Los problemas de programación lineal que tienen sólo dos variables de decisión, como el problema de Wyndor, pueden resolverse con un método gráfico.
Aunque este método no se puede usar para resolver problemas con más de dos variables de decisión (y la mayor parte de los problemas de programación lineal tienen mucho más que dos), vale la pena aprenderlo. El procedimiento proporciona una comprensión geométrica intuitiva de la programación lineal y lo que intenta lograr. La intuición ayudará a analizar problemas más grandes que no se pueden resolver directamente con un método gráfico.
Resulta más conveniente aplicar el método gráfico a la versión algebraica del modelo de progra- mación lineal y no a la de hoja de cálculo. El método se ilustrará con el modelo algebraico desarro- llado para el problema Wyndor en la sección anterior. (En el CD-ROM, en el suplemento de este capítulo, se hace una descripción mucho más detallada del método gráfico y de su aplicación al problema de Wyndor.) Para ello recuerde que
P = tasa de producción para las nuevas puertas (el número en la celda cambiante C12 de la hoja
de cálculo)
V = tasa de producción para las nuevas ventanas (el número en la celda cambiante D12 de la
hoja de cálculo)
La clave para el método gráfico es el hecho de que se pueden mostrar las soluciones posibles como puntos en una gráfica de dos dimensiones que tiene un eje horizontal para el valor de P y uno vertical para el valor de V. En la figura 2.5 se encontrarán algunos puntos muestra.
Notación: Ya sea (P, V) = (2,3), o simplemente (2,3) se refiere a la solución en la que P = 2 y V = 3,
así como al punto correspondiente en la gráfica. De la misma manera, (P, V) = (4, 6) significa que P = 4 y V = 6, mientras que el origen (0, 0) significa P = 0 y V = 0.
Para encontrar la solución óptima (la mejor solución factible), primero debemos mostrar gráfi- camente dónde están las soluciones factibles. Para hacer esto, debemos considerar cada restricción, identificar gráficamente las soluciones permitidas por esa restricción y luego combinar esta infor- mación para identificar las soluciones permitidas por todas las restricciones. Estas últimas son las soluciones factibles y la parte de la gráfica de dos dimensiones donde están todas las soluciones factibles se llama región factible.
Preguntas
de repaso
método gráfico El método gráfico ayuda a la comprensión intuitiva de la programación lineal. A menudo, los científicos de la administración usan modelos algebraicos, pero en general, los gerentes prefieren los modelos de hoja de cálculo.
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La región sombreada de la figura 2.6 muestra la región factible para el problema Wyndor. Ahora se describirá cómo se identificó esa región factible considerando las cinco restricciones a la vez.
V P 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 –1
Una mezcla de productos con P = 2 y V = 3
Una mezcla de productos con P = 4 y V = 6
Tasa de producción de puertas (unidades por semana) Origen
T
asa de pr
oducción de v
entanas (unidades por semana)
0 –1 –2 (2, 3) (4, 6) V P 10 8 6 4 2 2 4 6 8 Tasa de producción de puertas
T asa de pr oducción de v entanas 0 3P + 2V = 18 P = 4 2V = 12 Región factible FIGURA 2.6 La gráfica muestra cómo se forma la región factible con las rectas de restricción de frontera, donde las flechas indican qué lado de cada recta está permitido por la restricción correspondiente. FIGURA 2.5 La gráfica muestra los puntos (P,V) = (2,3) y (D,V) = (4,6) para el problema de mezcla de productos de Wyndor Glass Co.
2.4 Método gráfico para resolver problemas de dos variables 29
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Para comenzar, la restricción P ≥ 0 implica que los puntos considerados deben limitarse a los que están en eje V o a la derecha del mismo. De manera similar, la restricción V ≥ 0 limita los puntos a los que están en o arriba del eje P.
Ahora considere la primera restricción funcional, P ≤ 4, la cual limita el uso de la planta 1 para producir las nuevas puertas a un máximo de cuatro horas a la semana. Las soluciones permitidas por esta restricción son las que están en, o a la derecha de la recta vertical que corta el eje P en P = 4, como indican las flechas que señalan a la izquierda de esta línea en la figura 2.6.
