la misma similitud".
El cuarto género de desigualdad, que resulta de la conjun ción del múltiplo y el superparticular, es, puede verse, cuando un número mayor tiene en sí un número menor bien dos veces, bien tres o bien cuantas se quiera y una parte de él sea la que sea; y, si lo contiene dos veces y la mitad, se llamará doble su- persesquiáltero, como es el cinco frente al dos; si, en cambio, el menor es contenido dos veces y su tercera parte, se llamará do ble supersesquitercio, como es el siete frente al tres. Si, en cam bio, es contenido tres veces y su mitad, se llamará triple super- sesquiáltero, como es el siete frente al dos. Y, según el mismo módulo, en los demás números van variando los nombres de la multiplicidad y la superparticularidad100.
El quinto género de desigualdad, que se llama múltiplo su perpartiente, es cuando un número mayor contiene en sí entero un número menor más de una vez y más de una parte de él sea la que sea. Y si el número mayor contiene dos veces al número menor y encima dos partes de él se llamará doble superbipar- tiente, como es el tres frente al ocho y, a su vez, triple superbi- partiente, como son el tres y el once101. Y sobre estas cosas nues tra explicación es ahora sucinta y breve, por la razón de que en los libros que hemos escrito sobre el fundamento de la aritméti ca las hemos desanudado102 con especial diligencia.
99 La razón (logos) superpartiente o epimerés (superpartiens, epimerés) = n + m / n, donde m es mayor que 1 y no igual ni múltiplo de n; 5/3,7/4, etc.
100 La razón (lógos) múltipla superparticular (multiplex superparticularis,
polláplásiepimórios)·. 5/2, 7/3, 7/2, etc.
101 En cifras en el original latino. La razón (lógos) múltipla superpartiente
(multiplex superpartiens,pollaplásiepimeres): 8/3, 11/3, etc.
90 SOBRE EL FUNDAM ENTO DE LA MÚSICA
Q u é esp ecies de d esig u a ld a d se
asignan a las consonancias
5. Así, pues, de estos géneros de desi gualdad los dos últimos, puesto que son mezcla de los anteriores, déjense a un lado; es propiamente sobre los tres prime ros sobre los que hay que hacer la especu lación. Así, pues, la mayor autoridad para las consonancias se ve que la alcanza el múltiplo; la siguiente, a su vez, el superpar-
193 ticular. El superpartiente, de hecho, queda separado de la con
junción del canto103 de la «armonía», según a algunos, a excep ción de Ptolomeo104, les parece.
103 Traducimos por «conjunción del canto» el latín concinentia, sustantivo, que al igual que concentus, pertenece a la familia del verbo concino, compues to a base de con- y cano. Todas esas palabras comparten el sentido básico de «cantar en conjunción con», «en armonía con». Concentus (término especial mente extendido en latín, pero que Boecio no emplea), si no es el origen del ita liano «concerto» (en nuestra opinión, el único problema a salvar en este senti do sería el paso del grupo nt a rt; la doctrina establecida, sin embargo, hace derivar «concerto» de concertare), de donde proceden los correspondientes términos en las lenguas modernas, se halla sin duda en la base que sustenta di chos concepto y término, tal como se fueron fijando para la música moderna a partir del siglo xvi.
Concinentia, por tanto, lo traduciremos por «conjunción del canto» o, en
todo caso, si el contexto lo aconseja, por «concertación» o «canto conjunto», expresión esta última que, junto con «concierto», reservamos especialmente para traducir concentus. En ocasiones, sin embargo, como Mus. 1 10, pág. 198,1, recurre Boecio a expresiones como diapason concinentia, en las que el térmi no concinentia sustituye a los normales consonantia o symphonia.
104 Primera mención de Ptolomeo, al que, como se irá viendo, acude Boe cio a lo largo de los cuatro primeros libros simplemente como referencia a puntos de vista que se desvían más o menos de la ortodoxia pitagórica; aquí (pág. 193, 2), en concreto, y en el capítulo siguiente (pág. 194, 15) se trata de la actitud tolerante de Ptolomeo ante la razón múltipla superpartiente.
