6.4 Fase de aproximaci´ on: Obtenci´ on de un circuito en estrella
6.4.4 Propiedades de la pseudoinversa
Las peculiaridades analizadas en el apartado anterior de la matriz de coeficientesKtambi´en afloran en la matriz pseudoinversaK+, aunque se debe tener en cuenta que el n´umero de filas y columnas de ambas matrices quedan intercambiados. Tomando el patr´on de las peculiaridades de K, ya analizadas, y sin perder de vista tanto la expresi´on (6.27) como la (6.28) entonces se tendr´a las siguientes peculiaridades (o mejor dicho propiedades) paraK+
1. La primera peculiaridad de la matrizK+es muy evidente y adem´as directamente emana del hecho que cualquier elemento de la matriz K s´olo pod´ıa tener dos valores: o cero o uno. En efecto, a la vista de la expresi´on (6.28) es evidente que dicha expresi´on s´olo tendr´a dos valores, uno de ellos para cuando kji = 0 siendo entonceskij+ igual a
CN = −
1
(N−1)(N −2) (6.29) en donde la anterior constante ha sido denominada porCN con la intenci´on de poder abreviar
en el futuro. El otro valor ser´a cuandokji = 1 siendo entonceskij+ igual a
UN =
1
en donde la anterior constante ha sido denominada97 por UN por la misma raz´on que se ha
hecho para CN. Se hace notar una diferencia substancial con respecto al hecho de que los
dos valores (0 ´o 1) que pod´ıan tomar los elementos de la matrizK eran independientes de la dimensi´on de dicha matriz. Ahora, en cambio, los dos valores (CN y UN) que pueden tomar
los elementos de K+ dependen deN y, por lo tanto, de las dimensiones deK+ porque, a su
vez, dependen de N.
2. Otro detalle de la matrizK+ es que cada fila tiene exactamenteN −1 constantesU
N y, por
lo tanto, 12(N−1)(N−2) constantesCN y cada columna tiene exactamente 2 constantesUN
y, por lo tanto, N −1 constantesCN. La suma de cualquier fila es
(N−1)UN+ 1 2(N−1)(N−2)CN= (N−1) 1 N−1+ 1 2(N−1)(N−2) −1 (N−1)(N−2)=. . .= 1 2 (6.31) y la suma de cualquier columna es
2UN+(N−2)CN= (N−1) = 2 1 N−1+(N−2) −1 (N−1)(N−2)=. . .= 1 N−1 (6.32) Finalmente se ha de comentar que si se busca el valor deN para que seaCN =UN se obtiene
como ´unica soluci´on queN = 1 (resultado que no tiene sentido en el contexto que nos ocupa) por lo que se puede afirmar que CN 6=UN para ∀N >1. Esto viene a corroborar la primera
propiedad.
3. Por ´ultimo, la matriz K+ est´a formada por bloques que repiten un patr´on de forma similar a como se describi´o en la propiedad 3 (p´agina 73) para la matriz K. De hecho, si se vuelve a releer la citada propiedad cambiandoKporK+, fila o filas por columna o columnas, derecha por abajo y “a la derecha” por “hacia abajo” se tiene exactamente el texto que aplica en la presente propiedad para K+, por lo tanto se remite a ello y aqu´ı no se repetir´a.
Con anterioridad, en el subapartado 6.4.1 “Resistencias equivalentes del circuito en estrella”, se describi´o y justific´o que las propiedades de la matriz K permit´ıan encontrar los valores de sus elementos “al vuelo”. Realmente, esto s´olo tiene un inter´es acad´emico ya que la matriz que se utilizar´ıa en el SM en ambientes productivos ser´ıa la matriz K+ pero nunca la matriz K.98 No obstante, desde el punto de vista te´orico, todas las conclusiones que se han extra´ıdo para la matriz
K son aplicables, directa o indirectamente, a la matrizK+. En otras palabras y de forma pr´actica se tiene que las ventajas que se han enunciado debidas a las propiedades de la matriz K no se utilizar´ıan nunca porque simplementeK no se usa, ahora bien, como estas ventajas son heredadas por la matriz K+, que s´ı se utiliza en el SM, entonces dichas ventajas s´ı ser´an susceptibles de ser aprovechadas, por lo que el estudio hecho sobre K en su momento no ha sido en balde. En lo que sigue se van a precisar y fijar estas conclusiones sobre la matriz K+ pero aprovechando las
ya extra´ıdas, en su momento, sobre la matriz K por lo que se advierte que se har´an constantes referencias a dicho caso.
