Trabajo de verano
Matemáticas
Académicas
3º E.S.O.
ÍNDICE
OPERACIONES CON NÚMEROS ... 3
OPERACIONES CON RADICALES: ... 4
PROGRESIONES ARITMÉTICAS ... 5
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS ... 6
ÁLGEBRA. ... 7
FUNCIONES ... 11
GEOMETRÍA ... 14
ESTADÍSTICA ... 18
PROBABILIDAD ... 19
- Las contestaciones a los ejercicios se realizarán en hojas aparte.
- Se contestarán los ejercicios siguiendo el orden de numeración.
- Se incluirán las explicaciones necesarias para que se pueda comprender la contestación, dando los pasos necesarios e indicando, en su caso, el porqué de las operaciones realizadas.
- Se valorará la presentación (letra clara, márgenes, títulos...)
- Se recomienda la realización de este trabajo.
- Se entregará el día del examen de septiembre al profesor de Matemáticas que corresponda.
- El examen de recuperación de la asignatura pendiente se hará en septiembre.
- Los ejercicios propuestos no son exhaustivos. La preparación del examen de Septiembre incluye el repaso con el libro y el cuaderno del alumno.
- Alguna solución puede no ser correcta o por error de trascripción, o para testear la realización correcta y completa de los ejercicios.
-- realización correcta y completa de los ejercicios.
-OPERACIONES CON NÚMEROS
1. Calcula, paso a paso, y simplifica si es posible:
a) 6 1 5 4 : 3 2 b) 3 1 3 2 · 4 5 6 5 2 1 · 2 1 3 c) 2 : 2 3 4 3 2 · 5 3 2 · 3 4 2 3 d) 2 5 : 4 1 3 2 · 2 1 4 1 e) 2 3 1 · 5 1 1 3 · 3 2 2 1 3 3 · 3 2
Sol: 2/3; 13/3; 13/5; 2/5; 1
Sol: 2/3 2. Hallar la fracción generatriz de los números decimales:
3’151515 3’155555
3’15 = 3’1415927
3
1' 2'3
42
6' 4'29
0’25 6’125
2’3545454 2’202002000
3. Pasar los números decimales a fracción, operar y simplificar:
a. 0'3 0'4 1'16 :1'2 Sol: 2/3
b. 6 1 0 1 25 0 6 0 25 0 6 0 ' ' ' ' ' Sol: 3/10 c. 5 2 6 2 2 3 1 5 0 3 0 5 0 3 0 ' ' ' ' ' ' ' Sol: 5/42 d. 5 2 6 2 2 3 1 25 0 6 0 25 0 6 0 ' ' ' ' ' ' ' Sol: 1/28
4. Si una cantidad aumenta un 70% y después disminuye un 35%, ¿en qué porcentaje
ha variado? Sol: Ha aumentado un 10’5%
5. Si una cantidad aumenta un 20%, después disminuye un 15% y por último
6. En una tienda de electrodomésticos, una nevera con un precio de 260€ fue rebajada un 15%; al cabo de un mes volvieron a rebajarla otro 15%. ¿Cuál es el precio después de la segunda rebaja? ¿Cuál es el índice de variación total? ¿Qué significado tiene? Sol: 187’85€; I.V.= 0’7225; Se ha rebajado el precio un 27’75% 7. A María en su factura del agua le aplican un recargo del 10 % por exceso de
consumo, sobre esto un descuento del 15 % por ser empleada de la compañía y al final el 12 % de IVA. ¿Cuánto tendrá que pagar si su contador indicaba 10.000 €? ¿Cuál es el índice de variación final? ¿Qué porcentaje supone lo que tiene que pagar respecto de lo que indicaba el contador?
Sol: 10.472 €; i = 1’0472, aumenta 4’72 %
8. ¿Qué variación experimenta el precio de un artículo si se aumenta un 20 % y el resultado disminuye un 20 %? Sol: disminuye el 4 % 9. Expresar en notación científica, hacer las operaciones y expresar el resultado en
notación científica a. 0002 0 0000092 0 000 000 000 000 24 ' ' . . . .
Sol: 1’104 · 1012
b.