La segunda restricción funcional, 2V ≤ 12, tiene un efecto parecido, pero ahora la frontera de la región permitida está dada por una recta horizontal con la ecuación 2V ≤ 12 (o V = 6), como indican las flechas que señalan hacia abajo de esta recta en la figura 2.6. La línea que forma el límite de lo que está permitido por una restricción en ocasiones recibe el nombre de línea de frontera de
restricción, y su ecuación puede llamarse ecuación de frontera de restricción. A menudo, una línea de frontera de restricción se identifica por su ecuación.
Advierta que para cada una de las dos primeras restricciones funcionales, P ≤ 4 y 2V ≤ 12, la ecuación de la línea de frontera de restricción (P = 4 y 2V = 12, respectivamente), se obtiene sustitu- yendo el signo de desigualdad por el de igualdad. Para cualquier restricción con un signo de desigual- dad (ya sea restricción funcional o una restricción de no negatividad), la regla general para obtener su ecuación de frontera de restricción es sustituir el signo de desigualdad por el de igualdad.
Ahora debemos considerar una restricción funcional más, 3P + 2V ≤ 18. Su ecuación de fron- tera de restricción
3P + 2V = 18
incluye ambas variables, por lo que la recta de la frontera que representa no es una línea vertical ni una línea horizontal. Por lo tanto, la recta de la frontera debe interceptar (cruzar) ambos ejes en algún punto. Pero ¿dónde?
Cuando una línea de frontera de restricción no es vertical ni horizontal, la recta cruza el eje P en el punto de la recta donde V = 0. De manera similar, la recta intercepta el eje V en el punto de la recta donde P = 0.
Entonces la línea de frontera de restricción 3P + 2V = 18 cruza el eje P en el punto donde
V = 0.
Cuando V = 10, 3P + 2V = 18 se convierte en 3P = 18 por lo que la intercepción (abscisa) con el eje P = 6
De la misma manera, la línea cruza el eje V donde P = 0.
Cuando P = 0, 3P + 2V = 18 se convierte en 2V = 18 por lo que la intercepción (ordenada) con el eje P es V = 9
Por lo tanto, la línea de frontera de restricción pasa por estas dos intercepciones (abscisa y orde- nada), como se muestra en la figura 2.6.
Como indican las flechas que emanan de esta línea de la figura 2.6, las soluciones permitidas por la restricción 3P + 2V ≤ 18 son las que están en el lado del origen de la línea de frontera de res- tricción 3P + 2V = 18. La forma más sencilla de verificar esto es comprobar si el origen mismo (P,
V) = (0,0) satisface la restricción.3 Si así es, entonces la región permitida está en el lado de la frontera de restricción donde está el origen. De otra manera, está del otro lado. En este caso
3(0) + 2(0) = 0 por lo que (P, V) = (0,0) satisface
3D + 2V ≤ 18
(En realidad, el origen satisface cualquier restricción con signo ≤ y el lado derecho positivo.) Una solución factible para un problema de programación lineal debe satisfacer todas las restric- ciones simultáneamente. Las flechas en la figura 2 indican que las soluciones no negativas que permite
3 El único caso en que utilizar el origen para determinar la región permitida no funciona es cuando la línea de frontera de restricción pasa por el origen. En este caso, cualquier otro punto que no esté en la línea puede usarse justo como se usó el origen.
Al verificar si (0,0) satisface una restricción, se encuentra qué lado de la línea de restricción de frontera satisface la restricción.
Para cualquier restricción con un signo de des- igualdad, su ecuación de restricción de frontera se obtiene sustituyendo el signo de desigualdad con el signo de igualdad.
La ubicación de una línea de restricción de frontera inclinada se encuentra identificando las intercep- ciones con cada uno de los dos ejes.
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cada una de las restricciones se encuentran en el lado de la línea de frontera de restricción donde está el origen (o sobre la línea misma). Por lo tanto, las soluciones factibles son las que están más cerca del origen que las tres líneas de frontera de restricción (o sobre la línea más cercana al origen).
Una vez identificada la región factible, el paso final consiste en encontrar cuál de estas solucio- nes factibles es la mejor, es decir, la solución óptima. Para el problema de Wyndor, el objetivo es maxi-
mizar la ganancia total por semana de los dos productos (denotada por G). Así, queremos encontrar
la solución factible (P, V) que hace que el valor de la función objetivo
G = 300P + 500V
sea lo más grande posible.
