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«sinfonía» diapasón es el principio de las demás y que ellas, eso sí, pueden disponerse unas frente a otras a base de la división contraria. Ello, en realidad, será más fácil de conocer si prime­ ro se consigue ver en los números. Establézcase, entonces, la unidad y a partir de ella fluyan dos partes, una del múltiplo, otra de la división136, y sea esta fórmula:

Y de este modo la progresión es al infinito. El binario, en efecto, es el duplo de la unidad; a su vez, la parte contraria a él muestra la mitad de esa misma unidad; el tres, el triplo y la par­ te contraria, la tercera; el cuatro, el cuádruplo y la parte contra­ ria, la cuarta; y así del crecer y del decrecer el principio137 está en la simple unidad.

Esto mismo, por tanto, volvámoslo ahora en conjunto a las consonancias. Estará, por tanto, justo la diapasón, que es dupla, en el lugar del supremo principio y, a su vez, las que quedan en división contraria de este modo: el sesquiáltero, justo frente al triplo; el sesquitercio, a su vez, frente al cuádruplo138; cosa que con una argumentación de este tipo quedará justificada. El mis­

136 Con «múltiplo» se refiere Boecio a la “multitud” o “cantidad discreta”; con «división», a la “magnitud” o “cantidad continua”. Cf. 1 6, págs. 193,3-194, 17; en este pasaje se aprecia un paralelismo entre las proporciones múltiplas y superparticulares, de una parte, y estos dos tipos de cantidad, de otra. Cf. tam­ bién Bo w e r(1989), pág. 74, nota 52.

137 Esto es, el elemento o constituyente mínimo.

138 Es decir, de los dos términos numéricos relacionados respectivamente en las proporciones sesquiáltera (3/2) y sesquitercia (4/3) se tomará como pun-

1. Mitad Tercera parte Cuarta parte Quinta parte 2. Duplo 3. Triplo 4. Cuádruplo 5. Quíntuplo

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mo, en efecto, es el primer sesquiáltero que el primer triple (res­ pecto, se entiende, a la unidad de principio); pues el temario lo mismo es el primer triplo, si se lo empareja con la unidad, y lo mismo el primer sesquiáltero, si con el binario. A su vez, el mismo temario en relación con la diferencia que hace res­ pecto al binario, en relación con el cual, puesto naturalmente, se da por hecho que es el sesquiáltero, es el triplo de la diferen­ cia139. Puesto que, entonces, por ley el sesquiáltero se opone al triple, por lógica se estima que la consonancia diapente se opo­ ne a la consonancia «diapente y diapasón». A su vez, el cuá- druplo mantiene la división contraria al sesquitercio; pues el que es el primer cuádruplo resulta asimismo, a su vez, el primer sesquitercio de este modo: el cuaternario, en efecto, es el primer cuádruplo, si se lo empareja a la unidad; el primer sesquitercio, si al ternario. A su vez, en relación con la diferencia que man­ tiene entre él y el ternario, él mismo resulta ser el cuádruplo140. De donde resulta que la proporción sesquitercia, que es la diate­ saron, queda aislada al lado contrario de la proporción cuádru­ pla, que es la «dos veces diapasón». La doble, en cambio, pues­ to que ninguna proporción tiene contrapuesta, ni ella misma es to de referencia el término mayor, esto es, el tres (en la sesquiáltera) y el cua­ tro (en la sesquitercia) y no el menor, o sea, el dos (en la sesquiáltera) y el tres (en la sesquitercia). Estos términos mayores son los que se contraponen res­ pectivamente a las proporciones tripla (3/1) y cuádrupla (4/1) en el orden de prelación de las consonancias según Nicómaco.

139 En efecto, si de tres restamos dos, nos queda uno; pues bien, tres con respecto a dos se halla en una proporción sesquiáltera, o sea, en consonancia diapente; por otra parte, tres con respecto a uno, está en una proporción tripla, o sea, en consonancia «diapente y diapasón».

140 En efecto, cuatro con respecto a la unidad está en una proporción cuádru­ pla, o sea, en consonancia «dos veces diapasón»; por su parte, cuatro con res­ pecto a tres está en una proporción sesquitercia, o sea, en consonancia diatesa­ ron; y, en fin, cuatro menos tres arroja una diferencia de uno, que nuevamente introduce la proporción cuádrupla, o sea, la consonancia «dos veces diapasón».

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sesquiáltera de ninguna o no existe un número con el que pue­ da el binario, que es el primer duplo, ser conjuntado en propor­ ción superparticular, queda más allá de una figura de proporción contraria de este tipo. Y por ello, según Nicómaco, la diapa­ són ostenta el principio de las consonancias de este modo:

Pero, aunque así sea, dice que, sin embargo, entre las con­ sonancias todas las proporciones múltiplas van mejor por de­ lante y les siguen las superparticularidades, tal como un poco antes dejamos descrito141.

Como, entonces, una consonancia es la mixtura reglada142 de dos voces y el sonido143, a su vez, la caída de una voz «mo­ dulada», prolongada en un único grado de tensión, y es asimis­ mo la mínima partícula de la «modulación»144 y, a su vez, todo sonido consiste en un impulso145 y todo impulso, a su vez, pro­

141 Cf. I I 18, págs. 249, 16-250, 25. 142 Racional, es decir, sujeta a una ratio.

143 El sonus que aquí se define es, evidentemente, el sonido de la música,

phthóngos, la nota musical; cf. N ic ó m ., Enqu. 12 (pág. 2 6 1 ,4 lan). Se trata de

la definición aristoxénica ( A r i s t ó x . , Harm. 13,4): «phônès ptôsis epi mían tá-

xeôs»; cf. C l e o n . , Harm. 179, 9; B a q u . , Harm. 292, 15; también A r i s t . Q u i n t . , Mus.1 6, pag. 10, 6 W.-I; también M i c h a e l i d e s , 1978, s.v. «phthón­ gos». Recuérdese asimismo lo dicho a este propósito sobre los conceptos de

«voz modulada o musical», «tensión», «tono», etc.

