y = (x−1)2 que va del punto (0,1) al (3,4). i) La curvay =ex.
j) La recta x+y+z = 1, x=y
2. Calcular la recta tangente a la h´elice circular ¯r(t) = (cos(t), sen(t), t) en los puntos
a) ¯r(π/4)
b) (1,0,0)
c) ¯r(π/2)
3. Comprobar que la siguientes funciones son diferenciables.
(a) f(x, y) = (x2y, e−xy)
(b) f(x, y, z) = (2x+xz+y2, z2+y, x2+z)
(c) f(x, y, z) = (exz+x−1, aey+z2) 4. Sean las funciones f :R3 →R2, g :
R2 →R2 definidas por f(x, y, z) = (sen(xy+z), (1 +x2)yz)
(a) Comprobar que f es diferenciable en (1,−1,1) (b) Comprobar que g es diferenciable en
0,1 2 (c) Calcular d(f◦g)(1,−1,1) 5. Sean f :R2 →R2 y g :
R3 →R2 dos funciones definidas por f(x, y) = (ex+2y, sen(y+ 2x))
g(u, v, t) = (u+ 2v2+ 3t3, 2v−u2) (a) Hallar las matrices jacobianas de f y g.
(b) Hallar la matriz jacobiana de f◦g en (1,−1,1) 6. Dadas las funciones f :R2 →R2 y g :
R2 →R definidas por f(x, y) = (y+ cosx, x+ey), g(x, y) =x+y
(a) Probar que f y g son diferenciables en R2.
(b) Hallar la diferencial de h=g◦f en (0,0).
(c) Hallar la derivada direccional de h en (0,0), en la direcci´on del vector (2,1).
(d) Hallar la derivada direccional m´axima de h en (0,0)
(e) Probar queh(x, y) = 2 define a y como funci´on impl´ıcita dexen un entorno de (0,0)
7. Escribir la expresi´ony∂z ∂x−x
∂z
∂y en funci´on de las variablesuyvsabiendo que
x=ucosv y=usenv
Integral doble
1. En cada una de las integrales siguientes, determina el recinto e invierte el orden de inte-graci´on: (a) Z 1 0 dx Z 3 1 f(x, y)dy (b) Z 1 0 dy Z y 0 f(x, y)dx (c) Z 3 0 dx Z √ 25−x2 4x/3 f(x, y)dy (d) Z e 1 dx Z logx 0 f(x, y)dy (e) Z 1 0 dx Z x2/3 0 f(x, y)dy+ Z 2 1 dx Z 1− √ 4x−x2−3 0 f(x, y)dy
2. Calcula la integral doble
Z Z
D
f(x, y)dxdy en cada uno de los siguientes casos
(a) f(x, y) =x+y; D={(x, y)/0≤x≤1; 0 ≤y≤1}
(b) f(x, y) =xy; D={(x, y)/0≤x≤1; 0≤y≤x}
(c) f(x, y) =p4x2−y2; D={(x, y)/0≤x≤1; 0≤y≤x} (d) f(x, y) =x+y; D={(x, y)/|x|+|y| ≤1}
(e) f(x, y) = m´ax{x, y}; D={(x, y)/0≤x≤1; 0 ≤y≤1}
3. En el recinto D={(x, y)/x2+ (y−1)2 ≤1, x≥0} se consideran las funcionesf(x, y) = 1 √ 1−x2 y g(x, y) = sen(y−1) (a) Expresa Z Z D f(x, y)dxdy e Z Z D
g(x, y)dxdy en los dos ´ordenes de integraci´on posi-bles.
4. Calcula la integral Z π 0 dx Z π x seny y dy
5. (a) Demuestra, sin calcular la integral, que
4π≤
Z Z
D
(1 +x2+y2)dxdy≤20π
dondeD es el c´ırculo de radio 2 centrado en el origen.
(b) Si f(x, y) = x2y y D= [0,2]×[1,3], demuestra, sin calcular la integral, que 0≤
Z Z
D
f(x, y)dxdy≤48 6. Sea f(x, y) =k e−y2
+x, dondek es una constante real.
