Fracciones y números racionales

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(1)

A C T I V I D A D E S D E L O S E P Í G R A F E S Fracciones y números racionales

P A R A P R A C T I C A R Indica qué uso se hace de las fracciones en cada caso. a) Tres cuartos de kilogramo de ternera.

b) Dos quintos de 100 gramos.

c) He comprado —7

5— de metros de cuerda.

a) Tres cuartos de kilogramo de ternera 750 gramos

b) Dos quintos de 100 gramos 40 gramos

c) He comprado 7

5de metros de cuerda 5 5m

2

5 m 1 m 40 cm 140 cm

Completa el número que falta.

a) —3

5— de 50 b) —

3— de 30 20 c) — 1

de 10 5 d) —1

2— de 25

a) 3

5de 50 x, luego x30 c) 1

xde 10 5, luego x 2

b) 3

x

de 30 20, luego x2 d) 1

2 de x 25, luego x 50

Comprueba si las fracciones son equivalentes

a) —3

5— y 1 2 5 5

b) —6

9— y 4

6— c) —

1 2 0 5

y

2 9

0

d) —3

7— y —2 6

1

a) 3 5

1 2 5 5

, ya que 3 25 5 15 75 c) 1 2 0 5

290, ya que 10 20 200, y 9 25 225 Luego son equivalentes. Luego no son equivalentes.

b) 6 9

4

6, ya que 6 6 9 4 36 d) 3 7 2

6 1

, ya que 3 21 63, y 7 6 42 Luego son equivalentes. Luego no son equivalentes.

Escribe, en cada caso, tres fracciones equivalentes a la dada.

a) —1

5 2

b) —2

3 8 0

c) —1

3— d) —

4 7—

a) 1 5

2

2140 31 56 4280 c) 1 3

2 6

3 9

1 3 0 0

b) 2 3 8 0

1145 44 52 114500 d) 4 7 1

8 4

1221 4700

Halla el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.

a) —3

6— —1

x

2

b) —

1 5

5

—7

x c) —

6

x

1 3 0 0

d) —

2

x

4

—3

4—

Utilizamos la regla de los productos cruzados o la simplificación.

a) x 6 b) x21 c) x 18 d) x18 1.5

(2)

Utiliza el máximo común divisor del denominador y del numerador para simplificar las fracciones y halla su fracción irreducible.

a) —1

4 8 5

b) —

2 7

0 5

0

c) —2

2 5 7 2 3

d) —1

2 6 2 0 4

a) m.c.d.(18, 45) 9 c) m.c.d.(252, 273) 3 7 21

Simplificación:1 4 8 5

25 Simplificación:2 2

5 7 2 3 1123

b) m.c.d.(75, 200) 25 d) m.c.d.(160, 224) 25 32

Simplificación: 2

7 0

5 0

38 Simplificación:1 2

6 2 0 4 57

Ejercicio resuelto

Escribe las fracciones —2

9—, —1 7

2

y —

1 5

8

con denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Se calcula el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(9, 12, 18) 36

Se multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por un número de forma que el nuevo denominador sea 36.

29 44 29 386 172 33 172 2316 158 22 158 1306

Reduce a mínimo común denominador.

a) —

8 5 ,

1 7

0

—, —1

1 1 6

c) —2

3—, —1 5

5

—, —7

5—

b) —3

2—, — 7 6—, —

7

2— d) —

5 4—, —

5 6—, —

1 1—

a) m.c.m.(8, 10, 16) 80 c) m.c.m.(3, 15, 5) 15 Fracciones equivalentes:5

8 0 0 ,5

8 6 0 ,5

8 5 0

Fracciones equivalentes:1 1 0 5 ,

1 5

5 ,2

1 1 5 b) m.c.m.(2, 6, 2) 6 d) m.c.m.(4, 6, 1) 12

Fracciones equivalentes:9 6,

7 6,

2 6

1

Fracciones equivalentes:1 1 5 2 ,1

1 0 2 ,1

1 2 2

Comprueba si las siguientes fracciones determinan el mismo número racional.

a) —3

4—, — 1 1 2 6

—, —

1 7

0 5

0

—, —2

3 7 6

b) —1

3—, — 2 6—, —

3 9—, —1

4 2

a) Si simplificamos, comprobamos que: b) Si simplificamos, comprobamos que:

1126 1705 0 2376 43 13 26 39 142 13

Por tanto, son fracciones equivalentes. Por tanto, son fracciones equivalentes.

