MÉTODOS BASADOS EN EL ANÁLISIS LÍMITE

Los problemas que plantea la aplicación de la teoría de la Elasticidad al análisis de construcciones de fábrica, por una parte, y el hecho de que no se ha llegado hasta ahora a obtener la línea de presiones real de una estructura, por otra parte, hizo que las investigaciones durante buena parte del s. XX se encaminaran a aplicar la teoría del análisis límite. No se trata sino de la aplicación directa de los principios de la Plasticidad formulados por Baker a las construcciones de fábrica, a partir del desarrollo de esta teoría en las estructuras metálicas, en el contexto de un planteamiento típicamente ingenieril.

Las hipótesis intrínsecas de esta metodología son cuatro: • La fábrica no resiste tracciones.

• La resistencia a compresión de la fábrica es muy elevada respecto de las tensiones de trabajo.

• No se produce el fallo debido al deslizamiento entre juntas.

• Se pueden despreciar las deformaciones previas a la formación de los mecanismos de colapso, ya que el módulo de elasticidad de la fábrica es grande. Y una vez se produce el mecanismo de colapso el movimiento es el de un conjunto de sólidos rígidos.

Estas hipótesis asumidas por Heyman para el análisis límite ya fueron propuestas por Couplet y Coulomb (Page 1993).

No se trata de buscar la línea de presiones real, sino de encontrar una línea de presiones que satisfaga el equilibrio y que, por tanto, en virtud de los teoremas de la Plasticidad, se pueda asegurar que la estructura es estable.

Dentro del ámbito de las estructuras de fábrica, los teoremas de la Plasticidad pueden enunciarse de la siguiente manera:

• Dada una estructura con una geometría y cargas conocidas, si se encuentra una línea de presiones en equilibrio con las cargas exteriores que queda dentro de los contornos de la estructura, ésta será estable para dichas cargas que son inferiores a las de colapso (teorema del límite inferior).

• Conocida una estructura con una geometría y cargas, si se encuentra una línea de presiones en equilibrio dentro del contorno de la estructura y con tantos puntos de tangencia con éste (número de rótulas plásticas) como rótulas son necesarias para convertir la estructura en un mecanismo, las cargas asociadas a esta línea de presiones son las de colapso de la estructura (teorema del límite superior).

La primera propuesta para la aplicación de los teoremas del análisis límite en el análisis de estructuras de fábrica fue de (Kooharian 1953) para el análisis de arcos de fábrica, al igual que en su momento se hacía para el análisis de arcos de hormigón en masa.

Heyman (1966), (1980) y (1982) desarrolló el análisis plástico y su aplicación en estructuras de fábrica. El momento plástico de una sección se produce cuando la línea de presiones se sitúa en alguno de los contornos del arco (intradós o extradós). El fallo de la estructura se produce por la formación de un mecanismo de colapso cinemático al formarse el número suficiente de rótulas plásticas, que son las secciones que soportan el momento plástico. Así, la aplicación de los teoremas de la plasticidad permite emitir pronunciamiento claro acerca de si una estructura es segura o no. Es de destacar que la presentación inicial de los postulados de Heyman omitía referencia alguna a los rellenos. Si bien si se consideran como cargas exteriores, pueden ser fácilmente incorporadas al análisis tal y como se propone en esta tesis. El TRRL del Reino Unido realizó entre 1985 y 1994 una serie de ensayos4 de colapso en puentes existentes de fábrica que se iban a demoler y fueron cargados hasta rotura (Prestwood, Bridgemill, Preston, Torksey, Bolton, Shinafoot, Strathmashe, Barlae, Dundee y Bargower). Gracias a estos ensayos se desarrollaron diversas metodologías de cálculo que se expondrán a continuación y se empezó a tomar conciencia de la importancia de la interacción relleno- estructura en los puentes para predecir las verdaderas cargas de colapso de estas estructuras.

Figura 2.22.Imágenes de algunos de los ensayos realizados por el TRRL. En la imagen de la izquierda se

muestra en ensayo del puente de Prestwood (J. Page 1987) y, a la derecha, el ensayo del puente de Bargower (Hendry, Davies, y otros 1986).

