2.2 Definiciones b´ asicas en grafos
2.2.5 Componentes conexas de un grafo
Un grafo tiene una componente conexa cuando cualquier v´ertice es alcanzable o accesible desde todos los dem´as, entonces se dice que el grafo es conexo. Si ello no es posible entonces se dice que el grafo tiene m´as de una componente conexa o que el grafo es no conexo. La prueba descrita de conectividad en un grafo no tiene sentido aplicarla cuando el grafo tiene s´olo un v´ertice, en este caso se conviene que el grafo es conexo. Hace falta precisar lo que se entiende por alcanzable o accesible por lo que se necesita la definici´on de camino,17 esta es
Definici´on 2.5. Un camino en un grafo es una secuencia alternada, no vac´ıa y finita de v´ertices y arcos comenzado y terminando en un v´ertice de forma que cada arco es adyacente desde el v´ertice que le precede hacia el v´ertice que le sucede, esto es
x0, e1, x1, e2, x2, e3, x3, . . . , xl−2, el−1, xl−1, el, xl (2.4)
En donde ek=xk−1xk para ∀k= 1,2, . . . , l. Este camino se denota por x0−xl.
Si no es posible la ambig¨uedad en la secuencia (2.4) se puede omitir la subsecuencia de arcos, que siempre podr´a ser deducida de la secuencia de v´ertices; esto siempre ser´a posible si el grafo es simple. En cambio si se trata de un multigrafo tal ambig¨uedad (debido a los multiarcos) puede producirse y expresamente se deber´ıa especificar la subsecuencia de arcos. Si en la secuencia no se repite ning´un v´ertice entonces el camino se denomina simple y si no se repite ninguna arista se denomina recorrido. Si el camino definido por la secuencia (2.4) es tal que aparecen todas las aristas una, y solamente una, vez el camino se denomina camino euleriano, si lo que aparece una, y solamente una, vez son todos los v´ertices entonces el camino se denomina camino hamiltoniano. Siempre cualquier camino, de cualquier tipo, es un subgafo.
Cada camino tiene asociada una distancia que es el n´umero de aristas, o bien, el n´umero de v´ertices (incluidos los extremos) menos uno, por ejemplo, en la secuencia (2.4) la distancia ser´ıal. Si el grafo es ponderado la distancia es la suma de los pesos de los arcos atravesados. En un grafo conexo y no dirigido la distancia m´ınima entre dos v´ertices (d(x, y)) es una m´etrica ya que para cualesquiera v´ertices x,y yz de un grafo g cumplen que
1. d(x, y)≥0 y d(x, y) = 0 si y s´olo si x=y.
2. d(x, y) =d(y, x) (esta es la raz´on por la que el grafo debe ser no dirigido). 3. d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) que es la denominada desigualdad triangular.
17En algunos textos, como por ejemplo [Bru09], se reserva la expresi´on “camino” exclusivamente para grafos
dirigidos, utilizandose la expresi´on “cadena” para grafos no dirigidos. En este texto no se seguir´a tal distinci´on utiliz´andose el t´ermino “camino” tanto para un tipo de grafo como para el otro.
2.2. Definiciones b´asicas en grafos
Si el camino es tal que x0 = xl, en general, se denomina camino cerrado (cuando no es el caso
anterior y es necesario explicitarlo se dice que el camino es abierto). Pero cuando se trata de un camino simple entonces recibe el nombre espec´ıfico de ciclo (camino cerrado sin repetir v´ertices) y cuando se trata de un recorrido recibe el nombre espec´ıfico de circuito (camino cerrado sin repetir arcos). Un ciclo ser´a euleriano cuando todas las aristas aparecen en la secuencia una, y solamente una, vez y ser´a un ciclo hamiltoniano cuando todas los v´ertices aparecen una, y solamente una, vez.18
Se hace notar que, para grafos no dirigidos, si existe un camino dexayentonces existir´a un camino inverso con la secuencia de v´ertices en orden inverso y si no existe un camino de x a y entonces tampoco existir´a el camino inverso. En cambio, para grafos dirigidos la existencia de un camino de x a y no garantiza la existencia de un camino inverso ni que, en el caso de existir, sea con la secuencia inversa de los v´ertices (los caminos no tienen porque ser en orden inverso), adem´as no se puede presuponer nada sobre la existencia de un camino de y ax en funci´on de la existencia o no de un camino de xa y.
Con el pre´ambulo anterior, que supera lo estrictamente necesario, se est´a en condiciones de dar para un grafo no dirigido la definici´on de conexo.
Definici´on 2.6. Un grafo no dirigido es conexo si para cualquier v´ertice existe un camino a cual- quier otro v´ertice.
