Apuntes de ecuaciones diferenciales

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FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE MATERIAS PROPEDÉUTICAS

APUNTES DE

ECUACIONES DIFERENCIALES

ELABORADOS POR

M. EN C. LORENA ELIZABETH MANJARREZ GARDUÑO

NOMBRE DEL ALUMNO(A): _____________________________________________

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Contenido

Capítulo I. Introducción

Capítulo II. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Capítulo III. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

Capítulo IV. Transformada de Laplace

Capítulo V. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Capítulo VI. Series de Potencias

Capítulo VII. Ecuaciones en Derivadas Parciales

Bibliografía utilizada y recomendada

 Zill, Dennis y Cullen, Michael. (2006). Ecuaciones diferenciales con

aplicaciones de modelado. 8ª ed. Ed. Thomson. México.

 Bronson, Richard y Costa, Gabriel. (2008). Ecuaciones diferenciales.

Serie Schaun. Ed. McGraw Hill. México.

 Ayres, Frank. (2005). Ecuaciones diferenciales. Ed. McGraw Hill. México.

 Edwards, Henry y Penney, David. (2001). Ecuaciones diferenciales. 2ª

ed. Ed. Prentice Hall. México.

 Simmons. (2006). Ecuaciones diferenciales. Ed. McGraw Hill. México.

 Nagle, R. Kent, et.al. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con

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CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

Temas a tratar en este capítulo: - Definición

- Clasificación de las ecuaciones diferenciales - Solución de una ecuación diferencial

- Clasificación de las soluciones - Verificación de soluciones

En las ciencias y la ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación es una ecuación diferencial.

En términos generales, un modelo matemático es una descripción matemática de un sistema o fenómeno. La construcción de un modelo matemático de un sistema inicia con la identificación de las variables responsables del cambio que se produzca en el sistema. Posteriormente se debe especificar el nivel de resolución del modelo (ya que tal vez en principio no se incorporen todas las variables) para después formular un conjunto de hipótesis acerca del sistema que se intenta describir (ver figura I.1). Dado que las suposiciones acerca de un sistema con frecuencia implican una tasa de cambio de una o más variables, la representación matemática de todas estas suposiciones puede implicar una o más ecuaciones que involucren derivadas. Es decir, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales.

(4)

Para ilustrar lo anterior se presenta el siguiente ejemplo: Una enfermedad contagiosa (como un virus de gripe) se difunde en una comunidad por medio del contacto físico entre las personas. Si x(t) indica el número de personas que han tenido contacto con la enfermedad y

) (t

y el número de personas que no han sido expuestas a ésta, parece razonable asumir que la

razón dx_dt_{a la que se difunde la enfermedad es proporcional al número de encuentros o}

interacciones entre estos dos grupos de gente. Si se supone que el número de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t), es decir, proporcional al producto xy, entonces

xy dt dx  es decir, kxy dt dx  (1) donde k es una constante de proporcionalidad. Considérese una pequeña comunidad que cuenta con una población fija de n personas. Si una persona infectada se introduce en esta comunidad, entonces x(t) y y(t) se encuentran relacionados por xy n1. De esta última ecuación y n1x, sustituyendo esto en (1), se obtiene el modelo:

) 1 (n x kx dt dx _ _ _ (2) Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación (2) es x(0)1. Al resolver dicha ecuación diferencial, se obtendrá la ecuación x(t) que indique el número de personas que han tenido contacto con la enfermedad en cualquier instante de tiempo, y por ende se podrá conocer y(t).

DEFINICIÓN

Es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales:

a) 2 2_xSen_y 1 dx dy y Cos x b) x e x y xy'2  3 c) 2u₂ 2u₂ 0 x y       d) 2 2 1 N N N kN t r r r  _ _  _   

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

(5)

Por tipo

- Ecuación diferencial ordinaria: es aquella que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, por ejemplo: a) x e dx dy 

 1 , Variable dependiente: y, Variable independiente: x.

b) du dw 0

dt  dt  , Variables dependientes: wu, , Variable independiente: t.

- Ecuación diferencial parcial: es aquella que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes, por ejemplo: a) 0      y v x u

, Variables dependientes: vu, , Variables independientes: x,y.

b) xy y g x g _      2 2 2 2

, Variable dependiente: g, Variables independientes: x,y.

Según el orden

Orden de una ecuación diferencial: está dado por la más alta derivada. Ejemplos: La ecuación diferencial x e y x xy''3 '2 2 2 es de orden 2. La ecuación diferencial 2 3 ₃ 0 3 2   dx y d x dx dy es de orden 3. La ecuación diferencial t t v x t u _      4 4 5 es de orden 4.

La ecuación diferencial 2x(y')3  y 1 es de orden 1.

Según la linealidad

- Ecuación diferencial lineal: es aquella que tiene la siguiente forma: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₁ ₀ 1 1 1 a x y g x dx dy x a dx y d x a dx y d x a n n n n n n  _       

La ecuación anterior presenta las siguientes características

1. La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado. 2. Cada coeficiente depende únicamente de x.

Ejemplos: a) _xy _ex dx dy dx y d x dx y d x ( 1) 6 8  3 2 2 2 3 3

(6)

b) 2 1₃ 5 3 t x t dt dx t Sen  

- Ecuación diferencial no lineal: es aquella que no cumple con las características anteriores, por ejemplo:

a) x dx dy dx y d y  2  2 2

 El coeficiente del primer término depende de y.

b) 2 0 3 3   y dx y d

 La variable dependiente en el segundo término está elevada al cuadrado.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Se dice que una función f es solución de una ecuación diferencial en un intervalo I si al sustituirse en la ecuación diferencial original junto con todas sus derivadas, la igualdad se cumple. Es decir, una solución de una ecuación diferencial es una función f(x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación _{F x f x f x}_{( , ( ), '( ),} _,_f( )n_{( ))}_x ₀

 para todo x . I

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales se clasifican de la siguiente manera.

Soluciones explícitas e implícitas

- Solución explícita: es aquella donde la variable dependiente se expresa solamente en términos de la variable independiente y constantes, es decir, de la forma y f(x), por ejemplo: y Sen xc, xc₁et c₂tet.

- Solución implícita: es aquella relación que se expresa de la forma f(x,y)0, por ejemplo: x2Cos y 3yex c0, xylny c0

Soluciones general, particular y singular

- Solución general: es aquella solución de una ecuación diferencial de orden n que incluirá n constantes arbitrarias., por ejemplo:

De la ecuación diferencial F(x,y,y')0, la solución general es G(x,y,c)0, que corresponde a una familia uniparamétrica de soluciones.

En términos generales, de la ecuación diferencial F(x,y,y',y'',_,y(n))0, la solución general es G(x,y,c₁,c₂,_,c_n)0, que corresponde a una familia n-paramétrica de

soluciones.

- Solución particular: es aquella en donde no aparece ninguna constante indicada y se obtiene a partir de la solución general para valores conocidos de las constantes arbitrarias. A este caso se le conoce como la aplicación de condiciones de frontera o valores extremos. Por ejemplo, sea la solución general y Sen xCos xcCos x, al

(7)

aplicar la condición inicial y(0)1, se obtiene la solución particular x Cos x Cos x Sen y   .

- Solución singular: es una solución única donde no aparece ninguna constante y además no se obtiene a partir de una solución general.

VERIFICACIÓN DE SOLUCIONES

Para verificar si una función es solución de una ecuación diferencial es necesario sustituirla junto con todas sus derivadas y comprobar si la igualdad se cumple.

Ejemplo: Verificar que la solución propuesta es solución de la ecuación diferencial indicada.

x e y dx dy 3 2   Solución propuesta: x x e e y  3 10 2 Verificación

Derivando la solución propuesta

x x e e dx dy 3 2 20 3  

sustituyendo en la ecuación diferencial



x x



x x x e e e e e3 20 2 2 3 10 2 3 3     x x e e3  3

la igualdad se cumple, por lo tanto, sí es solución.

Ejercicios: Verificar que la solución propuesta es solución de la ecuación diferencial indicada.

1) _x2_y''_xy'2_y 0_{, Solución propuesta:}_y _x_Cos

 

_ln_x 2) 20y  24 dt dy , Solución propuesta: _y _e 20t 5 6 5 6 _  

(8)

CAPÍTULO II

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Temas a tratar en este capítulo: - Variables separables - Ecuaciones lineales - Ecuaciones exactas

- Soluciones por sustitución - Aplicaciones

VARIABLES SEPARABLES

Consideremos una ecuación diferencial de primer orden de la forma f(x,y,y')0, la cual se puede expresar como G(x,y)

dx

dy  , o bien y'G(x,y).

En ocasiones el término G(x,y) se puede separar en 2 expresiones, una que agrupe a la variable x y la otra a la variable y. Si esto es posible, se podrá resolver la ecuación diferencial separando las variables en la siguiente forma:

) , (x y G dx dy  ) ( ) ( y g x h dx dy  dx x h dy y g( )  ( ) integrando: 2 1 ( ) ) (y dy c h x dx c g  







1 2 ) ( ) (y dy h x dx c c g 



 



c dx x h dy y g 







( ) ( )

Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial utilizando variables separables.

y x e dx dy  3 2 Solución

Separando las variables

y x e e dx dy  3 2 dx e e dy x y 3 2  integrando



  dx e dy e 2y 3x

(9)

c e e y _ x _   3 2 3 2 reacomodando términos c e e3x ₃ 2y  2 Ejemplo 2: x ySen y dy dx 1₂ 2  Solución

dy y y dx x Sen 2 2 1  integrando



 dy ydy y dx x Sen 1 2 c y y x Cos     2 ln reacomodando términos c y y x Cos ln  2 

Ejemplo 3: ydy ₄x



y2₁



12dx_{, sujeta a}_y₍₀₎₁

Solución



y



dy xdx y 4 112 2   integrando







  dy xdx y y 4 112 2







  dy xdx y y 4 1 2 2 1 2 1 2 c x y2₁₂ 2 aplicando y(0)1, se tiene: c    2 2 ) 0 ( 2 1 ) 1 ( 2  c sustituyendo el valor de c en la solución obtenida

2 2 1 2 2_ _ _ x y

(10)

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de variables

separables.

1)



4_y _yx2



_dy (2_x_xy2)_dx 0

2) Senx



Cos y Cos y



dx dy 2 2   3) _ _ t2 e t N N dt dN ECUACIONES LINEALES La ecuación de la forma ₁( ) a₀(x)y g(x) dx dy x

a   recibe el nombre de ecuación diferencial

lineal de primer orden. Para resolver este tipo de ecuaciones se procede del siguiente modo: dividiendo la ecuación entre a₁(x)

) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 x a x g y x a x a dx dy _ _ (1) si se definen p(x) y q(x) como ) ( ) ( ) ( 1 0 x a x a x p  , ) ( ) ( ) ( 1 x a x g x q 

la ecuación (1) queda en la forma estándar de una ecuación lineal ) ( ) (x y q x p dx dy _ _ (2) supóngase que q(x)0, entonces la ecuación es homogénea, es decir:

0 ) (  p x y dx dy

y se puede resolver por variables separables

dx x p y dy ) (   integrando



 p x dx y dy ) ( c dx x p y 



( )  ln    pxdx ce y ( )

pero si q(x)0, entonces la ecuación no es homogénea y se utiliza un procedimiento conocido como variación de parámetros, donde se propone una solución de la forma

   px dx e x c y ( ) ( ) (3) puesto que dicha solución debe satisfacer a la ecuación diferencial, entonces derivando

    _   pxdx px dx e x c e x p x c y' ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) y sustituyendo en (2)

(11)

) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) (x p x e ( ) c x e ( ) p x c x e ( ) q x c pxdx  pxdx  px dx      ) ( ) ( ' x e ( ) q x c pxdx     _p _x_dx e x q x c'( ) (₍ ₎) integrando c dx e x q x c( )



___p(₍_x₎)_dx  por lo que, sustituyendo en (3), la solución general queda

          _ 

_

pxdx dx x p dx c e e x q y (₍ )₎ ( ) (4)

Otra forma de ver lo anterior y obtener la solución de una ecuación lineal es la siguiente: si (2) se multiplica por el factor integrante p xdx

e ( ) , se obtiene ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( x q e y x p e dx dy epxdx  pxdx  px dx

es fácilmente comprobable que los términos del lado izquierdo corresponden a la derivada del factor integrante y de y, por lo que la ecuación anterior se puede reescribir como



e ( ) y



e ( ) q(x)

dx

d pxdx _ pxdx

integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la solución

c dx x q e y ep(x)dx 



p(x)dx ( )  la cual es una expresión equivalente a (4).

Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial:



_x



_y _ex

x y

x2 ' 2 

Solución

La ecuación diferencial anterior tiene la forma ₁( ) a₀(x)y g(x)

dx dy x a   . Dividiendo entre ) ( 1 x a , se tiene





2 2 ' x e y x x y x    (5) considerando que la ecuación es homogénea, se tiene





0 2 '  y  x x y





y x x dx dy __ 2





dx x x y dy __ 2 integrando

(12)







  dx x x y dy 2 c x x y ( 2ln ) ln c x x yln 2   ln c x yx2   ln x ce yx2   2 x ce y x  

pero como no es homogénea, entonces se propone una solución de la forma

2 ) ( x e x c y x   (6) puesto que esta solución debe satisfacer la ecuación diferencial, entonces derivando

) ( ' ) ( ' ₂ ₂ c x x e x e dx d x c y x x     2 4 2 ) ( ' 2 ) ( ' x e x c x xe e x x c y x x x             2 3 2 ) ( ' ) ( 2 ) ( ' x e x c x e x c x e x c y x x x        sustituyendo en (5)





2 2 2 3 2 ) ( 2 ) ( ' ) ( 2 ) ( x e x e x c x x x e x c x e x c x e x c x _ x _ x _  x _ x      2 3 2 2 3 2 ) ( 2 ) ( ) ( ' ) ( 2 ) ( x e x e x c x e x c x e x c x e x c x e x c x _ x _ x _ x _ x _ x       2 2 ) ( ' x e x e x c x _ x x x x e e e x c'( ) _  2 integrando con respecto a x, se tiene:

c e dx e x c x x _ _ 



2 ) ( 2 2 sustituyendo c(x) en (6) 2 2 2 x e c e y x x          2 2 2 x ce x e y x x   

Otra forma de resolver la ecuación diferencial es aplicando la expresión

          _ 

_

pxdx dx x p dx c e e x q y (₍ )₎ ( ) (7) la ecuación diferencial es

(13)





2 2 ' x e y x x y x    donde





x x x p( ) 2 y ( ) ₂ x e x q x  obteniendo 2 ln ln 2 ln 2 2 2 ) ( 2 x e e e e e e e e e x x x x x x x x dx dx dx x x dx x p               _ _  _ _ _  _ asimismo 2 ) ( 2 2 2 2 ) ( x x x x x x dx x p e dx e dx e e dx x e x e dx e x q _ _ _ _



  

sustituyendo los resultados obtenidos en la expresión (7)

2 2 2 x e c e y x x          2 2 2 x ce x e y x x    Ejemplo 2:





y xy dx dy x22 58 4 Solución

Reacomodando los términos de la ecuación



x2



2y'4(x2)y 5

la ecuación diferencial anterior tiene la forma ₁( ) a₀(x)y g(x)

dx dy x a   . Dividiendo entre 2 ) 2

(x para obtener la forma estándar, se tiene









2 2 5 2 4 '     x y x y utilizando la expresión     _     _ 



pxdx dx x p dx c e e x q y (₍ )₎ ( ) (8) donde 2 4 ) (   x x p y ₂ ) 2 ( 5 ) (   x x q y obteniendo 4 ) 2 ( ln ) 2 ( ln 4 2 4 ) ( ) 2 ( 1 4              x e e e e px dx x dx x x asimismo

(14)

3 2 4 2 ) ( ( 2) 3 5 ) 2 ( 5 ) 2 ( 1 ) 2 ( 5 ) ( _ _ _ _   



 dx x dx x x x dx e x q dx x p









4 3 2 1 2 3 5      _ _  x c x y



 



4 2 2 3 5     x c x y

Otra forma de resolver la ecuación diferencial es obteniendo el factor integrante pxdx

e ( ) 4 ) 2 ( ln ) 2 ( ln 4 2 4 ) ( ) 2 ( 4       _    _e _e _e _x e pxdx x dx x x

y multiplicarlo por la ecuación diferencial en la forma estándar





_

_





          4 ₂ 2 5 2 4 ' 2 x y x y x





4





3





2 2 5 2 4 ' 2      y x y x x

donde se observa que







4







2 2 5 2    y x x dx d integrando



x2



4y 

_

5



x2



2dx



x



4y 



x2



3 c 3 5 2





3

_

_

₄ 2 1 2 3 5      _ _  x c x y

por tanto, la solución es



 



4 2 2 3 5     x c x y

Ejemplo 3: y'



Tan x



y Cos2 x, sujeta a y(0)1

Solución

La ecuación diferencial dada se encuentra en la forma estándar, donde

x Tan x

p( ) y q(x)Cos2 x

obteniendo el factor integrante px dx

e ( ) x Sec e e ep(x)dx  Tanxdx  ln(Secx) 

multiplicándolo por la ecuación diferencial







y Tan x y Cos x



x

Sec '  2

(15)

donde se observa que







Sec x y



Cos x dx d _ integrando



Sec x



y 

_

Cos xdx



Sec x



y Sen xc



Sen x c



Cos x y  

por tanto, la solución general es

x cCos x xCos Sen y   aplicando y(0)1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (

1Sen Cos cCos

 1   c sustituyendo en la solución x Cos x xCos Sen y  

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

1) xdy (xSen xy)dx 2) ySen x 1 dx dy x Cos 3) _x x_x e e e y dx dy       1 2 ECUACIONES EXACTAS

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0 se dice que es una ecuación diferencial exacta si cumple con la condición

x y x N y y x M      ( , ) ( , ) , en alguna región del plano XY. Además consideremos que existe una función f(x,y), solución de dicha ecuación diferencial, entonces se debe cumplir que ( , ) M(x,y)

x y x f _   y ( , ) N(x,y) y y x f _   . Considerando lo anterior, se tiene

x y x N y y x f x y x y x f x y x f y y y x M                                ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

lo que indica que las segundas derivadas cruzadas de f(x,y) son iguales.

0 ) 4 2 ( ) 3 2 ( y2x dx  yx2  dy 

(16)

Solución

La ecuación diferencial anterior tiene la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0, donde 3 2 ) , (x y  y2x M 4 2 ) , (x y  yx2  N

obteniendo las derivadas parciales para verificar la condición

yx y y x M 4 ) , (     yx x y x N 4 ) , ( _   partiendo de ( , ) M(x,y) x y x f    , se tiene 3 2 ) , (  2    x y x y x f

integrando con respecto a x:







  y x dx y x f( , ) 2 2 3 ) ( 3 ) , (_x _y _y2_x2 _x _g _y f    (9)

derivando con respecto a y:

) ( ' 2 ) , ( 2 y g yx y y x f _ _   pero ( , ) N(x,y) y y x f _   , entonces 4 2 ) ( ' 2yx2 g y  yx2 4 ) ( ' y  g

integrando con respecto a y:

y y g( )4 sustituyendo en (9), se tiene: y x x y y x f( , ) 2 2 3 4 o bien c y x x y2 2 3 4 

Análogamente, si se parte ahora de la expresión ( , ) N(x,y)

y y x f    , se tiene 4 2 ) , (  2    yx y y x f







  yx dy y x f( , ) 2 2 4 ) ( 4 ) , (x y y2x2 y h x f    (10)

derivando con respecto a x:

) ( ' 2 ) , ( 2 x h xy x y x f _ _   pero ( , ) M(x,y) x y x f _   , entonces

(17)

3 2 ) ( ' 2xy2 h x  y2x 3 ) ( ' x  h

x x h( )3 sustituyendo en (10), se tiene: x y x y y x f( , ) 2 2 4 3 o bien c x y x y2 2 4 3  Ejemplo 2: (2x4)dx(3y1)dy 0 Solución

La ecuación diferencial anterior tiene la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0, donde 4 2 ) , (x y  x M 1 3 ) , (x y  y  N

obteniendo las derivadas parciales para verificar la condición 0 ) , ( _   y y x M  ( , )0   x y x N partiendo de ( , ) M(x,y) x y x f _   , se tiene 4 2 ) , ( _ _   x x y x f







  x dx y x f( , ) 2 4 ) ( 4 ) , (x y x2 x g y f    (11)

) ( ' ) , ( y g y y x f _   pero ( , ) N(x,y) y y x f _   , entonces 1 3 ) ( ' y  y g

y y y g  2  2 3 ) ( sustituyendo en (11), se tiene: y y x x y x f  2  2  2 3 4 ) , ( o bien c y y x x2  2   2 3 4

(18)

Análogamente, si se parte ahora de la expresión ( , ) N(x,y) y y x f _   , se tiene 1 3 ) , (     y y y x f







  y dy y x f( , ) 3 1 ) ( 2 3 ) , (x y y2 y h x f    (12)

derivando con respecto a x:

) ( ' ) , ( x h x y x f    pero ( , ) M(x,y) x y x f _   , entonces 4 2 ) ( ' x  x h

x x x h( ) 24 sustituyendo en (12), se tiene: x x y y y x f 4 2 3 ) , (  2   2  o bien c x x y y   4  2 3 2 2 Ejemplo 3: x xy dx dy y x 2 ) 4 4 2 1 (  2   3  Solución

Reacomodando los términos de la ecuación



4x3 4xy



dx(12x2 2y)dy 0

la ecuación diferencial ahora tiene la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0, donde

xy x y x M( , )4 3 4



x y



y x N( , )12 2 2

x y y x M 4 ) , ( _    x x y x N 4 ) , ( _   partiendo de ( , ) M(x,y) x y x f    , se tiene xy x x y x f 4 4 ) , (  3    integrando con respecto a x:

(19)







  x xy dx y x f( , ) 4 3 4 ) ( 2 ) , (x y x4 x2y g y f    (13)

) ( ' 2 ) , ( _x2 _g _y y y x f _ _   pero ( , ) N(x,y) y y x f _   , entonces



x y



y g x '( ) 1 2 2 2 2    2 y y g'( )12 integrando con respecto a y:

2 ) (y y y g   sustituyendo en (13), se tiene: 2 2 4 2 ) , (x y x x y y y f     o bien c y y y x x4 2 2   2  Factor Integrante

Considérese la ecuación de la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0 en donde

x y x N y y x M      ( , ) ( , ) , lo cual indica que la ecuación diferencial no es exacta. Para lograr que la ecuación diferencial sea exacta se buscará una función denotada por m(x,y), tal que al multiplicarla por la ecuación diferencial se cumpla lo siguiente:



( , ) ( , ) 0



) , (x y M x y dxN x y dy  m 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x y M x y dxm x y N x y dy  m y entonces x y x N y x m y y x M y x m      ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

si lo anterior se cumple, la ecuación diferencial se hará exacta y la solución de esta nueva expresión se obtendrá con el método de ecuaciones exactas.

Para la obtención de la función m(x,y) se parte de lo siguiente:

y y x m y x M y y x M y x m y y x M y x m         ( , ) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( análogamente x y x m y x N x y x N y x m x y x N y x m         ( , ) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (

si la ecuación es exacta, entonces

x y x m y x N x y x N y x m y y x m y x M y y x M y x m            ( , ) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( (14)

(20)

la ecuación anterior es una ecuación diferencial en derivadas parciales, por lo cual se realizarán las siguientes simplificaciones:

si m(x,y)m(x), entonces ( , ) 0   y y x m

, por lo que la ecuación (14) queda

x y x m y x N x y x N y x m y y x M y x m         ( , ) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (

simplificando la notación ya que todas las funciones dependen de x y y, se tiene

x m N x N m y M m         x m N x N m y M m         x m N x N y M m                             x N y M N x m m 1 1



  __ _ _dx x N y M N m m 1 c dx x N y M N m _            

_

1 ln  _            x dx N y M N ce x m 1 ) ( por conveniencia, tomando c 1, se tiene

 __ _ _  x dx N y M N e x m 1 ) ( .

La expresión anterior representa el factor integrante que depende de x solamente y deberá multiplicar a la ecuación diferencial para volverla exacta.

Análogamente, si m(x,y)m(y), entonces ( , ) 0   x y x m

, por lo que la ecuación (14) queda

x y x N y x m y y x m y x M y y x M y x m         ( , ) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (

realizando un procedimiento similar al anterior se llega a             y dy M x N M e y m 1 ) ( .

0 2 ) 3 2 ( _y2  _x _dx _xydy  Solución

La ecuación diferencial anterior tiene la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0, donde

x y y x M( , )2 2 3 xy y x N( , )2

(21)

obteniendo las derivadas parciales para verificar la condición y y y x M 4 ) , ( _  



y x y x N 2 ) , (   

lo anterior indica que la ecuación diferencial no es exacta, entonces buscando un factor integrante que dependa de x:

 _            x dx N y M N e x m 1 ) (   x e e e e x m x x dx dx xy y dx y y xy        2  ln 2 2 4 2 1 ) (

multiplicando la ecuación diferencial por m(x), se tiene



(2y2 3x)dx 2xydy 0



x 0 2 ) 3 2 ( xy2  x2 dx x2ydy  y ahora 2 2 ₃ 2 ) , (x y xy x M   y x y x N₍ _, ₎₂ 2

obteniendo nuevamente las derivadas parciales para verificar la condición

xy y y x M 4 ) , ( _    xy x y x N 4 ) , ( _   partiendo entonces de ( , ) M(x,y) x y x f    , se tiene 2 2 ₃ 2 ) , ( x xy x y x f _ _   integrando con respecto a x:







  xy x dx y x f( , ) 2 2 3 2 ) ( ) , (x y x2y2 x3 g y f    (15)

) ( ' 2 ) , ( 2 y g y x y y x f _ _   pero ( , ) N(x,y) y y x f    , entonces y x y g y x2 _'₍ ₎ ₂ 2 2   0 ) ( ' y  g

0 ) (y  g sustituyendo en (15), se tiene: 3 2 2 ) , (x y x y x f   o bien c x y x2 2 3 

(22)

Ejemplo 5:



xy y2



dx



x2 3xy



dy 0

Solución

2 ) , (x y xy y M   xy x y x N( , ) 2 3

y x y y x M 2 ) , ( _ _  



x y x y x N 3 2 ) , ( _ _  

lo anterior indica que la ecuación diferencial no es exacta, entonces buscando un factor integrante que dependa de x:

 __ _ _  x dx N y M N e x m 1 ) (     _        _ _  x x y dx y x dx xy x y x dx y x y x xy x e e e x m 3 ( 3 ) 3 2 2 3 1 2 2 ) (

buscando entonces un factor integrante que dependa de y:

 __ _ _  y dy M x N M e y m 1 ) (     y e e e e y m y y dy dy y x y x y dy y x y x y xy            (  )   ln 1 2 3 2 1 2 ) (

multiplicando la ecuación diferencial por m(y), se tiene











_xy _y2 _dx  _x2 3_xy _dy 0



y



_xy2 _y3



_dx



_x2_y 3_xy2



_dy 0 y ahora 3 2 ) , (x y xy y M   2 2 3 ) , (x y x y xy N  

obteniendo nuevamente las derivadas parciales para verificar la condición

2 3 2 ) , ( y xy y y x M _ _    2 3 2 ) , ( y xy x y x N _ _   partiendo entonces de ( , ) M(x,y) x y x f    , se tiene 3 2 ) , ( y xy x y x f _ _   integrando con respecto a x:







  xy y dx y x f( , ) 2 3 ) ( 2 ) , ( 3 2 2 y g xy y x y x f    (16)

) ( ' 3 ) , ( 2 2 y g xy y x y y x f _ _ _  

(23)

pero ( , ) N(x,y) y y x f _   , entonces 2 2 2 2 3 ) ( ' 3xy g y x y xy y x     0 ) ( ' y  g

0 ) (y  g sustituyendo en (16), se tiene: 3 2 2 2 ) , (x y x y xy f   o bien c xy y x _ 3 _ 2 2 2

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de

ecuaciones exactas (de ser necesario utilice un factor integrante).

1) 2 6 2xe y x dx dy x  x   2)



ex y

 

dx 2xyey



dy 0, sujeta a y(0)1

3)



y2Cosx3x2y2x

 

dx 2ySenxx3 lny



dy 0, sujeta a y(0)e

4)



2xy4ey 2xy3y

 

dx x2y4ey x2y23x



dy 0, 5)



x4y4



dxxy3dy 0 (inciso b, libro Serie Schawn)

SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN Ecuaciones Homogéneas

Polinomio homogéneo: es aquel que tiene todos sus términos del mismo grado. Ejemplo:

6 3 3 ) , (x y x y x P    Sí es un polinomio homogéneo 3 2 ) , (x y x xy x q     No es un polinomio homogéneo

Función homogénea: se dice que una función en 2 variables de la forma f(x,y) es homogénea si y sólo si f(tx,ty)tkf(x,y). Entonces f(x,y) es homogénea de grado k .

Ejemplo: Sea y x x e y y x f x y 3 2 ) , ( 4 3    , ¿f(x,y) es homogénea? Solución ty tx tx e ty ty tx f tx ty 3 ) ( ) ( 2 ) , ( 4 3   



x y



t x t e y t ty tx f yx 3 2 ) , ( 4 4 3 3   

(24)



x y



x t e y t ty tx f yx 3 2 ) , ( 4 3 3 3   





_       y x x e y t ty tx f yx 3 2 ) , ( 4 3 3 ) , ( ) , (tx ty t3f x y f 

por lo tanto, f(x,y) es homogénea de grado 3.

Consideremos la ecuación diferencial de la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0, o bien

0 ) , ( ) , (   dx dy y x N y x

M . La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación diferencial

homogénea si y sólo si las funciones M(x,y) y N(x,y) son homogéneas y del mismo grado. En la mayoría de las ocasiones, la ecuación homogénea no es separable en forma directa, por lo cual se utilizará una sustitución de la forma y vx, o x uy , en donde v y u son nuevas variables que al sustituirse en la ecuación original, la hacen separable.

Nota: Es recomendable sustituir x uy cuando M(x,y) es de estructura más simple que )

, (x y N .

0 )

(x2 xy y2 dxxydy 

Solución

2 2 ) , (x y x xy y M     Homogénea de grado 2 xy y x N( , )  Homogénea de grado 2

Utilizando la sustitución y vx, entonces un diferencial de y está dado por

xdv vdx dy  

sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene

0 ) )( ( ) ) ( ) ( (x2 x vx  vx 2 dxx vx vdx xdv  0 ) ( ) (x2 vx2 v2x2 dx v2x2dx vx3dv  0 3 2 2 2 2 2 2 _ _ _ _ _ dv vx dx x v dx x v dx vx dx x 0 3 2 2 _ _ _ dv vx dx vx dx x dividiendo entre 2 x 0   vdx vxdv dx vxdv dx v   ) 1 ( dv v v x dx   1 integrando

(25)



 _ dv v v x dx 1



v



c v x ln 1  ln

pero v y_x , entonces, sustituyendo:

c x y x y x          ln 1 ln c x y x x y __       ln 1



x y



c x y _{ ln} _ _



x y



cx x y  ln   Ejemplo 2: (xy)(4xy)dx x(5xy)dy 0 Solución

La ecuación diferencial anterior tiene la forma M(x,y)dxN(x,y)dy 0, donde ) 4 )( ( ) , (x y x y x y M     Homogénea de grado 2 ) 5 ( ) , (x y x x y N    Homogénea de grado 2

Utilizando la sustitución y vx, entonces un diferencial de y está dado por

xdv vdx dy  

0 ) )( 5 ( ) 4 )( (xvx xvx dxx xvx vdxxdv  0 5 5 ) 4 4 ( x2 vx2  vx2 v2x2 dx x2vdx x3dv v2x2dx vx3dv  0 5 5 3 4x2dx  vx2dxv2x2dx x2vdx x3dv v2x2dx vx3dv  0 2 2 4 5x3dv  x2dx  vx2dx  v2x2dx vx3dv  dividiendo entre 2 x 0 2 2 4 5xdv  dx  vdx v2dx vxdv  0 ) 5 ( ) 2 2 4 (  v2  v dx x vx dv  dv v x dx v v 2 ) (5 ) 2 4 (  2    dv v v v x dx 2 2 4 ) 5 ( 2 _     integrando



 _ _ dv v v v x dx 2 ) 5 ( 2 1 2



_  _  dv v v v x ) 2 )( 1 ( ) 5 ( 2 1 ln

para integrar el lado derecho de la expresión anterior es necesario obtener las fracciones parciales, las cuales son

) 1 ( ) 2 ( ) 5 (       v A B Av Bv

(26)

) 1 ( ) 2 ( 5v Av  Bv  si v 1,  6 3A  A2 si v 2,  33B  B 1 entonces ) 2 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( ) 5 (         v v v v v sustituyendo en la integral



           dv v v x ) 2 ( 1 ) 1 ( 2 2 1 ln











v v



c x  2ln 1 ln 2  2 1 ln



v





v



c x   ln 2  2 1 1 ln ln

pero v y_x , entonces, sustituyendo:

c x y x y x       _        _  ln 2 2 1 1 ln ln c x y x y x     2 1 ln ln c x y x x y x     2 ln ln c x y x y x    2 ln x y c x y x(  ) 2 Ejemplo 3: ydx(x xy)dy 0 Solución

y y x M( , )   Homogénea de grado 1 xy x y x N( , )   Homogénea de grado 1

Utilizando la sustitución xuy , entonces un diferencial de x está dado por

ydu udy dx  

0 ) ( ) (    2  y udy ydu uy uy dy 0 2 _ _ _  uydy y du uydy y udy 0 2   y du y udy

(27)

dividiendo entre y 0   ydu udy y dy u du  integrando



 y dy u du c y u  ln  2 12

pero _u _ x_y_{, entonces, sustituyendo:}

c y y x _{ ln} _ 2 Ecuación de Bernoulli

Presenta la siguiente forma:

n y x f y x P dx dy ) ( ) (   (17) para n0 y n1, la sustitución w y1n transforma la ecuación diferencial en

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( n P x w n f x dx dw _ _ _ _  Ecuación lineal (18) que se puede resolver por el método de ecuaciones lineales.

2 ) 1 ( x y xy dx dy x    Solución

Dividiendo entre x para dejarla en la forma de la ecuación de Bernoulli (ecuación 17), se tiene

2 ) 1 ( y y x x dx dy    donde x x x P( )(1 ), f(x)1 2  n 1 2 1 1 n  

por lo tanto, la sustitución es _w  y1_{. Sustituyendo en la ecuación (18):}

) 1 )( 1 ( 1 ) 1 (        _    w x x dx dw 1 1     w x x dx dw

(28)

          _ 

_

pxdx dx x p dx c e e x q w (₍ ₎) ( ) (19) donde x x x p( )1 y q(x)1 obteniendo x e e e e e x x x dx x dx dx x x dx x p           _ _   _ ln _ 1 ) ( asimismo x x x x x dx x p dx xe dx xe e e x dx x e dx e x q __ __ __ __ _



   1 ) ( ) (





x e c e xe w x x x      x ce x w x      1 1

pero w  1_y, entonces, sustituyendo en el resultado anterior x ce x y x      1 1 1 x ce x y x      1 1 x ce x x y _     1 Ejemplo 5: 2 ₂_xy ₃_y4 dx dy x   Solución Dividiendo entre 2

x , para dejarla en la forma de la ecuación de Bernoulli (ecuación 17), se

tiene 4 2 3 2 y x y x dx dy _ _ donde x x P( )2, ( ) 3₂ x x f  4  n 3 4 1 1 n   

por lo tanto, la sustitución es _{ y}3

w , por lo tanto, la ecuación queda

               ( 3) 2 ( 3) 3₂ x w x dx dw

(29)

2 9 6 x w x dx dw   

la expresión anterior es una ecuación lineal, por lo tanto, utilizando la expresión

          _ 



px dx dx x p dx c e e x q w (₍ )₎ ( ) (20) donde x x p( ) 6 y ( ) 9₂ x x q  obteniendo 6 ln 6 6 ) ( 1 x e e epx dx  xdx   x  asimismo 5 4 6 2 ) ( 5 9 9 1 9 ) ( x dx x dx x x dx e x q dx x p 













6 5 1 5 9 x c x w    _ _  6 5 9 x c x w   pero 1 3 y

w  , entonces, sustituyendo en el resultado anterior

6 3 ₅ 9 1 x c x y  

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por sustitución.

1) 2x2ydx (3x3 y3)dy 2) 12  y32 1 dx dy y 3) xy ye x dy dx y 2 4    4)  xyy



3 1



dx dy

Tarea extra: Investigar las características de la ecuación de Ricatti, hacer un breve resumen de

éstas y de su método de solución. Utilizando la información recabada, resolver la ecuación

diferencial 2 2 ) 2 1 ( e y y e dx dy _ x _ _ x _ _{, con} x e

y₁ . Valor: 3 décimos sobre la calificación del

(30)

APLICACIONES

Crecimiento y decrecimiento

En varias teorías físicas la expresión kx dt

dx  , con k cte y sujeta a alguna condición inicial, representa crecimiento o decrecimiento.

Ejemplo: La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera con una

rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Si su población inicial es de 500 personas y aumenta 15% en diez años, ¿cuál será la población dentro de 30 años?

Datos

Sea N número de habitantes en un instante cualquiera

dt dN _N

para t 0 años, N 500 personas

75 ) 15 . 0 )( 500 ( 

para t 10 años, N 575 personas

para t 30 años, N ? personas

Solución

Partiendo de dt

dN _{N , y convirtiéndola en una igualdad}

kN dt dN  resolviendo la ecuación diferencial anterior

kdt N dN 



k dt N dN c kt N   ln kt ce N  (21) aplicando t 0, N 500, se obtiene ) 0 ( 500cek 500  c sustituyendo en (21) kt e N 500 (22) aplicando t 10, N 575, se obtiene ) 10 ( 500 575  _ek k e10 500 575  500 575 ln 10k 

(31)

0139 . 0 10 500 575 ln   k sustituyendo en (22) t e N 500 0.0139 para t 30 años ) 30 ( 0139 . 0 500e N  personas N 760

Ejercicios: Resolver los siguientes problemas de crecimiento y decrecimiento:

1) Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en un instante cualquiera con una rapidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en cinco años, ¿cuánto demorará en triplicarse y cuánto en cuatriplicarse?

2) (Interés compuesto continuo): Cuando nació el primer hijo, una pareja depositó 5000 pesos en una cuenta de inversiones que paga el 8% de interés anual compuesto continuamente. Se dejó que se acumularan los intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuenta en el décimo octavo cumpleaños del niño?

3) El plomo 209 (Pb-209), isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo t, y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%? (Ver definición de semivida o vida media).

Semivida o vida media.

Es la medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva y es simplemente el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos de una cantidad inicial a0.

Enfriamiento

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton se expresa con la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden ) (T T_m k dt dT   donde:  k constante 

T temperatura en cualquier instante de tiempo



m

T temperatura ambiente

Ejemplo: Un termómetro se saca de una habitación donde la temperatura del aire es 70° F y

se lleva al exterior, donde la temperatura es 10° F. Después de ½ minuto el termómetro indica 50° F, ¿cuál es la lectura cuando t 1 minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el

(32)

Datos Para t 0 minutos, T  70F F T_m  10 para t  12 minuto, T  50F para t 1 minuto, T ? para t ? minutos, T  15F Solución

Utilizando la ley de enfriamiento de Newton, se tiene

) (T Tm k dt dT _ _ ) 10 (   Tk dt dT resolviendo la ecuación diferencial

kdt T dT  10



  k dt T dT 10 c kt T 10)  ( ln kt ce T 10 kt ce T  10 (23) aplicando t 0, T  70F, se obtiene ) 0 ( 10 70  cek 60 10 70   c sustituyendo en (23) kt e T 1060 (24) aplicando t  12, T  50F, se obtiene ) 5 . 0 ( 60 10 50  _ek k e0.5 60 40  3 2 ln 5 . 0 k   0.81 5 . 0 3 2 ln    k sustituyendo en (24), se obtiene t e T 1060 0.81 para t 1, se tiene ) 1 ( 81 . 0 60 10   e T F T 36.7 para T  15F, se tiene t e 0.81 60 10 15    t e 0.81 60 5 _ 