Mat 4_tema 7_ Trigonometría 2.pdf

Tema 7

Trigonometría 2.

Ampliación e aplicacións

© Xerardo Méndez

GRAOS E RADIÁNS

Un ángulo plano é a porción de plano comprendida entre dúas semirrectas cunha orixe común, o vértice. Para a súa medición utilízanse graos e

radiáns.

Porción de plano

comprendida entre dúas semirectas perpendiculares. O ángulo recto utilizouse para definir a primeira unidade de medida dos ángulos: o grado

sexaxesimal, definido como a nonaxésima parte do

ángulo recto.

Un grao sería a magnitude dun ángulo noventa veces menor ca un ángulo recto.

Vértice

lado

lado

ÁNGULO

O grao divídese en minutos e segundos.

Desígnanse con letras maiúsculas e denótanse

respectivamente: 15’ = 15 minutos 12”=12 segundos Un segundo é a sesaxésima parte dun minuto

Un minuto é a sesaxésima parte dun grao,

Unha particularidade destas unidades é que non se acomodan ao sistema decimal, polo que as operacións con ángulos expresados en graos, minutos e segundos requiren, como se sabe,

procedementos específicos.

A medida dun ángulo denótase

17°= dezasete graos

17º12’53” = dezasete graos doce minutos e cincuenta e tres segundos

Radiáns. O radián é unha medida dos

ángulos que, a diferenza do

anterior, emprega números reais para a medida dos ángulos.

Ademais de empregar números reais – o que facilita

enormemente todas as

operacións, o radián defínese a partir dunha relación entre a circunferencia e os ángulos,

Lembremos que un arco é a distancia entre dous radios da circunferencia medida sobre esta

arco Radios

Dous radios definen un ángulo: a cada ángulo

corresponderalle unha lonxitude de arco distinta

S’ S

A A’

De maneira que ao ángulo total da circunferencia

corresponderalle a lonxitude desta

S=2R

R

S=R R

1

Radián Diremos entón que un ángulo

mide 1 radián cando o arco que determina na

circunferencia mide o mesmo que o radio

Podemos determinar agora facilmente a relación entre graos e radiáns:

O ángulo en graos

correspondente a toda a circunferencia son catro ángulos rectos: 90·4=360º

RELACIÓN GRAOS -RADIÁNS

O ángulo en radiáns

correspondente a toda a circunferencia debe medir L/R=2 radiáns.

A relación entre arco, ángulo e radio é: _{S= A· R}

GRAOS, MINUTOS E

SEGUNDOS

Operacións con ángulos en graos

Suma de ángulos

Consideremos dous ángulos A e B de magnitudes:

A = 27° 30’47” B= 12° 35’45”

Queremos efectuar a suma A+B para saber a magnitude do

ángulo resultante

A = 27° 30’47” B= 12° 35’45”

A+B

Para efectuar a suma numérica colocamos as unidades homoxéneas en columnas e sumamos cada columna

27° 30’ 47” 12° 35’ 45” +

39º 65’ 92” De superar os sesenta

segundos restamos sesenta e sumamos 1 na columna dos minutos

De superarse os sesenta minutos restamos sesenta e sumamos 1 na columna dos graos

39º 65’ 92” +1 -60”

40º 6’ 32” A+B=

Resumindo: A B

27º 30' 47” 12º 35' 45”

39º 65' 92” 60 32 +1

66

60

40º 6' 32”

-+1

A + B

Considéranse ángulos positivos aqueles que se miden no

sentido antihorario (contrario ao xiro das agullas dun reloxo) ou levoxiro

+30º -30º

E negativos aos que se contan no sentido horario ou dextroxiro (no mesmo sentido que as

agullas do reloxo)

Resta

Restar ángulos equivale a sumar o oposto:

A-B = A + (-B)

27° 30’ 47” -12° -35’ -45” +

15º -5’ 2” A = 27° 30’47” B= 12° 35’45” EXEMPLO

-B= -12° -35’ -45”

Sumamos como no caso anterior

Para eliminar o resultao negativo sacamos unha unidade da

columna anterior e sumamos 60’

15º -5’ 2” 14º -5’ 2”

+60

14º 55’ 2”

B A

Produto por un escalar

O procedemento é parecido ao da suma e ao da resta: temos que multiplicar por separado graos minutos e segundos

54º 27’ 46” x 2 108º 54’ 92”

Os resultados que excedan de sesenta divídense entre esa cifra 92 60 1 32 O cociente súmase nas unidades

seguintes, e o resto déixase

x 2 108º 54’ 32”

+1

54º 27’ 46”

108º 55’ 32”

División

A división dun ángulo faise tamén por partes, e como nos anteriores casos temos que proceder ordenadamente, empezando pola unidade maior.