144 Eco de la tradicional concepción jerárquica del sistema musical en su aspecto tonal o armónico (nota < intervalo < sistema), similar a la que se reco­ noce en el aspecto rítmico del mismo sistema musical o en el sistema de la len­ gua; cf. Lu q u e (2001).

145 Aquí es ya el sonido en general el que se define, (como, por ejemplo, en 1 8, pág. 195, 1-13), de acuerdo con la común definición.

Diapasón «Diapente y diapasón» «Dos veces diapasón»/

.Diapente \Diatesaron

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viene de un movimiento; y como entre los movimientos unos son iguales, otros, en cambio, desiguales; y de los desiguales, a su vez, unos son muy desiguales, otros, en cambio, menos, otros, en cambio, medianamente desiguales: de la igualdad, en efecto, nace la igualdad de sonidos; de la desigualdad, en cam­ bio, de aquélla en virtud de la cual las distancias146 son de­ siguales, vienen a hacerse manifiestas, y las primeras y más simples, unas proporciones, que son, evidentemente, las con­ sonancias del m últiplo147 y del superparticular: las del duplo, el triplo, el cuádruplo, el sesquiáltero y el sesquitercio. De aqué­ llas, en cambio, que consisten en las demás proporciones, o bien heterogéneas, o bien no así de claras, absolutamente dis­ tantes entre sí, se producen desigualdades y cobran existencia las disonancias; ninguna concordia, en efecto, de sonidos se

148

procrea .

21. Esto, por tanto, así aclarado , se

adelantar para que va a demostrar que la consonancia diapa- se demuestre que ta son, que es de todas la mejor, se encuentra diapason está en el en e] g¿nero múltiplo de desigualdad y en la relación de duplicidad. Y primero preci- Qué es oportuno

género múltiplo

sámente hay que demostrar aquello de cómo puede ser recono-

146 A saber, las distancias entre los intervalos. 147 Del género múltiplo, se entiende.

148 Concluye, pues, Boecio resumiendo las ideas pitagóricas sobre la cuan- tificación del sonido (cf. 1 3, págs. 189,4-191,4). Algo similar hará en IV 1 so­ bre la base de la Sectio canonis. Esta conclusión marca el final de esta sección del libro; cf. Bo w e r(1989), pág. 76, nota 54.

■ 149 Después de los tres capítulos anteriores, dedicados a unas breves consi­ deraciones sobre el canon de prelación de las distintas consonancias (caps. 18- 20, págs. 249, 16-253, 25), se pasa ahora al estudio de las relaciones propor­ cionales de las respectivas consonancias (caps. 21-27, págs. 253, 26-260, 19).

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eida en el género de la multiplicidad la consonancia diapasón. Previamente, por ello, hay que recurrir a algo breve, gracias a lo cual, conocido de antemano, se haga más fácil la demostración.

De toda proporción superparticular, si alguien quita la su- perparticular continua a ella, que evidentemente es menor, lo que se deja es menos de la mitad de aquella proporción que fue detraída150. Como en la sesquiáltera y la sesquitercia: puesto que la sesquiáltera es mayor, detraigamos la sesquitercia de la sesquiáltera; se deja una proporción sesquioctava151, que, dupli­ cada, no produce una proporción sesquitercia íntegra152, sino que es menor en aquella distancia que se encuentra en un semi­ tono153. Y, si duplicado un emparejamiento sesquioctavo no es un sesquitercio íntegro, un simple sesquioctavo no es la mitad plena de una proporción sesquitercia. Y si le quitas un sesqui-

En el texto se marca explícitamente tanto el comienzo de la nueva sección (II 21, pág. 253, 28: Hoc igitur ita distincto) como luego el final (I I 27, pág. 260, 18: Sed de his hactenus).

150 Este teorema, cuya única función aquí, según el propio Boecio, es la de premisa previa para poder demostrar luego que la consonancia diapasón perte­ nece al género de las proporciones múltiplas, no se encuentra en ningún otro escrito musical antiguo; cf. Bo w e r(1989), pág. 76, nota 55.

151 3 /2 :4 /3 = 9/8, que es la proporción que expresa el intervalo de tono; intervalo que, en efecto, es la diferencia entre uno de quinta (diapente) y uno de cuarta (diatesaron).

152 9/8 X 9/8 = 81/64 < 4/3. Dos tonos, en efecto, suponen un intervalo me­ nor que el de cuarta; el intervalo de cuarta, como es sabido, consta de dos tonos y un semitono menor.

153 Dos tonos más un semitono es precisamente lo que abarca el intervalo de cuarta o diatesaron (cf. I I 23, págs. 255, 33-256,1 y I I 31, pág. 265, 14-16). Por tanto, a un tono duplicado le falta un semitono para alcanzar dicho interva­ lo de cuarta. En efecto, 81/64 < 4/3; pero si a la proporción 81/64 se le añade la proporción 256/243, que representa el intervalo conocido como semitono me­ nor, resultará una proporción sesquicuarta o consonancia diatesaron, de este modo: 81/64x256/243 =20.736/15.552 = 4/3.

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