MATM a partir de T-DeLP

Dado un conjunto de MATS, la relaci´on de herencia y las preferencias entre los tipos, para poder construir el MATM que representa un programa T-DeLP s´olo resta determinar los ataques entre argumentos de distintos tipos. Para esto, al igual que con los ataques in- ternos de los MATSs, se utilizar´a el concepto de ataque entre argumentos representativos, considerando ´unicamente aquellos ataques entre argumentos de diferentes tipos.

Computando Aceptabilidad en T-DeLP 139

Definici´on 5.22 (Funci´on de ataque entre argumentos de distinto tipo) Sea

PΓ _{= (Θ,∆,Γ) un programa T-DeLP, y AR el conjunto de sus argumentos representa-}

tivos. La funci´on de ataque entre argumentos de distinto tipo para PΓ_{, definida como}

TAttPΓ : FTipos(Γ)×FTipos(Γ) →2AR×AR es tal que (B,C) ∈ TAtt_PΓ(T₁, T₂) si y solo si T1 6=T2, B,C ∈AR, T1 ∈FTA(B), T2 ∈FTA(C), y B ataca a C en PΓ.

Ejemplo 5.25 Considere los MATSs presentados en el Ejemplo 5.24 para el programa T-DeLP PΓ _{del Ejemplo 5.11. La funci´on de ataque entre argumentos de distinto tipo}

para PΓ _{se ilustra a continuaci´on en la Figura 5.4 mediante el uso de flechas a trazos.}

Figura 5.4: Funci´on de ataque entre argumentos de distinto tipo para el programa del Ejemplo 5.11.

Note que no todos los ataques son bidireccionales, por ejemplo, puede verse que tanto el ataque de A1 a A3 como el ataque de A2 a A6 son ataques internos. Adicionalmente,

note que existen ataques que ocurren tanto internamente en un MATS como a trav´es de la funci´on de ataque entre argumentos de distintos tipos. Por ejemplo, el ataque entre A3 y

A4 ocurre en el MATS para el tipoW, as´ı como tambi´en a trav´es de la funci´on de ataque

140 Cap´ıtulo 5. Argumentaci´on Rebatible Basada en Tipos

Observe que la funci´on presentada en la Definici´on 5.22 es una funci´on de ataque entre argumentos de distinto tipo en el contexto de los MATM (ver Secci´on4.3.2 del Cap´ıtulo 4). Por lo tanto, utilizando esta ´ultima definici´on ser´a posible presentar formalmente c´omo es el MATM utilizado para computar la aceptabilidad de los argumentos representativos de un programa T-DeLP.

Definici´on 5.23 (MATM representativo) SeaPΓ _{= (Γ,Θ,∆)un programa T-DeLP,}

TAttPΓ la funci´on de ataque entre argumentos de distinto tipo paraPΓ, yCM A_PΓ conjunto

de los MATSs para los tipos de PΓ_{. El MATM representativo paraP}Γ_{, notadoM T AM}

PΓ

es tal que M AT MPΓ = (CM APΓ,TAtt_PΓ,FHerencia(Γ),FPref(Γ)).

Ejemplo 5.26 Considere el MATM representativo MPΓ para el programa PΓ del Ejem-

plo 5.11. MPΓ = (CM A_PΓ,TAtt_PΓ,FHerencia(Γ),FPref(Γ)), dondeCM A_PΓ es el conjunto

de los MATSs para los tipos A, W, N y τ presentados en el Ejemplo 5.24, TAttPΓ es la

funci´on ilustrada en el la Figura 5.4 del Ejemplo 5.25, FHerencia(Γ) es tal que AW,

Wτ y Nτ, y FPref(Γ)) es tal que N >>W, A>>N yA>>W. Note que la Figura 5.4 captura todos los componentes deMPΓ, a excepci´on de las preferencias entre los tipos. En

particular, observe que la relaci´on de herencia es capturada en tal figura mediante de la superposici´on de los rect´angulos que representan a los MATSs para los diferentes tipos.