30000 000053 0
00026
0' '
Sol: 4’59 · 10-13
10. Utilizando las propiedades de las potencias, calcula:
a) 2 5 1 2
5 2 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 2 ·
2 b) 10
4 6 3 4 5 · 5 5 · 5 1 · 5 c) 2 2 4 2 8 3 3 4
d) 2 2 0 2
4 3 2 125 32 27 16 8 81 25
e) 23 - (-2)2 ·(-2)3 – (-2)- (-22)= f) 3 0 3 3 2 0 4 1 2 2 3 1 3 2 2 3
Sol: 1/24; 1/5; 29; 510/(220·36); 46; -1/8
OPERACIONES CON RADICALES:
11. Escribe como potencia de exponente fraccionario:
= = = = =
12. Escribe como radical:
13. Extraer todos los factores posibles:
= = = =
Sol ( ; ; ; )
14. Multiplica los radicales siguientes:
. = . = . = . =
Sol ( =6 )
15. Opera:
a) 4 12 3 27 2 48 75 Sol: 2 3
b) 12 27 75 48 Sol: 2 3
c) 8 18 12 27 Sol: 2 5 3
d) 18 3 8 72 Sol:
e) 3 2 12 243 Sol:
f) 2 3 18 12 Sol: 6
g) 2
12 3
Sol: 3 2
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
16. Averigua el valor de los elementos que se piden en las siguientes progresiones aritméticas:
a) Conocemos a1= 4, a2 = 7. Cuánto vale a17 y a21 Sol (52 , 64 )
b) Conocemos a5= 17, a6 = 22. Cuánto vale a1 y a40 Sol (-3, 192)
c) Conocemos a35= 104, d = 2. Cuánto vale a1 y a22 Sol (36, 78)
d) Conocemos a15= 43, a16 = 35. Cuánto vale a1 y a100 Sol (155 , -637 )
e) Conocemos a1= 16, a10 = 43. Cuánto vale a20 y S10 Sol( 73, 295)
f) Conocemos a10= 58, d = 6. Cuánto vale S10 Sol( 310 )
g) Conocemos a1= 7 y S12= 150. Cuánto vale an Sol( an = a1 + ( n- 1).1)
17. Suma los 8 primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas:
18. En una progresión aritmética , calcular n sabiendo a1=7, an=53 y Sn=300 Sol 10
19. Calcular a1 y an en una progresión aritmética conociendo d = 6, n=13 y S13=572 Sol a1 = 8; an = 8 + ( n- 1).6
20. Un hortelano riega su huerto con el agua de un pozo. Si el lunes utiliza 150 l y cada día emplea 5 litros menos que el día anterior, ¿cuántos litros gastará el domingo? ¿y en total? Sol: 120 l; 945 l
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
21. De una progresión geométrica se conocen:
a) a1 = 3 r = 4 Calcula a3 y an Sol( 48, an= 3.4n-1) b) a2 = 6 a1 = 3 Calcula r y an Sol( 2, an= 3.2n-1) c) a1 = 3 r= 2 Calcula S7 y a7 Sol( 381 , 192) d) a8=243, a4=3 Calcula r a1 y S8, Sol( 3, 1/9, 3280/9 ) e) an=162, r=3, Sn=242 Calcula a1 y n. Sol(2, 5)
f) r = 4, S6 = 2730. Calcula a1 y a6 Sol(2, 2048)
22. Añade tres términos a las siguientes progresiones indicando también la diferencia, la razón y el término general.
a) 8, 3, -2, -7... b) 8, -4, 2, -1... c) 1, 4, 7, 19,… d) 1, 5, 25, 125,… e) 3, 12, 48,… f) 1, 10, 100, 1000, 23. Suma los 6 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas:
a) 8, -4, 2, -1... b) 1, 5, 25, 125,… c) 3, 12, 48,… d) 1, 10, 100, 1000,…
24. En una progresión geométrica de razón r =1/2 y a1= 6. Hallar la suma de los
infinitos términos. Sol 12
25. En una progresión geométrica de razón r = - 1/3 y a1= 54. Hallar a6 y la suma de los infinitos términos. Sol -2/9, 15/4
ÁLGEBRA.
