Derivaci´ on - Construcci´ on de Argumentos Tipados en T-DeLP

4. Marcos Argumentativos Abstractos Basados en Tipos

5.3. Construcci´ on de Argumentos Tipados en T-DeLP

5.3.1. Derivaci´ on

Como se vio en el Cap´ıtulo 3, el conocimiento en DeLP se representa a través de un programa (Θ,∆) caracterizado por un conjunto de hechos Θ y un conjunto de reglas rebatibles ∆. En T-DeLP se utiliza un programa (Γ,Θ,∆) que cuenta con hechos tipados Θ y reglas rebatibles tipadas ∆, y una signatura Γ que contiene información de los tipos utilizados en estos hechos y reglas. En DeLP un literal L es derivable a partir de un programa (Θ,∆) si existe una secuencia de literales L1, . . . , Ln donde Ln = L; además,

cada Li en la secuencia es un hecho o Li es igual a la cabeza de una regla y todos los

literales del cuerpo de la regla son iguales a literales que aparecen antes de Li en la

Construcci´on de Argumentos Tipados en T-DeLP 113

dado que es necesario considerar los tipos de los literales. Por ejemplo, considere los siguientes programas T-DeLP:

PΓ 1 P Γ 2 P Γ 3 P Γ 4 a—<b a—<bt1 a—<bt1 t2 t1 a—<bt1 t2 t1 b —<c bt2 —<ct3 bt2 —<ct3 t5 t4 bt2 —<ct3 t5 t4 b —<e bt1 —<et4 bt1 —<et4 bt1 —<et4 T P ={τ, t1} c ct3 _ct3 _ct3 e et5 _et5 _et5

En el programa PΓ₁ todos los literales son del mismo tipo (el tipo τ), y por lo tanto hay derivaciones para a, b (a trav´es de dos reglas distintas), cy e. Note que en este caso, el programa PΓ

1 es como un programa DeLP.

En contraste, observe el programa PΓ

2, donde existen literales con distintos tipos. En

este programa es esperable derivar ´unicamentect3_y_et5_{por ser hechos, y}_bt2 _{por la segunda}

regla. Por otra parte, bt1 no deber´ıa ser derivable ya que, por m´as que et5 sea un hecho y se cuente con la regla (bt1 —<et4), et4 y et5 son de distinto tipo. Una situaci´on similar

ocurre para a considerandobt1 _y _bt2_.

Considere ahora el programaPΓ

3 que posee los mismos hechos y reglas rebatibles que

PΓ

2, pero adem´as introduce quet2t1 yt5t4. Intuitivamente, sit5 hereda det4, entonces

todo literal de tipo t5 tambi´en es de tipo t4. Por lo tanto, por m´as que et5 _y _et4 _tengan

distinto tipo, et5 deber´ıa conformar con et4 para as´ı permitir la derivación debt1. De esta manera, siguiendo esta intuición, a partir del programa PΓ₃ se podr´ıa derivar a, además de ct3_, _et5 _y _bt2 _{que ya eran derivables en} _PΓ

Finalmente, considere el programa PΓ

4. Note que a diferencia de P Γ

3 incorpora que el

tipo t1 es propagable (y tambi´en el tipo τ, dado que t1 hereda de τ). Por lo tanto, ser´ıa interesante poder propagar t1 en aquellas derivaciones en que se utilice una regla rebatible tal que los literales tipados empleados para activar la regla sean de tipo t1 y la cabeza de la regla sea de un tipo que ancestro de t1. En este caso, como bt1 es derivable, ser´ıa posible propagar el tipo t1 a a en la regla (a—<bt1), permitiendo as´ı derivar at1.

Como puede observarse a partir de los ejemplos en T-DeLP, para construir una de- rivación no es suficiente contar con la igualdad sintáctica de literales (como en el caso de DeLP), sino que también se tendrán en cuenta los tipos asociados a los literales y la

114 Cap´ıtulo 5. Argumentaci´on Rebatible Basada en Tipos

relación de herencia entre los tipos. En T-DeLP el concepto básico para construir una de- rivación es la noción de conformidad [KW91]. Esta noción puede visualizarse claramente en el programaPΓ

3 entre los literaleset5 yet4. La conformidad ser´a el mecanismo utilizado

por T-DeLP en una derivación, y reemplazará a la igualdad sintáctica empleada en DeLP.