En cambio, si el grafo es dirigido se distinguir´a entre fuertemente y d´ebilmente conexo. Ser´a fuer- temente conexo cuando desde cualquier v´ertice existe un camino a cualquier otro v´ertice y tambi´en exista el camino inverso. Si alguno de estos caminos s´olo existe en un sentido entonces el grafo dirigido ser´a d´ebilmente conexo.19 Entonces la definici´on 2.6 para grafos dirigidos es
Definici´on 2.7. Un grafo dirigido es fuertemente conexo si para cualquier v´ertice existe un camino a cualquier otro v´ertice y tambi´en existe el camino inverso. Cuando exista al menos un par de v´ertices que s´olo los una un camino en un s´olo sentido entonces se dice que el grafo es d´ebilmente conexo.
Si se considera en un grafo g = (V, E), de grado N, la relaci´on R en el conjunto V dada por el enunciado “. . .est´a unido por un camino (y tambi´en por el camino inverso) con. . . ” resulta que esta es una relaci´on de equivalencia ya que es trivial demostrar queRcumple las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva. Por lo tanto se podr´an definir unas clases de equivalencia, siendo cada una de ellas la formada por todos los v´ertices que est´an unidos entre s´ı mediante un camino (directo e inverso) y, por lo tanto, se podr´a hablar del conjunto cociente denotado por V /R.
El hecho de verificar est´a relaci´on de equivalencia permite establecer una partici´on de V dada por los subconjuntosV1,V2,. . . , yVk para alg´unkentre 1 y N ambos inclusive (k∈N). Con todo esto
en mente se tienen las dos definiciones siguientes.
Definici´on 2.8. Se dice que un grafo g= (V, E), de grado N, tiene k componentes conexas y se escribir´aκ(g) =kcuando al considerar la relaci´on de equivalencia “. . .est´a unido por un camino (y tambi´en por el camino inverso) con. . . ” se obtienenksubconjuntos deV, siendo estos subconjuntos, V1, V2,. . . y Vk, una partici´on de V para alg´un k tal que1≤k≤N (k∈N).
Definici´on 2.9. Con la misma notaci´on que en la definici´on 2.8 se definen cada una de las κ(g)
componentes conexas del grafog como cada subgrafo gi deg inducido por cada subconjuntoVi para
i= 1, . . . , κ(g).
Obs´ervese que decir que un grafo g es conexo es lo mismo que decir que tiene una componente conexa (κ(g) = 1), y que decir que un grafo es no conexo es lo mismo que decir que tiene κ(g) componentes conexas conκ(g)6= 1. Por otro lado, es trivial que si un grafo tiene gradoN entonces
18Como ya se ha comentado en alguna ocasi´on, se advierte que no existe un consenso en los t´erminos utilizados en
las definiciones anteriores.
el n´umero de componentes conexas ha de ser un n´umero perteneciente a los n´umeros naturales desde 1 hasta N ambos inclusive, para este valor m´aximo (N) de componentes conexas el grafo ser´ıa un grafo vac´ıo (todos los v´ertices aislados).
El tama˜no de un grafo simple, sin lazos y no dirigido est´a acotado superiomente e inferiormente, las cotas son las dadas en el teorema siguiente.
Teorema 2.1. Sea un grafo simple, sin lazos, no dirigido, de gradoN y conkcomponentes conexas, entonces el tama˜no del grafo (M) cumple que
M ≤ 1
2(N −k)(N −k+ 1) (2.5)
y simult´aneamente que
M ≥N−k (2.6)
La demostraci´on del anterior teorema puede ser consultado en [Wil12] en las p´aginas 27 y 28 pero de la cuarta edici´on. Particularizando la expresi´on (2.5) y (2.6) para un grafo conexo (k = 1) se tendr´a que el tama˜no (M) del grafo cumplir´a que
N −1≤M ≤N(N −1)/2 (2.7) Del teorema 2.1 se desprende el siguiente corolario
Corolario 2.1. Sea un grafo simple, sin lazos, no dirigido, de grado N. Si el tama˜no (M) es M >(N −1)(N −2)/2 (2.8)
entonces el grafo es conexo.
Demostraci´on. En efecto, se demuestra por reducci´on al absurdo. Sea un grafo que cumple la desigualdad (2.5) pero que no es conexo, es decir, k > 1 con la misma notaci´on utilizada hasta ahora. Tomando k = 2 la desigualdad (2.5) pasa a serM ≤ 12(N −2)(N −1) lo que contradice a (2.8) y por lo tanto a la hip´otesis, luego el grafo debe ser conexo. Q.E.D. Finalmente, merece la pena comentar que existen aristas que su eliminaci´on provoca que se incre- mente en uno el n´umero de componentes conexas, es decir, si antes de la supresi´on de la arista se ten´ıan κ(g1) = k componentes conexas, despu´es de la supresi´on se tienen κ(g2) = k+ 1 de
ellas. Estas aristas reciben el nombre de aristas puente o de corte. Similarmente, existen v´ertices cuya eliminaci´on (y la eliminaci´on de la aristas incidentes a este v´ertice) tambi´en provoca que se incremente en uno el n´umero de componentes conexas. Estos v´ertices reciben el nombre v´ertices de corte o de articulaci´on. Este tipo de aristas y v´ertices son de mucho inter´es en el estudio de las vulnerabilidades de una red.