MÉTODOS PRE-CIENTÍFICOS

El primer escalón de la pirámide del conocimiento de los arcos y bóvedas de fábrica podría denominarse “teoría pre-científica” y estaría compuesta por las reglas empíricas usadas por los constructores durante siglos. Uno de los primeros estudios acerca del funcionamiento de los arcos de fábrica es el recogido en el “Códice de Madrid” de Leonardo da Vinci. Ya en él el autor predice que el colapso se produce por la formación de rótulas pero no lo justifica de manera alguna.

Las primeras reglas de dimensionamiento estuvieron basadas durante siglos en la proporcionalidad2. Son conocidas las reglas de Palladio (1625), Alberti (1485) o Serlio (1552) para determinar el canto de la bóveda en función de la luz. Si bien una de las primeras referencias escritas al respecto es la recogida en el libro de Ezequiel del Antiguo Testamento en el s. VI a.C. (en los capítulos 40 y 41 se describen las dimensiones de un templo de forma pormenorizada, lo que hace pensar que ya se usaban las proporciones para el dimensionamiento de los elementos estructurales). En el caso de edificios de fábrica es conocida la regla de Blondel que se recoge en diferentes tratados durante el s. XVII, como el de Martínez de Aranda (1600), en el de Derand (1643) y en el del propio Blondel (1673).

En cuanto a la importancia de los rellenos colocados en el trasdós de bóvedas o cúpulas de fábrica, son interesantes las reglas recogidas en diferentes tratados. Alberti (1485) recomienda macizar con la propia fábrica los senos de las bóvedas. Y Fray Lorenzo de San Nicolás (1639) indica la necesidad de colocar un relleno firme o lengüetas hasta uno o dos tercios de la luz de las bóvedas según su tipología.

Figura 2.7. En la imagen se muestra el trasdós de las bóvedas de la Lonja de la Seda en Valencia. Los

muros que partiendo de los pilares en dirección radial arriostran las bóvedas son las denominadas lengüetas que hacen las veces de relleno rígido en bóvedas especialmente a partir del gótico.

Este tipo de reglas de proporcionalidad quedó en entredicho en el s. XVII cuando Galileo (1688) formulo de la “ley del cuadrado-cubo”, según la cual, en construcciones sometidas principalmente a los efectos de las cargas de peso propio, al aumentar el volumen las cargas crecen elevadas al cubo, mientras que la sección aumenta elevada al cuadrado por lo que las

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Estas reglas funcionaron durante varios siglos ya que el mecanismo de colapso de los elementos de fábrica no es un fallo tensional a nivel de sección, sino la formación de un mecanismo de colapso que convierte la estructura en

tensiones lo hacen de manera lineal. Lo que implica que llegará un momento en el que el agotamiento se produciría al agotar la resistencia tensional de las secciones. El argumento es correcto, pero no debe olvidarse que, como las tensiones a las que trabajan las construcciones de fábrica son tan bajas, la modificación de la geometría no implica que se produzca el fallo tensional en lugar del fallo por formación de un mecanismo cinemático de colapso.

Sirva como ejemplo que una torre construida con fábrica maciza con una densidad de 20,4 kN/m3 y una resistencia a compresión igual a 8,54 MPa, valores medios para la fábrica según la tabla 2.2, tendría que tener una altura de 418,5 m para que la sección de la base fallará por agotamiento a compresión de la base. Lógicamente, esta cuenta se ha hecho sin minorar la resistencia del material ni mayorar las acciones. Además, el problema de una construcción de fábrica no será tanto resistir su peso propio sino ser estable frente a las acciones horizontales exteriores (viento, sismo, etc.) o internas (provocadas por los empujes horizontales de las bóvedas u otros elementos como arbotantes). El monumento a Washington es la torre de fábrica más alta3, con 169,3 m de altura y, al no ser macizo, la tensión debida al peso propio en su base es de apenas 3,7 MPa. Suponiendo una buena resistencia a la fábrica del monumento, que podría alcanzar un valor de resistencia a compresión de 24 MPa, el monumento podría haber alcanzado una altura de 1.100 m antes de agotarse en su base debido al peso propio. Un sencillo cálculo nos conduce a determinar que ante estos pesos el viento tampoco supone un incremento grande de tensiones, luego tampoco suponen un problema.

Figura 2.8. Con la imagen se ilustra la ley del cuadrado-cubo. La tensión en la base de un cubo de lado

“b” es proporcional a esta dimensión y su peso específico γ. Si en el cubo se duplica la dimensión del lado, igual a “2b”, y por tanto las tensiones son proporcionales al lado, “2b” y al peso específico γ. Por tanto aunque se mantenga la proporcionalidad en el elemento, al aumentar el tamaño, las tensiones crecen de manera lineal y serán estas las que provoquen el fallo de la estructura.