Definici´on 5.11 (Conformidad) Sea PΓ = (Γ,Θ,∆) un programa T-DeLP. Diremos que un literal tipadoLU

1 conforma con otro literal tipadoLV2 enPΓ, notado comoLU1=L

si y solo si L1 =L2 y UV ∈FHerencia(Γ).

Ejemplo 5.12 Sea PΓ _{el programa T-DeLP del Ejemplo 5.11, dado que} _A_W_τ _ten-

dremos por ejemplo que ∼crimen(bA)A _{conforma con} _∼_crimen₍_bA₎W_, _inversion₍_bB₎W

conforma inversion(bB), caro(bA)W _{conforma con caro(bA), y} _seguro₍_bA₎A _conforma

con seguro(bA). Por otra parte, observe que por ejemplo caro(bA)N _{no conforma con} caro(bA)W ya que sus tipos no est´an relacionados, y caro(bA) no conforma con caro(bA)W ya que el tipo del primero no hereda del segundo (es un supertipo).

Cabe destacar que, al estar basada en la relación de herencia, la conformidad es una relación no simétrica entre literales tipados. Una excepción a esto se da en el caso de que se trate exactamente del mismo literal tipado, es decir, igual literal e igual tipo. Además, la conformidad es una relación transitiva.

Proposici´on 5.2 Si₌es una relaci´on de conformidad para los elementos de un programa T-DeLP PΓ_{, entonces}

= es una relaci´on reflexiva y transitiva.

Prueba : (transitividad) Se debe probar que si LU ₌ LV y LV ₌ LW entonces LU ₌ LW. Por definición de conformidad vale que UV y VW. Además, por definición es una relación transitiva, por lo tanto, UV y entonces LU

= L

W_. 2

(reflexividad) Considere LT un literal tipado cualquiera. Por Definici´on de herencia vale que TT, con lo cual LT

= L

T_. 2

Como se mencionó anteriormente, la conformidad de literales permitirá definir las inferencias en T-DeLP. Además de diferenciarse de DeLP en la forma en que se enlazan los elementos para obtener una derivación, en T-DeLP una derivación contendrá un tipo, es decir, el tipo bajo el cual es posible derivar el literal. Intuitivamente, la derivación de un literal tipado en T-DeLP puede ocurrir en tres situaciones: cuando un hecho (o

Construcci´on de Argumentos Tipados en T-DeLP 115

una presunción) conforma con el literal tipado; cuando la cabeza de una regla rebatible conforma con el literal tipado y todos los literales tipados del cuerpo de la regla son derivables; o cuando el literal tipado conforma con la cabeza de una regla rebatible, todos los literales tipados del cuerpo de la regla son derivables, y además permiten propagar el tipo del literal tipado en cuestión.

Definici´on 5.12 (Derivaci´on Rebatible Tipada) Sea PΓ _{= (Γ}_,_Θ_,_∆) _{un programa}

T-DeLP y LT _{un literal tipado. Existe una derivaci´}_{on rebatible tipada para} _LT _{a par-}

tir de PΓ_{, notado} _PΓ_|∼_LT_{, si y solo si existe una secuencia finita de literales tipados}

S = [LT1₁ , . . . , LTn_n ], donde LTn_n = LT, tal que para todo LTi_i en la secuencia se cumple una de las siguientes condiciones:

1. existe LM

i ∈Θ tal que LMi = L

Ti i ;

2. existe una instancia fija Rσ para una regla R∈∆ tal que Cabeza(Rσ)₌LTi_i , y para todo B_jDj en Cuerpo(Rσ) existe un BTk_j que aparece en la secuencia antes de LTi_i y es tal que BTk_j ₌B_jDj; o

3. existe una instancia fija Rσ para una regla R ∈ ∆ con Cuerpo(Rσ) 6= ∅ y un tipo

Ti ∈ FTPropagable(Γ) tales que LTii =Cabeza(Rσ), y para todo B

j en Cuerpo(Rσ)

existe un B_jTk que aparece en la secuencia antes de LTi_i y es tal que B_jTk₌B_jDj y

TkTi.