27. Calcular el valor de las expresiones siguientes:
a) 2
y x y x y
x Sol: 2
2 2xy y
b) 2 2 2
y x y
x Sol: x2 2xy x4 2x2y
c) 2a 3b2 2a 3b 2a 3b Sol: 18b2 12ab
28. Desarrolla: a) 2
3 x b) 2
4
x c) 5 x 5 x
d) 4 3x2 2 e)
2 3 2
3x x f) 3x2 5x 2
g) 1 6x 1 6x h) 3x 7y 2 i) x 0,42
Sol: a) 9 x2 6x; b) x2 16 8x; c) 2
25 x ; d) 4 2 24 9
16 x x ; e) 9x2 4;
f) 4 2 3
30 25
9x x x ; g)1 36x2; h) 9x2 49y2 42xy; i) x2 0,16 0,8x
29. Calcula:
) 3 7 ( ) 3
(x2 x x2 x Sol: x4 10x3 24x2 9x
x xy y xy
x2 2 3 Sol: x3y 3x3 2x2y2 6x2y xy2 3xy
30. Realiza las divisiones. En el caso de que se puedan hacer por Ruffini, usa ese método:
a) Sol:
b) Sol:
c) Sol:
d) Sol:
e) Sol:
31. Opera y simplifica: a) 4 1 2 2 1 2 x x x x x
b) 2
) 1 ( 2 1 1 x x x c) 2 9 · 3 4 4 2 2 x x x x x d) 1 : 1 25 10 2 2 2 3 x x x x x x Sol: 4 1 2 2 2 x x x
, 2
2 ) 1 ( 3 x x
, x2 5x 6,
x x x 5) ( 1)
32. Factoriza todo lo que se pueda los polinomios:
a) Sol:
b) Sol:
c) Sol:
d) Sol:
e) Sol:
f) Sol:
33. Simplifica las fracciones algebraicas:
a) 4 3
3 6 6 3 3 x x x x
Sol: 2 2
1 x x b) 16 8 24 2 2 2 2 x x x x
Sol: 4
3
x x
c) 5 2
3 4 2 3 15 z xy z y x
Sol: y xz 5 d) 36 4 90 60 10 2 2 x x x
Sol: 2 6
15 5
x x
e) 7 6
4 5 6 16 16 2 4 2 x x x x x
Sol: 8 2
1
x x
34. Resolver las ecuaciones de primer y segundo grado:
a) 3 0
9 5 4 6 x x
b) (4x + 1)2 = 7x2 + 8x + 5 c) 6 ) 1 ( 3 4 2 5 3 ) 1 (
2 x2 x2 x x x
d) ( x + 2 ) ( x – 1 ) – ( x + 2 ) ( 3x – 5 ) = 0
e) 3 ( x – 1 ) ( x + 2 ) = 3 x – 6 f) 6(1 )
3 3 2
2
1 x x x
x g) 3 1 3 1 3 2 1 2 x x h) 3 3 ) 1 (
2 x2 x x x
i) 10 5 8 5 6 2 2 2
2 x x
x j) 12 17 3 1 4 1 3 2 3 2
2 x x
x
Sol: a) x = 64/5; b) x = 2/3, x = - 2/3; c) no tiene; d) x = 2, x = - 2; e) x = 0, x = 0;
f) x = 42/37; g)
6 48 6
x ; h) x = -1, x = 1; i) x = - 2, x = 1; j) x = - 2, x = 1)
36. A Perico le preguntan por su edad y contesta: Si al doble de mi edad se quitan 17 años, se obtiene lo que me falta para llegar a 100. ¿Qué edad tiene Perico? (sol: 39 años)
37. La edad de un padre de familia es el triple de la de su hijo y dentro de 16 años sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene cada uno? (Sol: 16 y 48 años)
38. Resuelve
a)
5 1 5 3 5 3 ) 1 2 (
2 x x x
x (Sol: No tiene)
b) 2 8 1
2 1 3 2 1
3x x x x2 (Sol: 3/2 y ½)
c)
6 1 3
1 2
1
2x2 x x
(Sol: -1/2,2/3)
d) 4x2 (x 2)2 4x(x 2) (Sol: x = 2)
39. Calcula dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195. (Sol: 13 y 15, - 13 y – 15)
40. Si a la cuarta parte del cuadrado de un número le sumamos la mitad de dicho número, la suma es 2. ¿De qué número se trata? ( Sol: 2 y – 4)
41. Resuelve las ecuaciones bicuadradas:
a) Sol: ,
b) Sol:
c) Sol: No tiene
d) Sol: ,
e) Sol:
f) Sol: ,
42. Resuelve gráficamente el siguiente sistema:
y x y x
y x
2 2
5 2
Sol: (x = 3, y = 1)
43. Resuelve los siguientes sistemas:
1 4
3
5 3
y x
y y
x
6 2
3 4
2
y x
y x
15 4
2 • 3 5
13 4 9
12 5
7 4 11 7
3 5 8
x y
x
x y y
x
