Preferencias en un MATM

La relaci´on de preferencia en el contexto de un MATM requiere un an´alisis m´as profun- do que el realizado para la relaci´on de ataque. Esto se debe a que esta relaci´on est´a princi- palmente vinculada con la dependencia entre los tipos generada por la relaci´on de herencia. Intuitivamente, las preferencias establecidas para los tipos m´as especializados deber´ıan sobrescribir las preferencias establecidas para los tipos menos especializados. Esto es, un argumento deber´ıa ser preferido a otro argumento si hay una preferencia establecida en (entre) alg´un tipo, y esta preferencia no es sobrescrita en alg´un tipo m´as especializado. Por lo tanto, ser´a necesario analizar la relaci´on de herencia para determinar si un argumento es preferido a otro en el contexto de un MATM.

La relaci´on de herencia en los MATM conduce a una red de herencia [HTT90, TK93] entre sus tipos. Este tipo de redes denotan un grafo dirigido ac´ıclico, donde los nodos son tipos y los arcos dirigidos son las relaciones de herencia entre ellos. Para mostrar que la relaci´on de herencia en los MATMs conduce a una red de herencia, se demostrar´a que la relaci´on de herencia es no circular.

82 Cap´ıtulo 4. Marcos Argumentativos Abstractos Basados en Tipos

Proposici´on 4.1 Sea M T = (CT,−.−,TAtt, >T) un MATM, y Ti, Tj ∈ CT tales que

Ti−.−Tj. Entonces, @Tk ∈CT, Tk 6=Ti, Tk6=Tj, tal que Tj−.−Tk y Tk−.−Ti.

Prueba : Asuma que ∃Ti, Tj, Tk ∈CT tales que Ti−.−Tj, Tk−.−Ti y Tj−.−Tk. Entonces,

por transitividadTi−.−Ti, lo cual es una contradicci´on ya que la relaci´on de herencia debe

ser no reflexiva. 2

Por lo tanto, dadas las caracter´ısticas de la relaci´on −.−, ser´a posible construir un grafo dirigido ac´ıclico en base a la herencia entre tipos de argumento en un MATM. Este grafo ser´a llamado−.−grafo, y ser´a tal que sus nodos ser´an los MATSs y sus arcos estar´an determinados por la relaci´on−.−del MATM asociado. Estos grafos ser´an utilizados para explicar c´omo se obtienen las preferencias para los argumentos en el contexto de los MATMs.

Para determinar las preferencias de los argumentos en los MATMs es necesario consi- derar dos casos: cuando las preferencias est´an establecidas dentro de un MATS, o cuando las preferencias entre los argumentos est´an establecidas a trav´es de la relaci´on de preferen- cia entre tipos. A continuaci´on se analizar´an ambas situaciones y se proveer´an definiciones para cada uno de estos casos.

Preferencia Interna

Como se present´o en la Definici´on 4.1, un MATS puede definir preferencias entre sus argumentos. Sin embargo, la relaci´on de herencia en un MATM permite a un subtipo de un MATS redefinir las preferencias entre los argumentos establecidas por sus ancestros. Por ejemplo, considere el MATM de la Figura 4.2, dondeTc−.−Tb−.−Tay los argumentos

X eY pertenecen a los tres tipos de argumento. A continuaci´on se analizar´a la relaci´on de preferencia entreX eY en el contexto de este MATM. El MATS Ta establece queX Y,

pero esta preferencia es sobrescrita por la preferencia establecida en Tb, dado que Tb es

un tipo de argumento m´as especializado que Ta. Por otra parte, si bien Tc es un tipo de argumento m´as especializado que Tb, Tc no establece ninguna preferencia entre X e Y.