Otro tipo de reglas se han empleado para dimensionar el espesor de los principales elementos de construcciones de fábrica y se recogen en multitud de tratados desde el siglo XVII al XIX. Algunos ejemplos son las conocidas reglas de Dupuit, Séjourné, Rankine,…

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Sólo es superada en altura por el monumento Gateway Arch en San Luis, Missouri (EEUU), que es un arco monumental que alcanza una altura de 192 m

σ=(2·b)3_·γ_/(2·b)2_=2·b·γ

2·b

σ=b3_·γ_/b2_=b·γ

Los estudios de Hooke (1675), basados en el polígono antifunicular de cargas, concluían, de forma práctica pero no analíticamente, que la directriz del arco debe tener la forma de una cadena bajo las mismas cargas pero invertida, es decir, la forma inversa de la catenaria. Pero no será hasta 1704 cuando Bernoulli determine la ecuación matemática de la misma.

Gregory (1697) indicó que era suficiente que la cadena quedara dentro de los contornos, es decir, dentro del espesor del arco. Con este principio el autor afirma que se pueden dimensionar no sólo los arcos sino también los estribos de los mismos.

Figura 2.9. Una cadena sometida a su propio peso toma la forma funicular de las cargas, reflejada en un

espejo, como se muestra en la figura, si queda contenida en los contornos de la estructura significa que la misma es estable. En este caso, se ha dibujado en rojo un arco invertido, de forma que se observa como la catenaria formada por la cadena queda inscrita en los contornos del arco.

La Hire (1695) plantea el funcionamiento del arco como si en las juntas tan sólo se transmitieran tensiones normales, sin componente de fricción. Mediante estos cálculos y aplicando los principios de la mecánica, determina una formulación para el cálculo de los arcos y de sus soportes o estribos. La aplicación de los principios expuestos por La Hire llevó a determinación de que la forma óptima para los arcos de fábrica es con espesor variable y mínimo en el centro de la luz. Si bien parte de una hipótesis que no representa la realidad, los resultados a los que se llega aplicando estos principios están en general del lado de la seguridad.

Bélidor (1729) ajusta el modelo propuesto por La Hire, ya que la formulación propuesta determina el espesor estricto estable que, según este autor, debe ser incrementado para asegurar la estabilidad del mismo. Además fija algunos criterios respecto del método propuesto por La Hire para simplificar el cálculo de estos elementos.

Couplet (1729) demostró de forma analítica que el fallo de un arco, aceptando que no se puede producir el fallo por cortante, se produce por la formación de un mecanismo cinemático de colapso, si bien en sus análisis se fija de forma arbitraria la posición de las rótulas del mecanismo.

Figura 2.10. Mecanismo de colapso de un arco de medio punto según Couplet. Se fija de forma arbitraria la posición de la rótula intermedia a 45º.

A partir de este momento aparecen expuestas de forma explícita las tres hipótesis básicas respecto al comportamiento de la fábrica: que no resiste tracciones, que su resistencia a compresión es infinita y que no es posible el deslizamiento entre dovelas.

Según Frézier (1737-1739) fue Danizy en 1732 el primero que publicó una serie de ensayos sobre modelos a escala realizados en escayola de arcos de fábrica y con sus análisis predijo que el colapso de estos elementos se produce por la formación de un mecanismo de colapso cinemático al formase un número suficiente de rótulas en el mismo. Pero no desarrolló analíticamente formulación alguna para explicar el funcionamiento de este tipo de estructuras.

Figura 2.11. Mecanismos de colapso determinados mediante ensayos por Danizy para diferentes

estructuras de fábrica. En la imagen de la izquierda se muestra el mecanismo de colapso cinemático de un arco con carga simétrica, se indican las rótulas de clave y arranques, abiertas en el intradós, y las de riñones, abiertas en el trasdós. En la imagen de la derecha se indica el mecanismo de colapso cinemático de una estructura adintelada. El esquema de rótulas es el mismo. En clave y arranques, abiertas en el intradós, y en riñones, abiertas en el trasdós.

Figura 2.12. En estas imágenes de casos reales de las estructuras indicadas por Danizy en las que se

observan los mecanismos de colapso descritos.

Poleni (1748) aplicó en su conocido estudio de la cúpula de San Pedro del Vaticano los conceptos expuesto por Hooke y Gregory.

Figura 2.13. Aplicación del concepto de catenaria para explicar la estabilidad de la cúpula de San Pedro del Vaticano según Poleni.

Coulomb (1773) analiza una bóveda simétrica con la posibilidad de que se forme mecanismo cinemático de colapso por formación de rótulas o de que el fallo se produzca por el deslizamiento entre dovelas. Llega a la conclusión de que el fallo por deslizamiento es muy raro. En su estudio se fija a priori la posición de las rótulas y se obtiene la reacción horizontal en clave que varía entre un máximo y un mínimo. La posición más desfavorable se busca tanteando la posición inicialmente fijada.