MATEMÁTICAS BÁSICAS
FRACCIONES ALGEBRAICAS
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios:
( )
( )
x
Q
x
P
Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los números racionales. Como no se puede dividir por cero, las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son aceptables.
Ejemplos.
1) En la expresión racional
x
x
x
5
7
3
2+
−
,
x
no puede ser0
2) En la expresión racional
2
+
x
x
,
x
no puede ser−
2
3) En la expresión racional
y
x
−
4
,
x
no puede ser igual ay
.Una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de
1
y−
1
Ejemplos. 1) La fracción
x
x
5
6
+
es su mínima expresión ya que ni
5
nix
son factores dex
+
6
2) La fracción
(
)
(
2
)
2
7
−
−
x
x
x
no es su mínima expresión ya que
x
−
2
es un factor común del numerador y deldenominador.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar expresiones racionales, se procede de forma similar a cuando se simplifican números racionales, es decir, se factoriza el numerador y el denominador. Los factores se simplifican hasta
1
. Laexpresión simplificada es igual a la no simplificada excepto para aquellos valores en los que el factor que se cancele sea igual a cero.
Ejemplos.
Simplificar las siguientes expresiones racionales:
(
)
x
x
x
x
x
x
2
4
2
4
4
8
4
−
=
−
=
−
2)
2
3
1
2 2
+
+
−
x
x
x
(
)( )
( )(
)
2
1
2
1
1
1
2
3
1
2 2
+
−
=
+
+
−
+
=
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)
15
6
2
5
−
−
x
x
(
)
(
(
)
)
3
1
5
2
3
5
2
1
5
2
3
2
5
15
6
2
5
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
4)
4
8
4
14
12
2
2 2
+
+
−
−
x
x
x
x
(
)
(
)
( )(
( )( ) ( )
)
2
1
7
1
1
4
7
1
2
1
2
4
7
6
2
4
8
4
14
12
2
2 2
2 2
+
−
=
+
+
−
+
=
+
+
−
−
=
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5)
(
)(
)
(
x
y
) (
x
y
)
y
xy
x
y
x
12
6
2
12
3
2
2 2
2 2
+
−
+
−
−
(
)(
)
(
) (
)
(
(
) (
)
(
)
)
(
(
)(
)
)
(
6
)
2
3
2
6
2
2
3
2
6
4
3
12
6
2
12
3
2
2 2
2
2
2 2
2 2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
xy
x
y
x
=
−
+
−
+
=
+
−
−
−
=
+
−
+
−
−
2
2
y
x
−
=
6)
x
x
x
2−
2
En esta expresión racional
x
no puede ser0
, y como es el factor que se cancela entonces se cumple que:(
2
)
2
2
2
−
=
−
=
−
x
x
x
x
x
x
x
porque
x
≠
0
.SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para sumar algebraicamente fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea cuando se suman números racionales. En general:
• Se reducen las fracciones lo más posible.
• Se descomponen los denominadores
• Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo así el denominador común.
Ejemplos.
Efectuar las operaciones algebraicas siguientes:
1)
6
2
3
4
2
+
+
−
x
x
Solución.
Se obtiene el MCM de los denominadores:
12
:(
) (
)
12
2
9
12
4
6
6
3
12
2
3
2
2
3
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
x
x
x
x
x
12
2
9
6
2
3
4
2
−
=
+
+
−
∴
x
x
x
2)
30
4
15
2
12
x
y
y
x
y
x
−
+
+
+
−
Solución.
Se obtiene el MCM de los denominadores:
60
:(
) (
) (
)
60
4
2
2
4
5
x
−
y
+
x
+
y
+
y
−
x
reduciendo:
60
5
60
8
2
4
8
5
5
x
y
x
y
y
x
x
+
y
=
−
+
+
+
−
60
5
30
4
15
2
12
y
x
x
y
y
x
y
x
−
+
+
+
−
=
+
∴
3)
9
12
3
5
3
2
2
−
+
−
+
+
a
a
a
a
a
a
Solución.