Luego determinan el mismo número racional. Luego determinan el mismo número racional.

Compara las siguientes fracciones.

a) —3

5— y 2

7— b) —

4 7— y

3 8—

a) Las reducimos a común denominador. b) Las reducimos a común denominador.

35 y 2

7son equivalentes a 2 3 1 5

y

3 1 5

0 .

47 y 3

8son equivalentes a 3 5 2 6 y 2

5 1 6 . Luego es mayor la primera. Luego es menor la primera.

(3)

Ordena de menor a mayor las fracciones —3

5—, —1 3

0

—, —1

4—.

Las reducimos a común denominador.

Denominador común: 20

Fracciones equivalentes:1 2 2 0 ,

2 6

0 ,

2 5

0

Ordenación: 2 5

0

260 1220

Por tanto,1 4 1

3 0 35

P A R A A P L I C A R

En una sala de estudio hay 48 estudiantes. Si 20 de ellos son chicos, calcula la fracción irreducible que determinan las chicas.

Número de chicas: 48 20 18

Fracción de chicas:1 4 8 8 38

Un depósito de agua tiene una capacidad de 3 600 litros. Indica qué fracciones irreducibles representan las siguientes cantidades de agua.

a) 1 800 litros b) 900 litros c) 1 200 litros d) 2 400 litros

a) 1 3

8 6 0 0 0 0

1386 12 c) 1

3 2 6 0 0 0 0

1326 13

b) 3

9 6

0 0

0 0

396 14 d) 2

3 4 6 0 0 0 0

2346 23

En un test, Carlos contesta bien 24 de las 30 preguntas, y José, 18 de 24. ¿Cuál de los dos obtendrá mayor calificación?

Fracciones equivalentes:

2340 45 1260

1284 34 1250

Por tanto, Carlos obtiene mayor calificación.

¿Se puede afirmar que en una clase de 30 alumnos, —2

6— son chicos y — 4

5— son chicas? Razona la respuesta.

26 de 30 2 5 10

45 de 30 4 6 24

La suma es 34, luego esa distribución no es correcta.

Un pantano con capacidad de 720 hectómetros cúbicos contiene actualmente 200 hectómetros cúbicos. ¿Qué fracción de pantano queda por llenar?

Ha disminuido 720 200 520

Porcentaje:5 7

2 2 0 0

5722 2366 1138 1.16

(4)

¿Cuántos botellines de —1

5— de litro son necesarios para envasar 8 000 litros de zumo de naranja?

8 000 1

5 40 000 botellines

Operaciones con fracciones

P A R A P R A C T I C A R Calcula y simplifica.

a) —2

3— 3

8— c) —

1 5—

2 3—

b) —5

6— 7

9— d) —1

7 2

—1

1 5 8

a) 2 3

3 8

1 2 6 4

294 274 c) 1 5

2 3 1

3 5

1105 175

b) 5 6

7 9

1 1 5 8

1148 2198 d) 1 7

2

1158 2316 33 06 5316 1172

Haz las siguientes operaciones.

a) —5

5— 5 c) —

2 5— 1

b) 3 —7

3— d) 2

1 9

4

a) 5

5 5 1 5 4 c)

2 5 1

2 5

5 5

7 5

b) 3 7 3

9 3

7 3

1 3

6

d) 2 1

9 4

198 194 49

Efectúa y simplifica.

a) —3

2— 5 8—

1

4— b) —

3 7— —2

2 1

—1

3— c) —

3 5— —2

7 5

—1

5— d) —

3 4—

6 7—

1 2 2 8

a) 3 2

5 8

1 4

1 8

2

58 28 98 c) 3 5 2

7 5

15 1255 275 255 1235

b) 3 7 2

2 1

13 291 22 1 271 241 d) 3 4

6 7

1 2 2 8

2218 22 84 1228 298

Haz las siguientes operaciones.