Como se vio en el cap´ıtulo anterior, a partir de un MATM es posible especificar un Marco Argumentativo cl´asico [Dun95], en cual es posible aplicar cualquiera de las sem´anti- cas de aceptabilidad presentadas en la literatura de argumentaci´on. Con tal objetivo, se mostr´o que es necesario construir una la relaci´on de derrota entre los argumentos. Es- ta relaci´on busca capturar aquellos ataques que son efectivos, con lo cual un argumento derrotar´a a otro si lo ataca y es preferido ante el argumento atacado. En particular, re- cuerde que la preferencia entre dos argumentos es establecida analizando las preferencias indicadas en los MATSs a los que pertenecen estos argumentos (i.e. preferencia interna), y las preferencias entre los tipos de los argumentos (i.e. preferencia externa).

En los MATMs que se presentaron en el cap´ıtulo anterior se asume que los argumentos son entidades abstractas, libres de estructura interna. En un MATM que se construye a partir de un programa T-DeLP, los argumentos tendr´an una estructura interna, la cual repercutir´a al momento de determinar las derrotas entre argumentos.

Computando Aceptabilidad en T-DeLP 141 Θ = ( c d ) ∆ =        at1_—<bt3 bt3_—<c ∼bt2_—<d       

Adicionalmente, la relaci´on de herencia es s´olo la obtenida por defecto (t1,t2 y t3 he- redan del tipo base τ), la relaci´on de preferencia entre tipos es tal que t3 >> t2 >>

t1, y bt3

∼b

t2_{. Note que a partir de este programa es posible construir los siguientes}

argumentos representativos:

hB1, at1i=h{(at1—<bt3),(bt3—<c), c}, at1i

hB2, bt3i=h{(bt3—<c), c}, bt3i

hB3,∼bt2i=h{(∼bt2—<d), d},∼bt2i

Observe que el argumento hB3,∼bt2i ataca a hB1, at1i en el subargumento hB2, bt3i, ya

que bt3 ∼bt2. En consecuencia, ese ataque estar´a en el MATM representativo para este programa. Adem´as, siguiendo la noci´on de preferencia de tipos para el MATM, observe que hB3,∼bt2i es externamente preferido a hB1, at1i porque t2>>t1. Luego se tiene que

hB3,∼bt2i derrota a hB1, at1i.

Note que la derrota es mostrada en el Ejemplo 5.27 es contra-intuitiva ya que, si bien

t2>>t1, el ataque dehB3,∼bt2iahB1, at1ise produce enhB2, bt3ique es de tipot3, el cual

es preferido ante t2. Como se puede observar, la situaci´on indeseada se presenta debido a que la derrota se establece a partir de la preferencia entre el argumento atacante y el argumento atacado, en lugar de considerar el argumento atacante y el subargumento del argumento atacado. Por lo tanto, para estos MATM se presentar´a una versi´on diferente de derrota, la cual considera las preferencias entre el argumento atacante y el subargumento del argumento atacado.

Definici´on 5.24 (Derrota MATM representativo) Sea M AT MPΓ = (CM APΓ,

TAttPΓ,FHerencia(Γ),FPref(Γ)) el MATM representativo de un programa T-DeLPPΓ. Un

argumento representativo A derrota a otro argumento representativo B, notado A→PΓB,

si y solo si A*B, con A atacando a B en un subargumento representativo C, y A>M TC

o bien A M T C yC M T A4. 4_{Las relaciones*y>}

M T de ataque y preferencia global respectivamente, son aquellas definidas para

142 Cap´ıtulo 5. Argumentaci´on Rebatible Basada en Tipos

Ejemplo 5.28 Considere el MATM representativo MPΓ para el programa T-DeLP PΓ

del Ejemplo 5.11, el cual fue presentado en el Ejemplo 5.26. La Figura 5.5 a continuaci´on ilustra mediante flechas gruesas las derrotas que surgen entre los argumentos representa- tivos de PΓ_.

Figura 5.5: Derrotas para programa T-DeLP del Ejemplo 5.11.