A la vista de la expresi´on (6.28) se obtiene un resultado trivial pero muy importante. Este es que, para un mismo valor de N, la matriz transpuesta deK+ (denotada por (K+)t) es exactamente la matrizKsi se cambiaCN por 0 yUN por 1. Con esto se dispone de la llave que permitir´a extrapolar
las propiedades de K a K+. La primera concreci´on es que la f´ormula (6.15), tal y como est´a, es aplicable sobre (K+)t, entonces para que lo sea sobre K+ es suficiente con cambiar, en dicha f´ormula, la fila por la columna (i por j). Concluyendo, el bloque99 b en donde se encuentra el
97La regla mnemot´ecnica es la “U” de uno y la “C” de cero.
98Se ha de tener en cuenta que para la obtenci´on de la matrizK+ no es necesario el c´alculo previo de la matrizK.
Existen mecanismos que permiten la obtenci´on directa de los elementos de la matrizK+.
6.4. Fase de aproximaci´on: Obtenci´on de un circuito en estrella
elemento kij+ que est´a en la columnaj de la matrizK+ es el dado por la siguiente expresi´on.100
b=N − & −1 +p4N(N −1)−8j+ 9 2 ' (6.33)
conj= 1,2, . . . , N(N−1)/2. Se ha optado por utilizar el mismo s´ımbolobtanto para la expresi´on (6.15) paraKcomo en la anterior (6.33) paraK+, distingui´endose uno u otro caso seg´un el contexto.
Sin embargo, se detecta f´acilmente que la primera expresi´on es para K porque depende de una fila y la segunda es paraK+porque depende de una columna. En el caso de que quedara comprometida la claridad se usar´ıab(i) para el primer caso yb(j) para el segundo.
La segunda concreci´on es que la expresi´on (6.19) que daba la primera fila de un bloque (p(b)) en funci´on del n´umero de bloque101 bde la matrizKse puede aplicar directamente a la matriz (K+)t). Como esta expresi´on no depende ni deini dej no se ha realizar ning´un cambio para que se pueda aplicar a K+ pero, ahora, la lectura es que la nueva f´ormula da la primera columna (y ya no la
primera fila) del bloque b de la matriz K+. Concluyendo, la primera columna del bloque en la posici´onb de la matriz K+ viene dada por
p(b) = (b−1)N −1
2(b−2)(b+ 1) (6.34) con b = 1,2, . . . , N−1. Las expresiones (6.19) y (6.34) son matem´aticamente id´enticas pero la p
representa para el primer caso una fila deK y para el segundo una columna deK+. sin embargo, se ha optado por no designar una nueva letra distingui´endose uno u otro caso por el contexto,102 en todo caso siempre queda el recurso de hacer un comentario expreso.
Por lo tanto, para la matrizK+tambi´en se tienen dos resultados muy ´utiles similares a los obtenidos
para la matrizK. El primero es que el elementok+ij ocupa el bloquebdado por la expresi´on (6.33) en donde j es la columna del elemento k+ij y el segundo resultado es que la primera fila de cada bloquebde la matrizK+ viene dada por (6.34). Si se observa la expresi´on (6.7) pero transpuesta y
en vez de unos y ceros las constantesUN yCN entonces lo que se est´a viendo ya no es la matrizK
sino que es la matrizK+. Con esto en mente se detecta que para cada columnajhay dos situaciones en las que aparecen la constante UN. En la primera situaci´on aparece la constante UN en la fila
b (o mejor dicho en i = b) donde b es el bloque donde est´a el elemento k+ij (de hecho aparece la constanteUN en toda la fila de bloque).