a) —5

3— 1 9

2

—7

6— —1 5

8

b) —3

5— 1 2 6— —1

4 5

c) 4 —1

3 4

—7

6— 1 4

5

d) —

1 9

2

3 —7

6— —1 1

8

a) 5 3

1 9

2

76 158 1308 2148 2118 158 3128 196

b) 3 5 1

2 6 1

4 5

1380 3300 13 00 380 1300 13

c) 4 1 3

4

76 145 1482 5162 1142 4152 3192 143

d) 1 9

2 3 7 6 1

1 8

2376 1306 8 3426 326 13765 1.21

(5)

Opera y simplifica el resultado.

a) —3

5—— 7

6— b) —

4 9——1

4 1

c)

—5

3—

1 7

5

d) —6

8—

3 2—

a) 3 5

7 6

2 3 1 0

170 c)

5

3

1 7

5

3455 79

b) 4 9 1

4 1

1969 d) 6

8

3 2

1 1 8 6 98

Calcula y simplifica.

a) 3—5

6— b) —

3

7—4 c)

3

5—

4 d) —

1 8

2

(3)

a) 3 5 6

1 6

5

52 c)

3

5

4 2 3

0

b) 3 7 4

1 7

2

d) 1

8 2

(3) 4 8

1 2

Realiza las siguientes operaciones combinadas.

a) —3

2— :

1 4—

5

6— b) — 2 3——

6

5— 7 c) —

1 5——

1 3

0

:

—2

6—

d) —

2 3— : 4—

6 5—

a) 3 2

1 4

5 6

1 2

2

56 6102 5 c) 1 5

1 3

0

26

2

b) 2 3

6 5 7

8 1 4 5

258 d) 2

3 4 6 5

1 5

Calcula.

a)

—2

3—

3

b)

—3

5—

4

c)

—1

2—

5

d)

—2

7—

2

a)

2 3

3

2 8

7

b)

3

5

4

6 8

2 1

5

c)

1

2

5

3 1

2

d)

2

7

2

4 4

9

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

En una guardería, los niños representan —

1 7

3

del total. ¿Qué fracción hay de niñas?

La fracción que corresponde a las niñas es el total menos los 1 7

3

que corresponden a los niños. El total es la unidad, luego:

Fracción de niñas: 1 1

7 3

1133 173 163

En un grupo de amigos, —

1 4

0

—van al cine, —

1 7

5

al teatro y el resto se queda en casa. ¿Qué fracción del grupo se queda en casa?

Fracción del grupo que se queda en casa: 1 1

4 0

175 3300 13 02 1340 340 125

Por tanto, se quedan en casa 1 2

5

de los amigos. 1.27

(6)

Te dicen que entre los grupos de tercero, —3

4— han elegido inglés; —5 1 ,

francés, y —

2 3

0

—, alemán. ¿Es posible?

Suma de fracciones:3 4

1 5 2

3 0

1250 240 230 2220 1110 Por tanto, no es posible, ya que la suma de las partes es mayor que el total.

Halla el área de un triángulo cuya base mide —3

5 6

metros, y su altura, —3

4 0

metros.

Área de un triángulo:1

2de base altura.

Cálculo del área:1 2

3 5

6

340 27 m2

Calcula el perímetro de cada figura.

a) b)

a) Perímetro:2 5

1 1 2 5

165 1125 1185 65 1,2 cm b) Perímetro: 6 2 7

1 7

2

1,71 cm

Calcula el volumen de cada cubo.

a) b)

a) Volumen:

8 9

3

5 7 1 2 2 9

cm30,70 cm3 b) Volumen:

7

6

3

3 2 4 1 3 6

cm31,59 cm3

Jerarquía de las operaciones

Ejercicio resuelto

Calcula

3 —1

2—

1

5— 2 :

2 3—

2 —3

5— 1.

Recuerda que los números enteros se pueden escribir como fracciones con denominador 1.

3 3 1; 2

2 1; 1

1 1 Se realizan las operaciones teniendo en cuenta la jerarquía de las mismas.