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En el documento (Department of Transport 1997) se resumen los resultados de los ensayos y sus posteriores análisis. El propio TRRL tiene editada una monografía de cada uno de los ensayos.

Harvey y otros (1987), (1988a), (1988b), (1990), (1991a) y (1991b) desarrollaron un programa informático, el ARCHIE, basado en el análisis límite pero sustituyendo la línea de presiones por una “zona de empujes”. El ancho ficticio de esta zona se calcula sin más que dividir la resultante de fuerzas en cada sección de cálculo entre la resistencia a compresión de la fábrica obteniendo un bloque rectangular aproximado que representa la zona comprimida. Además de esta aportación, hay que destacar que es el primer programa que consideró la contribución horizontal de los rellenos que empujan en un estado activo o de reposo, además de introducir el efecto de la distribución de las cargas puntuales a través del relleno, y permite que la “zona de presiones” se salga del arco de fábrica a través de los rellenos rígidos. El programa calcula por defecto el arco con un empuje al reposo. Si no es capaz de encontrar una zona de presiones que quede dentro del espesor del arco, incrementa el empuje hasta conseguir que la zona de presiones esté contenida en el arco. Y da como resultado la proporción de empuje pasivo que se ha movilizado.

Figura 2.23.Imagen de una línea de presiones obtenida con el programa Archie. La línea de presiones se

representa en rojo y en azul las presiones inducidas por el terreno sobre el arco, se observa que las líneas azules se inclinan debido al empuje horizontal que el relleno transmite al arco. Los círculos indican la formación de una rótula. Las gráficas de laterales indican la variación del coeficiente de empuje. En el lado izquierdo, que se mueve hacia el intradós, se aplica el coeficiente de empuje al reposo K0. En el lado derecho, que se mueve hacia el trasdós, se aplica un coeficiente que varía entre el necesario para lograr el equilibrio Keq y el reposo K0, lógicamente el valor del coeficiente con el que se logra el equilibrio Keq es menor que el empuje pasivo KP.

El empuje movilizado no es lineal, sino que se aplica una ley que es lineal con la profundidad tomando el máximo para la rótula que se mueve y haciéndolo igual al reposo en la rótula que no se mueve. Esta propuesta es similar a la de Hughes que se verá un poco más adelante.

K0 K(δ) y K0 K(δ) y KP Keq

Figura 2.24. En la imagen se indica cómo varían los empujes horizontales inducidos por el terreno según sea a deformación del elemento estructural hacia el interior, es decir, si empuja al terreno o hacia el exterior, es decir, si se aleja del relleno. Imagen tomada de (Puertos del Estado 2005). Leyes no lineales como éstas son las que se emplean en cálculos no lineales como los empleados en el cálculo de pantallas con el programa comercial RIDO.

En general, sin una justificación profunda, no se acepta la posibilidad de que los empujes se reduzcan pasando de un estado en reposo a uno activo cuando la bóveda tiende a separarse del relleno. En principio, se justifica que esta hipótesis deja del lado de la seguridad los cálculos efectuados. Tampoco se justifica que para movilizar los empujes se necesite una cuña de empuje en el trasdós que no siempre existe y, por tanto, estos valores tomados para rellenos indefinidos y uniformes pueden no ser reales para el caso tratado aquí.

El cálculo de los empujes se hace según la formulación de Rankine que, como se acaba de comentar, está pensada para rellenos indefinidos y uniformes, tomando como parámetros de cálculo el ángulo de rozamiento del terreno y su peso específico γ.

En la zona de relleno rígido se desprecia el empuje horizontal, lo que es cierto pues un material muy cohesivo, como por ejemplo una roca o un hormigón, no transmite empujes horizontales al transmitir una carga vertical más allá que los que provoca el cambio de volumen que el material tiene al expandirse lateralmente por el efecto del módulo de Poisson. De igual manera, las teorías de empujes en rellenos granulares tienen en cuenta que el coeficiente de empuje horizontal se ve reducido por la cohesión del material granular.