Determinar el valor de la constante k para que:
Z Z
D
f(x, y)dx dy= 1, siendo D={(x, y)/0≤x≤1; x≤y≤1}
7. Efect´ua el cambio a coordenadas polares y calcula la integral
Z Z
D
x2ydxdy, donde
D={(x, y)/1≤x2+y2 ≤4, y ≥0}
8. Calcular la integral doble
Z Z D dxdy p (1 +x2+y2)3 siendo: D={(x, y)∈R2/0≤y ≤1, −y≤x≤y} 9. Calcular la integral doble
Z Z
D
ln(1 +x2+y2)dx dy
siendo D={(x, y) 0≤x≤1, x2+y2 ≤1}
10. Sea R > 0, CR el cuadrado [−R, R]×[−R, R] y DR y DR√2 los c´ırculos de radio R y
a) Calcular: Z Z DR e−(x2+y2)dxdy Z Z DR√ 2 e−(x2+y2)dxdy b) Demostrar que Z Z CR e−(x2+y2)dxdy = Z R −R e−x2dx 2
c) Razonar que se cumplen las siguientes desigualdades:
Z Z DR e−(x2+y2)dxdy ≤ Z Z CR e−(x2+y2)dxdy≤ Z Z DR√ 2 e−(x2+y2)dxdy d) Deducir de (c) el valor de l´ım R→∞ Z Z CR e−(x2+y2)dxdy
y utilizar el apartado (b) para calcular el valor de
Z ∞
−∞
e−x2dx
11. Haciendo uso de la integral doble, calcula el ´area de los siguientes recintos
(a) D={x≤y≤2−x2} (b) D={(x, y)/x 2 a2 + y2 b2 ≤1}
Integral de l´ınea
1. Calcular la siguiente integral de l´ıneaZ
xy dx+ (x2−y2)dy a lo largo de los siguientes caminos:
(a) La circunferencia de centro el origen y radio 1.
(b) El arco de par´abola y2 =x que une los puntos (1,-1), (1,1)
(c) El arco de curva y2 =x3, uniendo los mismos puntos.
(d) A lo largo de la elipse x2+ 2y2 = 4
2. Calcular
Z
c
2xcosydx−x2seny dy, donde C es la trayectoria desde (1,0) a (0,1) sobre la curva α(t) = (cos3t, sen3t)
3. Sea el campo vectorial ¯f = (f1, f2) = ϕ(x)(−y, x), siendo ϕ(x) una funci´on derivable (a) Calcular ϕ(x) de manera que ∂f1
∂y =
∂f2
∂x
(b) Establecer las condiciones para que ¯f sea un gradiente en alguna regi´on del plano y determinar la funci´on potencial.
4. Sea f :R2 →R2 un campo vectorial de la forma f(x, y) = (2xy, x2) = (f 1, f2)
(a) Probar que
Z
Γ
f1dx+f2dy= 0 para cualquier curva Γ cerrada en R2.
(b) Hallar
Z
Γ
f1dx+f2dy siendo Γ la curva de ecuaci´on
x=t y=et2 0≤t≤1 5. Dada Z C (x+y)dx−(x−y)dy x2+y2
(a) Calcular el valor de la integral cuando C es el camino que une los puntos (0,1) y
1,1
2
siguiendo la trayectoria de la curva y= 1 1 +x2.
Funciones Anal´ıticas
1. Explica el significado geom´etrico de las siguientes relacionesa) |z−z0|< R(zo ∈Cy R ∈R+ fijos) b) lm z−j z−(1 +j) = 0, Re z−j z−(1 +j) = 0 c) 1<|z+j| ≤2
2. Expresa las funciones siguientes como la suma de la parte real e imaginaria
a) f(z) = 2z2−3jz b) f(z) = 1−z
1 +z
c) f(z) =z1/2
3. Halla el m´odulo y el valor principal del argumento por las funciones dadas en los puntos indicados:
a) f(z) =z ez en z =πj
b) f(z) = cosz enz = π
2 +j(Ln2)
4. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones
a) f(z) = ¯z
b) f(z) =ex e−yj
c) f(z) = 1
z
5. Halla la funci´on anal´ıtica f(z) = u(x, y) +jv(x, y) tal que:
u(x, y) =x−y y f(3) = 3 +√5j
6. a) Sea u(x, y) la parte real de una funci´on anal´ıtica en C. Sean v1(x, y) y v2(x, y) dos conjugadas arm´onicas de u(x, y). Demuestra que v1(x, y)−v2(x, y) es constante. b) Sea v(x, y) = x2 − y2. Determina todas las funciones anal´ıticas f(x) cuya parte
7. Determina todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) e2z+ 2ez+ 1 = 0
b) cosz = 2
c) z4 −1 = 0
8. Prueba las siguientes igualdades:
a) sen 2z = 2 senzcosz ∀z∈C
b) |ejz|=e−y ∀z =x+jy ∈ C c) senz = senz ∀z∈C 9. Halla a) ln(−1−j) b) (1 +j)j c) Re(1−j)1+j
10. Estudia la analiticidad de las siguientes funciones:
a) f(z) = senz b) f(z) =Ln z Arg z∈(−π, π] c) f(z) = 1 3z2+ 1 d) f(z) = z 1−ez e) f(z) = z 2 z−3 f) f(z) = 2e−z g) f(z) = z2+2z+21
Integraci´
on Compleja
1. CalculaZ
γ
f(z)dz, siendo
a) f(z) =z Im(z2) yγ el arco de la circunferencia |z|= 1 desde z
1 = 1 hasta zz =j. b) f(z) =e|z|2
Re(z) y γ el segmento que une z1 = 0 y z2 = 1 +j.
