MACO U1 A1 LAPB

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INDUCCIÓN MATEMÁTICA 24 de julio de 2015 Autor: Laura Pontón

Análisis Combinatorio

Unidad 1 Actividad 1

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Análisis Combinatorio | 24/07/2015

Análisis Combinatorio

Unidad 1 Actividad 1

Resuelve los siguientes ejercicios usando inducción matemática.

1. Demuestra que . Parte de la definición recursiva de factorial.

Recursividad: Es la propiedad de aquellas secuencias en las que cualquier término se puede calcular conociendo los precedentes. También se le conoce como recurrencia. (upct.es, 2015)

En matemáticas, una relación de recurrencia es una ecuación que define una secuencia recursiva; cada término de la secuencia es definido en función de términos anteriores. Una ecuación recurrente es un tipo específico de relación de recurrencia. Una relación de recurrencia para la sucesión es una ecuación que relaciona con alguno de sus predecesores: (Salazar, 2015) Definición por la relación de recurrencia:

En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igualdad se le nombra ecuación recurrente.

Ejemplos:

Tal como se ve se aplica la recursividad de la función factorial.

Ahora, para el 3er paso de la inducción Ejemplo:

Para

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Análisis Combinatorio | 24/07/2015 Demostración:

Para :

∎ Para

Como es un número natural, el factorial existe y por recurrencia, también existe.

∎

∎ ...

Tesis de inducción:

Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que:

∎

2. Para cualquier conjunto , su conjunto potencia, se define como el conjunto formado por todos sus subconjuntos. Demuestra que si tiene elementos, entonces

Ejemplo:

∴ Ahora:

Comentario [LAPB1]: ecuación recurrente

Comentario [LAPB2]: ecuación recurrente

Comentario [LAPB3]: Conclusión

Comentario [LAPB4]: Conjunto potencia

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Comprobación

Para :

Podemos decir que todo conjunto contiene al conjunto vacío, es decir, que el conjunto vacío es el subconjunto de todos los conjuntos. (Infante, 2015)

Entonces, su potencia:

∎ Para

Sea , se cumple que si cualquier conjunto tiene elementos, su conjunto potencia tendrá elementos.

Ejemplo, sea

∎ Para

Sea , se cumple que si cualquier conjunto tiene elementos, su conjunto potencia tendrá

elementos.

Ejemplo,

sea

Comentario [LAPB5]: Tenemos un conjunto con un elemento:

Comentario [LAPB6]: conjunto potencia:

Comentario [LAPB7]: Siendo 3 elementos

Comentario [LAPB8]: Siendo 8 elementos

(5)

∴

∎ ...

∎

3.

Para ...

∴

∎

Comentario [LAPB10]: Sustituyendo el valor directamente al valor de la sumatoria:

(6)

Para

....

Sea que sea

∴

(7)

Análisis Combinatorio | 24/07/2015 Para

:

Entonces, por demostrar ...

∴

Comentario [LAPB12]: Por la propiedad de la sumatoria:

Comentario [LAPB13]: Por las propiedades de las sumatorias:

Comentario [LAPB14]: Sustituyendo el resultado del paso anterior:

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∎ ...

∎

4.

Para

Comentario [LAPB15]: Factorización

Comentario [LAPB16]: Demostramos que:

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Análisis Combinatorio | 24/07/2015 Para

∎ Para

Para

∴

Para

Sustituyendo en la propiedad de la sumatoria:

(10)

...

∴

∎

Comentario [LAPB19]: por propiedad de las sumatorias:

Comentario [LAPB20]: Se desprende que del paso anterior:

Comentario [LAPB21]: Sustitución

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Análisis Combinatorio | 24/07/2015 Conclusión:

∎

5. Un polígono es una figura geométrica plana formada por una sucesión finita de segmentos rectilíneos, unidos consecutivamente hasta encerrar una región. Los segmentos rectilíneos que lo forman son sus lados, y los puntos en que se unen son los vértices. Lo llamamos convexo si sus ángulos interiores —los que forman los lados dentro del polígono— son menores a 180°.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

En la figura se muestra diversos polígonos, (b), (d), (e) y (g) son convexos. La diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices que no son consecutivos.

En esta figura se muestran en rojo algunas diagonales de los polígonos convexos de la figura anterior.

¿Qué ocurre con el triángulo? ¿Tiene diagonales?

Usando el principio de inducción matemática, demuestra que un polígono de lados tiene exactamente diagonales.

Comentario [LAPB23]: Definición

(12)

Para

∎ Para

Para

Ahora, si realizamos la suma de un lado más al número de diagonales de lados, tendríamos:

lados del polígono, entonces se tendrían ahora diagonales, más una diagonal que se forma al aumentar este lado, entonces, la suma de diagonales es:

∎

Conclusión: Tesis de inducción: Se demuestra que es verdadera, o bien, se tiene que:

∎ Con esto se demuestra que:

Comentario [LAPB24]: Factorizando y reduciendo:

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Análisis Combinatorio | 24/07/2015 6. Uso de identidades

a) Una ruleta tiene los enteros de 1 a 25 colocados en forma aleatoria. Demuestra que,

independientemente de su posición en la ruleta, existen tres de ellos adyacentes cuya suma es al menos 39.