Por lo tanto, en este MATM el argumentoY deber´ıa ser preferido al argumentoX. La situaci´on mostrada en la Figura 4.2 ilustra la noci´on de preferencia interna, donde la preferencia entre dos argumentos es establecida dentro de un MATS T, pero puede ser sobrescrita por MATSs m´as especializados que hereden deT. Es decir, un argumento N

Marcos Argumentativos de Tipos M´ultiples 83

Figura 4.2: Preferencias redefinidas y herencia.

ser´a internamente preferido a otro argumento M, si para cualquier MATS que establece que M es preferido a N, existe un MATS m´as especializado que establece lo contrario. Formalmente:

Definici´on 4.8 (Preferencia interna) Sea M T = (CT,−.−,TAtt, >T) un MATM y

A,B dos argumentos de MArgs(M T). El argumento A es internamente preferido al argu- mento B en MT, notado A >I B, si y solo si:

existe un MATS Ti en CT tal que AB est´a en Ti, y

para todo MATS Tj de CT tal que BA est´a en Tj, existe un Tk en CT tal que Tk−.−Tj y AB est´a en Tk.

La Definici´on 4.8 sigue el esp´ıritu de la agregaci´on de preferencias en el contexto de argumentaci´on presentado en [APP00]. Esto se debe a que la preferencia interna captura la intuici´on de que en los marcos argumentativos puede haber varios ´ordenes de preferencia entre los argumentos, y estos ´ordenes son ordenados o elegidos por otra relaci´on. En este caso, los m´ultiples ordenes est´an dados por los MATSs y el orden o selecci´on sobre estos ´

ordenes est´a determinado por la relaci´on de herencia.

Ejemplo 4.6 Considere los MATMs ilustrados en las figuras 4.3 (a), (b) y (c). A con- tinuaci´on se analizar´a la relaci´on de preferencia interna entre los argumentos de estos MATMs.

84 Cap´ıtulo 4. Marcos Argumentativos Abstractos Basados en Tipos

Figura 4.3: Preferencias internas en los MATMs.

Note que en el MATM de la Figura 4.3(a) U es internamente preferido a V, porque existe un tipoT i2que estableceV U, peroT i3que hereda deT i2estableceU V. En el MATM de la Figura 4.3(b) se da queZ _≯I W yW ≯I Z, ya que al analizar si Z es internamente

preferido aW, existe el tipo T i6 que establece W Z y no existe ning´un tipo que herede de Ti6 y diga lo contrario; por otra parte, al analizar si Z es internamente preferido a

W ocurre una situaci´on an´aloga con el tipo T i5. Similar es el caso de la Figura 4.3(c), donde se da que X _≯I Y e Y ≯I X, ya que en T i7 se establece que X e Y son igual de

preferidos y no hay ning´un tipo que herede de T i7y establezca una preferencia por uno o por otro.

Una propiedad que cumple la relaci´on de preferencia interna es que, si A es inter- namente preferido a B, entonces existir´a un conjunto de MATSs m´as especializados que establecen que A es preferido a B, y no habr´a ning´un tipo que herede de ellos y esta- blezca lo mismo o lo contrario. Esta propiedad se encuentra formalizada en la siguiente proposici´on.

Proposici´on 4.2 Sea M T = (CT,−.−,TAtt, >T) un MATM y A,B dos argumentos de

MArgs(M T). Si A >I B entonces existe un Ti en CT que establece AB y no existe un

Tj ∈CT tal que Tj−.−Ti y Tj establece BA o AB.

Prueba :Por Definici´on 4.8 de preferencia interna, y dado que la Proposici´on 4.1 enuncia que la relaci´on de herencia es no circular, entonces existe alg´un Ti en CT que establece

AB, y no existe ning´un Tk en CT tal que Tk−.−Ti y Tk establezca lo mismo que Ti. Luego para Ti no existir´a un Tj en CT tal que Tj−.−Ti y que establezca BA, ya que

Marcos Argumentativos de Tipos M´ultiples 85

El conjunto de todos los MATSs que cumplen esta propiedad paraA>IBser´a llamado

IT(A,B). La importancia de los tipos de este conjunto radica en que son los que finalmente rectifican queAes internamente preferido aB, ya que no habr´a otro tipo m´as especializado que diga lo contrario. Este conjunto ser´a ´util para definir la preferencia global entre dos argumentos de un MATM, como se ver´a m´as adelante.

