Funciones vectoriales de un parámetro

Curvas paramétricas y funciones vectoriales de un parámetro

Curvas paramétricas

En este ejemplo tenemos f(t)=t2 2t, g(t)=t+1. a) Cada valor del parámetro t2R corresponde a un punto de la curva. Si conectamos estos puntos para producir una curva continua, obtenemos la Figura 2.1.2 a), en la que las flechas indican la dirección en la que se generan los puntos de la curva a medida que aumenta su valor (se indica el valor correspondiente a cada uno). punto marcado en la curva).2.1.2. a) El parámetro toma cualquier valor real. La flecha indica la dirección de la curva cuando el parámetro aumenta su valor de t=0 a t=4.

La dirección de la curva paramétrica C viene dada por la dirección en la que se generan los puntos de la curva cuando el parámetro t aumenta su valor en el dominio I ⇢ R. En otras palabras, la gráfica de la curva es también el círculo de radio 4 centrado en el origen. Ejemplo 2.1.3 Supongamos que desea estudiar la curva de la Figura 2.1.4a, pero desde una perspectiva espacial (con el eje +z emergiendo hacia arriba desde la piel).

Encuentre una función vectorial que describa la curva de intersección e indique la dirección asignada por la parametrización propuesta. En la figura vemos que la curva de intersección entre el cilindro y el plano es una curva cerrada y tiene la forma de una elipse en el plano dado. Y tenemos r(t)Æ =(t,F(t)) como una función vectorial que parametriza (trivialmente) la curva que es una gráfica de la funciónF.

Tenga en cuenta que esta función vectorial asigna a la curva la dirección del movimiento de izquierda a derecha, ya que se encuentra en la dirección creciente del parámetro.

Ejercicios

En este caso vemos que enE el valor del parámetro x es el mismo valor que tomau, aproximadamente 2,83. Decimos que se trata de un problema de encuentro: si un par de objetos se mueven a lo largo de la parábola y la hipérbola, y si el parámetro representa el tiempo, ambos objetos se encuentran (y chocan) en el punto E, en el instante x = u=p. Observamos, por otra parte, que en el caso a) no hay encuentro, sino que las trayectorias simplemente se cruzan.

Si tanto x como t representan el tiempo, ¿cuál de los objetos llega primero al punto C1: el que va a lo largo de la parábola o el que va a lo largo del círculo? Nombra cinco puntos pertenecientes a la curva definida por la función vectorial: rÆ(t)= (1+t)˘ı+3t|˘ tk˘, con 1 t 2, e indica el valor correspondiente del parámetro. En caso contrario, indique un intervalo de T para el cual se obtiene la misma curva.

Analice las diferencias entre las curvas descritas de las siguientes tres maneras: .. a) ¿Se cruzan las trayectorias de estos objetos? Si es así, indique dónde (en qué punto del espacio) y cuándo (por qué valor) lo hacen. Demuestre que la función vectorial r(t)Æ = (enviado,costo,sen2t), cont 2[0,2⇡], representa la curva dada por la intersección entre la superficie del cilindro parabólico z = x2 y la superficie del cilindro circular x2+y2 =1. Dibuja la curva que representa esto. El segundo componente al cuadrado más el tercer componente suman 1, expresa la curva como la intersección de otro par de superficies. Está ubicado en la superficie de un cono.

En cada uno de los siguientes casos, encuentre una función vectorial que describa la curva determinada por la intersección entre las superficies dadas; indica el sentido de viaje asignado por su parametrización; grafico. a) El plano z =1+y, y la superficie del medio conocimiento.

Derivación e integración de funciones vectoriales

• Límite y continuidad
• Derivación
• Integración
• Ejercicios

La figura 2.2.1 ilustra el significado geométrico de la definición dada para la derivada de una función vectorial. Los vectores r(tÆ 0) y rÆ(t0+ t) corresponden a los vectores de posición de los puntos P0 y P, respectivamente, de la curva. Para t > 0 (este es el caso que se muestra en las figuras), P0!P/ apunta en la misma dirección que P0!P; pues t<0,P0!Pa apunta "hacia atrás", en contra de la dirección del movimiento (ya que entonces estaría delante de P0), pero el cociente P!0P/ volverá a apuntar "hacia delante", es decir en el sentido del movimiento. dirección de la curva paramétrica.

