Dwight y Hattie han manejado la granja familiar durante 30 años. Actualmente planean la mezcla de cultivos que plantarán en su granja de 120 acres para la temporada que se avecina. La tabla pro- porciona las horas de mano de obra y el fertilizante requeridos por acre, así como la ganancia total esperada por acre para cada uno de
los cultivos potenciales que se consideran. Dwight, Hattie y sus hijos pueden trabajar al menos 6 500 horas en total durante la temporada que viene. Disponen de 6 500 toneladas de fertilizante. ¿Qué mez- cla de cultivos deben plantar para maximizar la ganancia total de la familia? Formule y resuelva un modelo de programación lineal en hoja de cálculo.
Mano de obra requerida Fertilizante requerido Ganancia esperada
Cultivo (horas por acre) (toneladas por acre) (por acre)
Avena 50 1.5 $500
Trigo 60 2 $600
Maíz 105 4 $950
Naranjas Requerimiento
Leche Habas (Valencia de diario
(galones) (tazas) Calif. grandes) mínimo
Niacina (mg) 3.2 4.9 0.8 13.0 Tiamina (mg) 1.12 1.3 0.19 1.5 Vitamina C (mg) 32.0 0.0 93.0 45.0 Costo (dólares) 2.00 0.20 0.25 03-Hillier.indd 94 03-Hillier.indd 94 19/12/07 10:16:0019/12/07 10:16:00
Capítulo 3 Problemas 95
3.R4 Subasta de clases
En el programa de maestría en administración de una prestigiosa universidad en el noroeste de Estados Unidos, los estudiantes ofer- tan en una subasta por sus materias optativas en el segundo año del programa. Cada estudiante tiene 100 puntos para ofertar (en total)
y debe tomar dos materias. Hay cuatro opciones disponibles: ciencia administrativa, finanzas, administración de operaciones y marke- ting. Cada clase está limitada a cinco estudiantes. Las ofertas pre- sentadas por cada uno de los 10 estudiantes se muestran en la tabla que sigue.
a) Formule y resuelva un modelo de hoja de cálculo para determi- nar una asignación de estudiantes a clases a fin de maximizar los puntos totales de la subasta de asignaturas.
b) ¿La solución resultante parece una asignación justa?
c) ¿Qué otros objetivos pueden conducir a una asignación más justa?
Problemas
A la izquierda de cada problema(o sus incisos) hay una E* siempre que deba utilizarse Excel (a menos de que su profesor dé otras ins- trucciones). Un asterisco en el número del problema indica que se da al menos una respuesta parcial al final del libro.
3.1 Reconsidere el caso de Super Grain Corp. como se pre- sentó en la Sección 3.1. La firma publicitaria, Giacomi & Jackowitz, ahora sugiere un cuarto medio publicitario que parece prometedor –comerciales en radio– para promover el nuevo cereal para el desayuno, Crunchy Start. Los niños pequeños son los consumidores potenciales más fuertes del cereal, pero sus padres (lo compradores potenciales) a menudo están demasiado ocupados para leer (y no ven los anuncios en revistas o suplementos dominicales) y tampoco ven los programas para niños del sábado por la mañana donde pasan los comerciales en televisión de la compañía. Sin embargo, tienden a escuchar el radio durante el trayecto de ida y de vuelta a su trabajo. Entonces, para llegar mejor a este grupo, Giacomi & Jackowitz sugiere considerar la inclusión de comerciales de Crunchy Start en programas
de radio de transmisión nacional que sean atractivos para adultos jóvenes durante las horas típicas de traslado a sus trabajos.
Giacomi & Jackowitz estima que el costo de desarrollar cada nuevo comercial de radio sería 50 000 dólares y que el número esperado de exposiciones por comercial sería 900 000. La empresa ha determinado que hay 10 espacios disponibles para los diferentes comerciales de radio y que una corrida normal de cada uno costaría 200 000 dólares. É* a) Formule y resuelva un modelo de hoja de cálculo para
el problema corregido de mezcla publicitaria que incluye este cuarto medio publicitario. Identifique las celdas de datos, las celdas cambiantes y la celda meta. También muestre la ecuación de Excel para cada celda de salida expresada como función SUMAPRODUCTO.
b) Indique por qué este modelo es de programación lineal. c) Exprese este modelo en forma algebraica.