12 2 8
10 7 2
x x y
x y x
4 3 8
1 3 2
3
12 7 6
2 1 4
2 3
y x
x y
1 3
2 6
1 5
y x
y x y
x
(Sol: a) x = - 48/11, y = 20/11; b) x = 4, y = 4; c) x = 10, y = 7; d) x = - 1, y = 2; e) x = 3, y = 2 ; f) x = - 1, y = 2
44. Resuelve los sistemas:
a) b) c)
b) e)
Sol: a) ; b) c) ;
d) e)
45. He pagado 55,72€ por una camiseta y un pantalón que costaban 70€ entre los dos. En la camiseta me han hecho un 18% de descuento, y en el pantalón un 22%. ¿Cuál era el precio original de cada artículo? (Sol: 28 y 42€) 46. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la de su hijo, y hace 24 años su
edad era 10 veces mayor que la de su hijo? (Sol: 54 años) 47. En un cesto hay 51 manzanas más que en otro. Tres cestos iguales al primero, sólo
contendrían 5 manzanas más que siete cestos iguales al segundo. ¿Cuántas manzanas contiene cada cesto? (Sol 88 y 37 manzanas) 48. En un grupo hay 23 alumnos, chicos y chicas. Un día faltan 3 chicos y 2 chicas, y
ese día hay doble número de mujeres que de hombres. ¿Cuántos chicos y chicas
hay? (Sol: 14 chicas y 9 chicos)
49. Un padre promete a su hijo 5 €. por cada problema bien resuelto, a condición de que su hijo le da 3 €. por cada problema mal resuelto. En la clase proponen al chico 16 problemas y resulta que padre e hijo no se deben nada. ¿Cuántos problemas ha resuelto bien y cuántos mal? (Sol: 6 bien y 10 mal) 50. El año que nació Cervantes (S. XVI => 1 5 X Y) está representado por un número de 4 cifras cuya suma es 17, y la cifra de las unidades excede en 3 a las de las
51. A dice a B: hace 7 años mi edad era cinco veces la tuya, pero ahora solo es el triple. ¿Qué edad tiene cada uno? (Sol: 14 y 42 años) 52. Hemos mezclado aceite de oliva de 3,5 €/l con aceite de girasol de 2 €/l para obtener 50 l de mezcla a 3,08 €/l. Calcula la cantidad de aceite de oliva y de girasol que hemos mezclado (Sol: Oliva: 36 l, Girasol: 14 l)
FUNCIONES
53. De las siguientes gráficas ¿cuáles corresponden a funciones?
Sol: La a y la c
54. Observa la gráfica de la función y responde las preguntas:
a. Calcula el dominio
b. Calcula los puntos de corte con los ejes c. Estudia la continuidad
d. Estudia el crecimiento
e. ¿Tiene algún máximo o mínimo relativo? ¿En qué puntos?
Sol: a) 3,03 b) No corta a los ejes c) Es continua en todo su dominio. d) Decrece en , 3 1'5,0 0,1'5 3, Crece en 3, 1'5 1'5, 3 e) Tiene un máximo relativo en el punto 1'5, 1 y un mínimo relativo en el punto
55. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto P en cada uno de los casos que siguen:
a) P ( 12, -3 ) Sol: y = - 0,25 x
b) P ( 5/4 , 6/5 ) Sol: y = 24/25 . x
56. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas siguientes: a) -2x + 8y = 5 b) 7x – 3y = 2
c) 4x – 3y –12 = 0 d) 4y = 8
(m=1/4, n= 5/8) (m=7/3 , n= -2/3) (m=4/3 , n= - 4) (m=0 , n= 2) 57. Comprueba que el punto (17, 68) pertenece a la recta y = 5x 17.