Para lograr esto debemos localizar todos los puntos (P, V) en la gráfica que dan un valor especi- ficado de la función objetivo. Por ejemplo, considere un valor de G = 1 500 para la función objetivo. ¿Qué puntos (P, V) dan 300P + 500V = 1 500?
Esta ecuación es la ecuación de una recta. Igual que al graficar líneas de frontera de restricción, la ubicación de esta recta se encuentra identificando sus intercepciones con los ejes. Cuando V = 0, esta ecuación da P = 5 y; en forma similar, V = 3 cuando D = 0. Por lo que éstas son las dos inter- cepciones, como muestra la recta inclinada que atraviesa la región factible en la figura 2.7.
G = 1 500 es sólo un valor muestra de la función objetivo. Para cualquier otro valor especificado
de P, los puntos (P, V) que dan ese valor de P también están en una recta que se denomina recta de
la función objetivo.
Una recta de la función objetivo es una línea cuyos puntos dan el mismo valor de la función objetivo.
Para la recta de la función objetivo hasta abajo en la figura 2.7, los puntos que están dentro de la región factible toman valores alternativos para lograr el valor G = 1 500. ¿Hay un valor mejor? Intentemos duplicar el valor de G de tal manera que G = 3 000. La recta de la función objetivo correspondiente
300D + 500V = 3 000
se muestra como la línea de en medio en la figura 2.7. (Por ahora ignore la línea de arriba.) De nuevo, esta recta incluye puntos en la región factible, por lo que G = 3 000 se puede lograr.
Hacemos una pausa para ver dos características interesantes de estas rectas de la función obje- tivo para G = 1 500 y G = 3 000. Primero, estas rectas son paralelas. Segundo, al duplicar el valor de
G de 1 500 a 3 000 también se duplica el valor de V donde la línea cruza el eje V de V = 3 a V = 6.
Estas características no son coincidencia, como indican las propiedades siguientes.
V P 8 6 4 2 2 4 6 8 10 Tasa de producción de puertas
Tasa de producción de ventanas 0 Región factible G = 1 500 = 300P + 500V Solución óptima G = 3 000 = 300P + 500V G = 3 600 = 300P + 500V (2, 6) región factible
Los puntos en la región factible son los que satisfacen todas las restricciones.
FIGURA 2.7 La gráfica muestra tres rectas de función objetivo para el proble- ma de mezcla de productos de Wyndor Glass Co., donde la línea de arriba pasa por la solución óptima.
2.4 Método gráfico para resolver problemas de dos variables 31
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Propiedades clave de las rectas de la función objetivo: Todas las rectas de la función objetivo para el mismo problema son paralelas. Aún más, el valor de V en el que la recta de la función objetivo cruza el eje V es proporcional al valor de G.
Estas propiedades clave de las rectas de la función objetivo sugieren la estrategia a seguir para encontrar la solución óptima. Se intentaron G = 1 500 y G = 3 000 en la figura 2.7 y se encontró que sus rectas de la función objetivo incluyen puntos en la región factible. Aumentar G de nuevo generará otra función objetivo paralela más lejos del origen. La recta de la función objetivo de interés especial es la que está más lejos del origen pero que todavía incluye un punto en la región factible. Ésta es la ter- cera recta de la función objetivo en la figura 2.7. El punto en esta recta que está en la región factible (P,
V) = (2,6) es la solución óptima ya que ninguna otra solución factible tiene un valor más alto de G. Solución óptima
P = 2 (producir 2 nuevas puertas por semana) V = 6 (producir 6 nuevas ventanas por semana)
Es posible sustituir estos valores de P y de V en la función objetivo para encontrar el valor de G.
G = 300P + 500V = 300(2) + 500(6) = 3 600
Los módulos interactivos de ciencia administrativa (Interactive Management Science Modu- les) (disponibles en www.mhhe.com/hillier3e o en su CD-ROM) incluyen un módulo diseñado para ayudarle a comprender mejor el método gráfico. Este módulo, llamado Programación lineal gráfica
y análisis de sensibilidad, le permite observar de inmediato cuáles son las líneas de frontera de restric-
ción y las rectas de la función objetivo que se obtienen en cualquier modelo de programación lineal con dos variables de decisión. También puede ver cómo las rectas de la función objetivo llevan a la solución óptima. Otra característica clave del módulo es la facilidad con la que puede realizar un análisis de “qué pasa si”.