Definici´on 4.9 (Conjunto IT) Sea M T = (CT,−.−,TAtt, >T) un MATM y A,B dos

argumentos de MArgs(M T) tales que A >I B en MT. El conjunto IT(A,B) para A, B,

es tal que todo Ti ∈IT(A,B) es un tipo que verifica la Proposici´on 4.2.

Preferencia Externa

Otra situaci´on que debe considerarse al momento de definir la relaci´on de preferen- cia en un MATM ocurre cuando hay herencia y preferencias establecidas entre tipos de argumentos. Por ejemplo, considere la situaci´on ilustrada en la Figura 4.4. A continua- ci´on se analizar´a la preferencia entre W y Z en el contexto del MATM. Se cuenta con tres MATSs Td, Te y Tf tales que Te−.−Td, y la relaci´on de preferencia entre tipos de

argumento es la ilustrada en la figura. A´un cuando Tf es preferido aTd, el argumento W

tambi´en pertenece a un tipo m´as especializado (Te), el cual es preferido ante Tf. Por lo

tanto, en este caso W deber´ıa ser preferido a Z. Note que en la situaci´on presentada en el Ejemplo 4.4 ocurre algo similar.

Figura 4.4: Preferencias entre tipos de argumento y herencia.

Este ejemplo ilustra la otra forma de preferencia en los MATM, lapreferencia externa. En este caso, la preferencia determinada por una relaci´on de preferencia entre tipos puede ser sobrescrita por una preferencia entre tipos involucrando a un tipo m´as especializado. Luego, se dir´a que un argumento N ser´a externamente preferido a otro argumento M, si para cada tipo TM asociado a M tal que es preferido a un tipo asociado a N, existe un

86 Cap´ıtulo 4. Marcos Argumentativos Abstractos Basados en Tipos

tipo m´as especializado de N tal que es preferido aTM o alguno de sus tipos descendientes (que tambi´en sea tipo deM). Formalmente:

Definici´on 4.10 (Preferencia externa) Sea M T = (CT,−.−,TAtt, >T) un MATM y

A,B dos argumentos de MArgs(M T) tales que Tipos(A, M T) = T sA y Tipos(B, M T) = T sB. El argumento A es externamente preferido al argumento B, notado A >E B, si y

solo si:

existen un tipoT1 ∈T sA y un tipo T2 ∈T sB tales que T1>T T2, y

para todo Tj ∈T sB, Ti ∈T sA tales que Tj>T Ti, existenTk∈T sA y Tl ∈T sB tales

queTk−.−Ti, Tl−.−Tj y Tk>T Tl.

Ejemplo 4.7 Considere los MATMs ilustrados en las figuras 4.5 (a), (b) y (c). A con- tinuaci´on se analizar´a la relaci´on de preferencia externa entre los argumentos de estos MATMs.

Figura 4.5: Preferencias externas en los MATMs.

Note que en el MATM de la Figura 4.3(a)V es externamente preferido a U, porque el tipo

T e3 al cualV pertenece es preferido al tipo T e2 de U, y no existe ning´un tipo que herede de ellos y establezca lo contrario. En el MATM de la Figura 4.3(b) se da que Z _≯E W

y W _≯E Z ya que, por ejemplo, al analizar si Z es externamente preferido a W, existe

el tipo T e5 de Z que es preferido al tipo T e4 de W, pero T e5 es tambi´en un tipo de W

que es preferido al tipo T e4 de Z y no hay ning´un tipo que herede de ellos y establezca alguna preferencia. En el caso de la Figura 4.3(c) Y >E X, ya que si bien existe el tipo T e7 de X que es preferido al tipo T e9 de Y, el tipo T e9 es preferido a T e8 que es un descendiente de T e7, y no existe otro tipo descendiente que establezca lo contrario.