3 1 2

1

5 2

2 3

2

3 5 1

7 2

1

5 2

2 3

2

3 5 1

7 2

1

5 2 4 9

3

5 1 1 7

0

148 35 1

1 7

0

5240 1 1 2 4 0

2540 22 00 2200 1 1.32

1.31 1.30 1.29 1.28

1 —

5 6 — 15cm

cm

2 —

7cm

8 —

9cm

7 —

(7)

P A R A P R A C T I C A R Calcula.

a) 2 —3

4—

2 5—

1

3—

b) — 1 3—

5 4— —1

9 2

1 c)

—7

6— 3 4—

1 1 3 2

d) —5

6— 3

1 1 1 0 8

a) 2 3 4 (

2 5

1 3)

8 4

3 4 (1

6 5

155) 5 4 1

1 5 7610

b) 1 3

5 4 1

9 2

1 1 3 1

6

2 1 1 4

2

162 11 22 1142 76

c)

7 6

3 4

1 1 3 2

1142 192 1132 1102 56

d) 5

6 3

1 1 1 0 8

56 3 1

8 8

1158 51 84 188 6118

Opera y simplifica.

a) —4

5— 3 7——

2

3— b) —

4 5——

3 7—

2

3— c) —

1 5——

3 7— —3

6 5

d) —1

5— 3 7—

1 2—

a) 4 5

3 7

2 3

4 5

2 7

1 3 8 5

b) 4 5

3 7

2 3

1 3 2 5

23 13045

c) 1 5

3 7 3

6 5

335 365 335

d) 1 5

3 7

1 2

1 5 1

3 4

1740 1750 710

Haz las operaciones siguientes.

a)

—3

5— —1 7

0

—3

7— b)

1 4— —1

5 2

—6

4—

c) — 2 5— :

4 9—

1

3—

d) — 1 3—

2 5— —1

3 0

: —3

2—

a)

3 5 1

7 0

37 11 03 37 3790

b)

1 4 1

5 2

64

132 152

64

182

32

2244 1

c) 2 5

4 9

1 3

2 5

4 9

3 9

2 5

7 9

1 3 8 5

d) 1 3

2 5 1

3 0

32 13 110 32 310 32 920 415 1.35

(8)

Efectúa las operaciones.

a) —1

2—

2 3—

2

b) —7

5—

4 3—

4

c) —3

5—

3 2—

3

d) —1

3 0

—7

2—

5

a) 1 2

2 3

2 1 2 4 9 1

9 8

188 1178

b) 7 5

4 3

4 7 5 2 8 5 1 6

5460 75 1420 850 741035

c) 3 5

3 2

3 3 5 2 8 7

4240 143 05 14101

d) 1 3 0

72

5 1 3 0

16382 07 392 60 50946 21 5091601

Calcula.

a) —4

3—

1

2— 1

3 5— :

6

4— b) —

5 7—

1 2—

5 6—

:

3 5—

4 5— —1

7 0

a) 4 3

1 2 1

3 5 6 4 4 3 3 2 1 3 2 0

4300 43 05 1320 1370

b) 5 7

1 2 5 6

3 5

4 5 1

7 0

1603

Realiza las siguientes operaciones combinadas.

a) —3

4—

1 5—

3 2—

3 2—

2 —5

7— 1 b) — 2 7—

1 5——

9 2—

1 5—

4

7—3

c) 2 1 5——

9 2—

3 5—

2

—4

5— 7 4—

a) 3 4

1 5 3 2

3 2

2

57 1 2 5

1

b) 2 7 1 5 9 2

1 5 4 7 3

1 7 7 0 7

c) 2 1 5 9 2

3 5

2

45 74

214010

P A R A A P L I C A R

Teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones, completa el siguiente laberinto fraccionario.

Camino primero:1 2 2 3 3 5 1 1 4 5

Camino segundo:1 2

2 3

2 7 2

1 1

Camino tercero:1 2 1 3 1 4 1 6 1

(9)

Javier y Pedro tienen dos calculadoras que operan fracciones, pero no saben si respetan la jerarquía de

las operaciones. Para comprobarlo, cada uno realiza la operación —1

4— 1 3—

1 2—

2

Si Javier obtiene como resultado —1

3—, y Pedro —1 4

2

—, ¿respetan sus calculadoras la jerarquía de las opera-ciones?

Puesto que 1 3 1

4 2

, la respuesta es sí.

María ha copiado de la pizarra la siguiente opera-ción.

Cuando va a realizarla, recuerda que, en la pizarra, algunas de las operaciones tenían paréntesis.

Si el resultado de la operación es

1 7

0

—, ¿dónde es-taban separados los paréntesis?