Se descompone el tercer denominador en sus factores:
(
3
)(
3
)
12
3
5
3
2
−
+
+
−
+
+
=
a
a
a
a
a
a
a
se obtiene el MCM de los denominadores:
(
a
+
3
)(
a
−
3
)
:(
)
(
)
(
3
)(
3
)
12
5
3
2
3
−
+
+
+
+
−
=
a
a
a
a
a
a
a
eliminando paréntesis:
(
)(
)
(
3
)(
3
)
21
7
3
3
12
15
5
6
2
2 2 2−
+
+
=
−
+
+
+
+
−
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
factorizando:
(
)
(
)(
)
3
7
3
3
3
7
−
=
−
+
+
=
a
a
a
a
a
a
3
7
9
12
3
5
3
2
2
−
=
−
+
−
+
+
∴
a
a
a
a
a
a
a
a
4)
9
6
3
9
3
4
2
2 2
2
+
+
+
+
−
−
+
−
+
x
x
x
x
x
x
Se descomponen los denominadores en sus factores:
(
)(
) (
)(
) (
)
23
3
3
3
3
2
2
2
+
+
+
−
+
−
+
−
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
reduciendo:
3
1
3
1
2
1
+
+
+
+
−
=
x
x
x
se obtiene el MCM de los denominadores:
(
x
−
2
)(
x
+
3
)
:(
) (
) (
)
(
2
)(
3
)
2
2
3
+
−
−
+
−
+
+
x
x
x
x
x
eliminando paréntesis:
(
2
)(
3
)
1
3
+
−
−
x
x
x
(
2
)(
3
)
1
3
9
6
3
9
3
4
2
2 2
2
+
−
−
=
+
+
+
+
−
−
+
−
+
∴
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5)
2
3
1
6
3
10
7
5
2 2
2
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Solución.
Se descomponen los denominadores en sus factores:
(
)(
) (
)(
) (
1
)(
2
)
1
2
3
3
2
5
5
+
+
+
+
+
−
−
+
+
+
+
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
reduciendo:
2
1
2
1
2
1
+
+
+
+
+
=
a
a
a
2
3
+
=
a
2
3
2
3
1
6
3
10
7
5
2 2
2
+
=
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
∴
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
6)
1
1
2 2
2
−
−
−
+
x
x
x
x
x
Solución.
Se descomponen los denominadores en sus factores:
( ) ( )( )
1
1
1
1
2
−
+
−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
se obtiene el MCM de los denominadores:
x
(
x
+
1
)( )
x
−
1
:( )
(
)
(
1
)( )
1
1
1
2−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
eliminando los paréntesis y ordenando:
( )( )
( )( ) (
1
)( )
1
2
1
1
2
1
1
2 3 3 2
3 2
−
+
−
+
=
−
+
+
−
=
−
+
+
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
factorizando el numerador y simplificando:
(
)
(
)( )
(
( )( )
)( )
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
+
+
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
1
2 2
2
+
+
=
−
−
−
+
∴
x
x
x
x
x
x
x
7)
y
x
y
x
y
x
y
x
6
6
2
2
2 2
−
−
+
−
+
Solución.
Se descomponen los denominadores en sus factores:
(
) (
x
y
)
y
x
y
x
y
x
−
−
+
−
−
=
6
2
2 2
se obtiene el MCM de los denominadores:
6
(
x
−
y
)
:(
)
(
)
(
x
y
)
y
x
y
x
−
−
+
−
=
6
3
2 2factorizando el numerador y simplificando:
(
) (
)(
)
(
)
(
(
)(
)
)
6
3
6
3
6
3
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
=
+
+
−
+
+
−
=
−
−
+
+
−
=
6
3
6
6
2
2
2 2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
+
+
=
−
−
+
−
+
∴
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones racionales se procede de forma similar que con los números racionales. Ejemplos.
Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas:
1)
−
−
+
−
−
−
5
2
4
4
10
3
2 2
x
x
x
x
x
x
Solución.
Se descompone la fracción en sus factores:
(
)(
)
(
)(
)
5
2
2
2
2
5
5
2
4
4
10
3
2 2
−
−
⋅
−
−
+
−
=
−
−
+
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
simplificando:
2
2
−
+
=
x
x
2
2
5
2
4
4
10
3
2 2
−
+
=
−
−
⋅
+
−
−
−
∴
x
x
x
x
x
x
x
x
2)
(
4
4
)
6
12
10
2
22 2
+
+
−
−
+
−
y
y
y
y
y
y
Solución.