3.2* Considere el problema de asignación de recursos que incluye los siguientes datos:
Ofertas de los estudiantes para las clases
Ciencia Administración
Estudiante administrativa Finanzas de operaciones Marketing
George 60 10 10 20 Fred 20 20 40 20 Ann 45 45 5 5 Eric 50 20 5 25 Susan 30 30 30 10 Liz 50 50 0 0 Ed 70 20 10 0 David 25 25 35 15 Tony 35 15 35 15 Jennifer 60 10 10 20 Uso de recursos por unidad de cada actividad Cantidad de recurso Recurso 1 2 disponible 1 2 1 10 2 3 3 20 3 2 4 20
Contribución por unidad $20 $30 Contribución por unidad = ganancia por unidad de la actividad.
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E* a) Formule un modelo de programación lineal para este
problema en hoja de cálculo.
E* b) Utilice una hoja de cálculo para verificar las siguientes
soluciones: (x1, x2) = (2,2), (3, 3), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3). ¿Cuál de estas soluciones es factible? ¿Cuál de estas soluciones factibles tiene el mejor valor de la función objetivo?
E* c) Utilice Solver para encontrar una solución óptima. d) Exprese este modelo en forma algebraica.
e) Utilice el método gráfico para resolver este modelo.
3.3 Considere un problema de asignación de recursos que tiene los datos siguientes:
E* a) Formule y resuelva un modelo de programación lineal
para este problema en hoja de cálculo. b) Exprese este modelo en forma algebraica.
E* 3.4 Considere un problema de asignación de recursos que tiene los datos siguientes:
a) Formule un modelo de programación lineal para este
problema en hoja de cálculo.
b) Estime cinco cantidades para la solución óptima. Use la
hoja de cálculo para verificar la factibilidad de cada una y, si es factible, el valor de la función objetivo. ¿Qué esti- mación factible tiene el mejor valor de función objetivo?
c) Utilice Solver para encontrar una solución óptima.
3.5* La Omega Manufacturing Company ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no rentable. Esto originó un exceso importante de capacidad de producción. La administración está considerando destinarla a uno o más de tres productos, 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las máquinas que podría limitar la producción se resume en la tabla siguiente:
El número de horas-máquina necesarias para cada unidad de los productos respectivos es la siguiente: Uso de recursos por unidad
de cada actividad Cantidad de recurso Recurso 1 2 3 disponible A 30 20 0 500 B 0 10 40 600 C 20 20 30 1 000
Contribución por unidad $50 $40 $70 Contribución por unidad = ganancia por unidad de la actividad
Uso de recursos por unidad de cada actividad Cantidad de recurso Recurso 1 2 3 4 disponible P 3 5 –2 4 400 Q 4 –1 3 2 300 R 6 3 2 –1 400 S –2 2 5 3 300 Contribución por unidad $11 $9 $8 $9 Contribución por unidad = ganancia por unidad de la actividad
Tiempo disponible
Tipo de máquina (horas-máquina por semana)
Molino 500
Torno 350
Trituradora 150
Coeficiente de productividad (horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3
Molino 9 3 5
Torno 5 4 0
Trituradora 3 0 2
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Capítulo 3 Problemas 97
El departamento de ventas indica que las ventas poten- ciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales para el producto 3 es 20 unidades a la semana. La ganancia unitaria sería 50, 20 y 25 dólares, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar la cantidad de cada producto que Omega debe producir para maximizar las ganancias.
a) Indique por qué éste es un problema de asignación de
recursos identificando las actividades y los recursos limi- tados que se asignan.
b) Identifique verbalmente las decisiones que se toman, las
restricciones sobre estas decisiones y la medida global de desempeño para ellas.
c) Convierta estas descripciones verbales de las restriccio-
nes y la medida de desempeño en expresiones cuantitati- vas en términos de los datos y las decisiones.
E* d) Formule un modelo de hoja de cálculo para este problema.
Identifique las celdas de datos, las celdas cambiantes, la celda meta y las otras celdas de salida. También muestre la ecuación de Excel para cada celda de salida expresada como una función SUMAPRODUCTO. Luego utilice Solver de Excel para resolver el modelo.
e) Resuma el modelo en forma algebraica.
3.6 Ed Butler es el gerente de producción de Bilco Corporation, la cual produce tres tipos de refacciones para automóviles. La producción de cada una requiere procesamiento en dos máquinas, con los siguientes tiempos de (en horas):
y, si es factible, verifique el valor de la función objetivo. ¿Qué estimación factible tiene el mejor valor de función objetivo?
E* d) Utilice Solver para encontrar una solución óptima. e) Exprese el modelo en forma algebraica.
E*3.7 Considere la siguiente formulación algebraica de un pro- blema de asignación de recursos con tres recursos, donde las decisiones a tomar son los niveles de las tres actividades (A1,
A2 y A3).