Si PΓ_|∼_LT _tambi´_{en se dir´}_{a que hay una derivaci´}_{on de tipo} _T _para _L _{a partir de}

PΓ_{. Adem´}_{as, la secuencia finita de literales que caracteriza a una derivaci´}_on _PΓ_|∼_LT _es

llamada secuencia de derivaci´on de PΓ_|∼_LT_.

Siguiendo el primer ´ıtem de la Definición 5.12, claramente, un hecho será derivable; pero también serán derivables todos los literales tipados cuyo tipo sea un ancestro (con respecto a la relación de herencia). Por ejemplo, siguiendo el programa T-DeLP del Ejem- plo 5.11 dado que AWτ y tenemos el hecho tipado ∼crimen(bA)A_{, ser´}_{an derivables}

los literales ∼crimen(bA)A_, _∼_crimen₍_bA₎W _y _∼_crimen₍_bA₎τ_{. Es decir, existir´}_{a una de-}

rivaci´on rebatible para un literal tipado si existe un hecho con el cual conforme.

El segundo ´ıtem implica que puede existir una inferencia para un literal tipado si existe una regla rebatible tipada tal que su cabeza conforme con ese literal. Es decir, que la cabeza posea un literal con un subtipo del elemento a derivar. En este caso debe

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existir una derivaci´on rebatible tipada para todos los literales tipados del cuerpo de esta regla. Para ilustrar esto, considere por ejemplo el programa T-DeLP del Ejemplo 5.11. Teniendo en cuenta la regla∼seguro(X)N _—_<_articulo₍_{Art, D}₎N_{, tema}₍_{Art, crimen}₍_X₎₎N

y los hechos tipados articulo(a1, cronica)N _y _tema₍_a₁_{, crimen}₍_bA₎₎N_{, ser´}_{an derivables}

tanto ∼seguro(bA)N _como_∼_seguro₍_bA₎τ_.

La situaci´on especificada por el tercer ´ıtem enmarca el caso en que un literal tipado se deriva aplicando la propagaci´on de tipos. Esto permite que una regla con literales de cierto tipo T se pueda utilizar para derivar literales con tipos descendientes de T, que en particular sean propagables. Por ejemplo, considere la regla∼comprar(X)—<caro(X) y

el hecho caro(bA)W _{del Ejemplo 5.11. En este caso, utilizando esta regla y considerando}

queW ∈ T P ser´a posible derivar ∼comprar(bA)W_.

Como se ve en la Definición 5.12, para realizar una propagación es necesario que se cumplan tres condiciones. En primer lugar, el tipo del literal a derivar debe ser propagable. En segundo lugar, el literal tipado a derivar debe conformar con la cabeza de una regla rebatible, permitiendo utilizar una regla cuya cabeza tenga un tipo ancestro del tipo del literal tipado a derivar. Por último, deben existir derivaciones que conformen con los elementos del cuerpo de la regla y que promuevan el tipo propagable. Es decir, los tipos de los literales que conforman con los elementos del cuerpo de la regla utilizada deben ser descendientes del tipo del literal que originalmente se quiere derivar.

Ejemplo 5.13 Considere el programa T-DeLP PΓ _{= (Θ}_,_∆_,_Γ) _{del Ejemplo 5.11.}

Dado que FTPropagable(Γ) = {A, W, N, τ} a partir de PΓ _se _puede _obte-

ner una derivación para comprar(bA)A a partir de la secuencia de derivación [∼crimen(bA)A, seguro(bA)A, comprar(bA)A]. Note que esta derivación se obtiene a través de las reglas seguro(X)W —<∼crimen(X)W ycomprar(X)—<seguro(X), en con-

junto con el hecho ∼crimen(bA)A_{, y teniendo en cuenta que el tipo A es propagable.}