54º 27’ 46” 3 18º 24 0 9’ 27’ 0 46 15 16 1

55º 27’ 46” 3 18º 25

1 29’

87’ 27

0

46

15

16 1 O resto na división dos grados

transfórmase en segundos, a sumar aos que xa tiñamos, e así sucesivamente sempre que

fixera falta

+60

Transformación de decimais en minutos e segundos

Unha cantidade de graos expresada como un decimal pode transformarse en minutos e segundos da seguinte forma:

1.- Tómase a parte decimal e faise a proporción con cen e sesenta:

2.- Co decimal que queda facemos o mesmo para obter os segundos

36,12º son:

36º7’1,2”

EXTENSIÓN DO CONCEPTO

DE ÁNGULO E RAZÓNS

TRIGONOMÉTRICAS

Extensión do concepto de ángulo

O concepto de ángulo

relaciónase intrinsecamente coa circunferencia xa que os puntos dunha circunferencia definen todos os posibles ángulos que poden formarse con vértice nun punto O.

O

A(x,y)

C(x”,y”)

B(x’,y’)

A(x,y)

x

y

x’

y’ Ángulo A

Está claro que un punto que dá voltas arredor doutro describe máis dunha

circunferencia arredor dese punto. Cal é entón o ángulo que correspondería a un tal movemento?

Unha circunferencia enteira ten 360º: o que pasemos de aí indica que demos máis dunha volta. Dividindo a magnitude do ángulo entre 360 teremos o número de voltas e máis un ángulo equivalente menor

Ángulos e xiros

Sexa A a medida do ángulo:

A 360º k A’

750º 360º 2 30º

Exemplo:

En radiáns pasaría o mesmo:

A 2

k A’

11 2

Razóns trigonométricas na circunferencia

A(x,y)

x

y

Ángulo A

Nun triángulo definíamos as razóns trigonométricas a partir de:

Cateto oposto=a Cateto oposto=b

Hipotenusa = c

Como: A

Trasladando este ángulo sobre a circunferencia vemos que

a=y, b=x c=R

De maneira que podemos definir:

Que a partir de agora serán as definicións de razón trigonométrica que consideraremos. Esta

O

C(x”,y”) =(-2,-3)

O B(x’,y’) =(-2,4)

EXEMPLO:

Se a circunferencia ten radio 5, e as

coordenadas dos puntos son :

RAZÓNS

TRIGONOMÉTRICAS

XENERALIZADAS

A definición das razóns coas coordenadas permite definir as razóns trigonométricas dos ángulos de 0º e 90º, a pesar de non ter neses puntos

ningún triángulo

(0,R)

(0,-R)

(R,0) (-R,0)

0º 90º

180º

270º

360º

E o mesmo para os demais ángulos.

Ángulos

0° 90° 180° 270° 360°

Raz

ó

n

s

Seno _{0 1 0 -1 0}

Coseno _{1 0 -1 0 1}

Tanxente _{0 ±∞ 0 ±∞ 0}

CIRCUNFERENCIA

GONIOMÉTRICA OU UNITARIA

Unha das características das razóns trigonométricas é que son independentes do radio da circunferencia na que se

definen: en particular, a circunferencia de radio 1 recibe o nome de

circunferencia goniométrica, palabra que procede do

grego “gonios” ángulo e da raíz latina “metr” medida, de maneira que o adxectivo ven significar circunferencia da medida dos ángulos, porque nesta circunferencia as razón trigonométricas coinciden coas coordenadas dos puntos da circunferencia que definen os ángulos.

Utilizando a circunferencia goniométrica, ou

circunferencia unitaria, podemos facilmente ver

como cambian os signos das razóns nos diferentes

I

IV

II

III

I

IV

II

III

I

IV

II

III

I

IV

II

III

Ángulos dos cuadrantes en radiáns

x x y y x y

I I I

IV IV IV

II III II III II III x x y y x y

I I I

IV IV IV

II III II III II III I IV II III x y I IV II III

I II III IV

SENO + + -

-COSENO + - - +

TANXENTE + - +

-Utilizando a circunferencia

unitaria, os valores do seno e do

coseno son iguais aos valores das coordenadas:

E polo tanto, os signos das razóns son os das

RELACIÓNS ENTRE

RAZÓNS

TRIGONOMÉTRICAS

Ángulos positivos e negativos

Cal é o significado do signo nos ángulos? O sentido no que se percorre a

circunferencia:

Na figura podemos ver que o sentido positivo é antihorario (dextroxiro) e o negativo é horario (levoxiro) I IV II III x y I IV II III I IV II III y I IV II III Ángulo positivo Ángulo negativo x Ángulos equivalentes

Son os que teñen as mesmas razóns trigonométricas.