Maximizar Ganancia = 20A1+ 40A2+ 30A3
sujeta a
Recurso 1: 3A1+ 5A2+ 4A3≤ 400 (cantidad disponible) Recurso 2: A1+ A2+ A3≤ 100 (cantidad disponible) Recurso 3: A1+ A2+ A3≤ 200 (cantidad disponible)
y
A1≥ 0 A2≥ 0 A3≥ 0
Formule y resuelva el modelo de hoja de cálculo para este problema.
8.8 Considere un problema de canje-costo-beneficio con los datos siguientes:
Cada máquina está disponible 40 horas a la semana. Cada refacción producida dará la siguiente ganancia unitaria:
Ed quiere determinar la mezcla de refacciones que debe producir para maximizar la ganancia total.
a) Identifique tanto las actividades como los recursos para
este problema de asignación de recursos.
E* b) Formule un problema de programación lineal para este
problema en hoja de cálculo.
E* c) Haga tres estimaciones para la solución óptima. Use la
hoja de cálculo para verificar la factibilidad de cada una
E* a) Formule un modelo de programación lineal para este
problema en hoja de cálculo.
E* b) Use la hoja de cálculo para verificar las siguientes solu-
ciones: (x1, x2) = (7,7), (7,8), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8). ¿Cuál de estas soluciones es factible? ¿Qué solución facti- ble tiene el mejor valor de la función objetivo?
E* c) Use Solver para encontrar una solución óptima. d) Exprese el modelo en forma algebraica. e) Use el método gráfico para resolver este modelo.
E*3.9 Considere un problema de canje-costo-beneficio con los datos siguientes: Refacción Máquina A B C 1 0.02 0.03 0.05 2 0.05 0.02 0.04 Refacción A B C Ganancia $50 $40 $30 Contribución al beneficio por unidad de cada actividad Nivel mínimo Beneficio 1 2 aceptable 1 5 3 60 2 2 2 30 3 7 9 126 Costo unitario $60 $50
Contribución al beneficio por unidad de cada actividad
Nivel mínimo Beneficio 1 2 3 4 aceptable P 2 –1 4 3 80 Q 1 4 –1 2 60 R 3 5 4 –1 110 Costo unitario $400 $600 $500 $300 03-Hillier.indd 97 03-Hillier.indd 97 19/12/07 10:16:0519/12/07 10:16:05
a) Formule un modelo de programación lineal para este
problema en hoja de cálculo.
b) Haga cinco estimaciones propias para la solución óptima.
Use la hoja de cálculo para verificar la factibilidad de cada una y, si es factible, verifique el valor de la función objetivo. ¿Qué estimación factible tiene el mejor valor de función objetivo?
c) Use Solver para encontrar una solución óptima.
3.10* Fred Jonasson administra una granja de propiedad familiar. Como complemento de los diversos productos alimenticios
que cultiva, también cría cerdos para vender. Ahora desea determinar las cantidades de los tipos de alimento disponi- bles (maíz, proteína animal y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como éstos comen cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar qué mezcla cumplirá con ciertos requerimientos nutricionales a un costo mínimo. El número de unidades de cada tipo de ingrediente nutricional básico que contiene un kilogramo de cada tipo de alimento se da en la tabla siguiente, junto con los requerimientos nutricionales diarios y los costos del alimento:
E* a) Formule un modelo de programación lineal para este
problema en hoja de cálculo.
E* b) Use la hoja de cálculo para verificar si (x1, x2, x3) = (1, 2, 2) es una solución factible y, si lo es, cuál sería el costo diario de esta dieta. ¿Cuántas unidades de cada ingre- diente nutricional proporcionaría al día?
E* c) Tome unos minutos para utilizar un enfoque de prueba
y error con la hoja de cálculo para desarrollar su mejor estimación de la solución óptima. ¿Cuál es el costo diario para su solución?
E* d) Use Solver para encontrar una solución óptima. e) Exprese el modelo en forma algebraica.