LIBRO I 91
P o r qué la 6. Se reconocen, en efecto, como ade- m u ltip licid a d y la cuadas para el ensamblaje105 aquellas
su p erp a rticu la rid a d cosas que son por naturaleza simples. Y se asignan a la s puesto que la gravedad y la agudeza se
consonancias .
asientan sobre la cantidad, se vera que ob servan en grado máximo la naturaleza del canto conjunto las cosas que pueden guardar la propiedad de la cantidad discreta. Pues, siendo una, desde luego, la cantidad discreta y otra la con tinua, la que es discreta es finita, desde luego, en lo mínimo pero avanza hacia el infinito a través de otras mayores. Efecti vamente, en ella la unidad106 es la mínima y asimismo finita, pero el límite de la pluralidad aumenta hasta el infinito, como el número, que, aun cuando comience a partir de la unidad finita, no tiene fin en su crecimiento. Al revés, la que es continua, es, desde luego, finita en su totalidad, pero se la disminuye107 a lo largo de infinitos (grados); una línea, en efecto, que es conti nua, se divide en partición siempre infinita, aun cuando su tota lidad sea o de un pie o de cualquier otra medida definida. Razón por la cual el número siempre crece hacia el infinito y la canti dad continua disminuye108 hasta el infinito109.
La multiplicidad, por tanto, puesto que no tiene fin en su crecimiento, observa en grado máximo la naturaleza del núm e ro. La superparticularidad, en cambio, puesto que disminuye al menor hasta el infinito, observa la propiedad de la cantidad
105 De nuevo aquí aparece el término coaptatio, que, como vimos, designa en latín el ajuste harmónico.
106 Vnitas (la unidad) es la designación latina del griego monás (la móna da). La «unidad», indivisible (Bo e c., Aritm. I 9 s.), no es propiamente un nú
mero, pero es la madre que engendra los números ( Bo e c., Aritm. 1 14; 17; I I 8).
107 Mediante subdivisiones. 108 Se subdivide.
92 SOBRE EL FUNDAM ENTO DE LA MUSICA
continua. Y disminuye al menor toda vez que lo contiene siem pre a él y a una parte de él, sea la mitad, sea la tercera, sea la cuarta, sea la quinta; pues la parte, denominada por un número cada vez mayor, va decreciendo ella misma; pues, como la ter cera es denominada por el tres y la cuarta por el cuatro, como el cuatro supera al tres, la cuarta precisamente la encontramos más disminuida que la tercera.
La (razón) superpartiente, desde luego, ya se aparta en cier ta medida de la simplicidad; tiene, en efecto, de más dos o tres o cuatro partes y, en cuanto se aparta de la simplicidad, sobrea bunda en una cierta pluralidad de partes.
Inversamente toda multiplicidad se contiene a sí misma en integridad; pues el doble tiene dos veces entero al menor; el tri ple asimismo tres veces contiene entero al menor y del mismo modo los demás. La superparticularidad, desde luego, no guar da nada entero, sino que sobrepasa o en la mitad o en la tercera parte o en la cuarta o en la quinta; aun así, la división la opera en partes singulares y simples.
La desigualdad superpartiente, en cambio, ni guarda uno ín tegro ni quita partes singulares, y, por ello, según los pitagóri cos, en modo alguno se aplica a las consonancias musicales. Ptolomeo, sin embargo, también pone esta proporción entre las consonancias, como mostraré más tarde110.
110 Cf. V 7 y Pt o l., Harm. 17, 15. De suyo Ptolomeo lo que incluye entre
las consonancias es la proporción múltipla superpartiente 8/3, que da cuenta del intervalo de octava + cuarta (diapasón y diatessárón), intervalo que él con sidera consonante.
Los valores pitagóricos que aquí asume Boecio (la superioridad, en cuanto que más fácilmente cognoscible, de la singularidad, de la multiplicidad y de la cantidad discreta sobre, respectivamente, la duplicidad, la superparticularidad y la cantidad continua) aparecerán de nuevo en el libro II, en especial en el ca pítulo 20.
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