MÉTODOS BASADOS EN LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD

Con el comienzo del desarrollo de las teorías del cálculo de estructuras, éstas fueron aplicándose al análisis de construcciones de fábrica y se aplicaron para dimensionar y entender el funcionamiento de estos elementos. Si bien es obvio que el material no cumple con las condiciones de la elasticidad (se trata de estructuras que trabajan en rangos plásticos y no lineales y con materiales con una escasa o nula resistencia atracción), homogeneidad e isotropía (dado el tipo de material formado por fábrica, mortero y rellenos), la aplicación de los principios de la elasticidad supuso un acercamiento interesante de cara a entender el funcionamiento de las mismas.

Navier (1826) establece la teoría de la elasticidad y la aplica a los arcos de fábrica. Con la hipótesis de Navier de que la sección permanece plana tras la deformación se puede obtener la ley de esfuerzos y comprobar si se satisface la regla del tercio central. Si la resultante de las tensiones queda dentro del tercio central de la sección rectangular, no se producen tracciones y, por tanto, se verifica íntegramente la teoría de las elasticidad.

En torno a 1830-1840 aparece el concepto de la línea de empujes que se define como el lugar geométrico de los puntos de paso de la resultante de las fuerzas en cada uno de los planos de corte en que se ha dividido la estructura. Esta línea depende de la familia de planos elegida, luego no es única. Además, la resultante no tiene por qué ser tangente a la línea.

Figura 2.14. En la imagen, tomada de Moseley, se diferencia entre la línea de presiones, que se indica con un trazo de puntos y se llama “Line of Resistence”, que es la línea de paso de las resultantes de las reacciones dada una familia de dovelas de cálculo. La envolvente de los empujes es la línea que en la figura se denomina “Line of Pressure”. Se entiende gráficamente que estos empujes no tienen por qué ser tangentes a la línea de presiones.

La formulación rigurosa de la línea de empujes fue una aportación de diversos investigadores de forma casi simultánea, Méry (1840) en Francia y Moseley (1843) en Inglaterra. Para ambos, la condición de estabilidad del arco se cumple si la línea de empujes está contenida en el interior de la fábrica, sin limitarse al tercio central.

Moseley (1833) además del estudio riguroso de la línea de presiones introduce el principio de la reacción mínima para determinar la solución entre las infinitas que pueden existir en el problema.

Barlow (1846) desarrolló un método gráfico para la obtención de la línea de presiones y demostró su existencia con ingeniosos ensayos.

Figura 2.15. En la imagen se esquematizan los ensayos ideados por Barlow para demostrar la existencia

de la línea de presiones. Se indican las dovelas del arco y entre ellas se disponen unos “tacos”, que se han marcado en verde, de forma que este sea el único punto de contacto entre dovelas. Así se obliga a pasar por esos puntos la línea de presiones. Si se cambian los puntos de paso obligados se hace variar la línea de presiones. Se indican los esquemas para las líneas de presiones de mínimo empuje horizontal y máximo empuje horizontal.

Rankine (1856) fue quien, gracias al empleo de los polígonos de fuerzas, unió el cálculo analítico y el gráfico; pero el tratamiento matemático de su teoría no tuvo gran éxito. Además son interesantes las consideraciones que se hacen de cómo varía la línea de presiones según se considere o no el empuje horizontal del relleno y qué pasa al cambiar el ángulo de rozamiento interno del mismo o la cota de la rasante.

Figura 2.16. Consideraciones de Rankine acerca de la forma de la línea de presiones conforme cambian las condiciones de empuje del relleno del trasdós. Imagen tomada de (S. Huerta Fernández 1990).

Culmann (1866) fue quien desarrolló e hizo accesibles los métodos gráficos, que se impusieron por su simplicidad frente a los laboriosos cálculos matemáticos.

Castigliano (1879) desarrolló un método basado en la ecuación de la energía mínima de deformación para calcular la posición de la línea de presiones. El análisis de los arcos debía ser iterativo para dejar de considerar en cada paso la parte traccionada en el paso anterior. Una ventaja del método es que aporta información acerca de las tensiones y las deformaciones del arco.