c) f(z) =|ez|y γ es el segmento de extremos −1−j y 1 +j
2. Sea γ la circunferencia |z −a| = r donde a es un punto del plano complejo y r es un n´umero real positivo.
a) Demuestra por c´alculo directo que sines un entero yγ se recorre en sentido positivo entonces Z γ dz (z−a)n = 2πj si n= 1 0 si n6= 1 b) Utiliza el apartado anterior para calcular
Z γ N X k=−N Ak (z−a)kdz
dondeγ es una circunferencia centrada en a y recorrida en sentido positivo.
3. Sea a un punto del plano complejo y R un n´umero real tal que R > |a|. Sea γR la circunferencia |z|=R recorrida en sentido positivo.
a) Demuestra, sin calcular la integral, que
Z γR dz z2−a2 ≤ 2πR R2− |a|2 b) Deduce del apartado anterior que
l´ım R→∞ Z γR dz z2−a2 = 0 4. Sean f(z) = 2z+ 1, g(z) = Rez y h(z) = cosz
b) ¿Tienen sentido las expresiones Z 2j 0 f(z)dz, Z 2j 0 g(z)dz, Z 2j 0 h(z)dz ? ¿Por qu´e?
c) Calcula las integrales anteriores siempre que tengan sentido. d) Calcula Z γ f(z)dz, Z γ g(z)dz, Z γ h(z)dz
dondeγ es la circunferencia |z|= 1 recorrida en sentido positivo. 5. La funci´onf(z) = 1
z2−1 admite la descomposici´on en fracciones simples
f(z) = A
z−1+
B z+ 1 a) Determina los valores A y B
b) Comprueba que
A = l´ımz→1(z−1)f(z)
B = l´ımz→−1(z+ 1)f(z) c) Utiliza la descomposici´on anterior para calcular
Z
γ
f(z)dz
en cada uno de los siguientes casos
1) γ es la circunferencia |z|= 2 2) γ es la circunferencia |z−1|= 1 3) γ es la circunferencia |z+ 1|= 1 4) γ es la circunferencia |z−2−j|= 1
6. Halla el desarrollo en serie de potencias de z de la funci´on 1 +z
z−1 y hallar la regi´on donde
f(z) es representable por la serie.
7. Descomponiendo en fracciones simples prueba que si 0<|z−1|<2
z (z−1)(z−3) = −1 2(z−1) −3 ∞ X n=0 (z−1)n 2n+2
8. El punto z0 es un cero de orden k para la funci´on f(z) y es un cero de orden l para la funci´on g(z). ¿Qu´e es el punto z0 para las siguientes funciones?
a) f(z)g(z) b) f(z) +g(z) c) f(z)
g(z)
9. Halla el orden de todos los ceros de las funciones
a) senz
b) cos3z
c) (1−ez)(z−2)2
10. Determina el orden de los polos y el valor de sus residuos correspondientes de las siguientes funciones. a) 5z−2 z2 b) 1−ch z z3 c) 1−e 2z z4 d) e 2z (z−1)2
11. a) Sea f(z) anal´ıtica en la regi´on que limita una curva cerrada y simple γ. Sea z0 un cero de orden m def(z) en el interior de γ. Demuestra que si
f(z)6= 0 ∀z 6=z0 entonces 1 2πj Z γ f0(z) f(z)dz =m b) ¿Cu´al es el valor de 1 2πj R γ f0(z)dz
f(z) sif(z) tiene N ceros y todos ellos simples simples en la regi´on que limita γ?
