Ejemplo de Dos Capacidades

La descripción de los procedimientos que configuran el análisis didáctico y que presenté en el capítulo 2 permite desarrollar en detalle las capacidades básicas que he enumerado en la sección anterior. Por ejemplo, las dos primeras capacidades del análisis de contenido se refieren a la identificación y organización de los signi- ficados de un concepto matemático. Si consideramos las dimensiones de sistemas de representación y estructura conceptual de estos significados, entonces, a partir de los procedimientos que configuran el análisis de contenido, podemos concluir que el profesor debe ser capaz, para el concepto correspondiente, de:

1. identificar sus elementos (objetos, conceptos y estructuras matemáticas), 2. determinar las diferentes representaciones de esos elementos y

3. establecer las relaciones entre los elementos y entre sus representaciones.

Si profundizamos en el detalle, observamos que la capacidad 3 implica que el pro- fesor debe ser capaz de establecer las relaciones95:

♦ entre el concepto y los conceptos de la estructura matemática que dicho concepto configura,

♦ entre el concepto y los objetos que son casos particulares de dicho concep- to,

♦ entre el concepto y los conceptos que pertenecen a la estructura matemáti- ca de la que el concepto forma parte,

♦ entre pares de signos que designan el mismo objeto o concepto, dentro de un mismo sistema de representación (transformaciones sintácticas inva- riantes),

♦ entre pares de signos que designan el mismo objeto o concepto pertene- cientes a sistemas de representación diferentes (traducción entre sistemas de representación) y

♦ entre pares de signos que designan dos objetos o conceptos diferentes den- tro de un mismo sistema de representación (transformaciones sintácticas variantes).

En el ejemplo que acabo de presentar se aprecia la estructura de las capacidades que contribuyen a la competencia de planificación del profesor de matemáticas (ver Figura 25). He identificado unas capacidades básicas que contribuyen a esta competencia y las he estructurado de acuerdo con los análisis que conforman el análisis didáctico. En el caso del análisis de contenido, dos de las capacidades bá- sicas se refieren a la identificación y organización de los significados del concepto en términos de los sistemas de representación y la estructura conceptual. Estas capacidades involucran, entre otras, la capacidad de establecer diversos tipos de relaciones entre los elementos de los mapas conceptuales en los que el profesor organiza los significados del concepto en cuestión.

Competencias del profesor de matemáticas Competencia de planificación Capacidades básicas Análisis de contenido Sistemas de representación y estructura conceptual Relaciones entre concepto y

entre pares de signos

los conceptos de la estructura matemática que dicho concepto configura

los conceptos que pertenecen a la

estructura matemática de la que el concepto forma parte los objetos que son casos

particulares de dicho concepto

traducción entre sistemas de representación

transformaciones sintácticas variantes transformaciones sintácticas invariantes …

…

…

…

Figura 25. Estructura de capacidades y competencia de planificación

5. CONOCIMIENTO PEDAGÓGICO DE CONTENIDO,

CONOCIMIENTO DIDÁCTICO Y COMPETENCIA DE

PLANIFICACIÓN DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

En este capítulo he abordado la problemática del conocimiento del profesor de matemáticas. He resaltado la importancia de la noción de conocimiento pedagógi- co de contenido en esta problemática y he identificado algunas de sus carencias. En particular, he mostrado y criticado el hecho de que esta noción, en su versión original, implica la idea de la transformación de unos contenidos prescritos en unos contenidos propuestos con el propósito de ser “transmitidos”. He sugerido, por lo tanto, que, desde un perspectiva constructivista del aprendizaje de los esco- lares, el producto de la reflexión y el trabajo del profesor no debe ser exclusiva- mente la transformación de un contenido, sino el diseño y gestión de unas activi- dades de aprendizaje.

Tomando como ejemplo las dos capacidades básicas que desarrollé en la Fi- gura 25, he mostrado que la descripción detallada de los procedimientos que con- forman el análisis didáctico permite estructurar las capacidades que pueden con- tribuir a la competencia de planificación del profesor de matemáticas. El conjunto

de todas las capacidades y de las relaciones entre ellas conforma lo que, en el apartado 2, denominé conocimiento didáctico: los conocimientos y destrezas (teó- ricos, técnicos y prácticos) necesarios para realizar el análisis didáctico de un tema matemático. En realidad, “la mezcla de contenido y pedagogía en la comprensión de cómo se organizan, representan y adaptan tópicos, problemas o cuestiones par- ticulares a los diversos intereses y capacidades de los estudiantes y cómo se pre- sentan para la instrucción” (Shulman, 1987, p. 8) que se encuentra en el núcleo de la noción de conocimiento pedagógico de contenido se debe conceptualizar como más que una mezcla: es una estructura compleja de conocimientos y capacidades que surge cuando, al considerar la especificidad de un tema, se explora la proble- mática de diseñar, llevar a la práctica y evaluar unidades didácticas.