Utilizando esta noci´on de derrota en conjunto con los argumentos de estos MATMs ser´a posible aplicar las sem´anticas de aceptabilidad presentadas en los cap´ıtulos 3 y 4. En particular, como se mostr´o en el cap´ıtulo anterior, para todo MATM existe un marco argumentativo abstracto [Dun95] asociado, sobre el cual es posible aplicar las sem´anticas de aceptabilidad. Por lo tanto, si un argumento es aceptado bajo una sem´antica en el marco abstracto asociado, tambi´en ser´a aceptado en el MATM correspondiente, y por lo tanto en el programa T-DeLP respectivo, bajo esa sem´antica.

Definici´on 5.25 (Argumento representativo aceptado) Sea PΓ _{= (Γ,Θ,∆) un}

programa T-DeLP, M AT MPΓ=(CM A_PΓ, TAtt_PΓ, FHerencia(Γ), FPref(Γ)) el MATM re-

presentativo de PΓ _{y S una sem´antica de aceptabilidad. El argumento A es:}

esc´epticamente aceptado en PΓ _{bajo S si y solo si A pertenece a toda extensi´on de}

Computando Aceptabilidad en T-DeLP 143

cr´edulamente aceptado en PΓ _{bajo S si y solo si A pertenece a alguna extensi´on de}

(MArgs(M AT MPΓ),→_PΓ); o

rechazado en PΓ _{bajo S si y solo si A no pertenece a ninguna extensi´on de}

(MArgs(M AT MPΓ),→_PΓ).

Ejemplo 5.29 Continuando con el escenario presentado para el programa T-DeLP PΓ

del Ejemplo 5.11, su MATM representativo y las derrotas entre sus argumentos, se ob- tiene el siguiente marco argumentativo (MArgs(MPΓ),→_PΓ), el cual es un resumen de la

Figura 5.5:

Considere la sem´antica grounded presentada en el Cap´ıtulo 3. Se puede observar que, a partir de este marco argumentativo, los argumentos que pertenecen a la extensi´on grounded son {H1,H2,H3,H4,H5,H6,A2,A3,A5}. Estos ser´an entonces los argumentos esc´eptica-

mente (y cr´edulamente, dado que hay una ´unica extensi´on) aceptados. Los argumentos rechazados bajo esta sem´antica son {A1,A4,A6,A7}.

Dados los argumentos aceptados ser´a posible determinar finalmente qu´e literales ti- pados se pueden inferir a partir de un programa T-DeLP. B´asicamente, si un argumento est´a aceptado, entonces su conclusi´on ser´a un literal tipado inferido a partir del programa. Claramente, en tal sentido s´olo se utilizar´an los argumentos esc´epticamente aceptados ya que, si se considerasen los cr´edulos, ser´ıa posible inferir literales en desacuerdo.

Definici´on 5.26 (Literal Tipado Inferido) SeaPΓ _{un programa T-DeLP,L}T _{un lite-}

ral tipado y S una sem´antica de aceptabilidad. El programa PΓ _infiereLT _{bajo S, notado}

PΓ _`

S LT, si y solo si existe un argumento representativo hA, LTi tal que es esc´eptica-

mente aceptado en PΓ _{bajo S. En otro caso P}Γ

0S LT.

Ejemplo 5.30 Continuando con el Ejemplo 5.29 los literales inferidos ser´an

{articulo(a1, cronica)N_{, tema(a1, crimen(bA))}N_{, caro(bA)}W_{, inversion(bB)}W_, inversion(bA)W_{, ∼crimen(bA)}A_{, seguro(bA)}A_{, comprar(bA)}A_{, comprar(bA)}W _}.

144 Cap´ıtulo 5. Argumentaci´on Rebatible Basada en Tipos

Este modelo de aceptabilidad para los argumentos de T-DeLP sigue la mec´anica exten- sional. Como se vio en cap´ıtulos anteriores, esta mec´anica no es siempre la m´as adecuada debido a su costo computacional, y dado que se aleja de la naturaleza dial´ectica de argu- mentaci´on. En la siguiente secci´on se mostrar´a una aproximaci´on dial´ectica similar a la de DeLP, la cual se valdr´a de varios conceptos introducidos hasta hasta el momento.