3.11 Maureen Laird es directora de finanzas de Alva Electric Co., una compañía de servicios públicos (gas, luz, agua) impor-
tante en el medio oeste de Estados Unidos. La compañía tiene programada la construcción de nuevas plantas hidro- eléctricas en 5, 10 y 20 años para satisfacer las necesidades de la población creciente en la región a la que sirve. Para cubrir los costos de construcción, Maureen necesita invertir parte del dinero de la compañía ahora para satisfacer las necesi- dades futuras de flujo de efectivo. Maureen puede comprar sólo tres tipos de activos financieros, cada uno de los cuales cuesta 1 millón de dólares por unidad. Es posible adquirir unidades fraccionarias. Los activos producen ingresos a 5, 10 y 20 años, que se requieren para cubrir los requerimientos mínimos de flujo de efectivo en esos años, como se muestra en la tabla siguiente:
Maureen quiere determinar la mezcla de inversiones en estos activos que cubrirán los requerimientos de flujo de efectivo al tiempo que minimizan la cantidad total invertida. E* a) Formule un modelo de programación lineal para este
problema en hoja de cálculo.
E* b) Use una hoja de cálculo para verificar la posibilidad de
comprar 100 unidades del activo 1, 100 del activo 2 y 200 del activo 3. ¿Cuánto flujo de efectivo generaría esta mezcla de inversiones dentro de 5, 10 y 20 años? ¿Cuál sería la cantidad total invertida?
E* c) Tome unos minutos para utilizar un enfoque de prueba
y error con la hoja de cálculo para desarrollar su mejor
estimación para la solución óptima. ¿Qué cantidad total que se invierte en su solución?
E* d) Use Solver para encontrar una solución óptima. e) Resuma el modelo en forma algebraica.
3.12 Web Mercantile vende muchos productos para el hogar a través de un catálogo en línea. La empresa necesita mucho espacio de almacén para guardar sus bienes. Ahora planea rentar espacio de almacén en una bodega durante los cinco meses siguientes. Sabe cuánto espacio necesitaría en cada unos de estos meses. Sin embargo, como los requerimien- tos de espacio son muy diferentes, quizá sea más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes. Por otro lado,
Requerimiento
Ingrediente Kilogramo Kilogramo de Kilogramo mínimo
nutricional de maíz proteína animal de alfalfa diario
Carbohidratos 90 20 40 200
Proteína 30 80 60 180
Vitaminas 10 20 60 150
Costo (¢) 84 72 60
Ingreso por unidad de activo
Flujo de caja
Año Activo 1 Activo 2 Activo 3 mínimo requerido
5 $2 milliones $1 millón $0.5 million $400 milliones 10 0.5 milliones 0.5 milliones 1 millón 100 milliones 20 0 1.5 milliones 2 milliones 300 milliones
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Capítulo 3 Problemas 99
el costo adicional de rentar espacio durante meses adicio- nales es mucho menor que para el primer mes, por lo que puede ser menos costoso rentar la cantidad máxima necesa- ria por cinco meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (agregando un nuevo contrato y/o hacer que expire el contrato anterior) al menos una vez, pero no todos los meses.
El requerimiento de espacio y los costos de cada periodo de arrendamiento son los siguientes:
El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento para satisfacer los requerimientos de espacio.
a) Indique por qué se trata de un problema de canje-costo-
beneficio identificando las actividades y los beneficios que se buscan con estas actividades.
b) Identifique verbalmente las decisiones que deben tomarse,
las restricciones sobre esas decisiones y la medida global de desempeño.
c) Convierta estas descripciones verbales de las restriccio-
nes y la medida de desempeño en expresiones cuantitati- vas en términos de los datos y las decisiones.
E* d) Formule un modelo de hoja de cálculo para este pro-
blema. Identifique las celdas de datos, las celdas cam- biantes, la celda meta y las otras celdas de salida. También muestre la ecuación de Excel para cada celda de salida expresada como una función de SUMAPRO- DUCTO. Luego utilice Solver de Excel para resolver el modelo.
e) Resuma el modelo en forma algebraica.
E* 3.13 Considere la siguiente formulación algebraica de un pro- blema de canje-costo-beneficio que incluye tres beneficios, donde las decisiones que se toman son los niveles de cuatro actividades (A1, A2, A3 y A4):
Minimizar Costo = 3A1+ A2– A3+ 3A4 sujeta a
Beneficio 1: 3A1+ 2A2– 2A3+ 5A4≥ 80 (nivel mínimo
aceptable) Beneficio 2: A1– A2 + A4≥ 10 (nivel mínimo aceptable) Beneficio 3: A1+ A2– A3 + A4≥ 30 (nivel mínimo aceptable) y A1≥ 0 A2≥ 0 A3≥ 0 A4≥ 0
Formule y resuelva el modelo de hoja de cálculo para este problema.
