“Determinan” significa que existe y es único MATEMÁTICA 2do año A y B
TEMA 1: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Ejercicio 1: Indica si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa:
• Por un punto pasa una recta y una sola
• Dos puntos siempre están alineados. • Tres puntos siempre están alineados.
• Dos puntos determinan un plano.
• Tres puntos siempre determinan un plano. • Tres puntos no alineados determinan un plano.
(I)
“Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen”
Usualmente se enuncia: “Dos puntos distintos determinan una recta que pasa por ellos”.
Notación: AB se lee: “la recta que A y B determinan” o simplemente “la recta AB”
(II)
“Dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen” Usualmente se enuncia: “Tres puntos no alineados determinan un plano”
Notación: (ABC) se lee: “el plano que A, B y C determinan o “el plano ABC”
Ejercicio 2
Selecciona la o las opciones correctas, referidas al cubo ABCDEFGH:
1) El punto A es: i) vértice de una sola cara del cubo. ii) vértice del cubo.
iii) vértice de más de una cara del cubo.
2) AB es i) arista del cubo ii) lado del cubo
iii) lado de sólo una cara del cubo iv) lado de más de una cara del cubo
3) AB es i) arista del cubo
ii) contiene una arista del cubo iii) lado de una cara del cubo.
4) (ABC) es i) una cara del cubo
ii) está contenido en una cara del cubo iii) contiene una cara del cubo
5) La cara ABCD es : i) un polígono ii) un plano
A B
r A∈r,
POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO
SECANTES
r ∩ α= {P}
PARALELOS
s ⊂ α ó r ∩ α= ∅
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
COPLANARES
SECANTES PARALELAS
r ∩ s ={P} r ∩ s = ∅
ó r = s
NO COPLANARES
No existe un plano β tal que r ⊂ β y s ⊂ β
Se dice que r y s se cruzan.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO
SECANTES
α ∩ β=r PARALELOS
Ejercicio 3
Representa un cubo y llámale r a la recta que incluye una arista: • Nombra los vértices del cubo de la figura
• Nombra todas las caras incluidas en planos paralelos a la recta r • ¿Con cuántas caras es secante r?
• Busca una recta secante a los planos de las seis caras ¿Cuántas hay en esas condiciones?
• Anota las aristas paralelas a r
• Busca aristas que no sean paralelas a r y que no tengan puntos en común con r
Ejercicio 4
Indica si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. En cada caso afirmativo, indica posición relativa de las figuras.
• 2 rectas pueden estar incluidas en un mismo plano y no tener puntos en común • Dos rectas que no tienen puntos en común son paralelas
• Dos rectas secantes son coplanares. • Si una recta tiene dos puntos en un plano está totalmente contenida en él.
• Si una recta no es secante a un plano, entonces no tiene ningún punto en común con él o tiene todos sus puntos en común con él. • Dos planos pueden tener un solo punto en común.
(III)
Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, entonces dicha recta está incluida en ese plano
A∈α, B∈α A∈r, B∈r, A≠B ⇒ r ⊂ α
Ejercicio 5
Se considera el cubo ABCDEFGH. Sea I, centro de la cara EFGH. Indica posiciones relativas de: i) recta IG con el plano (EFH) ii) AE con (CDH) iii) IB con (AEF) iv) IF con (CAE)
(IV)
Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta en común.
Ejercicio 6
Considera este esquema.
A, C y D determinan el plano que está
representado, B no pertenece a ese plano.
Indica si es V o F, justifica:
AD y DC determinan un plano que las contiene AD y DB determinan un plano que las contiene AB y BC determinan un plano que las contiene AB y DC determinan un plano que las contiene
Considera ahora el tetraedro ABCD, y nombra a partir de él:
dos planos secantes
una recta y un plano secantes
una recta y un plano tales que la recta está incluida en el plano dos rectas coplanares.
Ejercicio 7
La recta r está incluida en el plano α. Dibuja 4 rectas a, b, c y d tales que:
a) a ∩ r = ∅ y a ⊂ α b) b ∩ r = ∅ y b ⊄ α c) c ∩ r = { P } y c ⊂ α d) d ∩ r = { P } y d ⊄ α
En cada caso expresa la posición de la recta hallada con respecto a la recta r y al plano α . Uno de los ítems tiene dos posiciones relativas posibles, analízalas.
PARALELISMO
Definición:
1) Dos rectas son paralelas si son coplanares disjuntas, o coincidentes.