12. Halla I.(a) =RC
a
ez
z2+π2 con a∈R a6=kπj,∀k entero y Ca la frontera de
Da={(x, y)∈R2/−1< x <1, a < y < a+π}
13. Seaγ la circunferencia centrada en el origen y de radio 7. Calcula Z γ 1 +z 1−coszdz. 14. Calcula a) Z ∞ 0 1 1 +x6dx b) Z ∞ −∞ (x−3)2 (x2+ 9)(x2+ 16)dx c) Z ∞ −∞ x (x2+ 4x+ 13)2dx d) Z ∞ 0 xsenx 1 +x2dx e) Z ∞ 0 senx x(x2 + 1)2 f) Z ∞ 1 sen(x−1) (x−1)((x−1)2+ 4)dx g) Z ∞ 0 senat t(t2+b2)dt con a, b∈R− {0} 15. a) Seaf(z) =−1−jz +z2!2 +jz3!3 +ejz· 1
z5 y sea γ el contorno de la figura. Calcula:
R γf(z)dz b) Sabiendo que l´ım →0 Z Γ f(z)dz =−πj R1
SiendoR1 el residuo en z0 = 0 de f(z) y sabiendo que: l´ım R→∞ Z ΓR f(z)dz = 0 Calcula: Z ∞ −∞ −2 +x2+ 2 cosx 2x5 dx y Z ∞ −∞ −6x+x3+ 6 senx 6x5 dx
16. Teniendo en cuenta que l´ım R→∞
Z
ΓR
e(jz2)dz = 0, donde ΓR es el arco de circunferencia
limi-tado por los puntos R y R ej π/4 recorrida en sentido positivo y que
Z ∞ 0 e−x2dx = √ π 2 , utiliza el contorno de la figura y la funci´onf(z) = ejz2 para calcular las integrales
a) Z ∞ 0 cosx2dx b) Z ∞ 0 senx2dx
Transformada de Fourier
1. Calcula la transformada de fourier de las funciones:a) f(t) = u(t)−u(t−1) b) g(t) =e−atu(t) (a >0)
c) h(t) =et[u(t)−u(t−1)] d) i(t) =t e−tu(t)
2. Calcular la transformada de Fourier de las siguientes funciones:
a) f.(t) = cosω0t h ut+2πω0−ut− 2π ω0 i b) g(t) =e−tsenω 0t·u(t) c) h(t) =e−t2 d) i(t) =t e−t2
3. Hallar la transformada de Fourier de la funci´on cuya gr´afica es la indicada en la figura
4. Hallar la transformada de Fourier de la funci´on f(t) = u(1− |t|) y aplicar el resultado para calcular la siguiente integral:
Z ∞
0
sent t dt
5. Hallar la transformada inversa de las siguientes funciones:
a) F(ω) = 1 ω2+jω+ 1 b) g(ω) = 1 (a+jω) 2 (a >0)
6. Utilizando el teorema de los residuos, calcula la transformada de Fourier de: a) f(x) = t t3 + 1 b) f(x) = t (t2+ 2)(t+ 2) 7. Sabiendo queF(e−αtu(t)) = 1
α+jω, (α >0) y utilizando la propiedad de la convoluci´on
de la transformada de Fourier, hallar la transformada inversa de Fourier de la siguiente funci´on
H(ω) = 1 1 +jω ·
1 2 +jω
PROBLEMAS DE EX ´
AMENES
1. a) Consideremos la funci´on f(x, y) = 4xy x2+y2 (x, y)6= (0,0) 0 (x, y) = (0,0)i) Estudia la continuidad de f en el punto (0,0)
ii) Estudia si existe la derivada direccional def en el punto (0,0) seg´un la direcci´on del vector 1 √ 2, 1 √ 2
b) Halla la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = 5 + 3x−4y−3x2−2y2 en el punto (0,−1,7).
c) Consideremos la funci´on f(x, y) =x3 −3xy+y3 calcula los puntos cr´ıticos de f y estudia si son m´aximos, m´ınimos o puntos de silla.
d) Se consideran las funciones f :R2 →
R2 y g :R2 →R definidas por: f(x, y) = (xseny, xy2)
g(u, v) = 2uv+ 4
Calcula la matriz jacobiana de la funci´ong◦f en el punto (1,2).
2. Si una funci´on f y sus derivadas parciales primeras son continuas en una regi´on cerrada
R del plano xy, entonces el ´area de la superficie z = f(x, y) sobre R viene dada por la expresi´on: Z Z R s 1 + ∂f(x, y) ∂x 2 + ∂f(x, y) ∂y 2 dx dy
Si la funci´onf(x, y) corresponde al paraboloide: f(x, y) = 1 +x2+y2 y la regi´onR es el c´ırculo de radio unidad y centro (0,0); se pide:
a) Verifica que es posible la utilizaci´on de la f´ormula indicada.
b) Expresa la correspondiente integral doble en coordenadas cartesianas con sus corres-pondientes l´ımites de integraci´on.
