Desigualdad de Minkowski
Objetivos. Demostrar la desigualdad Minkowski.
Requisitos. Desigualdad de H¨older, la integral de Lebesgue, propiedad mon´otona de la integral de Lebesgue.
Aplicaciones. Justificar la definici´on de los espacios Lp.
Repaso de herramientas auxiliares
1 Teorema (desigualdad de H¨older para funciones reales o complejas, repaso). Sean (X,F, µ) un espacio de medida, f, g ∈ M(X, F, C) y p, q > 1 tales que 1p + 1q = 1.
Entonces
Z
X
|f | |g| dµ ≤
Z
X
|f |pdµ
1/p
Z
X
|g|qdµ
1/q
. (1)
2 Proposici´on (desigualdad para la p-´esima potencia de la suma). Sean p ∈ [1, +∞), a, b ≥ 0. Entonces
(a + b)p ≤ 2p−1(ap+ bp). (2) Demostraci´on. La funci´on ϕ : [0, +∞) → [0, +∞), definida como ϕ(t) := tp, es convexa.
Luego
a + b 2
p
≤ ap
2 + bp2.
Al multiplicar ambos lados por 2p, obtenemos (2).
Desigualdad de Minkowski
3 Lema. Sean (X,F, µ) un espacio de medida, f, g ∈ M(X, F, C) y p ∈ [1, +∞). Supon- gamos que
Z
X
|f |pdµ < +∞, Z
X
|g|pdµ < +∞.
Entonces
Z
X
|f + g|pdµ < +∞.
Desigualdad de Minkowski, p´agina 1 de 2
Demostraci´on. Para cada x en X aplicamos la desigualdad del tri´angulo y la desigual- dad (2):
|f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x)| + |g(x)|)p ≤ 2p−1(|f (x)| + |g(x)|)p. Al integrar, obtenemos
Z
X
|f + g|pdµ ≤ 2p−1
Z
X
|f |pdµ + Z
X
|g|pdµ
< +∞.
4 Ejercicio. Demuestre el Lema 3de otra manera. Sea Y := {x ∈ X : |f (x)| ≥ |g(x)|}.
Para todo x en Y acote |f (x) + g(x)| por 2|f (x)|:
|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ 2|f (x)|, y para todo x en X \ Y acote |f (x) + g(x)| por 2|g(x)|.
5 Teorema (desigualdad de Minkowski). Sean (X,F, µ) un espacio de medida, f, g ∈ M(X, F, C) y p ∈ [1, +∞). Entonces
Z
X
|f + g|pdµ
1/p
≤
Z
X
|f |pdµ
1/p
+
Z
X
|g|pdµ
1/p
. (3)
Demostraci´on. En el caso p = 1 la demostraci´on es muy simple:
Z
X
|f + g| dµ ≤ Z
X
(|f | + |g|) dµ = Z
X
|f | dµ + Z
X
|g| dµ.
Sea p > 1. Si al menos uno de los sumandos en el lado derecho de (3) es infinito, entonces la desigualdad se cumple. Supongamos que ambos sumandos son finitos. Por el Lema 3, vemos que la funci´on |f + g|p es integrable.
SiR
X|f +g|pdµ = 0, entonces la desigualdad es obvia. Suponemos queR
X|f +g|pdµ >
0. Escribimos |f + g|p en forma
|f + g|p = |f + g| |f + g|p−1 ≤ |f | |f + g|p−1+ |g| |f + g|p−1, luego integramos ambos lados y aplicamos la desigualdad de H¨older:
Z
X
|f + g|pdµ ≤
Z
X
|f |pdµ
1/p
+
Z
X
|g|pdµ
1/p
Z
X
|f + g|q(p−1)dµ
1/q
. (4)
De la condici´on 1p +1q = 1 se sigue que q(p − 1) = p. Dividimos ambos lados de (4) entre R
X|f + g|pdµ1/q
y notamos que 1 − 1q = 1p.
Desigualdad de Minkowski, p´agina 2 de 2