En la Figura 5.1 se presenta un esquema detallado de cómo se realiza esta derivación del Ejemplo 5.13. En primera medida se aplica la primer alternativa de la definición de derivación, seleccionando el hecho ∼crimen(bA)A _{como primer elemento de la secuencia.}

Luego, observe que es posible incluir en la secuencia seguro(bA)A, dado que antes aparece

∼crimen(bA)A y a trav´es de la regla rebatible seguro(X)W —<∼crimen(X)W es posible

propagar A. Note que la propagaci´on de A es posible porque A pertenece al conjunto de tipos propagables,∼crimen(bA)A _{conforma con} _∼_crimen₍_X₎W_{, y}_seguro₍_bA₎A _conforma

Construcci´on de Argumentos Tipados en T-DeLP 117

con seguro(X)W. Finalmente, siguiendo un razonamiento análogo al anterior, es posible añadir el literal comprar(bA)A a la secuencia. En esta figura es posible visualizar cómo conforman los literales en la secuencia con los cuerpos de las reglas rebatibles, y cómo se propaga el tipo A (los c´ırculos que encierran a A en las flechas que se dirigen a las cabezas de las reglas). Adicionalmente, note que los cuadros sombreados contienen los literales tipados que formarán la derivación para comprar(bA)A_.

Figura 5.1: Derivaci´on detallada paracomprar(bA)A_.

Como se puede ver en el ejemplo anterior, la propagación utilizada por el mecanismo de derivación permite aprovechar reglas definidas para tipos ancestros, permitiendo as´ı propagar tipos descendientes. A continuación se mostrarán las derivaciones para el ejemplo del agente que quiere comprar su casa en un barrio, que aprovechan el concepto de propagación.

Ejemplo 5.14 Considere el programa T-DeLP PΓ _{= (Γ}_,_Θ_,_∆) _{del Ejemplo 5.11, donde:}

Θ                      articulo(a1, cronica)N tema(a1, crimen(bA))N caro(bA)W inversion(bB)W inversion(bA)W ∼crimen(bA)A                      ∆                     

∼seguro(X)N_—_<_articulo₍_{Art, D}₎N_{, tema}₍_{Art, crimen}₍_X₎₎N

seguro(X)W—<_∼crimen₍_X₎W comprar(X)—<_seguro₍_X₎ comprar(X)—<_inversion₍_X₎ ∼comprar(X)—<_∼seguro₍_X₎ ∼comprar(X)—<_caro₍_X₎                     

Teniendo en cuenta que FTPropagable(Γ) ={A, W, N, τ} se pueden obtener, entre otras, derivaciones para:

118 Cap´ıtulo 5. Argumentaci´on Rebatible Basada en Tipos

comprar(bA)A por [∼crimen(bA)A,seguro(bA)A,comprar(bA)A];

comprar(bB)W por [inversion(bB)W, comprar(bB)W];

∼comprar(bA)N por [articulo(a1, cronica)N, tema(a1, crimen(bA))N,

∼seguro(bA)N_,_∼_comprar₍_bA₎N_{]; y}

∼comprar(bA)W _por _[_caro₍_bA₎W_, _∼_comprar₍_bA₎W_]

Observe que las reglas para decidir si comprar o no en un barrio son ampliamente aprovechadas por el mecanismo de propagación de tipos. De no contar con la propagación de tipos, en este escenario ser´ıa necesario definir cada una de las reglas acerca de si comprar o no comprar para cada tipo que las pudiera utilizar. Por lo tanto, la propagación brinda un mecanismo para agrupar patrones de razonamiento común para un conjunto de tipos descendientes en una regla rebatible con tipos ancestros.