14.14 Larry Edison es el director del Centro de cómputo de Buc- kly College. Necesita programar el reclutamiento de per- sonal para el centro. Éste abre de 8:00 a.m. a medianoche. Larry monitoreó el uso del centro en distintas horas del día y determinó que se requiere el siguiente número de consulto- res en computación:
Pueden contratar dos tipos de consultores en computa- ción: de tiempo completo y de tiempo parcial. Los primeros trabajan ocho horas consecutivas en cualquiera de los turnos siguientes: mañana (8:00 a.m.-4:00 p.m.), tarde (mediodía- 8:00 p.m.), y noche (4:00 p.m.-medianoche). Los consultores de tiempo completo ganan 14 dólares por hora.
Es posible contratar consultores de tiempo parcial para trabajar en cualquiera de los turnos que se incluyen en la tabla. Los consultores de tiempo parcial ganan 12 dólares por hora.
Un requerimiento adicional es que durante cada periodo debe haber al menos dos consultores de tiempo completo por cada consultor de tiempo parcial.
Larry quiere determinar cuántos consultores de tiempo completo y de tiempo parcial deben trabajar cada turno para satisfacer los requerimientos anteriores al menor costo posi- ble.
a) ¿En qué categoría de problemas de programación lineal
entra problema? ¿Por qué?
b) Formule y resuelva el modelo de programación lineal
para este problema en hoja de cálculo.
c) Resuma el modelo en forma algebraica.
3.15* La Medequip Company produce equipo de diagnóstico médico de precisión en dos fábricas. Tres centros médicos han colocado pedidos para la producción de este mes. La siguiente tabla muestra cuál sería el costo de enviar cada unidad de cada fábrica a cada uno de estos clientes. También muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades que ordenó cada cliente.
Espacio requerido
Mes (pies cuadrados)
1 30 000 2 20 000 3 40 000 4 10 000 5 50 000
Periodo de Costo por pie arrendamiento cuadrado (meses) rentados 1 $ 65 2 100 3 135 4 160 5 190 Número mínimo de consultores trabajando
Hora del día requeridos
De las 8:00 a.m. a mediodía 6 De mediodía a las 4:00 p.m. 8 De las 4:00 p.m. a las 8:00 p.m. 12 De las 8:00 p.m. a medianoche 6
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Es necesario tomar una decisión sobre el plan de embar- que para determinar cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente.
a) ¿En qué categoría de problema de programación lineal
entra ese problema? ¿Por qué?
E* b) Formule y resuelva un modelo de programación lineal
para este problema en hoja de cálculo.
c) Resuma esta formulación en forma algebraica.
3.16 Fagersta Steelworks está trabajando dos minas para obte- ner mineral de hierro. Éste se embarca a cualquiera de sus
dos almacenes. Cuando se necesita, de ahí se envía al alto horno de la compañía. En el diagrama siguiente se muestra la red de distribución, donde M1 y M2 son las dos minas, S1 y S2 los dos almacenes y P es el alto horno. En el diagrama también se muestran las cantidades mensuales producidas en las minas y requeridas en el alto horno, así como el costo de embarque y la cantidad máxima que puede enviarse cada mes por cada ruta de embarque.
La administración quiere determinar el plan más econó- mico para enviar el mineral de hierro de las minas a al alto horno por la red de distribución.
a) Identifique todos los requerimientos que deben expre-
sarse como restricciones de requerimiento fijo.
E* b) Formule y resuelva un modelo de programación lineal
para este problema en hoja de cálculo.
c) Exprese este modelo en forma algebraica.
3.17* Al Ferris tiene 60 000 dólares que desea invertir ahora para poder usar el acumulado en la compra de una anualidad para su retiro dentro de cinco años. Después de consultar con su asesor financiero, le ofrecieron cuatro tipos de inver- siones de renta fija, que etiquetamos como inversiones A, B,
C y D.
Las inversiones A y B están disponibles al inicio de cada
uno de los siguientes cinco años (denominados años 1 a 5). Cada dólar invertido en A al principio de un año da 1.40 dólares (una ganancia de 0.40) dos años después (a tiempo para su reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al inicio de un año da 1.70 dólares tres años después.
Las inversiones C y D estarán disponibles una vez en el
futuro. Cada dólar invertido en C al iniciar el año 2, da 1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al inicio del año 5 da 1.30 al final del año 5.
Al desea saber qué plan de inversión maximiza la cantidad de dinero que puede acumularse para el inicio del año 6.
a) En este problema todas las restricciones funcionales
pueden expresarse como restricciones de requerimiento fijo. Para hacer esto, sean At, Bt, Ct y Dt las cantidades invertidas en A, B, C y D, respectivamente, al inicio del