58. Tenemos dos mozos de almacén que se dedican sólo a descargar camiones en Mercazaragoza.
El mozo A cobra 900€ brutos al mes.
El mozo B cobra 200€ fijos, y 100€ por cada camión que descarga
a) Crea tú una tabla de valores para cada uno donde se relacionen las variables “nº de camiones descargados”,“sueldo”. ¿Cuál es la dependiente?
b) Dibuja en los mismos ejes, las funciones del sueldo de ambos mozos.
c) ¿Cuántos camiones debe descargar el mozo B para cobrar lo mismos que A? Obtén la fórmula general de ambas funciones.
59. Escribe la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de cada una de las siguientes rectas.
a) b)
(m = -2, n= 0 , y = - 2 x) (m = - 1/3, n= 2, y= -1/3x +2) 60. Representar las siguientes rectas:
a) y = -x + 4 b) y = x/2 - 3
c)
5 9 8x
61. Escribir la ecuación de las rectas y representarlas: a) Recta que pasa por los puntos (-2,3) y (6,-4)
8 10 8
7
:y x
sol
b) Recta que pasa por (3, 2/5) y su pendiente es –3/4
20 53 4
3
:y x
sol
c) Pasa por el punto (2,2) y su ordenada en el origen vale –3; 3 2 5
:y x
sol
d) Su pendiente es 2 y corta al eje de ordenadas en el punto (0, -1) sol:y 2x 1
e) Recta horizontal que pasa por el punto (2,-3) sol: y=-3
f) Recta vertical que pasa por el punto (1, 5) sol: x=1
62. Escribe la ecuación de estas funciones, calcula también m y n.
63. Representa gráficamente las funciones cuadráticas calculando previamente el vértice, los puntos de corte con los ejes y haciendo una tabla de valores:
a) b) c) d) e)
64. Relaciona cada gráfica con su ecuación
GEOMETRÍA
65. ¿Cuánto miden los ángulos X e Y? Sol: X=50°, Y=100°
66. Calcula el valor de los ángulos X, Y, Z (Sol: X 51,4°; Y 128,6; Z 231,4)
67. Calcula el valor de los ángulos (Sol: )
68. Tenemos un triángulo inscrito en una circunferencia. Si el arco AC mide 40° calcular cuánto miden los ángulos CBA, CAB, ACB (Sol: CBA=20°; CAB=90°; ACB=70°)
69. Hallar la altura del triángulo usando el teorema de Pitágoras (Sol: h=12 cm)
71. Calcula los lados desconocidos del siguiente triángulo sabiendo que su perímetro es 36 cm. (Sol: AB mide 14,4 cm y AC mide 11,6 cm)
72. Calcular el área de las siguientes figuras:
a) Un cuadrado, sabiendo que su diagonal mide 12m (Sol: área= 72 cm2) b) un triángulo isósceles de lados 5 dm, 5dm, 6 dm; y otro equilátero de lado 8cm.
(Sol: área = 12 dm2 , área= 27,71 cm2) c) Rombo, sabiendo que el perímetro es de 50 cm y que la diagonal menor es
igual a tres cuartos de la diagonal mayor. (Sol: Área = 150 cm2) d) Un trapecio isósceles de base mayor 16 cm, base menor 10 cm y lados iguales 5
cm. (Sol: área= 52 cm2) e) El área sombreada de las figuras: (Nota: el triángulo de la figura es equilátero)
(Sol: área= 18,24 cm2 ; área= 5,77 cm2)
73. Hallar la superficie total y el volumen de las siguientes figuras:
a) Prisma de base cuadrada de lado 7 cm y altura 14 cm. (Sol: A= 490 cm2, V=686cm3) b) Prisma hexagonal de arista básica 8 cm y altura 12 cm.