Marcos Argumentativos de Tipos M´ultiples 87

Note que entre los argumentos S y C del Ejemplo 4.5 se presenta una situaci´on clara de preferencias externas, teniendo en cuenta que T1>TT2 y T3>TT1.

Recuerde que como se muestra arriba el argumento S pertenece a los tipos T1 y T3,

mientras que el argumento C pertenece al tipo T2. Si bien, el tipo T2 es preferido al tipo

T1, el tipoT3 (que hereda del tipoT1) es preferido al tipo T2. Por lo tanto, dado queC no

pertenece a ning´un otro tipo tal que sea preferido a un tipo de S, se tiene que S>E C. De manera similar a la preferencia interna, la preferencia externa puede identificar un conjunto de MATSs m´as especializados que determinan finalmente la preferencia externa entre dos argumentos. Es decir, si A es externamente preferido a B existir´a al menos un MATS de Aque es preferido a uno de B, ningu´un MATS deB ser´a preferido a ese MATS de A, y no habr´a otro MATS m´as especializado de A que cumpla esas condiciones. Esto se encuentra formalizado en la siguiente proposici´on.

Proposici´on 4.3 Sea M T = (CT,−.−,TAtt, >T) un MATM y A,B dos argumentos de

MArgs(M T) tales que Tipos(A, M T) = T sA yTipos(B, M T) = T sB. SiA >E B entonces

existe un Ti en T sA tal que Ti>T Tj para alg´un Tj en T sB, y para todoTk en T sA tal que Tk−.−Ti no existe ning´un Tl en T sB tal que Tl>T Tk o Tk>T Tl.

Prueba : Por Definici´on 4.10 de preferencia externa, y dado que la Proposici´on 4.1 esta- blece que la relaci´on de herencia es no circular, entonces existe alg´un Ti en T sA tal que Ti>T Tj para alg´un Tj en T sB y, adem´as, no hay ning´un Tk en T sA tal que Tl>TTm con Tm en T sB. Luego, no existir´a ning´un Tl en T sB tal que Tl>TTk con Tk−.−Ti y Tk en T sA, ya que sino A no ser´ıa externamente preferido a B. 2

El conjunto de todos los MATSs que cumplen esta propiedad paraA>E Bser´a llamado ET(A,B). La importancia de los tipos de este conjunto es que son los que finalmente ratifican queAes externamente preferido aB, ya que no habr´a otro tipo m´as especializado que diga lo mismo o lo contrario. Este conjunto ser´a ´util para definir la preferencia global entre dos argumentos de un MATM, como se ver´a m´as adelante.

88 Cap´ıtulo 4. Marcos Argumentativos Abstractos Basados en Tipos

Definici´on 4.11 (Conjunto ET) SeaM T = (CT,−.−,TAtt, >T)un MATM yA,Bdos argumentos de MArgs(M T) tales que A >E B en MT. El conjunto ET(A,B) para A, B,

es tal que todo Ti ∈ET(A,B) es un tipo que verifica la Proposici´on 4.3.

Preferencia Global en MATM

Las nociones formalizadas en las definiciones 4.8 y 4.10 siguen el principio de antici- paci´on (preemption en ingl´es) presentado en la literatura de redes de herencia [HTT90]. La intuici´on detr´as de este concepto radica en que las relaciones basadas en tipos m´as especializados reemplazan a las relaciones basadas en tipos menos especializados. Ambas definiciones siguen este principio al indicar que la preferencia entre dos argumentos se establece en un tipo, si y solo si no es sobrescrita por una preferencia que indique lo contrario en tipos m´as especializados.

Para poder definir la relaci´on de preferencia global de los argumentos de un MATM ser´a necesario relacionar las preferencias interna y externa. En la siguiente tabla se muestra c´omo las distintas combinaciones de preferencias externas e internas influyen al momento de determinar la preferencia global de un argumentoA por sobre otro argumento B.