Se descompone la fracción en sus factores:
(
)
(
)(
5
6
)
(
4
4
)
2
(
(
3
)(
)(
2
)
)
(
4
4
)
2
2 22
+
+
+
−
−
−
=
+
+
+
−
+
−
factorizando el trinomio:
(
)(
)
(
)(
) (
2
)(
2
)
2
3
2
3
2
+
+
+
−
−
−
y
y
y
y
y
y
simplificando:(
2
)(
2
)
2
−
+
=
y
y
(
4
4
)
2
(
2
)(
2
)
6
12
10
2
2 2 2+
−
=
+
+
−
−
+
−
∴
y
y
y
y
y
y
y
y
3)(
)
+
−
+
+
+
y
x
y
x
y
x
y
xy
x
2
2
6
12
6
2 22 2 2
Solución.
Tomando como factor común al
6
en el numerador de la primera fracción y al2
en el denominador de lasegunda:
(
)
(
)
(
)
+
−
+
+
+
=
y
x
y
x
y
x
y
xy
x
2
2
6
2 22 2 2 factorizando:
(
)
(
)
(
(
)(
)
)
+
−
+
+
+
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
2
6
2 2 simplificando:(
x
−
y
)
=
3
(
)
x
y
(
x
y
)
y
x
y
x
y
xy
x
−
=
+
−
+
+
+
∴
3
2
2
6
12
6
2 22 2 2
4)
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
5
14
9
56
22
2
25
10
10
3
8
32
2 2 2 2a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Solución.Tomando como factor común al
−
8
en el numerador de la primera fracción y al2
en el denominador dela segunda:
(
)
(
)
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
−
=
5
14
9
28
11
2
25
10
10
3
4
8
2 2 2 2a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
factorizando:(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
)(
)
+
−
−
−
−
+
+
−
+
−
−
=
5
7
2
4
7
2
5
5
2
5
4
8
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
simplificando:4
2
8
−
=
−
=
4
5
14
9
56
22
2
25
10
10
3
8
32
2 2 22
=
−
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números racionales. Para dividir expresiones racionales, se multiplica la primera expresión por el recíproco del divisor.
Ejemplos.
Dividir las siguientes expresiones algebraicas:
1)
6
5
3
15
2 4
x
x
Solución. Simplificando:
( )
( )
22 4
2 4
6
15
90
5
3
6
15
x
x
x
x
x
=
=
2 2
4
6
6
5
3
15
x
x
x
=
∴
2)
1
2
1
1
3
3
2 2
+
−
+
−
+
x
x
x
x
x
Solución.
Factorizando las fracciones al máximo:
(
)
(
)( )
( )( )
1
1
1
1
1
1
3
−
−
+
−
+
+
x
x
x
x
x
x
simplificando:
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
1
)
1
3
1
1
1
1
1
1
3
+
−
=
+
−
+
−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
( )
1
1
3
1
2
1
1
3
3
2 2
+
−
=
+
−
+
−
+
∴
x
x
x
x
x
x
x
3)
1
6
4
15
15
30
20
2 3
2
+
−
+
−
x
x
x
x
Factorizando las fracciones al máximo:
(
)
(
)
(
)
1
3
2
2
1
15
3
2
10
2
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
simplificando:
(
)(
)
(
) (
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
1
30
10
3
2
2
1
15
1
3
2
10
2
2
=
=
−
+
+
−
=
4)
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
+
+
−
+
−
+
2
2
Solución.
El MCM de
a
+
x
y de2
a
+
2
x
es:2
a
+
2
x
, por su parte, el MCM dea
−
x
ya
+
x
es:(
a
−
x
)(
a
+
x
)
,por lo que escribiendo la expresión como el cociente de dos fracciones se tiene:
(
)
(
)
(
a
x
)(
a
x
)
x
a
a
a
x
a
x
a
a
a
+
−
−
+
+
+
−
=
2
2
2
reduciendo:
(
)(
)
(
a
x
)(
a
x
)
a
x
a
a
x
a
x
a
ax
a
ax
a
x
a
a
+
−
+
=
+
−
−
+
+
+
=
2 2 22
2
2
2
2
factorizando:
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
22
2
2
2
2
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
x
a
a
+
+
−
=
+
−
+
=
simplificando:
