Modelos de Formación de Profesores de Matemáticas

Son contados los trabajos en los que se describe de manera completa y suficien- temente detallada un plan de formación de profesores de matemáticas (e.g., Nicol, 1999). Por lo tanto, no es posible explorar en qué medida los diseños de planes de formación satisfacen dos condiciones necesarias para la validez (calidad) de un plan: la coherencia entre los componentes del diseño curricular, y la coherencia entre dicho diseño y las condiciones impuestas por el contexto. Al no poder anali- zar diseños completos, me limitaré a enumerar características aisladas de algunos de ellos.

No pretendo presentar en esta sección una revisión detallada de la literatura sobre diseño de planes y asignaturas de formación de profesores de matemáticas, aún si esta literatura es escasa. Mi intención es la de exponer algunos ejemplos de lo que se está haciendo en la actualidad en este campo, aprovechando particular- mente la información que se presentó y discutió en el estudio ICMI 15. Del análi- sis de esta información, se deduce que la mayoría de los diseños de planes de for- mación de profesores de matemáticas centran su atención en aspectos metodológicos (y su relación con el aprendizaje de los futuros profesores) y par- cialmente en aspectos de contenido (y su relación con el conocimiento del profe- sor), mientras que no profundizan en la descripción del contexto o la caracteriza- ción de los objetivos, los contenidos y la evaluación (Gómez, 2006b).

Contexto

Ya he explicado por qué muy pocos trabajos describen con algún detalle el con- texto en el que se realiza la formación y el papel que ese contexto juega en el di-

seño del plan. Cuestiones como las expectativas sociales sobre la formación de profesores, las políticas sobre condiciones salariales, acreditación y ubicación de los profesores, la cultura académica, los recursos disponibles y los debates ideoló- gicos en la institución, y las actitudes y preconcepciones de los futuros profesores no han sido, hasta ahora, objeto de estudio sistemático en la literatura de forma- ción de profesores de matemáticas.

Algunas de estas cuestiones son de mucha actualidad. Es el caso, por ejem- plo, de las reflexiones sobre la formación inicial de profesores de matemáticas en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior (Rico, 2004c). Nociones como la relevancia, originada en los estudios de calidad en las organizaciones, adquieren importancia al proporcionar un fundamento conceptual y metodológico para determinar en qué medida un diseño curricular contribuye al logro de unas competencias establecidas externamente (González-López, Gil, Moreno, Romero, Gómez, Lupiánez et al., 2004; Rico et al., 2003).

Otra cuestión que comienza a discutirse en la literatura se refiere a la forma- ción y la actuación del formador de profesores. Los formadores se enfrentan al reto de atender las necesidades y preocupaciones prácticas de los futuros profeso- res y, al mismo tiempo, contribuir a su desarrollo profesional (Doerr y Masingila, 2001, p. 2.370). Pero, ¿quién forma a los formadores? (Pope y Jones, 2005) ¿Qué características debe tener un programa de formación de formadores? (Sztajn, Ball y McMahon, 2005). Algunos investigadores comienzan a abordar estos problemas (Dawson, 2005; Pope y Jones, 2005), pero éste es un campo incipiente en la in- vestigación en formación de profesores de matemáticas.

Aprendizaje de los Futuros Profesores

Diversos autores resaltan la importancia de asumir una postura con respecto al aprendizaje de los futuros profesores dentro los planes de formación (Lerman, 2001; Llinares, 1998b). Ellos sugieren que una proporción importante de estos planes de formación se diseñan y realizan a partir de una posición implícita y, en muchos casos, inconsciente de cómo los futuros profesores aprenden, posición que sólo se percibe cuando ella se expresa en el diseño y el desarrollo curricular del plan de formación. No obstante, el debate epistemológico (implícito o explíci- to) es un pilar fundamental del diseño y desarrollo de un plan de formación (Stuart y Tatto, 2000). La mayoría de los trabajos en los que se reflexiona acerca del aprendizaje de los futuros profesores asumen posiciones de corte constructivista social en el que se consolida el paso de mirar la formación de profesores como problema de adiestramiento a mirarla como un problema de aprendizaje (Cochran- Smith, 2004) y en los que se enfatiza el hecho de que la enseñanza de las matemá- ticas es una práctica profesional. De acuerdo con este enfoque, aprender a enseñar matemáticas implica progresar en el proceso de pertenecer a una comunidad de práctica (Gómez y Rico, 2005; Llinares, 2002)116. Por lo tanto, se destaca la im-