La tangente a la curva en el punto P0 es la recta paralela arÆ0(t0) que pasa por P0. Observemos que para indicar la orientación de la tangente se puede dar cualquier vector proporcional arÆ0(t0). Es la "mitad" de una parábola del eje x, con vértice en V(2,0) y abierta hacia la izquierda; Como curva paramétrica, también hay que decir la frase: la rama de la parábola se recorre de derecha a izquierda (o también de abajo hacia arriba), porque cuando el parámetro aumenta, la abscisa del punto correspondiente de la curva disminuye mientras que la crecimiento ordenado.

Ejemplo 2.2.8 Determinar un vector tangente en cada punto de la curva obtenida como punto de intersección entre el plano cuya ecuación es z= x y la superficie dada por la ecuación y = 3x3 z2. Comprobar que, en cada punto de la curva, el vector en cuestión es perpendicular al vector normal al plano ⇧. Para explicarlo, tenga en cuenta que dado que C es la intersección de ⇧ y S, la curva pertenece tanto al plano ⇧ como a la superficie S; en particular, C ⇢ ⇧ (lo que significa que la curva C es

Una curva suave admite en cada punto un vector tangente que varía continuamente a lo largo de la curva. En algunas situaciones encontraremos curvas que se forman uniendo sucesivamente varias curvas suaves; una curva perfecta se llama exactamente suave. Un ejemplo es la arista curva de un triángulo formada por tres segmentos lisos (lados del triángulo); Se necesitará una función vectorial diferente para cada sección para definir la curva completa.

¿Cómo podría parametrizar el límite del triángulo con vértices en (0,0), (1,0) y (1,1), intersecados en ese orden? Tenga en cuenta que la dirección del movimiento de la curva es tal que el área triangular que encierra está siempre a la izquierda de la curva límite; Hablaremos un poco más adelante sobre la orientación de una curva cerrada con respecto a la región encerrada por ella). La curva cambia bruscamente de dirección en cada uno de los vértices, donde, como vemos, no existe una recta tangente (ya que el vector cero no tiene dirección definida); Tampoco se puede obtener el vector tangente. 3 (tenga en cuenta que t3 = 0 es una solución de la segunda ecuación pero no de la primera). 3)=3˘ıEn coordenadas cartesianas la curva se expresa como y=±p.

En los siguientes casos, grafique la curva plana generada por rÆ(t), prestando atención al dominio natural de cada función vectorial. Demuestre que la curva definida por rÆ(t)=(precio, precio enviado,3) tiene dos rectas tangentes en el punto (0,0,3).

Longitud de una curva paramétrica

Función longitud de arco

El movimiento del caminante se puede representar mediante la curva C:rÆ(t)=(f(t),g(t),h(t)) en función del tiempo, partiendo de la posición determinada por rÆ(a) en el momento t = a . Así, se define una función, paratentreayb, que da una medida de la longitud de la curva C:rÆ(t) para cada uno de los puntos iniciales. Según el teorema fundamental del cálculo1, la derivada des(t) es igual al integrando evaluado ent.

Recordamos del Análisis Matemático I que si f(x) es invertible, sabemos que f 1 existe y que la derivada de f 1 es la inversa (multiplicación) de la derivada de f. Vemos que expresa el tiempo transcurrido en función del camino recorrido, quet:[0,LC]![a,b], y que su derivada viene dada por.

Ejercicios

Compare con los cálculos realizados por otros colegas, que pueden haber usado una parametrización diferente (tal vez incluso configuraron la hélice con un eje diferente) y verifique que todos obtienen el mismo resultado de longitud.

Aplicación: Movimiento en el espacio

Ejercicios

Encuentra la velocidad, aceleración y velocidad de un objeto si la posición está dada por rÆ(t) = t ı˘+t2 |˘+2 ˘k. Determine para t 0 los vectores velocidad y posición de un objeto cuya aceleración está dada por aÆ(t)= ˘ı+2 ˘|, sabiendo que la velocidad y posición iniciales sonÆv(0)= k˘yrÆ(0)=0 , Æ respectivamente. La función vectorial rÆ(t) = Acostı˘+ Asent ˘|, con t 2 [0.2⇡]en segundos, describe la posición de un objeto que realiza una trayectoria circular alrededor del origen, a una distancia A de él.

5 costo, 2t , donde t 0 indica el tiempo en segundos. a) Suponiendo que el camino recorrido por el objeto se mide en metros y comienza en el punto (0, p.

Actividades integradoras y autoevaluación

Actividades integradoras

Autoevaluación