Crisfield y Packham (1987) desarrollaron un programa basado en los fallos por formación de mecanismos (y otros dos programas basados en el MEF que se explican más adelante). El primero de ellos buscaba el mecanismo de colapso aplicando las ecuaciones de los trabajos virtuales en lugar de las ecuaciones estáticas de equilibrio y además incorporaba la zona de empujes (bloque plastificado) en lugar de la línea de presiones. La respuesta horizontal de suelo también se consideraba teniendo en cuenta la respuesta pasiva, lo que llevaba, según ellos mismos, a sobreestimar las cargas de colapso en algunos puentes.

Davies (1989a) y (1989b) desarrolló un programa, el MARCH, que mediante el uso del método del polígono funicular y basándose en los trabajos de Heyman, buscaba el fallo por formación de un mecanismo cinemático. El programa permitía cuatro distribuciones de empujes diferentes para modelar la respuesta del terreno.

Figura 2.25. En la figura superior se indica la notación empleada por el programa MARCH para poder elegir las diferentes distribuciones de presión que actúan a uno y otro lado del arco y que se muestran en las tres figuras inferiores. Figuras tomadas de (K. H. Ng 1999).

Hughes (1995a) y (1995b) desarrolló un método basado en los mecanismos de cinemáticos de colapso por formación de rótulas.

Los ensayos sobre modelos reducidos centrifugados (Hughes, Davies, y otros 1998) demostraron que en la zona de aplicación de la carga puntual los empujes disminuyen hacia un estado más parecido al activo que al reposo.

Los modelos propuestos por Lourenço (1998) y por Orduna y Lourenço (2005a) y (2005b) están basados en el análisis límite pero sin llevar leyes de flujo/deformación asociadas.

Ng, Fairfield y Sibbald (1998), y Ng (1999) desarrollaron el método modificado del mecanismo en el que se considera una deformación inicial arbitraria del arco y se obtiene la carga de colapso última de esta configuración. Nótese que la consideración de los empujes no es arbitraria, sino que considera la deformada de cada punto. El problema que se plantea es que la carga de colapso para una deformada arbitraria puede no ser suficiente como para hacer que el arco se deforme tanto. Esto se podría refinar mediante un cálculo sucesivo. Más adelante Ochsendorf (2002) propuso un método parecido en el que se estima la ley de presiones para el estado sin deformar y con ésta se fijan unas rótulas. A partir de este estado se empieza a deformar la estructura con las rótulas ya fijas, de forma que los bloques entre rótulas se mueven como sólidos rígidos permitiéndose el giro entre los mismos. Se entiende que mientras se pueda encontrar una línea de presiones en el interior de la estructura, ésta es estable y se puede seguir moviendo de forma que se encuentra el desplazamiento límite al que puede someterse a la misma. Se trata de una forma de considerar los desplazamientos que, sin extralimitarse del análisis límite, tiene la capacidad de cuantificar las deformaciones límite de las estructuras de fábrica. En las consideraciones realizadas por Ochsendorf no se consideran los rellenos, rígidos o granulares, y por tanto no se consideran acciones horizontales.

Figura 2.26. Idealización del movimiento de un arco una vez formado un mecanismo de colapso. La propia cinemática del movimiento hace que los empujes del lado izquierdo disminuyan hacia un estado cercano o igual al empuje activo (WACT) y el derecho, que ocurre lo contrario, el estado se acerca hacia un empuje pasivo (WPAS).

Los ensayos con modelos centrifugados realizados por Burroughs y otros (2000) y (2002) llevaron a concluir que el pasivo movilizado en puentes arco es menor que el valor clásico que se obtiene con la formulación de Rankine, dicho valor se encuentra entre valores en torno a la mitad o un tercio del que predice la teoría. Además se pudo comprobar que las presiones en el lateral tienen una distribución como la que se indica en la figura 2.27. Estos resultados fueron posteriormente recogidos por programas comerciales como el RING o el ARCHIE.

Figura 2.27. Presiones laterales debidas al terreno en puentes conforme a los ensayos a escala de

Burroughs.