116 _{El interés por las aproximaciones socioculturales al aprendizaje del profesor de matemáticas se}

pone de manifiesto en el hecho que, en el Estudio ICMI 15, se presentaron quince trabajos en los que nociones como “comunidad de práctica”, “comunidad de aprendizaje”, “comunidad de inda- gación” y “comunidad virtual” servían como fundamento conceptual para la exploración del

portancia de la práctica como entorno de análisis y reflexión para promover el aprendizaje (Sullivan, 2002)117. Mostraré en seguida que esta posición conlleva a un interés cada vez mayor en esquemas metodológicos que promueven la colabo- ración entre los profesores. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, dependien- do de los objetivos concretos que se buscan lograr en una coyuntura específica, podemos asumir, como formadores, diferentes posiciones con respecto al aprendi- zaje de los futuros profesores y utilizar, en el diseño y desarrollo de un plan o asignatura concretos, diferentes esquemas metodológicos coherentes con esas po- siciones (Gómez, 2003).

Objetivos

Los objetivos son un elemento central del diseño de un plan de formación de pro- fesores de matemáticas. Aunque Kilpatrick, Swafford y Findell (2001) sugieren que “tal vez el objetivo central de todos los programas de formación y desarrollo profesional de profesores es el de ayudar a los profesores a comprender las mate- máticas que ellos enseñan, cómo sus estudiantes aprenden esas matemáticas y cómo se puede facilitar ese aprendizaje” (p. 398, en cursiva en el original), qué objetivos se establezcan para un plan o una asignatura dada depende de la concep- ción que se tenga de la formación de profesores (y su relación con las expectativas sociales), de la visión que se asuma acerca del aprendizaje de los profesores y del contexto.

Sorprende que la mayoría de los trabajos que describen con algún detalle el diseño de un plan o asignatura no profundicen en la reflexión sobre los objetivos y centren más su atención en el contenido (y su relación con la problemática del co- nocimiento del profesor) o en la metodología. La tendencia actual hacia las com- petencias del profesor de matemáticas sugiere un cambio de aproximación con respecto a los objetivos de un plan de formación. El problema central ya no es el de determinar qué conocimientos debe saber el profesor y definir los objetivos en términos de esos conocimientos. El cambio en las creencias del profesor tampoco es el foco de atención. Ahora, se espera que los objetivos se definan en términos de su contribución al desarrollo de unas competencias que han sido determinadas externamente al plan. Por lo tanto, los objetivos deben expresar la intención de integrar y desarrollar un conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes que sean útiles para la actuación del profesor en la práctica (Rico, 2004c).

Los objetivos son el eje sobre el que se fundamenta la calidad de un plan de formación. Su relevancia establece la medida en que los objetivos contribuyen a las competencias social o institucionalmente establecidas para ese plan. Su efica- cia y eficiencia se establecen en términos de la medida en que se logran dichos objetivos con unos recursos dados (Toranzos, 1996).

aprendizaje de los profesores o se utilizaban en el diseño de programas de formación de profesores (Gómez, 2006b).

117 _{La importancia de este aspecto del aprendizaje del profesor se puso de manifiesto en el Estudio}

ICMI 15. El Eje II de este estudio centró su atención en el análisis de la práctica de los profesores y, en particular, en el papel de la práctica en el aprendizaje del profesor (ICMI 15, 2004, pp. 365- 367).

Contenidos

La reflexión sobre los contenidos de los planes de formación tiende a concentrarse en la discusión sobre el conocimiento del profesor de matemáticas. En particular, la literatura pone de manifiesto una preocupación permanente por determinar qué conocimiento matemático debe tener el profesor de matemáticas, cómo se caracte- riza el conocimiento didáctico en matemáticas y cómo se pueden integrar estos dos tipos de conocimientos. En el apartado 1 del capítulo 3 discutí estas cuestio- nes.

Metodología

La metodología es el componente curricular sobre el que se produce más informa- ción en la literatura de formación de profesores de matemáticas. Varios trabajos describen y evalúan la bondad de diferentes esquemas metodológicos. Algunos de estos esquemas se fundamentan en una posición acerca de cómo aprenden los fu- turos profesores. Estas posiciones tienden a ser de corte constructivista, con énfa- sis en los aspectos sociales del aprendizaje. Por esta razón, muchos de los esque- mas buscan el desarrollo de la colaboración entre grupos de profesores o la conformación de comunidades de práctica entre ellos. Se parte entonces del su- puesto de que la colaboración y el aprendizaje interdependiente inducen la re- flexión y promueven la profundización en y la conexión entre el conocimiento de las matemáticas, de los estudiantes y de la instrucción (Beck y Kosnik, 2001; Pe- ter–Koop, Santos-Wagner y Breen, 2003). Varios de los esquemas que enumero a continuación resaltan la colaboración como una de sus implicaciones. Ejemplos de este movimiento son el énfasis en el aspecto colaborativo dentro de la investi- gación-acción (Levin y Rock, 2003) y la colaboración entre profesor y formador en un esquema de enseñanza compartida (Kluth y Straut, 2003).

El estudio de casos es un esquema muy popular en la formación de adminis- tradores de empresas. En la formación de profesores, este esquema se centra en el análisis de episodios de clase (escritos o con otros medios, como el vídeo) que motivan la discusión entre los futuros profesores y los induce a establecer las co- nexiones entre el conocimiento de las matemáticas, de los estudiantes y de la prác- tica (Barnett, 1991; Kilpatrick et al., 2001, pp. 392-395; Llinares, 1998a).

El análisis del trabajo de los escolares se ha venido promoviendo como un esquema con potencial en la formación de profesores (Ball, 1999, p. 24). Este es- quema puede motivar a los profesores en formación a cambiar su discurso profe- sional y puede inducirlos a experimentar y reflexionar sobre actuaciones docentes que se encuentren más centradas en sus estudiantes (Kazemi y Franke, 2004, p. 204). En el área concreta de la formación inicial de profesores de matemáticas, este esquema se ha utilizado, por ejemplo, para desarrollar los conocimientos de contenido y pedagógico de contenido del profesor (Palis, 2005), como base de un trabajo colaborativo entre profesores, formadores e investigadores (Francisco, Maher, Powell y Weber, 2005) y para generar una visión más compleja de la prác- tica (Wood, 2005). Con esquemas similares, es posible utilizar el análisis de mate- riales curriculares como herramienta de desarrollo profesional (Collopy, Riddick, Barker, Sheriffs, Bass, Ellis et al., 2003).

El uso de Internet en la formación de profesores se está haciendo cada vez más común, dando lugar a lo que se ha venido a llamar “comunidades virtuales” (Bairral y Zanette, 2005). Este esquema de trabajo es evidentemente útil en la formación a distancia (Borba, 2005) y puede servir para mantener comunidades de profesores que se formaron originalmente en esquemas de formación presenciales (Skott, 2005).

El esquema del “grupo de estudio” o “lesson study” se originó en Japón y ha comenzado a tener algún impacto en países occidentales. Éste es un esquema cí- clico en el que un grupo de profesores identifica una dificultad específica en la enseñanza de un tema matemático. Para esa cuestión concreta, el grupo realiza varios ciclos de diseño, puesta en práctica y discusión de resultados. Este proceso los induce al análisis de detallado de los aspectos conceptuales, cognitivos y de instrucción de ese tema matemático (Kilpatrick et al., 2001, pp. 394-397). El es- quema ha sido adaptado a otros contextos (Robinson, 2005) y se considera como complementario a otras aproximaciones, como el análisis de casos (Silver, Castro, Ghousseini y Stylianides, 2005).

El análisis de vídeos de la práctica se utiliza como medio para motivar la co- laboración entre, y la reflexión de los profesores en formación y por lo tanto como catalizador de posibles oportunidades de aprendizaje (Boerst, 2005; Gellert y Krummheuer, 2005; Hospesova, Budejovice, Ticha y Machackova, 2005; Mum- me y Carroll, 2005; Seago y Mumme, 2005). Otro esquema con el que los pro- gramas de formación se refieren a la práctica es el uso de relatos118. Con este es- quema, los profesores en formación reflexionan sobre diversas cuestiones relacionadas con su labor docente y comparten esas reflexiones con sus colegas (Chapman, 2005; Chiocca, 2005).

Resulta difícil determinar la proporción de planes y asignaturas de formación de profesores que utilizan esquemas metodológicos como los anteriores. Tampoco es posible, a partir de la información disponible hasta ahora, argumentar que haya esquemas que sean más eficaces y eficientes que otros. La eficacia y eficiencia de un esquema depende de los objetivos que pretende lograr, de las condiciones im- puestas por el contexto en el que tiene lugar la formación y de los recursos dispo- nibles para ello. La formación y el tiempo disponible del formador son segura- mente dos de los recursos que condicionan de manera más importante el tipo de esquema metodológico utilizado.

Evaluación

La evaluación no es un tema central en la literatura sobre formación de profesores de matemáticas119. No obstante, es de esperar que, en la medida en que los es- quemas de acreditación de profesores adquieran más importancia, los esquemas de evaluación de los planes de formación asumirán tal vez mayor protagonismo. En el caso español, la relación entre la acreditación y la formación de profesores se establece por fuera de los planes ofrecidos por las universidades. Los futuros

118 _{He traducido de esta manera la idea que en inglés se denomina “story-telling”.}

119 _{Ninguno de los 135 trabajos presentados en el Estudio ICMI 15 tiene a la evaluación como ob-}

jeto central de la reflexión. Una excepción a esta carencia es, por ejemplo, el trabajo de Shulman (1993) sobre el uso de portafolios en la formación de profesores.

profesores, una vez terminada su formación académica120, entran en otro proceso de formación en academias en las que tutores especializados los entrenan para superar los exámenes de acreditación (las oposiciones). En este apartado he cen- trado la atención en los planes y asignaturas de formación de profesores que tie- nen lugar en las universidades. Por esta razón, no profundizo en el papel de las academias y esquemas de formación post-universitaria. En todo caso, estas insti- tuciones juegan un papel importante en la formación inicial del profesor de mate- máticas español.

3. HISTORIA DE LA ASIGNATURA DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA EN EL BACHILLERATO

En este apartado y el siguiente, describo el diseño de la asignatura Didáctica de la Matemática en el Bachillerato121. Esta descripción y las reflexiones que he presen- tado en los apartados anteriores configuran mi contribución a la tercera de las pre- guntas que formulé en el capítulo 1122. He restringido el ámbito de la pregunta a la problemática del diseño de planes de formación de profesores de matemáticas. Adicionalmente, la descripción del diseño de la asignatura es necesaria en el con- texto del proyecto de investigación objeto de este trabajo. Esta descripción me permitirá reseñar, en el siguiente capítulo, el desarrollo de la asignatura durante el curso 2000-2001, curso en el que recogí la información con la que realicé los es- tudios que conforman la dimensión empírica de la investigación. Pretendo funda- mentar el diseño de la asignatura en las ideas que he presentado en los tres capítu- los anteriores y en la descripción del contexto en el que ésta tuvo lugar.

La asignatura es un ente vivo, en permanente evolución. Su diseño curricular en el curso 2000-2001 es producto de ese proceso de continua transformación. Por lo tanto, para describir y justificar dicho diseño en el siguiente apartado, presenta- ré, en éste, algunos aspectos de su historia. Selecciono dos momentos de esa histo- ria: sus inicios, tal y como se describen en el proyecto docente de Luis Rico (1992) y las características de la asignatura en el curso 1999-2000. Tendré en cuenta las reflexiones de los apartados anteriores para describir estos dos momen- tos de la historia de la asignatura.

3.1. La Asignatura en 1992

Luis Rico presentó su proyecto docente en 1992. En este documento, él describe y fundamenta el diseño curricular de dos asignaturas de formación inicial de profe- sores de matemáticas de secundaria en la Universidad de Granada: Didáctica de la Matemática en el Bachillerato y Prácticas de Enseñanza en Instituto. Rico men- ciona que sus propuestas son el producto, entre otras cosas, de su experiencia de cinco años como formador de futuros profesores de matemáticas. El documento

120 _{Que incluye el Curso de Aptitud Pedagógica (CAP).}

121 _{De ahora en adelante, y para efectos de simplificar la lectura, hablaré de “la asignatura”.} 122 _{La pregunta era: ¿cómo se deben diseñar e implantar los programas de formación inicial de}

profesores de matemáticas de secundaria de tal forma que se apoye y fomente el desarrollo de es- tos conocimientos, capacidades y actitudes?