Me he aproximado a la conceptualización del conocimiento didáctico del pro- fesor de matemáticas de secundaria desde una perspectiva funcional. En el capítu- lo 2 partí de unas expectativas con respecto al aprendizaje de los escolares (qué formación matemática y cómo se desarrolla). Estas expectativas me permitieron delimitar y caracterizar las actividades que el profesor debería realizar para produ- cir una planificación (el análisis didáctico). El conocimiento y las destrezas que se espera que un futuro profesor desarrolle en un plan de formación se determinan a partir del análisis de esas actividades. En este sentido, el conocimiento del profe- sor es una función de lo que se espera que él sea capaz de hacer y lograr. De esta manera, he concretado el conocimiento didáctico del profesor de matemáticas co- mo el conjunto de conocimientos y capacidades necesarios para realizar el análisis didáctico y he singularizado los tres aspectos (teórico, técnico y práctico) de ese conocimiento. Por otro lado, la descripción detallada del análisis didáctico me ha permitido caracterizar, de manera estructurada y en términos de capacidades con- cretas, la competencia de planificación del profesor. Esta estructura de capacida- des (de la que he presentado un ejemplo) resalta y detalla otros aspectos de la no- ción de conocimiento didáctico, tal y como la he concretado en las páginas anteriores.

Utilizaré las ideas que he desarrollado en este capítulo para dos propósitos dentro de este documento. Primero, la estructura que se sugiere en la Figura 25 y la noción de conocimiento didáctico servirán, en el capítulo 5, como uno de los ejes de la fundamentación del diseño del plan de formación de profesores de ma- temáticas objeto de estudio de este trabajo. Segundo, esta estructura, como carac- terización del conocimiento didáctico, tiene también una función metodológica clave en los estudios que constituyen la componente empírica de este proyecto de investigación. Como ya lo mencioné en el capítulo 1, estos estudios exploran el desarrollo del conocimiento didáctico de los grupos de futuros profesores de ma- temáticas de secundaria en la asignatura Didáctica de la Matemática en el Bachi- llerato que se ofreció a estudiantes de matemáticas de quinto curso de la Universi- dad de Granada durante el curso 2000-2001. Partiré de la estructura mencionada para construir las categorías de análisis con base en las cuales diseñaré los instru- mentos de recolección, codificación y análisis de la información que utilizaré en dichos estudios.

4

APRENDIZAJE DE LOS FUTUROS

PROFESORES

En este capítulo presento el marco conceptual de los estudios empíricos que con- forman el proyecto de investigación objeto de este documento. Para ello, asumo una posición con respecto al aprendizaje de los futuros profesores, en el contexto del desarrollo de la asignatura. Con base en esta posición, preciso el significado con el que utilizaré los términos claves de dichos estudios: significados que cons- truyen los grupos de futuros profesores, desarrollo del conocimiento didáctico, estados de desarrollo y factores de desarrollo, entre otros. Por lo tanto, mi propósi- to en este capítulo no es el de presentar una revisión de la literatura sobre el aprendizaje de los futuros profesores de matemáticas de secundaria. Un ejercicio de ese tipo permitiría ubicar este proyecto en el contexto de la investigación actual y justificar su relevancia dentro de ese contexto. Considero que ya he satisfecho ese propósito en los capítulos anteriores. Tampoco pretendo describir en detalle las teorías y los marcos conceptuales que sustentan este trabajo. Centraré mi aten- ción solamente en aquellas cuestiones que son pertinentes para fundamentar con- ceptualmente el diseño y los esquemas metodológicos de los estudios empíricos. Por lo tanto, éste no es un capítulo de “marco teórico” en el sentido con el que se entiende tradicionalmente esta expresión. Por esa razón, para identificar las no- ciones centrales y las teorías que les dan significado, tengo en cuenta, tanto los objetivos generales y específicos de los estudios empíricos, como las condiciones en las que se realizaron. Adelanto algunos aspectos del diseño de dichos estudios con el propósito de delimitar el ámbito de la discusión.

Las opciones que asumí en su momento para las nociones que guiaron los es- tudios empíricos que conforman este proyecto buscaron ser coherentes con las