La primera aplicación de los bloques rígidos para el análisis de estructuras fue desarrollada por Livesley (1978). Conocida la geometría y la posición de las cargas, el método consiste en elegir una determinada forma de colapso que divide la estructura en una serie de bloques rígidos, despreciándose la deformación elástica de cada bloque, y se buscan las reacciones que dan lugar a que el sistema esté en equilibrio. La carga de colapso de la estructura no es sino el resultado de tantear diferentes configuraciones y quedarse con la carga mínima de las anteriores. Posteriormente aplicó estos principios al análisis de estructuras de fábrica (1992). Gilbert, Melbourne y otros (1994), (1995), (1995) y (1997) desarrollaron una herramienta, el programa RING, para el análisis de puentes arco de fábrica, basada en los mismos expuestos por Livesley. Además, se incluyó la posibilidad de que la fábrica se considere como un

elemento con una resistencia finita frente a esfuerzos normales o tangenciales. La herramienta se basa en los teoremas de la plasticidad y en la compatibilidad geométrica. Esta herramienta se basó en los ensayos a rotura de puentes a escala que se realizaron en el “Bolton Institute of Higher Education”. Ensayos en los que las estructuras colapsaron por formación de mecanismos cinemáticos de colapso (si bien las roscas que formaban el arco se habían separado en algunos puntos anteriormente) y previa separación de los tímpanos.

Como acaba de repasarse en general el relleno se considera como una acción más en el arco, que pesa y empuja en horizontal, pero no se considera un elemento con funciones estructurales. A excepción de Harvey, no se considera que un relleno de cierta calidad pueda considerarse estructural. Sí se considera la variación del empuje, que varía desde el empuje al reposo hacia el activo o el pasivo, dependiendo del estado de deformación del arco al colapsar. También, conforme a las teorías clásicas, se considera la variación del empuje al variar la inclinación del paramento. Esto se hace, con diferentes métodos, minorando el empuje global, considerando la inclinación de cada dovela de cálculo, e incluso, como se expone en el manual del programa RING, se desprecia la zona del arco ya casi horizontal en la que no se transmiten empujes horizontales.

Posteriormente, herramientas similares de análisis de bloques rígidos para construcciones planas fueron desarrolladas por (J. A. Martín-Caro Álamo 2001), (Migliore, Letizia y Ruocco 2006), (Pantano, Perretti y Rossi 2006) que extienden el método aplicándolo a estructuras tridimensionales.

Algunas aplicaciones del análisis límite a cálculos tridimensionales han sido planteadas por diferentes autores entre los que se puede destacar los siguientes. O’Dwyer (1999) propuso que una buena modelización de una estructura tridimensional es aquella que permite representar todos los posibles caminos para el paso de las fuerzas. Para ello se deben establecer a priori

unos caminos de paso de las cargas. En la siguiente figura se indican los posibles caminos para las cargas en una bóveda cuatripartita y un posible mallado para su análisis. Lo expuesto por O’Dwyer fue concretado y aplicado a diferentes obras de fábrica por (Galafel González y León González 2011) y (J. Galafel González 2011).

Figura 2.28. Las dos imágenes de la izquierda muestran dos posibles formas de entender cómo discurren

las fuerzas en una bóveda cuatripartita. La imagen de la derecha muestra una posible configuración de los caminos de las cargas para poder plantear el análisis límite en una malla tridimensional. Figuras tomadas de (O'Dwyer 1999).

Block y Ochsendorf (2007) han desarrollado lo que han denominado como el Thrust Network Analysis (TNA) que es un método que, dada una distribución de cargas, genera una superficie espacial que trabaja únicamente a compresión. La generación de estas superficies se basa en el concepto de reciprocidad expuesto por Maxwell.

Dentro de este bloque de métodos basado en el análisis límite se podrían citar los métodos de la estática gráfica que sirven para obtener la línea de presiones de cualquier estructura. Se trata de métodos ampliamente utilizados para el proyecto de obras de fábrica y que si bien, con el uso de los ordenadores en el siglo XX habían caído en cierto desuso, vuelven a tener un cierto interés gracias a las modernas herramientas de diseño gráfico.