Preferencia Externa Preferencia Interna Preferencia Global

A >E B A >I B A >M T B

A _≯E B A≯I B A≯M T B

A >E B B≯I A A >M T B

B _≯E A A >I B A >M T B

A >E B B >I A Analizar los tipos de ET(A,B) yIT(B,A)

B >E A A >I B Analizar los tipos de ET(B,A) yIT(A,B)

Si un argumento A es externamente e internamente preferido a otro argumento B, cla- ramente A ser´a preferido a B en el MATM. En el caso completamente opuesto, donde

A no es ni internamente ni externamente preferido a B, A no ser´a preferido a B en el MATM. Por otra parte, cuando A es externamente preferido a B y no ocurre que B es internamente preferido a A, entonces A ser´a globalmente preferido a B. Cuando A es internamente preferido aB y Bno es externamente preferido a A la situaci´on es an´aloga. Entonces, cuando solo uno o los dos tipos de preferencias establecen que A es preferido sobre B, claramente A ser´a globalmente preferido a B.

Marcos Argumentativos de Tipos M´ultiples 89

Note que el an´alisis en el caso en que las preferencias se contraponen es m´as com- plejo. Considere el MATM de la Figura 4.6. En este escenario puede observarse que los argumentos U yV pertenecen al MATS T1, el cual estableceU V. Adem´as,U tambi´en pertenece al MATST2 que hereda deT1, yV pertenece al MATST3 que tambi´en hereda de T1. En particular, estos dos tipos son tales queT3>TT2.

Figura 4.6: Preferencias internas y externas contrapuestas.

Por lo tanto, observe que en esta situaci´on, por una parte, U ser´a internamente preferido a V ya que se establece una preferencia U V en T1 y no hay ning´un otro MATSs que lo contradiga. Por otra parte, note que V ser´a externamente preferido a U, ya que existe un tipo de V que es preferido a un tipo de U (T3 >T T2), pero no viceversa. Se tiene

entonces que, a pesar de que U sea internamente preferido aV, la preferencia externa de

V sobre U se establece en un par de tipos m´as especializados que el tipo que establece la preferencia interna. Por lo tanto, en este contexto es esperable que V sea globalmente preferible a U.

La situaci´on ilustrada en el p´arrafo anterior se generaliza de la siguiente manera. B´asicamente, si un argumentoAes externamente preferido a otro argumentoB peroBes internamente preferido a A, entoncesA ser´a globalmente preferido a B s´olo si para todo tipo en IT(B,A) existen un subtipo ET(A,B) tal que establece la preferencia externa.

El caso inverso a la situaci´on descripta en el p´arrafo anterior resulta an´alogo. Es decir, el caso en que A sea internamente preferido B y B sea externamente preferido a A, pero los tipos de IT(A,B) son subtipos de los de ET(B,A). En este caso, A deber´ıa ser globalmente preferidoB. Teniendo en cuenta esta situaci´on y las descriptas en los p´arrafos anteriores, a continuaci´on se presentar´a la definici´on de preferencia global en el contexto de un MATM.

90 Cap´ıtulo 4. Marcos Argumentativos Abstractos Basados en Tipos

Definici´on 4.12 (Preferencia global) Sea M T = (CT,−.−,TAtt, >T) un MATM y

A,B dos argumentos de MArgs(M T). El argumento A es globalmente preferido al argu- mento B en MT, notado A >M T B, si y solo si:

A>EB y B≯I A;

A>IB y B≯E A;

A>EB, B>IA, y para todo tipo Ti en IT(B,A) existe un tipo Tj en ET(A,B) tal

queTj−.−Ti; o

A>IB, B>EA, y para todo tipo Ti en ET(B,A) existe un tipo Tj en IT(A,B) que

Tj−.−Ti.

Por ejemplo, note que en el MATM del Ejemplo 4.5, se dar´an las siguientes preferencias globales:S >M T A,S >M T B, P >M T R,R >M T C, y S >M T C. Adem´as, observe que la

relaci´on de preferencia global no establece ninguna predilecci´on entre preferencias externas e internas.

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