Pippard et al. (1936), (1939), (1942) y (1951) realizaron una extensa campaña de ensayos en arcos a escala con dovelas metálicas y posteriormente con dovelas de hormigón en masa con y sin juntas entre dovelas. La única contribución del relleno es la que aporta su propio peso, se obvió su contribución con cargas horizontales, ya que éstos se modelizaron mediante pesos colocados en el centro de gravedad de cada dovela. La conclusión de estos ensayos fue que el arco se comporta de forma elástica hasta la aparición de la primera fisura aunque posteriormente todavía es capaz de asumir carga antes del colapso. El mecanismo de fallo en estos ensayos fue el colapso por formación de un mecanismo cinemático al formarse cuatro rótulas en los mismos. Por tanto se propone como seguro el análisis elástico, dejando que la resultante de las fuerzas pase por el medio central del espesor en lugar del tercio central (lo que supone asumir que no se producen tracciones en ninguna fibra).

Figura 2.17. Regla del tercio central. Se puede observar cómo cambia el estado tensional de la sección pasando de una sección totalmente comprimida con tensión uniforme en la figura de la izquierda a una en la que una parte de la sección se fisura al ser capaz de resistir las tracciones que la solicitan. Figura tomada de (Yang 1991).

Figura 2.18. En la figura de arriba se muestra un ejemplo de una línea de presiones de un arco encajada

dentro de la banda del tercio central, lo que implica que no se producen tracciones en ninguna sección. 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 0.33 1.33 2.33 3.33 4.33 5.33 6.33 7.33 8.33 9.33 10.33 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 0.25 1.25 2.25 3.25 4.25 5.25 6.25 7.25 8.25 9.25 10.25 Carga Trasdós Intradós Medio central Línea de presiones Carga Trasdós Intradós Tercio central Línea de presiones

Las líneas gruesas marcan el contorno del arco, las líneas finas la zona en la que se permite el paso de la línea de presiones, el tercio central en este caso, en azul se indica la carga aplicada junto con el peso propio y en rojo se indica la línea de presiones. En la imagen de abajo se muestra el mismo arco, misma geometría y mismas cargas, con la línea de presiones encajada en la banda del medio central.

Figura 2.19. Fotografía (izquierda) y esquema (derecha) de uno de los modelos empleados por Pippard.

Las cargas en el arco se simulan por medio de pesos colgados en su parte inferior.

Bridle y Hughes (1989) y (1990) desarrollaron un programa de ordenador, el CTAP, basado en un análisis de la energía de deformación de Castigliano. El arco es modelado como un material elástico y lineal, en el que la tensión es directamente proporcional a la deformación de forma indefinida, esto es, sin que exista una rama de plastificación; y con los extremos del arco fijos. Se aplica una carga incremental y se calculan las tensiones en cada sección para cada paso de carga. Las zonas traccionadas en cada paso son eliminadas. Y se aplica un nuevo escalón de carga hasta que no se encuentra una línea de presiones contenida en los contornos del arco. La interacción con el suelo es considerada ya que consideran los empujes activo o pasivo.

Figura 2.20. Esquema de los diferentes diagramas tensión σ deformación ε que se emplean en el cálculo

de estructuras. El diagrama adoptado por Castigliano es el diagrama elástico lineal.

Tensiones ()

Deformaciones ()

Diagrama plástico

Diagrama elástico

Block (2005) aplicó estos métodos de equilibrio estático para estudiar el comportamiento de algunas estructuras de fábrica frente a acciones sísmicas. Para ello consideró, además de las acciones verticales provocadas por la gravedad las acciones horizontales debidas a la aceleración horizontal que el movimiento sísmico transmite a la estructura.

La consideración de los rellenos se fue incorporando según se fueron consolidando, por un lado, la teoría de la estabilidad y, por otro, las diferentes teorías de empujes de los rellenos granulares. Son interesantes los estudios ya mencionados de Rankine acerca de la línea de empujes con diferentes tipos o geometrías de relleno granular. No obstante, las teorías clásicas de empujes del terreno se basan en equilibrios límite para los empujes pasivo y activo o para situaciones de reposo para los empujes al reposo. Dado el funcionamiento de los elementos de fábrica y que la rotura, en general, se produce por formación de mecanismos, la obtención de una solución única y real parece un objetivo complejo.