3. a) Determinar las singularidades de la siguiente funci´on compleja de variable compleja y clasificarlas
f(z) = (z
2 −1)(z−2)3 (1 +z2)(senπz)2 b) Calcular la siguiente integral
Z
γ
ezdz (z2+π2)2
siendo γ la circunferencia centrada en el origen de radio 4, recorrida en sentido positivo.
4. a) Dada f(x, y) =xcos 3y−y2senx
i) Calcula las derivadas parciales de f en el punto (π,0).
ii) Calcula la derivada direccional de f en el punto (π,0) seg´un la direcci´on del vector √1 5, 2 √ 5 b) Consideremos la funci´on f(x, y) =x3+y3−3x−12y+ 20
calcula los puntos cr´ıticos def y estudia si son m´aximos, m´ınimos o puntos de silla. c) La ecuaci´ony3+y2 −5y−x2+ 4 = 0, define a y como funci´on impl´ıcita de x en el
punto (2,0). Calcula la recta tangente a esta funci´on en dicho punto. d) Se considera las funciones f :R2 →R2 y g :
R2 →R2 definidas por: f(x, y) = (x2y4, x3y3 + 4xy2)
g(u, v) = (usenv, −ucosv)
Calcula la matriz jacobiana de la funci´ong◦f en el punto (2,−1). 5. Dada la integral doble.
Z Z
R
y
x2+y2dxdy siendo R el tri´angulo limitado por:
y=x, y = 2x, x= 2
a) Expresar dicha integral como integral reiterada en los dos posibles ´ordenes, utilizando coordenadas cartesianas y resolverla por el que sea m´as conveniente.
b) Expresar y resolver la misma integral en coordenadas polares.
6. a) Probar que si θ es real:
Re[ln(1 +eiθ)] = ln 2 cosθ 2 si eiθ 6=−1 b) Demostrar que si n∈N Z 2π 0
ecosθcos(nθ−senθ)dθ = 2π
n! considerando la integral compleja
Z |z|=1 ez zn+1dz 7. Se considera la funci´on f(x, y) = x2y2 √ x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) a) Estudia la continuidad de f en (0,0).
b) Calcula las derivadas parciales de f en (0,0).
c) Estudia la diferenciabilidad def en (0,0).
d) Sea g : R2 →
R2 definida de la forma g(x, y) = (x2 + 1, 2−x+y). Estudia la
diferenciabilidad deg y calcula el jacobiano f◦g en el punto (0,0). 8. a) Calcula la integral del campo vectorialF(x, y) =
− y x2 + 1 x, 1 x
a lo largo del arco de la circunferencia con centro en (2,2) y radio 1, orientado positivamente, que une los puntos (3,2) y (2,3).
b) Sea T el tri´angulo limitado por las rectas y=x, y =−x, y = 1. 1) Expresa
Z
T
2) Expresa la integral anterior en coordenadas polares.
9. Seaf(x, y) = x4−2x2−y2+2 y seag(t) una funci´on derivable que satisface las condiciones
g2(t) +eg(t) =t y g(1) = 0.
a) Calcula la derivada direccional def(x, y) en el punto (1,2) en la direcci´on del vector (−1,3).
b) Calcula, si existen, los puntos de silla de f(x, y).
c) Calcula la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica deg(t) en el punto (1,0).
d) Halla el valor m´aximo de la derivada direccional de g ◦f(x, y) en el punto (0,1). 10. Sea f(x, y) = 3x+axy+ 2y x2+y2 , bx+ 3y x2+y2
donde a y b son constantes reales, y sea Ω el semiplano superior de R2, Ω ={(x, y)∈R2 :y >0}.
a) Determina a y b de manera quef sea conservativo en Ω.
b) Para los valores a y b del apartado anterior, halla F(x, y) tal que
∇F(x, y) = f(x, y), (x, y)∈Ω.
c) Para los valoresayb calculados en el apartado (a), calcula la integral def a lo largo de la curva de ecuaci´on x= cos(t) y = 2 + sen(t) − π 2 ≤t≤ π 2.
11. Sean g(z) y h(z) funciones anal´ıticas en todo el plano complejo y sean α y β n´umeros complejos distintos tales que |α|<1 y |β|<1. Sabiendo que g(z) tiene un cero de orden
N en α y que h(z) tiene un cero de orden M en β y que, adem´as, g(z) 6= 0 si z 6= α y
a) Demuestra que la funci´on f
0(z)
f(z), donde f(z) =
g(z)
h(z), es anal´ıtica en todo el plano excepto en α y β. b) Calcula 1 2πj Z γ f0(z)
f(z)dz siendo γ la circunferencia de centro cero y radio 1 recorrida en sentido positivo.