Debido a que estas varían de forma distinta nos diferentes cuadrantes, soamente serán equivalentes os ángulos que se diferencien nun número enteiro de voltas completas de circunferencia.

y y

α α+360º

P P

Ángulos suplementarios

A A

180-A

y y'

x x'

Son os que suman 180º. Se un dos ángulos é A, o outro será 180 - A

As razóns de ángulos suplementarios verifican:

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a relación entre as razóns:

Ángulos que se diferencian en 180º

A

180+A

y

y' x

x'

Os ángulos A e 180+A da figura diferéncianse en 180º.

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a

relación entre as razóns:

As

coordenadas x e x’ de A e 180+A son opostas As coordenadas

A y

y' x

x'

-A=360-A

Ángulos opostos

Os ángulos A e -A da figura son opostos

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a

relación entre as razóns:

As coordenadas x e x’ de A e -A coinciden

As coordenadas y e y’ son opostas

NOTA:

Obsérvese que –A e 360-A son o

Ángulos complementarios

Son os que suman noventa graos, ou o que é o mesmo, son A e 90 –A.

Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a

relación entre as razóns:

As

coordenadas y de A e x’ de 180+A son iguais

Ángulos que se diferencian en 90º

Se un deles é A o outro

necesariamente medirá A e 90 +A. Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:

Obtemos a

relación entre as razóns:

As

coordenadas y de A e x’ de 180+A son opostas As coordenadas

APLICACIÓNS

Área dun polígono regular a partir do lado Lado=L A p o te m a = a

S= p · a 2

Para calcular a área do pentágono necesitamos calcular primeiro a apotema so coa medida do lado

En calquera polígono o ángulo entre dous radios consecutivos obtense dividindo 360 entre o número de lados A apotema divide ao ángulo central en dous triángulos rectángulos

A apotema poderémola calcular mediante a tanxente do ángulo A’:

L/2 a

A’

O único dato que realmente necesitamos para calcular a

superficie do pentágono é o lado:

Este método pódese xeneralizar a calquera polígono, de maneira que podemos escribir:

Cálculo de alturas inaccesibles

Unha aplicación interesante de é a determinación da altura de obxectos cuxo interior ou cumio é inaccesible, como montañas, edificios, grandes árbores…

A determinación da altura dun destes elementos respecto a unha superficie plana na que se sitúa un observador só require de tres medidas: unha distancia e dous ángulos, como veremos a

continuación.

h

Situándonos nun espazo plano diante da montaña medimos o ángulo que forma o cumio coa horizontal,

obtendo o ángulo A; avanzamos unha distancia d e volvemos medir o

ángulo, obtendo B _{A B}

d

h

x

Neste momento podemos plantexar as igualdades:

Tanxencias e distancias

Un satélite orbita a Terra desde unha altura h. Desde a súa posición, as visuais a Terra forman un ángulo de 8º.

Sabendo que o radio da Terra é

aproximadamente 6378 Km calcula a distancia do satélite á superficie terrestre

A figura que forman as visuais a Terra e os radios que rematan nelas é:

90º

No triángulo

rectángulo que se forma:

90º

90º 8º

4º

R d

R+d

R

R

Teoremas do seno

e do coseno

Resolución de triángulos

Resolver un triángulo consiste en determinar os seus ángulos e os seus lados.

A determinación dun triángulo require dun mínimo de

información, en xeral, pódense determinar os restantes

elementos dun triángulo sempre que se coñeza:

a) Dous lados do triángulo e un ángulo deste

b) Dous ángulos do triángulo e un dos lados deste

No caso do triángulo

rectángulo a información que se precisa é menor, xa que un dos ángulos, o recto, xa é

coñecido

A

B

C c

b

a

Teorema do seno Nun triángulo calquera, os

senos dos ángulos A,B e C son proporcionais á medida dos catetos opostos aos ángulos

(a,b, e c) A

B C c b a sin 𝐴 𝑎 = sin 𝐵 𝑏 = sin 𝐶 𝑐 𝑎 sin 𝐴 =

𝑏 sin 𝐵 =

𝑐 sin 𝑐 Matematicamente a relación

de proporcionalidade pode expresarse de calquera das dúas formas seguintes

O teorema aplícase nas igualdades binarias sin 𝐴 𝑎 = sin 𝐵 𝑏 sin 𝐵 𝑏 = sin 𝐶 𝑐 sin 𝐴 𝑎 = sin 𝐶 𝑐

Teorema do coseno

O teorema do coseno

relaciona a medida do cateto oposto a un ángulo coa

medida dos outros dous lados e o coseno do ángulo oposto

A

B

C c

b

a

O cadrado dun lado dun triángulo é igual á suma dos cadrados dos outros dous polo dobre do seu produto

multiplicado polo coseno do ángulo oposto ao cateto inicial

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 · cos 𝐴 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎c ⋅ cos 𝐵 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 · cos 𝐴

𝑎

= 𝑏

+ 𝑐

− 2𝑏𝑐 · cos 𝐴

A

B

C c

b

a

𝑎

= 𝑏

+ 𝑐

+ 2𝑏𝑐 · cos 𝐴