condiciones que imponía el contexto en el que los realicé. Estas condiciones se refieren a algunas características del diseño y el desarrollo de la asignatura Didác- tica de la Matemática en el Bachillerato en el curso 2000-2001 (que presento en detalle en los capítulos 5 y 6), a las opciones metodológicas que escogí (sobre las que reflexiono en el capítulo 7) y a las fuentes de información que tuve a mi dis- posición. Por lo tanto, antes de establecer mi posición con respecto al aprendizaje de los futuros profesores y a la expresión “desarrollo del conocimiento didáctico”, describo dichas características. En seguida, presento y analizo brevemente las di- ferentes teorías sobre el aprendizaje, con el propósito de justificar mi selección de la teoría social del aprendizaje de Wenger (1998), como marco conceptual general del proyecto de investigación. Presento los elementos más importantes de esta teo- ría. Con base en estos elementos, abordo la idea de construcción y desarrollo de los significados de los grupos de futuros profesores. Identifico las dos comunida- des de práctica objeto de esta investigación, reitero el uso que daré, tanto a los términos “significado teórico”, “significado técnico” y “significado práctico” de los organizadores del currículo que conforman el análisis de contenido e introduz- co la idea de “significado parcial” de un grupo de futuros profesores. En seguida, conceptualizo la actividad de un grupo de futuros profesores cuando realiza por fuera del aula las tareas cuyos resultados deben presentar en clase. Esta concep- tualización me permite fijar un significado para las nociones de “conocimiento teórico”, “conocimiento técnico” y “conocimiento práctico”, nociones que funda- mentan la idea de “conocimiento didáctico” de los futuros profesores. A continua- ción, asumo, de nuevo, una posición sociocultural con respecto a la idea de “desa- rrollo del conocimiento didáctico” y formulo las conjeturas que dan lugar a la idea de “estados de desarrollo”. Con base en la teoría de la “calidad de la informa- ción”, establezco la noción de “factores de desarrollo” como noción organizadora del análisis de las producciones de los grupos de futuros profesores. Finalmente, describo la estructura que organiza las nociones anteriores y vinculo la idea de desarrollo del conocimiento didáctico con la noción de competencia del profesor de matemáticas.

1. CONTEXTO: DISEÑO Y DESARROLLO DE LA

ASIGNATURA

En la guía didáctica de la asignatura Didáctica de la Matemática en el Bachillerato se afirma que uno de sus propósitos es desarrollar las competencias de los futuros profesores para diseñar unidades didácticas sobre un tema matemático concreto. Para ello, se seleccionan unos contenidos que se organizan en torno al análisis di- dáctico, como el procedimiento ideal que se espera que los grupos de futuros pro- fesores realicen para producir el trabajo final en el que presentan una propuesta del diseño curricular del concepto matemático que les ha correspondido. El análi- sis didáctico estructura un conjunto de nociones (los organizadores del currículo) que permiten identificar y seleccionar los significados relevantes para la instruc- ción del concepto en cuestión. En particular, los organizadores del currículo del análisis de contenido (los sistemas de representación, la estructura conceptual y la

fenomenología) sirven para identificar los significados del concepto, mientras que los organizadores del currículo pertenecientes al análisis cognitivo, al análisis de instrucción y al análisis de actuación, dan luces para seleccionar los significados relevantes y para utilizar la información que surge de estos análisis a efectos de diseñar la unidad didáctica.

Desde la perspectiva metodológica, se espera que, a lo largo de la asignatura y con base en estos organizadores del currículo y en las guías y los ejemplos que se proponen, los grupos de futuros profesores recaben, organicen y seleccionen la información que les permita realizar la tarea propuesta (el diseño curricular de una unidad didáctica sobre el tema matemático que les ha correspondido). Este proce- so implica, por lo tanto, que los futuros profesores deben: (a) reconocer y com- prender el significado teórico96 de los organizadores del currículo involucrados (en el caso del análisis de contenido, las nociones de sistemas de representación, estructura conceptual y fenomenología); (b) poner en juego ese conocimiento para recabar y organizar la información correspondiente al concepto en cuestión; y (c) utilizar esa información tanto en los otros análisis del análisis didáctico, como en la producción del trabajo final (diseño de la unidad didáctica).

Lo anterior implica que los futuros profesores deben desarrollar un conoci- miento sobre los organizadores del currículo del análisis de contenido y que deben poner en juego ese conocimiento en dos sentidos: por un lado, para recabar la in- formación correspondiente a cada uno de los organizadores del currículo sobre el concepto que les corresponde; y, por el otro, para utilizar esa información a efec- tos de elaborar y justificar el diseño de la unidad didáctica sobre dicho concepto.

El diseño de la asignatura se basa en una posición de corte social respecto al aprendizaje de los futuros profesores. Los esquemas metodológicos que se utilizan en la asignatura son coherentes con esta posición97_{. Por ejemplo, se pretende que}

la mayoría de las actividades de los futuros profesores se realicen en grupos, bus- cando promover la interacción entre ellos y con los formadores.

En este proyecto de investigación se buscó perturbar lo menos posible el de- sarrollo de la asignatura. En este sentido, la asignatura se desarrolló normalmente excepto por tres circunstancias: se grabó en audio la interacción en el aula, se rea- lizaron entrevistas con dos grupos de futuros profesores en dos momentos de la asignatura y se grabó en audio el trabajo por fuera del aula de un grupo de futuros profesores. Por lo tanto, la información que se iba a tener disponible era esencial- mente la información que se produce naturalmente en la asignatura: los trabajos escritos y las presentaciones orales de los grupos de futuros profesores y la inter- acción entre futuros profesores dentro de un grupo y entre los futuros profesores y los formadores en clase. Llamaré a esta información las producciones (documen- tos y transparencias de las presentaciones) y las actuaciones (participación en la interacción) de los futuros profesores.

96 _{Ver sección 2.3 del capítulo 3.}