2) Una recta es paralela a un plano, si su intersección es vacía, o si está incluida en él. 3) Dos planos son paralelos, si su intersección es vacía, o si son coincidentes.
Ejercicio 8
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Dibuja un diagrama para ilustrar cada enunciado verdadero y un contraejemplo para cada afirmación falsa.
(V)
Si una recta r es paralela a una recta s de un plano α, entonces r es paralela al plano α
α α // r s // r s ⇒ ⊂ (VI)
Si una recta r es paralela a un plano α, entonces existe en α una recta s, tal que s es paralela a r.
r//α⇒∃ s⊂αtalque s//r
Ejercicio 9
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Busca un ejemplo para cada afirmación verdadera y un contraejemplo para cada falsa.
• Dos rectas paralelas a un plano. son paralelas entre sí • Algunas rectas paralelas a un plano, son paralelas entre sí • Dos rectas paralelas a un plano, son secantes entre sí
Ejercicio 10
Los planos α y β son paralelos y distintos. El plano π los corta en i y j respectivamente: ¿pueden ser i y j secantes? ¿por qué?
(VII)
Si un plano π es secante a dos planos paralelos α y α ‘ , entonces las rectas intersección de π con α y α ‘ son paralelas
r //r' ' r ' r ' // ⇒ = ∩ = ∩ α π α π α α
Dibuja un diagrama que represente esta propiedad.
Ejercicio 11
Dada la pirámide ABCD, P∈ AD, se considera el plano α tal que α // (ABC), P∈α;
α ∩ DB ={R}, α ∩ DC = {S}
a) Nombra dos planos distintos que incluyen a PR
PERPENDICULARIDAD
Definiciones previas
→ Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común y los otros dos lados son semirrectas opuestas.
→ Un ángulo es recto si es igual a su adyacente
Definiciones:
1) Dos rectas son perpendiculares si contienen los lados de un ángulo recto. 2) Sean: una recta r y un plano α que se cortan en un punto O:
r es perpendicular a α si y sólo si r es perpendicular a toda recta de α que pasa por O.
3) Dos planos son perpendiculares, si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro.
Ejercicio 12
¿Cuál de éstos enunciados es correcto?
• Si una recta corta a un plano y es perpendicular a una recta del plano entonces es perpendicular al plano.
• Si una recta corta a un plano y es perpendicular a dos rectas del plano entonces es perpendicular al plano.
• Si una recta es perpendicular a dos rectas del plano entonces es perpendicular al plano.
(VIII)
Para que una recta sea perpendicular a un plano es suficiente con que sea perpendicular a dos rectas distintas
de ese plano que pasen por su pie.
Ejercicio 13
La figura representa un prisma recto. Indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones:
a) EH ⊥ EA b) GE ⊥ FG c) GC ⊥ AC
Ejercicio 14
J, K y H pertenecen al plano α, no están alineados y F∉α. Si HF⊥α, ¿qué ángulos deberán ser rectos? Justificar.
Ejercicio 15
Completa utilizando // o ⊥:
a) r ⊥ α y r ⊂ β ⇒ α…..β
b) α ⊥ π , β ⊥ π y α ∩ β = a ⇒ a…….π c) α ∩ β = ∅ ⇒ α…..β
d) α ∩ β = α ⇒ α…..β e) α ⊥ a y β ⊥ a ⇒ α……β
f) α // β . π ∩ α = a y π ∩ β = b ⇒ a……b
Ejercicio 16
Decir si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso, utilizando una figura cuando fuera necesario:
a) Tres rectas pueden cortarse en un punto común de manera que cada recta sea perpendicular a las otras dos
b) La intersección de dos planos puede ser un segmento
c) Por un punto de un plano hay exactamente una recta perpendicular al plano d) Dados cuatro puntos cualesquiera hay un plano al que pertenecen.
e) Si una recta es secante a un plano, hay al menos dos rectas en el plano que son perpendiculares a la recta dada
f) Por un punto dado, podemos trazar solamente una recta perpendicular a una recta dada.
g) Si tres rectas se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto que pertenezca a las tres, entonces las rectas son coplanares.
h) Tres planos pueden determinar en el espacio ocho regiones. i) Tres planos determinan siempre ocho regiones.
Ejercicio 17
Si r es una recta incluida en un plano α, entonces ¿es V o F?
• b α ⇒ b r • b r ⇒ b α
si, además, c es una recta no incluida en α: ¿es V o F?
c secante con r, entonces c secante con α c secante con α, entonces c secante con r c⊥r ⇒ c⊥α
