A un grafo se le puede asociar una matriz de forma que lo caracterice, ello permite trabajar con herramientas algebraicas que son mucho m´as amigables que los propios grafos. B´asicamente existen dos matrices que se pueden asociar a un grafo: la matriz de adyacencia y la matriz de incidencia. Pero tambi´en se utiliza una tercera matriz, la laplaciana, aunque su uso est´a muy vinculado a la teor´ıa espectral de grafos. La contrapartida de utilizar matrices asociadas a grafos es que los v´ertices y/o los arcos del grafo se han de numerar si no lo estaban. Se ha de tener presente que tal numeraci´on no tiene porqu´e ser nativa al grafo y, si ´este fuese el caso, tal numeraci´on ser´ıa totalmente arbitraria. Por lo tanto, un grafo que nativamente no ten´ıa los v´ertices y/o arcos numerados se le podr´an asignar m´as de una de estas matrices, no hace falta decir que todas ellas son igualmente v´alidas.
2.3. Caracterizaci´on matricial de un grafo
2.3.1 Matriz de adyacencia
Una caracterizaci´on muy ´util y ampliamente utilizada de un grafo g de grado N es mediante su matriz de adyacencia (Ag) cuadrada de ordenN. Para un grafo, que no ten´ıa los v´ertices numerados,
se podr´an considerarN! matrices de adyacencia, diferentes entre s´ı, pero que caracterizan el mismo grafo. Seaaij el elemento de la filaiy la columnaj de la matriz Ag, entonces para un grafo simple
y sin lazos (dirigido o no dirigido) es
aij =
1; si existe un arco saliente por el v´erticeiy entrante al v´erticej
0; en otro caso (2.9)
Para un multigrafo ser´ıa
aij =
k; si existen karcos salientes por el v´erticeiy entrantes al v´erticej
0; en otro caso (2.10)
En ambos casos para i = 1,2, . . . , N y j = 1,2, . . . , N. Si el grafo fuese ponderado entonces se asigna a la fila iy columnaj de la matriz de adyacencia el peso del arco incidente desde el v´ertice
ial v´ertice j (ωij).
Obs´ervese que la diagonal de la matriz de adyacencia son todos ceros, pero si el grafo simple y no dirigido presenta un lazo en un v´erticekentonces se pone un 2 enakk en vez de un cero. Tambi´en
se hace notar que para un grafo dirigido las filas de la matriz representan los v´ertices de “salida” y las columnas los v´ertices de “llegada”. Las propiedades que tiene una matriz de adyacencia son las que a continuaci´on se enumeran.
1. La matriz de adyacencia de un grafo no dirigido es sim´etrica, en cambio no tiene porqu´e ser sim´etrica (pero puede serlo) si el grafo es dirigido. Yendo m´as all´a, si una matriz de adyacencia no es sim´etrica es imposible dibujar un grafo no dirigido y, por lo tanto, el grafo que se obtiene es exclusivamente dirigido. En cambio, si la matriz es sim´etrica se puede dibujar un grafo no dirigido pero tambi´en un grafo dirigido, por lo tanto en este caso se deber´a interpretar si es de uno u otro tipo por el contexto. Lo anterior pone de manifiesto, una vez m´as, que un grafo no dirigido se puede interpretar (no se est´a diciendo que sea lo mismo) como dirigido, pero hacer la interpretaci´on inversa (casi siempre) ser´a imposible.
2. Para un grafo dirigido la suma de los elementos de la fila kes el grado de salida (d+(k)) del
v´erticek. La suma los elementos de la columna k es el grado de entrada (d−(k)) del v´ertice k. Esto es d+(k) = N X j=1 akj (2.11) y d−(k) = N X i=1 aik (2.12) en ambas para k= 1,2, . . . , N.
Para un grafo no dirigido ambos valores coinciden (recu´erdese que la matriz es necesariamente sim´etrica) y simplemente se habla de grado. En este caso ser´a o la suma por columnas o la suma por filas ya que ambos valores son id´enticos. Esto es
d(k) = N X j=1 akj = N X i=1 aik; parak= 1,2, . . . , N (2.13)
3. El elemento de la fila i y columna j de Alg con l = 1,2, . . . es el n´umero de caminos i−j
de longitud l. La demostraci´on por inducci´on de este importante y ´util teorema puede ser consultado en la p´agina 112 de [CFSS01].
2.3.2 Matriz de incidencia
La matriz de incidencia (Bg) de un grafo g es menos utilizada que la matriz de adyacencia (Ag)
pero tambi´en caracteriza un grafo. Sup´ongase que para dicho grafo el grado es N y el tama˜no es
M, entonces la matriz de incidencia ser´a, en general, rectangular de orden N ×M.20 Si el grafo no ten´ıa los v´ertices y/o los arcos numerados se les tendr´a que asignar alguna numeraci´on de forma independiente y arbitraria, por lo tanto se tendr´a que existir´anN!M! matrices de incidencia diferentes que caracterizar´an el mismo grafo. Seabij el elemento de la filaiy columnajde la matriz
Bg, entonces para un grafo simple y dirigidos es
bij =
1; si el arcojes saliente del v´erticei −1; si el arcojes entrante al v´erticei
2; si el arcojes un lazo en el v´erticei
0; en otro caso
(2.14)
mientras que para un grafo simple y no dirigido ser´a
bij =
1; si el arcojes incidente al v´erticei
2; si el arcojes un lazo en el v´erticei
0; en otro caso
(2.15)
en ambos casos parai= 1,2, . . . , N yj = 1,2, . . . , M.
La matriz de incidencia de un grafo simple y sin lazos tiene las siguientes propiedades. 1. Para un grafo no dirigido:
(a) La suma de los elementos de cada columna es igual a 2. Esto es PNi=1bij = 2 para
j= 1,2, . . . , M.
(b) La suma de los elementos de cada fila es igual al grado del v´ertice correspondiente. Esto esd(i) =PMj=1bij para i= 1,2, . . . , N.
2. Para un grafo dirigido:
(a) La suma de los elementos de cada columna es igual a cero. Esto es PNi=1bij = 0 para
j= 1,2, . . . , M.
(b) La suma de los elementos de cada fila es igual a la diferencia entre el grado de entrada y el grado de salida del v´ertice correspondiente. Esto es PMj=1bij =d+(i)−d−(i) para
i= 1,2, . . . , N. No obstante, si se suman s´olo los valores positivos se tendr´a el grado de entrada del v´ertice correspondiente y si se toma el valor absoluto de la suma de s´olo los valores negativos se tendr´a el grado de salida del v´ertice correspondiente. Esto es
d+(i) = M X j=1 bij>0 bi,j (2.16) d−(i) = M X j=1 bij<0 bi,j (2.17)
20Obs´ervese que el n´umero de matrices de incidencia que determinan un mismo grafo es sustancialmente mayor