Observaciones:

Fuente de consulta: (Grimaldi, 2004, pág. 196) Los números son:

Independientemente de la forma en la que se coloquen, una combinación de las tripletas sería:

Se observa que cada elemento aparece exactamente 3 veces Si sumamos todos los elementos, en el caso ordenado:

Tal que

Siendo la suma efectiva independientemente del ordenamiento.

Comentario [LAPB26]: Aplicando la propiedad:

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Ahora, vamos a suponer, para que el resultado sea falso, según el texto del problema, que la suma de cada tripleta sería:

Se contabilizan 25 tripletas:

Por Excel:

Num Tripleta Tripleta sumas menor de 39 conteo

1 1,2,3 6 si 1

2 2,3,4 9 si 2

3 3,4,5 12 si 3

4 4,5,6 15 si 4

5 5,6,7 18 si 5

6 6,7,8 21 si 6

7 7,8,9, 24 si 7

8 8,9,10 27 si 8

9 9,10,11 30 si 9

10 10,11,12 33 si 10

11 11,12,13 36 si 11

12 12,13,14 39 no

13 13,14,15 42 no

14 14,15,16 45 no

15 15,16,17 48 no

16 16,17,18 51 no

17 17,18,19 54 no

18 18,19,20 57 no

19 19,20,21 60 no

20 20,21,22 63 no

21 21,22,23 66 no

22 22,23,24 69 no

23 23,24,25 72 no

24 24,25,1 50 no

25 25,1,2 28 si 12

suma 975

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Análisis Combinatorio | 24/07/2015 Observamos la suma de las tripletas es 975, y se forma 25 de ellas.

Aplicando esta desigualdad a la sumatoria:

Pero como tenemos que:

∴

Que es una contradicción

∴

∎

b) Determina el entero positivo para el cual

Siendo las sumatorias que conocemos:

Para:

Entonces, la igualdad:

(16)

Queda como:

Para el estudio discreto, tenemos:

Ahora:

El otro valor válido sería cero, pero es evidente

∎

c) Considera las cuatro ecuaciones siguientes:

(1) 1 = 1

(2) 2 + 3 + 4 = 1 + 8

(3) 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27

Comentario [LAPB27]: Reduciendo y resolviendo:

Comentario [LAPB28]: Igualando a cero:

Comentario [LAPB29]: Factorizando y resolviendo

Comentario [LAPB30]: Comprobación

Comentario [LAPB31]: Sustitución

(17)

Análisis Combinatorio | 24/07/2015 (4) 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64

Conjetura la fórmula general sugerida por estas ecuaciones y demuéstrala.

Conjetura matemática:

La conjetura consiste en una afirmación que, al no haber sido probada pero tampoco refutada, se concibe como cierta. Sólo cuando se haya podido demostrar su veracidad, la conjetura pasará a ser un teorema y, por lo tanto, podrá usarse para desarrollar otras demostraciones formales.

Partimos de la suposición que:

Puede ser una de:

Puede ser:

Análisis para los primeros términos de cada sumatoria:

Pues satisface para

Ahora, tenemos que deducir los primeros términos de cada ecuación:

Comentario [LAPB32]: Para los segundos términos de la ecuación tenemos:

(18)

La posibilidad:

No cumple

La posibilidad:

Cumple

Para las otras dos:

Suponiendo que:

Se deduce que el consecutivo puede ser sumando.

Por análisis

Tal que por secuencia, tenemos que

∴

Comentario [LAPB33]: Cumple para:

Comentario [LAPB34]: Cumple para:

(19)

Entonces, para esta sumatoria, el valor del para el valor de, el elemento es:

Lo que podemos deducir como:

El elemento es , lo que podemos decir que es:

Ahora, la verdadera conjetura podría ser:

Para demostrar, desarrollamos:

Para la sumatoria, es una constante:

Como sabemos que:

∴

Comentario [LAPB35]: Por deducción tenemos que:

Comentario [LAPB36]: El elemento es:

(20)

∴

∎

Bibliografía

Definicion.de. (24 de Julio de 2015). definicion.de. Obtenido de http://definicion.de/conjetura/

Grimaldi, R. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics. Boston: Pearson.

Infante, J. (24 de Julio de 2015). ipn.mx. Obtenido de http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/numeros.PDF:

http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/numeros.PDF

Sáez, E., & Szantó, I. (24 de Julio de 2015). mat.utfsm. Obtenido de http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf:

http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf

Salazar, A. (24 de Julio de 2015). Atlantic International University. Obtenido de cursos.aiu.edu:

http://cursos.aiu.edu/Matem%C3%A1ticas%20Avanzadas%20para%20la%20Ingenier%C3%ADa%2 0en%20Sistemas/PDF/Tema%203.pdf

upct.es. (24 de Julio de 2015). Universidad Politécnica de Cartagena. Obtenido de ocw.bib.upct.es:

http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/7820/mod_resource/content/1/085_112_capitulo_6_REC URRENCIA.pdf

Comentario [LAPB37]: Desarrollando, ordenando y factorizando: