Ecuaciones Diferenciales (Primera Parte).pdf

(1)

ECUACIONES

DIFERENCIALES

(2)

Universidad Diego Portales

Instituto de Ciencias Básicas 2

Definición de ecuación diferencial

(3)

La ecuación diferencial 2

2

5

9

0 d y

dy

y

dx

+

dx

+

=

incluye la función desconocida

y

de la variable independiente

x

y las primeras dos derivadas

y

′

y

′′

de

y

. La ecuación diferencial

dx

2 2

x

t

dt

=

+

incluye tanto a la función desconocida

( )

(4)

Instituto de Ciencias Básicas 4 Ejemplo 2

Si

C

es una constante y

y x

( )

=

Ce

x2 , (1)

Entonces

(

2

)

( )

2

x

(2 )

x

2 dy

C

xe

x Ce

xy

dx

=

.

Así, toda función

y x

( )

de la forma (1) satisface a la ecuación diferencial

2 dy

xy

dx

=

. Es decir, es una solución de la ecuación diferencial, para toda

x

.

(5)

(6)

Si

C

es una constante y

y x

( )

1 C

x

=

−

, entonces

2 2

1 (

)

dy

y

dx

=

C

−

x

=

si

x

≠

C

. Así

1 ( )

y x

C

x

=

−

define a una solución de la ecuación diferencial

dy

2

y

dx

=

para cualquier intervalo de números reales que no contenga al punto

x

=

C

. Con

x

=

1

obtenemos la solución particular

( )

1

1 y x

x

=

−

que satisface la condición

inicial

y

(0) 1

=

. Como se indica en la figura siguiente, esta solución es

(7)

(8)

Definición de orden

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparezca en ella.

•

dx

2 2

x

t

dt

=

+

, es de primer orden.

•

2

5

9

0 d y

dy

y

dx

+

dx

+

=

, es de segundo orden.

• (5) (3) 2

cos

y

−

xy

+

x y

=

x

, es de quinto orden.

• La forma general de una ecuación diferencial de orden

n

con variable independiente

x

y función desconocida o variable dependiente

y

=

y x

( )

es

( )

( , ,

,

,...,

n

)

0 F x y y y

′ ′′

y

=

(2)

donde

F

es una función específica con valores reales de

n

+

2

(9)

(2), en el intervalo

I

siempre y cuando las derivadas

u u

′ ′′

, ,...,

u

existan en

I

y

F x u u u

( , , ,

′ ′′

,...,

u

( )n

)

=

0

para toda

x

en

I

. Más brevemente, decimos que

u

=

u x

( )

satisface la ecuación diferencial en (2) sobre

I

.

(10)

Instituto de Ciencias Básicas 10 Por ejemplo, la temperatura

u

=

u x t

( , )

en el punto

x

y en el tiempo

t

de una varilla larga y uniforme satisface (en condiciones simples y apropiadas) la ecuación diferencial parcial

2 2

u

k

t

x

∂

₌

∂

,

(11)

( , )

dy

f x y

dx

=

.

También, estudiaremos problemas con condiciones iniciales, de la forma

( , )

dy

f x y

dx

=

,

y x

(

0

)

=

y

0. (3)

Resolver este problema, significa determinar una función diferenciable

( )

(12)

Dada la solución

y x

( )

1 C

x

=

−

de la ecuación diferencial

2

dy

y

dx

=

, resuelva el problema con condición inicial

2

dy

y

dx

=

,

y

(1)

=

2

.

(13)

La ecuación diferencial

dy

f x y

( , )

dx

=

, toma una forma particular sencilla si la función

f

depende sólo de la variable independiente

x

:

( )

dy

f x

dx

=

.

En este caso, la solución general es

( )

y

=

y x

=

∫

f x dx C

+

.

(14)

Instituto de Ciencias Básicas 14 La solución particular de la ecuación diferencial con condición inicial

( )

dy

f x

dx

=

,

y x

(

0

)

=

y

0

es

0

( )

y

=

y x

=

∫

f x dx C

+

, donde

C

₀ se obtiene reemplazando

x

=

x

₀ y

0

y

=

y

en la solución general.

(15)

Resuelva el problema con condición inicial

3

2 dy

x

dx

=

+

,

y

(1)

=

5

.

Solución:

La solución general es

( )

(3

2)

3

2

2 x

y

=

y x

=

∫

x

+

dx C

+ =

+

x C

+

.

La solución particular es

2

0

3 ( )

2

2 x

y

=

y x

=

+

x C

+

, donde

C

₀ se encuentra

reemplazando

x

=

1

y

=

5

en la solución general obtenida. 2

0

3(1)

(1)

2(1)

5

2 y

=

+

C

=

.

De aquí se obtiene ₀

3

2

(16)

Instituto de Ciencias Básicas 16 La solución particular de la ecuación diferencial

dy

3 x

2 dx

=

+

, con condición

inicial

y

(1)

=

5

, es

2

3

3 ( )

2

2 x

(17)

En la figura siguiente se muestra la gráfica de la solución particular del problema

3

2 dy

x

(18)

Instituto de Ciencias Básicas 18 Campos direccionales y curvas solución

Un campo de direcciones de una ecuación diferencial

dy

f x y

( , )

dx

=

, está formado por un conjunto de segmentos de rectas, dibujados en cada punto

( , )

x y

del plano XY, con una pendiente igual a

f x y

( , )

, como se muestra en

la figura.

(19)

Las figuras siguientes muestran los campos de direcciones y las curvas de solución para la ecuación diferencial

dy

ky

dx

=

con los valores

k

=

2, 0.5, y 1

−

. Observe que el campo de direcciones

(20)

(21)

(22)

Instituto de Ciencias Básicas 22 Isoclinas

Una isoclina de la ecuación diferencial

dy

f x y

( , )

dx

=

es una curva de la forma

( , )

(23)

La isoclina típica de la ecuación diferencial

2 2

dy

x

y

dx

=

+

tiene la ecuación 2 2

0

(24)

Dibuje, en una ventana de visualización

− ≤ ≤

5 x

5,

− ≤ ≤

5 y

5

, el campo de

direcciones, curvas de solución y las isoclinas correspondientes a la ecuación diferencial

dy

sin(

x

y

)

(25)

Suponga que una función con valores reales

f x y

( , )

es continua en algún

rectángulo, en el plano XY, que contiene al punto

( , )

a b

en su interior. Entonces el problema con condición inicial

( , )

dy

f x y

dx

=

,

y a

( )

=

b

tiene al menos una solución definida en algún intervalo

J

que contiene al

punto

a

. Si además, la derivada parcial

f

y

∂

es continua en ese rectángulo,

(26)

Instituto de Ciencias Básicas 26 Nota 1: Para la ecuación diferencial

dy

y

dx

= −

, la función

f x y

( , )

= −

y

y la derivada parcial

f

1 y

∂

_{= −}

∂

son funciones continuas en todas partes, por lo que

el teorema 1 implica la existencia de una solución única que pasa por el punto

( , )

a b

. Aunque el teorema asegura la existencia sólo en algún intervalo abierto que contenga a

x

=

a

, cada solución

y x

( )

=

Ce

−x realmente está definida para toda

x

.

Nota 2: Para la ecuación diferencial

dy

2 y

dx

=

, la función

f x y

( , )

=

2 y

es continua si

y

>

0

, pero la derivada parcial

f

1 y

y

∂

₌

∂

es discontinua cuando

0 y

=

, y por lo tanto en

(0, 0)

. Es por lo que es posible que ahí existan dos

soluciones diferentes 2 1

( )

y x

=

x

y

y x

₂

( )

=

0

, cada una de las cuales satisface

(27)

La ecuación diferencial de primer orden

dy

H x y

( , )

dx

=

se denomina separable a condición de que

H x y

( , )

pueda escribirse como el

producto de una función de

x

y una función de

y

:

( ) ( )

( )

dy

g x

y

dx

=

φ

=

f y

,

donde

( )

1 ( )

y

f y

φ

=

. En este caso las variables

x

y

pueden separarse,

(28)

Instituto de Ciencias Básicas 28 que entendemos será una notación concisa para la ecuación diferencial

f y

( )

dy

g x

( )

dx

=

.

Integrando ambos miembros con respecto a

x

:

f y

( )

dy

dx

g x dx C

( )

dx

=

+

∫

;

o en forma equivalente,

∫

f y dy

( )

=

∫

g x dx C

( )

+

.

(29)

dy

6 xy

dx

= −

,

y

(0)

=

7

.

¿Cuál será la solución de este problema si la condición inicial es

y

(0)

= −

4

?

(30)

4 2

₂

3

5 dy

x

dx

y

−

=

(31)

Determine todas las soluciones de la ecuación diferencial

2 / 3

6 (

1)

dy

x y

(32)

Instituto de Ciencias Básicas 32 Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación lineal de primer orden tiene la forma

( )

dy

P x y

Q x

dx

+

=

donde

P

y

Q

son funciones continuas en algún intervalo real.

Método de resolución:

1. Calcular el factor de integración

ρ

( )

x

=

e

∫

P x dx( ) .

2. Multiplicar ambos miembros de la ecuación diferencial por

ρ

( )

x

. 3. Identificar el miembro izquierdo de la ecuación resultante como

[

( ) ( )

]

( ) ( )

d

x y x

x Q x

dx

ρ

=

ρ

.

4. Integrar la ecuación

( ) ( )

x y x

( ) ( )

x Q x dx C

ρ

=

∫

ρ

+

.

(33)

/ 3 11

8

x

dy

y

e

dx

−

(34)

Determine una solución general de

2

(

x

1)

dy

3 xy

6 x

dx

(35)

(36)

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diferencial homogénea de primer orden es una que puede escribirse en la forma

dy

F

y

dx

x

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

. Si hacemos las sustituciones

v

y

x

=

,

y

=

vx

,

dy

v

x

dv

dx

= +

dx

,

entonces la ecuación diferencial se transforma en la ecuación separable

(37)

Resuelva la ecuación diferencial

2 2

2 xy

dy

4 x

3 y

(38)

2 2

dy

x

y

x

y

(39)

2

(

3)

dy

x

y

(40)

Resuelva la ecuación diferencial

1

3 dy

x

y

dx

x

y

− −

=

(41)

1 2(

) 3

dy

x

y

dx

y

x

− +

=

(42)

Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial de primer orden de la forma

( )

n

dy

P x y

Q x y

dx

+

=

se denomina ecuación de Bernoulli. Si

n

=

0

o

n

=

1

, entonces la ecuación es

lineal. En caso contrario, la sustitución

1 n

v

=

y

−

transforma la ecuación diferencial dada en la ecuación lineal

(1

) ( )

(1

) ( ).

dv

n P x v

n Q x

(43)

2 2

2 xy

dy

4 x

3 y

(44)

Ejemplo 7

4 / 3

6

3 dy

x

y

xy

(45)

Supongamos que las funciones

M x y

( , )

y

N x y

( , )

son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en el rectángulo abierto

: ,

R a

< <

x

b c

< <

y

d

.

Entonces la ecuación diferencial

( , )

0 M x y dx

+

N x y dy

=

es exacta en

R

si y sólo si

M

N

y

x

∂

=

∂

(1)

en cada punto de

R

. Esto es, existe una función

F x y

( , )

definida en

R

con

F

M

x

∂

₌

∂

y

F

N

y

∂

₌

(46)

Ejemplo 8

Resuelva la ecuación diferencial

3 2 2

(47)

La ecuación 2

( )

dy

A x y

B x y

C x

dx

=

+

se llama ecuación de Riccati. Si se conoce una solución particular

y x

₁

( )

de esta ecuación, la sustitución

1

1 y

y

v

=

+

transforma la ecuación de Riccati en la ecuación lineal

1

(

2 )

dv

B

Ay v

A

dx

+

= −

.

(48)

Ejemplo 9

Resuelva la ecuación diferencial

2 2

1 dy

y

x

(49)

Resuelva la ecuación diferencial

2 2

2

1 dy

xy

x

y

(50)

Aplicaciones de ecuaciones de primer orden

Trayectorias ortogonales

Dada la ecuación de una familia de curvas,

f x y A

( , , )

=

0

, puede determinarse la ecuación de otra familia de curvas,

F x y B

( , , )

=

0

, que corten a las curvas de la familia original perpendicularmente. Las curvas

( , , )

0 F x y B

=

se llaman las trayectorias ortogonales a las curvas

( , , )

0 f x y A

=

.

Ejemplo 1

Las líneas de corriente originadas por dos fuentes en un flujo bidimensional son las circunferencias 2 2 2

(

)

(51)

Halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas

xy

=

A

.

Ejemplo 3

Halle las trayectorias ortogonales a la familia de elipses 2 2

(52)

Crecimiento exponencial

La ecuación diferencial

dy

ky

dx

=

, (

k

una constante)

sirve como modelo matemático para una amplia variedad de fenómenos naturales, como se muestra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 4

En mayo de 1993 la población mundial alcanzó los 5.5 mil millones y a partir de entonces aumentó a la tasa de 250 mil personas por día. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes, ¿ para cuándo se esperaría una población mundial de 11 mil millones?

Ejemplo 5

Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá la formación de la Tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio

238

U

(cuya vida media es de

4.51 10

×

9 años), pero no contenía plomo, que es

el producto final de la desintegración del 238

U

. Si la proporción actual de los átomos de 238

(53)

(54)

Un circuito tiene una resistencia

R

ohmios y una inductancia de

L

henrios y está conectado a una batería de voltaje constante,

E

. Halle la corriente,

i

, en amperios, que circula por el circuito

t

segundos después de cerrarlo.

Ejemplo 7

Un condensador de

C

faradios de capacidad, al voltaje

v

₀, se descarga a través de una resistencia de

R

ohmios. Muestre que si la carga del condensador es de

q

coulombios, la intensidad de corriente es de

i

amperios y

v

es el voltaje al tiempo

t

,

q

=

Cv

,

v

=

Ri

y

i

dq

dt

= −

.

(55)

Ejemplo 8

(56)