e) f) (Sol:Aplateral=6,32 cm, A=66´6cm2, V=32 cm3)
(Sol:Aplateral=12,49 cm, Ap base= 3,46 cm A=191,44 cm2, V=166,08 cm3)
g) h)
(Sol: A=16,64 π cm2, V=12 π cm3; Sol: A=200 π cm2, V=320 π cm3)
i) Esfera de radio 5 m (Sol: A=100 π cm2, V=166,67 π cm3)
74. Calcula el volumen de las siguientes figuras:
b)
c) d)
(Sol: a), V = 160 m3; b) V = 32 πm3; c) V = 324π cm3; d) V = (384π/3) cm3;
75. Calcula el volumen de los siguientes troncos:
76. Metemos en una caja ortoédrica de base 25 cm por 20 cm y 16 cm de altura, sesenta bolas de radio 2´5 cm. ¿Cuántos litros de aceite caben todavía en la caja?
77. Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el área de esta figura:
ESTADÍSTICA
78. Se realizó una encuesta a un grupo de 25 jóvenes sobre el número de horas que dedican diariamente a hacer deporte y se obtuvieron los siguientes resultados:
3 4 2 0 1 1 4 3 2 0 2 2 1 0 1 0 2 3 2 2 1 2 0 4 3 a) Elabora una tabla de frecuencias.
b) Representa gráficamente la distribución.
c) Calcula, de forma razonada (completando la tabla) media, mediana y moda. d) Calcula, de forma razonada (completando la tabla de frecuencias) rango o recorrido, varianza y desviación típica.
79. En un test sobre satisfacción en el trabajo, a 90 empleados de una fábrica, se obtuvieron los siguientes datos:
Puntuaciones (38,44 ]
(44,50] (50,56] (56,62] (62,68] (68,74] (74,80]
Nºde trabajadores 4 12 10 30 20 8 6
Calcula la media, la varianza y la tabla de frecuencias
80. Se han medido el peso (en kg) y el número de calzado en un grupo de personas, obteniéndose los resultados que aparecen en la tabla.
a) Calcula las media, varianza y desviación típica de cada variable.
b) Calcula los coeficientes de variación de cada una y di cuál de las dos variables es menos dispersa.
81. Las notas obtenidas en un examen de matemáticas por las alumnas y los alumnos de una clase de 4º ESO vienen reflejadas en esta tabla:
a) Calcula la media, moda y mediana.
b) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación. Si en otra clase de 4º ESO la media de las notas en matemáticas es 5,3 con una de desviación típica de 2,5, en cuál de las dos clases hay una mayor dispersión de las notas.
X: PESO 52 50 53 54 54 55
Y: Nº DE CALZADO 35 36 37 38 39 36
NOTA 2 3 4 5 6 7 8 9 10
82. En la siguiente tabla hemos resumido los resultados obtenidos al lanzar un dado 120 veces:
Nº OBTENIDO 1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
Nº DE VECES 1 3 2 2 1 9
a) Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación.
b) Calcula Me, Q1, Q3 y la moda
PROBABILIDAD
83. Escribimos cada una de las letras de la palabra AMIGO en un papel diferente y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar.
a) Escribe los sucesos elementales de este experimento aleatorio. b) Escribe el suceso C= {obtener consonante}
84. Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Sean los sucesos
A = {sacar copas} B= {sacar as} C= {no sacar figura}
a) ¿Es una experiencia aleatoria? ¿Por qué?
b) Calcula las probabilidades asociadas a los sucesos anteriores.
85. En una urna hay 50 bolas numeradas del 1 al 30. Sacamos una. a) Escribe el espacio muestral.
b) Halla la probabilidad de que el número de la bola no termine en 6.
c) ¿Cuál es la probabilidad del suceso S = {sacar un número menor que 10 o mayor que 20}
86. Lanzamos una moneda al aire tres veces seguidas. a) Dibuja el diagrama de árbol
b) Calcula la probabilidad de que salgan tres caras. c) Salgan al menos dos cruces.
87. Pilar tiene en un cajón de su armario 3 bufandas rojas, 2 negras y una blanca y en otro tiene 4 gorros rojos, 2 verdes y 5 negros.
a) Si elige al azar un gorro y una bufanda ¿Cuál es la probabilidad de que ambas prendas sean del mismo color?