170 12

34 35

23

Resolución de problemas con fracciones

Problema resuelto

En un quiosco de prensa se han vendido a lo largo de la mañana —3

5— de un lote de periódicos, y por la tarde, —1

3— de los que quedaban. Si al finalizar la tarde quedaban 12 periódicos sin vender, ¿cuántos periódicos había inicialmente?

Lote inicial Fin de la mañana Fin de la tarde

23de 2

5del total son 12;1 4

5

del total son 12; 1 1

5

del total son 3; total: 3 15 45, por lo que al principio de la mañana había un lote con 45 periódicos.

P A R A P R A C T I C A R Calcula las siguientes cantidades.

a) —1

5— de 200 euros. b) — 2

3— de 10 kilogramos. c) — 5

6— de 300 litros. d) —1 7

2

de 600 kilómetros.

a) 1

5de 200 euros 40 euros. c) 5

6de 300 litros 250 litros.

b) 2

3 de 10 kilogramos 6,67 kilogramos. d) 1 7

2

de 600 kilómetros 350 kilómetros. 1.43

1.42 1.41 1.40

(10)

Calcula el total de la cantidad en cada caso.

a) —3

5— del total son 120 euros. c) — 3

7— del total son 36 litros.

b) —1

4— del total son 80 kilogramos. d) — 4

9— del total son 240 kilómetros.

a) Total: 40 5 200 euros. c) Total: 12 7 84 litros.

b) Total: 80 4 320 kilogramos. d) Total: 60 9 540 kilómetros.

P A R A A P L I C A R

Un grupo de amigos quedan para salir juntos, pero al final no se ponen de acuerdo en el sitio adonde

ir, —

1 4

0

del grupo se van al cine, —

1 7

5

se van al teatro y el resto se vuelve a casa.

¿Qué fracción del grupo se queda en casa?

Fracción que se queda en casa: 1

1 4

0

175

125

Si un kilo de manzanas cuesta —4

5— de euro, ¿cuánto cuestan cuatro kilos y medio de manzanas?

4 1

2

4 5

9 2

4 5

3 1 6 0

euros 1 5

8 euros

Con 42 litros de gasolina, el marcador del depósito del coche está en la posición de la figura.

¿Cuántos litros tiene el depósito cuando está lleno?

El depósito con 3

4tiene 42 litros.

Por tanto,1

4 del depósito es x 14 litros.

Luego el depósito lleno es: 4 14 56 litros.

Luis pagó como entrada de una bicicleta —1

3— de los — 2

7— de los 420 euros que costaba. ¿Sería lo mismo si hubiera pagado los —2

7— de — 1

3— de los 420 euros?

13 de 2

7 de 420 1

3 de 120 40 euros. 27 de 1

3 de 420 2

7 de 140 40 euros.

Por tanto, el proceso es igual ya que se obtiene la misma entrada.

Un regante tiene un depósito de 12 000 litros. Gasta —1

3— de su capacidad y luego 600 litros. ¿Es lo mismo que si gastase primero 600 litros y luego —1

3— del resto?

Primer proceso:1

3 de 12 000 600 4 600 litros. Segundo proceso: 600 1

3 de 11 400 600 3 800 4 400 litros. Los resultados son diferentes, luego los procesos son distintos. 1.49

(11)

Los —3

5— de las calculadoras que vende una tienda son científicas, y de estas, los —1 5

2

son programables.

a) ¿Qué fracción representan las calculadoras programables? b) De cada 100 calculadoras vendidas, ¿cuántas son programables?

a) Calculadoras programables: 1 5

2 de 3

5 1 5

2

35 1650 14

b) Son programables 1

4 100 25 %

El Ayuntamiento de una ciudad decide utilizar 12 000 m2de un solar de la siguiente forma: 1

5—de terreno para la construcción de viviendas de protección oficial, —1

3— de lo que queda para construir un centro de salud, y los metros cuadrados restantes para un parque? ¿Cuántos metros cuadrados tiene el parque?

Terreno para viviendas:1

5de 12 000 2 400 metros cuadrados. Terreno que queda: 9 600 metros cuadrados.

Terreno para el centro de salud:1

3de 9 600 3 200 metros cuadrados. Terreno para el parque: 12 000 5 600 6 400 metros cuadrados. 1.51

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