El mecanismo de derivaci´on de T-DeLP captura la intuici´on de que si hay razones para creer en un literal bajo un tipo, es esperable que haya razones para creer en ese literal bajo los ancestros de ese tipo. Por lo tanto, si se deriva un literal con un tipo

T tambi´en podr´a derivarse a ese literal con los ancestros de T. Por ejemplo, considere el programa T-DeLP PΓ _{= (Γ, Θ, ∆) del Ejemplo 5.11. Para este programa, a par-}

tir del hecho∼crimen(bA)A y la reglaseguro(X)W —<∼crimen(X)W, es posible derivar: seguro(bA)A, con la secuencia de derivaci´on [∼crimen(bA)A, seguro(bA)A];seguro(bA)W, con la secuencia de derivaci´on [∼crimen(bA)A_{, seguro}₍_bA₎W_{]; y} _seguro₍_bA₎τ_{, con la se-}

cuencia de derivaci´on [∼crimen(bA)A_{, seguro}₍_bA₎τ_{]. La siguiente proposici´}_{on muestra que}

esta propiedad es siempre satisfecha en T-DeLP.

Proposici´on 5.3 Sea PΓ _{= (Θ}_,_∆_,_Γ) _{un programa T-DeLP. Si} _PΓ_|∼_LT _entonces

PΓ_|∼ _LT0 _{para todo T’ ancestro de T.}

Prueba : Si PΓ_|∼_LT _{por Definici´}_{on 5.12 se puede construir una secuencia} _S_{, donde} _LT

es el ´ultimo elemento de S por alguna de las siguientes razones:

Existe un hecho tipado LH _{que conforma con} _LT_{, con lo cual} _H_T_{. Dado que por}

hip´otesis T T’, tenemos entonces que HT0, por lo cual LH _{conforma con} _LT0_.

Por lo tanto, por Definici´on 5.12, PΓ_|∼ _LT0

Construcci´on de Argumentos Tipados en T-DeLP 119

Existe una instancia fija Rσ de una regla de ∆ tal que Cabeza(Rσ) =LA conforma con LT y para cada BD en Cuerpo(Rσ) hay un BC en S tal que BC conforma con

BD_{. Entonces} _A_T_{, y como por hip´}_otesis _T_T0 _entonces _A_T0_{. Por lo tanto} _LA

conforma con LT0_{. Por lo tanto, por Definici´}_{on 5.12,} _PΓ_|∼_LT0 _. ₂

T es un tipo propagable y existe una instancia fija Rσ de una regla de ∆tal que LT

conforma conLA₌_Cabeza₍_Rσ₎_{y para cada} _BD _en_Cuerpo₍_Rσ₎_{hay un}_BC _{en S tal}

que BC _{conforma con} _BD _y _C_T_{. Dado que} _LT _{conforma con} _LA _{vale que} _T_A_,

y como TT0 entonces por Definici´on 5.5 vale que o T0A o AT0. Entonces:

• SiT0A, entoncesLT0 _{conforma con}_LA_{, y como}_C_T _y_T_T0 _entonces_C_T0_.

Adem´as, como T es propagable y TT0 entonces T’ es propagable. Luego por Definici´on 5.12, PΓ_|∼ _LT0

. 2

• Si AT0, LA conforma conLT0. Por lo tanto, por Definici´on 5.12, PΓ_|∼_LT0

.2 Observe que esta propiedad vale porque la relación de herencia en T-DeLP no permite herencia múltiple. Si lo permitiese, el tercer caso de la prueba no ser´ıa válido, y por lo tanto no se podr´ıan propagar los tipos adecuadamente. Como se verá mas adelante, esta propiedad es importante al momento de considerar los tipos de los argumentos en T-DeLP. Un resultado adicional que surge a partir de una derivación, es que todos los literales en la secuencia de derivación son literales derivables bajo los tipos con que aparecen en la secuencia.

Proposici´on 5.4 Sea S una secuencia de derivaci´on para LT _{a partir de un programa}

T-DeLP PΓ_{. Si} _BU _{aparece en} _S _entonces _PΓ_|∼_BU_.

Prueba : Suponga que PΓ _{no deriva} _BU_{. Entonces no existe en} _PΓ _{una secuencia de}

derivación que termina en BU_{. Sea} _S0 _{la subsecuencia de} _S _{que termina} _BU_{, entonces} S0 no ser´ıa una secuencia de derivación. Por lo tanto, por Definición 5.12 como S0 es una subsecuencia de S, S tampoco ser´ıa una secuencia de derivación, lo cual contradice la hipótesis. 2

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