En la segunda situaci´on aparece la constante UN en una fila hacia abajo de la fila de la primera
situaci´on desplazada, a hacia abajo de ella, tantas posiciones como posiciones separen la columna donde esta kij respecto de la primera columna del bloque m´as uno, de forma m´as sint´etica y
clarificadora, aparece la constante UN en la fila i =b(j) +j−p(b(j)) + 1 donde b es el bloque y
p(b(j)) es la primera columna del bloque donde est´a el elementokij. El resto de elementos son la
constante CN. Con todo lo anterior queda demostrado el siguiente teorema para la matriz K+ de
forma similar al teorema 6.1 para la matrizK.
Teorema 6.2. El elemento kij+ para i= 1,2, . . . , N y j= 1,2, . . . , N(N −1)/2 de la matriz K+ cuya estructura ser´ıa la traspuesta de la representada en (6.7) cambiando 0 y 1 por las constantes UN y CN respectivamente vale la constante CN excepto si i=b(j) o si i=b(j) +j−p(b(j)) + 1
100El resultado es choerente con el hecho de que el bloquebque ocupaba el elementok
ij de la matrizKdepend´ıa
exclusivamente de la filaiocupada por ´el. Ahora, enK+, el bloquebque ocupa el elementok+
ijdepende exclusivamente
de la columnaj.
101Se hace notar que en esta expresi´on el valor depno depende ni del n´umero de fila ni del n´umero de columna.
S´olo depende del n´umero de bloque.
102Aunque se debe reconocer que el riesgo de ambig¨uedad es mayor que en la primera concreci´on porque mediante
la variable independiente no se puede distinguir un caso del otro, ya que en ambos, la variable independiente, es el n´umero de un bloque.
(ambas posibilidades mutuamente excluyentes) que vale la constante UN en donde b(·) y p(·) son
las funciones dadas por
b(i) =N− & −1 +p4N(N−1)−8j+ 9 2 ' (6.35) y p(b) = (b−1)N−1 2(b−2)(b+ 1) (6.36)
respectivamente y las constantes CN yUN son
CN = − 1 (N −1)(N −2) (6.37) y UN = 1 N −1 (6.38) respectivamente.
La traducci´on algor´ıtmica del anterior teorema 6.2 ser´ıa el mostrado en el algoritmo 6.2. Se trata de una sencilla funci´on que devuelve el valor del elemento k+ij. Las constantes CN y UN no ser´ıa
necesario calcularlas en cada llamada a la funci´on, pueden estar precalculadas ya que, adem´as, estas constantes no cambian nunca (s´olo cambian si cambia N).
Algoritmo 6.2 Funci´on que devuelve el valor del elemento de la fila i y columnaj de la matriz
K+ bajo demanda.
Entrada: N, filaiy columna j
1: C ← −1 (N−1)(N−2) 2: U ← 1 N−1 3: b←N− −1+√4N(N−1)−8j+9 2 4: p←(b−1)N−12(b−2)(b+ 1) 5: sii=bo i=b+j−p+ 1entonces 6: devuelve U 7: sino 8: devuelve C 9: fin si
En computaci´on los recursos tiempo y espacio, en la mayor´ıa de las situaciones, son prestaciones antag´onicas. La mejora aportada por el teorema 6.2 potencia el recurso espacio en detrimento del recurso tiempo. No obstante, si se dispone de memoria holgada se puede ubicar la matriz K+
directamente en ella, en este caso el teorema anteriormente mencionado no tiene sentido utilizarlo. En cambio, surge el problema de llenar dicha matriz con los valores convenientes, el algoritmo 6.3 permite realizar esta tarea,103en ´el se asume queN es el valor de entrada, por otro lado su sencillez extrema hace innecesario cualquier otro comentario.